Trong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu [r]
(1)MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN
Trong chương trình số học lớp 6, sau học khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN), bạn gặp dạng tốn tìm hai số ngun dương biết số yếu tố có kiện ƯCLN BCNN
Phương pháp chung để giải:
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số
2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số nguyên dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức khơng khó :
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**)
Chúng ta xét số ví dụ minh họa.
Bài tốn 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16
Lời giải: Do vai trị a, b nhau, khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+; (m, n) = Theo định nghĩa BCNN:
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80
Chú ý: Ta áp dụng cơng thức (**) để giải toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy mn = 15
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T:098 9627 405 Trang | Lời giải: Lập luận 1, giả sử a ≤ b
Do (a, b) = => a = 6m; b = 6n với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1; m ≤ n
Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18
Bài toán 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60
Lời giải:
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 =
Tìm (a, b) = 3, toán đưa dạng toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15
Chú ý: Ta tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) =
Bài tốn 4: Tìm hai số ngun dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) =
Lời giải: Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =
Vì : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25 Chú ý: phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) =
Bài tốn 5: Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140
Lời giải: Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5, mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d
Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35
Bài tốn 6: Tìm hai số ngun dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16
Lời giải: Lập luận 1, giả sử a ≤ b
Ta có: a = 16m; b = 16n với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1; m ≤ n
(3)Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài tốn 7: Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72
Lời giải: Gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) =
Khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do đó: a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d ước chung 42 72 => d thuộc {1; 2; 3; 6}
Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài tốn 8: Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140
Lời giải: Gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = Do đó: a - b = d(m - n) = (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d ước chung 140 => d thuộc {1; 7}
Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết nhất: d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n =
Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập tự giải:
1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b (a, b) = 45
(4)(5)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên
khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS
lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt
ở kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho
học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia