Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt là điều kiện cần và đủ, các bước đánh giá.. Học sinh có thể giải bài toán theo các cách khác nhau.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
-
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2013-2014
MƠN TỐN – KHỐI B
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
y
=
f x
( )
= − +
x
33
mx
−
2
vớim
tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số vớim
=
1
Tìm giá trịm
để bất phương trìnhf x
( )
1
3x
≤ −
vớix
≥
1
Câu II (2,0 điểm)1 Giải phương trình lượng giác
3cot
2x
+
2 sin
2x
= +
(2
3 2) cos
x
2 Giải bất phương trình
3
x
2−
7
x
+ +
3
x
2−
3
x
+ >
4
x
2− +
2
3
x
2−
5
x
−
1
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
4
3
cos 2
(sin
cos
2)
x
I
dx
x
x
π
=
+
+
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cạnh đáy
a
; chiều cao2a
Mặt phẳng (P) qua B’ vng góc A’C chia lăng trụ thành hai khối Tính tỉ lệ thể tích hai khối tính khoảng cách từ điểm A đến (P)Câu V (1,0 điểm) Cho số thực
a b c
, ,
thỏa mãn0
, ,
1
2
a b c
<
<
a
+
2
b
+
3
c
=
2
Chứng minh1
2
9
54
(4
6
3)
(3
1)
(2
4
1)
a b
+
c
−
+
b c
+ −
a
+
c
a
+
b
−
≥
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho đường tròn (C)x
2+
y
2− −
x
9
y
+ =
18
0
hai điểm(4;1); (3; 1)
A
B
−
Các điểm C; D thuộc đường tròn (C) cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD2 Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho điểmA
(4;0;0)
;B x y
(
0;
0;0)
vớix y
0;
0 số thực dương choOB
=
8
gócAOB
=
60
0 Xác định tọa độ điểmC
trụcOz
để thể tích tứ diện OABC8
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số tự nhiên
n
≥
2
, chứng minh đẳng thức0 2
2
(
C
n)
+
(
C
n)
+ +
(
C
nn)
=
C
nn B Theo chương trình Nâng caoCâu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hình chữ nhật ABCD có đường thẳng AB, AD quaM
(2;3)
( 1;2)
N
−
Viết phương trình đường thẳng BC CD biết tâm hình chữ nhật điểm( ; )
5 3
2 2
I
26
AC
=
2 Trong không gian tọa độ
Oxyz
, cho C(0;0;2); K(6;-3;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua C, K cắt trụcOx
,Oy
hai điểm A, B cho thể tích tứ diện OABC (2)ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
CÂU ĐÁP ÁN B.ĐIỂM
Hàm số
y
= − +
x
33
x
−
2
a TXĐ
D
=
ℝ
b Giới hạn
lim
; lim
x→−∞
y
= +∞
x→+∞y
= −∞
0.25
c Chiều biến thiên
y
'
= −
3
x
2+
3
;y
'
= ⇔ = ±
0
x
1
Hàm số nghịch biến khoảng
(
−∞ −
; 1);(1;
+∞
)
đồng biến( 1;1)
−
Hàm số đạt cực tiểu
x
= −
1;
y
CT= −
4
, đạt cực đạix
=
1;
y
CÐ=
0
0.25
d Bảng biến thiên
x
−∞
−
1
1
+∞
y’ - + -y
0
-4
−∞
0.25 I.1
e Đồ thị
Điểm cắt trục hoành (1;0); (-2;0) Điểm cắt trục tung (0;-2)
x y
O -1
-4 -2
-2
Đồ thị hàm số nhận điểm (0;-2) làm tâm đối xứng
0.25
Biến đổi bất phương trình
3
1
( )
(
1)
f x
x
x
−
≤
≥
tax
6−
3
mx
4+
2
x
3≥
1
hay6
4
2
1
3
x
x
m
x
+
− ≥
0.25Xét hàm số
6
2
4
2
1
2
1
( )
x
x
g x
x
x
x
x
+
−
=
=
+ −
[1;
+∞
)
Tính
g x
'( )
2
x
2
24
5x
x
=
−
+
0.25
Chỉ
g x
'( )
> ∀ >
0
x
1
, nên hàm sốy
=
g x
( )
đồng biến[1;
+∞
)
0.25 I.2Từ phải có
[1; )
min ( )
g x
3
m
+∞≥
hay2
3
m
≤
0.25II.1 Điều kiện
sin
x
≠
0
0.25
(3)Chia hai vế pt cho
sin
2x
≠
0
, ta2
4
3cos
cos
2 2
(2 2)
sin
sin
x
x
x
+
= +
x
Đặt
cos
sin
x
t
x
=
, đưa pt bậc hai t:3
t
2− +
(2 2)
t
+
2 2
=
0
Tính
2;
2
3
t
=
t
=
0.25Với
t
=
2
, biến đổi2 cos
2x
+
cos
x
−
2
=
0
,cos
2
2
x
=
cos
x
= −
2( )
l
, từ nghiệm2
4
x
= ± +
π
k
π
(tmđk)0.25
Với
2
3
t
=
biến đổi2cos
2x
+
3cos
x
− =
2
0
,cos
1
2
x
=
cos
x
= −
2( )
l
, từđó nghiệm
2
3
x
= ± +
π
k
π
(tmđk) Vậy pt có họ nghiệm0.25 Điều kiện 2 2
3
7
3
0
3
4
0
( )
2
0
3
5
1 0
x
x
x
x
I
x
x
x
−
+ ≥
−
+ ≥
− ≥
−
− ≥
Biến đổi tương đương
2 2
3
x
−
5
x
− +
1 2(2
−
x
)
+
x
− +
2
3(2
−
x
)
>
x
− +
2
3
x
−
5
x
−
1
(1)0.25
Với giá trị x thỏa mãn (I) Nếu
x
≥
2
VT<VP vơ nghiệm Nếux
<
2
thỏa mãn (1)0.25
Do bpt cho tương đương với hệ
2
2
( )
2
0
3
5
1 0
x
I
x
x
x
<
− ≥
−
− ≥
0.25 II.2Giải hệ ta tập nghiệm
(
;
2]
[
5
37
; 2)
6
S
= −∞ −
∪
+
0.254
3
0
(cos
sin )(cos
sin )
(cos
sin ) (cos
sin 2)
(cos
sin
2)
(cos
sin
2)
x
x
x
x dx
x
x d
x
dx
I
x
x
x
x
π π
+
−
+
+
+
=
=
+
+
+
+
∫
∫
0.25Đặt
t
=
cos
x
+
sin
x
+
2
Đổi cận … đưa2 3
(
t
2)
dt
I
t
+
−
=
∫
0.25III Biến đổi 2 3
1
1
(
)
I
dt
t
t
+ (4)Tính
3
8
5 2
27
(2
2)
I
=
−
+
+
0.25Gọi M trung điểm A’C’, B’M vng góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên
'
'
B M
⊥
A C
DoM
∈
( )
P
Trong (ACC’A’), kẻ MN vng góc với A’C (N
∈
AA
'
),N
∈
( )
P
Thiết diện cắt (P) tam giác B’MNHai tam giác A’C’C NA’M đồng dạng nên
'
1
'
2
4
a
A N
=
A M
=
0.25
Thể tích tứ diện A’B’MN
3
1 ' '
1
1
1
3
'
sin 60
3
B A M3 2
96
a
a
a
V
=
A N S
=
a
=
Thể tích lăng trụ
3
1
3
'.
2
.sin 60
2
2
ABC
a
V
=
AA S
=
a
a a
=
Ta có
1
48
V
V
=
nên tỉ lệ thể tich hai khối1
47
0.25
B C
A B'
A'
C' M
N H
Trong (ACC’A’), kẻ AP song song với MN (P thuộc CC’), AP cắt A’C J Chỉ khoảng cách cần tìm HJ
0.25 IV
Tính
'
5
10
a
A H
=
;5
5
a
CJ
=
;A C
'
=
a
5
ta7
5
10
a
HJ
=
Khoảng cách cần tìm7
5
10
a
0.25
Biến đổi
2 2
1
2
9
2
3
(1 )
(1 )
(3 )
(1 )
(1 )
(1 )
a
b
c
VT
a
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
=
+
+
=
+
+
−
−
−
−
−
−
0.25 V
Sử dụng BĐT với x thỏa mãn
0
1
2
x
< ≤
, ta có2
(1 )
(
1 2
)
31
3
27
x
x
x
x
−
x
≤
+ + −
=
0.5
A' C'
A C
M
N
P J
(5)Lần lượt cho
x
=
a b c
; ;
cộng vế bất đẳng thức ta27(
2
3 )
54
VT
≥
a
+
b
+
c
=
Dấu đẳng thức xảy
a
= = =
b
c
1 / 3
0.25
Chỉ đường trịn (C) có tâm
( ; )
1 9
2 2
I
bán kính10
2
R
=
TínhAB
= − −
( 1; 2);
AB
=
5
Phương trình CD có dạng
y
=
2
x
− +
y
m
0.25
Khoảng cách từ I đến CD
2
7
2 5
m
d
=
−
Chỉ
CD
=
2
R
2−
d
20.25
Do
2
2
5
(2
7)
2
5
(2
7)
25
2
20
m
m
−
−
=
⇔
−
=
0.25VI.a.1
Từ hai phương trình đường thẳng
2
x
− + =
y
6
0;2
x
− + =
y
1 0
0.25 Từ giả thiết ta thu hệ2 0
0
64
4
1
4.8
2
x
y
x
+
=
=
0.25
Vì
x y
0;
0 dương nên tínhx
0=
4;
y
0=
4 3
0.25 Tính diện tích tam giác AOB8 3
Chỉ OC vng góc với (AOB) tính3
OC
=
0.25VI.a.2
Từ tìm tọa độ điểm C
(0;0; 3);(0;0;
−
3)
Xét khai triển
P x
( )
= +
(1
x
)
2n có hệ sốx
nC
2nn 0.25 MàP x
( )
= +
(1
x
) (
nx
+
1)
n= +
(1
C x
1n+ +
C x
nn n)(
x
n+
C x
1n n−1+ +
1)
0.25 VII.aChỉ hệ số
x
n+1 theo cách khai triển thứ hai(
C
n0+1)
2+
(
C
n1+1)
2+ +
(
C
nn++11 2)
từ suy đpcm0.5 Gọi pt AB
a x
(
− +
2)
b y
(
− =
3)
0(
a
2+
b
2≠
0)
pt ADb x
(
+ −
1)
a y
(
− =
2)
0
2 2
3
7
2 ( ;
)
a
b
;
2 ( ;
)
b
a
AD
d I AB
AB
d I AD
a
b
a
b
−
+
=
=
=
=
+
+
0.25
Từ
AC
2=
AB
2+
AD
2, ta tính3
a
2−
ab
−
4
b
2=
0
nêna
= −
b
4
3
b
a
=
0.25 Vớia
= −
b
, ta pt CD BCx
− − =
y
3
0
x
+ − =
y
7
0
0.25 VII.a.1Với
4
3
b
a
=
, ta pt CD BC4
x
+
3
y
− =
12
0
3
x
−
4
y
− =
14
0
0.25 VII.a.2Gọi
A a
( ;0;0); (0; ;0)
B
b
Chỉ a b khác pt (P)1
2
x
y
z
a
+ + =
b
Do K thuộc (P) nên6
3
1
a
− =
b
(6)Chỉ thể tích tứ diện OABC
1
3
3
ab
=
nênab
=
9
ab
= −
9
0.25Với
ab
=
9
, ta tínha
= =
b
3
6;
3
2
a
= −
b
=
−
PT (P)2
x
+
2
y
+
3
z
− =
6
0
x
+
4
y
−
3
z
+ =
6
0
0.25
Với
ab
= −
9
tính vơ nghiệm 0.25 Điều kiện x>0Đặt
log (
3x
+ =
1)
log
2x
=
t
, ta1 3
2
t t
x
x
+ =
=
0.25
Do
3
t= +
2
t1
nên( )
2
( )
1
1
3
3
t
+
t=
0.25
Bằng cách vế trái (1) hàm số nghịch biến R nên (1) có nghiệm
1
t
=
0.25VII.b
Tính nghiệm
x
=
2
0.25Yêu cầu:
Học sinh trình bày chi tiết lời giải bước tính tốn
Lời giải phải đảm bảo tính chặt chẽ, đặc biệt điều kiện cần đủ, bước đánh giá