Ngoài ra, dùng cách 1.[r]
(1)CHUYÊN 1: GI I H N – LIÊN T C – O HÀM
V n 1: GI I H N C A HÀM S
C N NH : tính gi i h n c a hàm s ta c n nh m t s công th c sau
1
lim n 0( 0)
x→±∞x = n>
0
sin
lim lim sin
x x
x x
x x
→ = → = ( ) ( )
sin ( ) ( )
lim lim
( ) sin ( )
u x u x
u x u x
u x u x
→ = → =
1
( )
0 ( )
lim(1 )x lim (1 ( ))u x x→ +x =e u x→ +u x =e
1 ( ) ( )
1
lim lim ( )
x
u x x→∞ +x =e u x→∞ +u x =e
0
1
lim lim 1 x x x x e x x e → → − = = − ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( )
lim lim
( )
u x
u x
u x u x
e u x
u x e
→ → − = = − 0 ln(1 )
lim lim
ln(1 ) x x x x x x → → + = =
+ ( ) ( )
ln(1 ( )) ( )
lim lim
( ) ln(1 ( ))
u x u x
u x u x
u x u x
→ →
+
= =
+
Các h ng ng th c nh
BÀI T P
Bài 1: Tính gi i h n sau a) 2 lim 15 x x x x x → − +
− + b)
100 50 lim x x x x x → − +
− + c)
1 lim m n x x x → − −
Bài 2: Tính gi i h n sau
a) 1 lim x x x → + − b) 3 lim x x x x → − −
− c)
3 2 lim x
x x x
x
→
− + − +
(2)Bài 3: Tính gi i h n sau a) 2
1 lim x x x x x → + − +
− + b)
3
2 lim x x x x → + − −
c)
1
2 lim x x x x → − + − −
d) 3
0
3 13 lim
x
x x x x x
x
→
+ + + − + +
Bài 4: Tính gi i h n sau a)
3
4
2 lim
5
x
x x x
x x x x
→∞
− + −
− + + − b)
5
5
4
lim
5
x
x x x
x x x x
→∞
− + −
+ + + − c)
7
3
4 lim
5
x
x x x
x x x x
→∞
− − + −
+ + + −
d) lim
x
x x x
x
→+∞
+ +
+ e)
2
1 lim x x x x x →∞ + + + +
Bài 5: Tính gi i h n sau a) lim ( )
x→+∞ x+ x− x b) ( )
2
lim
x→∞ x + −x x c) ( )
3
lim
x→∞ x+ x −x
d) lim 3 1
x→∞ −x− −x Bài 6: Tính gi i h n sau
a) 2
0 cos lim x ax x → − b)
1 cos sin lim
1 cos sin
x
ax ax
bx bx
→
− +
− + c)
( )
( )
0
sin sin sin lim x x x → d) ( ) cos cos lim sin tan x x x π
→ e)
tan sin lim x x x x → − f) cos lim cos x x x → − −
Bài 7: Tính gi i h n sau
a) lim x x x x − →+∞ +
+ b) ( )
2
cot
lim an x
x→ +x c)
1 sin tan lim sin x x x x → + + d) 2 lim x x x x →∞ + −
(3)Bài 9: Tính gi i h n sau
a) ( )
( )
0
ln cos3 lim
ln cos
x
x x
→ b)
ln tan lim
sìn
x
x x
π →
+
c)
( )
2 3
2
2
1 lim
ln
x
x
e x
x
− →
− +
+
Bài 10: Tính lim ( )
o
x→x f x bi t
a)
2
3 , 1
( ) ,
,
2
o
x x
x x
f x x
x
x
− +
> −
= =
− <
b)
3
3
,
2
( ) ,
1
, 1
o x
f x x
x
x x
≤
= =
+ − > + −
Bài 11: Tìm a
1
lim ( )
x→ f x t n t i, v i
3 1
, ( )
2,
x
x
f x x
ax x
−
<
= −
+ >
V n 2: TÍNH LIÊN T C C A HÀM S
C N NH : Trong ph n ta ph i nh ki n th c c b n sau
(i) Cho hàm y= f x( ) xác nh t p D, xo∈D Khi ó
fliên t c t i xo
lim ( ) lim ( ) ( )
o
o
x x
o x x
f x
f x f x
→
→
∃ ⇔
=
f liên t c D ⇔ f liên t c t i m i x∈D
(ii) Các hàm s c p c b n liên t c t p xác nh c a
(4)BÀI T P
Bài 1: Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i m ã cho
a)
1 ,
( ) 2 ,
1,
o x
x
f x x x
x − − ≠ = − = = b) sin ,
( ) ,
,
o x
x
f x x x
x π π ≠ = − = − = c)
sin , 0
( ) ,
1,
o x
x x
f x x
x ≠ = = = d) ,
( ) ,
4 9,
o
x x
x
f x x x
x x
− +
< −
= + = −
+ ≥ −
Bài 2: Xét tính liên t c c a hàm s sau
a)
1 sin , ( )
1,
x x
f x x
x ≠ = = b)
4 , 2 ( ) 2
2 20,
x x
f x x
x x
−
>
= + −
− ≤
Bài 3: Tìm a hàm sau liên t c t p xác nh
a)
32 9 2 9
, ( ) 2 6
,
x x
x
f x x
a x + + − ≠ = − = b)
33 2 2
, 2 ( ) , x x x f x ax x + − > − = + ≤
Bài 4: Cho hàm f x( ) xcos1
x
= Tìm (0)f hàm s liên t c v i m i x
Bài 5: Tìm i m gián o n c a hàm sau
a) ( ) sin
x f x
x
= b)
2
, ( )
2,
x
x
f x x x
x − ≠ = − + − = c) 1, ( ) 1
, x x f x x x x + ≤ = > −
CHÚ Ý:Hàm f(x) liên t c o n [a;b] f(a)f(b) < ph ng trình f(x) = ln có nghi m
thu c kho ng (a;b)
Bài 5: Ch ng minh ph ng trình sau ln có nghi m
a) cosx+mcos 2x=0 b) (a x b x c− )( − )+b x( −a x c)( − )+c x( −a x b)( − ) 0=
Bài 6: Ch ng minh ph ng trình x3−3x+ =1 0ln có ba nghi m phân bi t
(5)Bài 8: Ch ng minh ph ng trình 3 0
x − − =x có nghi m xo∈(1; 2)
712
o x >
Bài 9: Cho f hàm liên t c o n [a;b] ,α β hai s d ng b t k Ch ng minh r ng ph ng trình f x( ) αf a( ) β f b( )
α β
+ =
+ ln có nghi m o n [a;b]
CHÚ Ý:Hàm f(x) liên t c o n [a;b] f(x) khơng tri t tiêu [a;b] f(x) có m t d u nh t
nh (a;b)
Bài 10: Xét d u bi u th c sau a) ( ) 2 2
f x =x + x − −x b) ( ) 1 2 5
f x = − +x x − x+ c) ( ) (2sinf x = x−1)( 2 cos )+ x d) f x( )= x2− −4 2x
V n 3: O HÀM C A HÀM S
C N NH : ph n ph i Thu c lòng qui t c tính o hàm, o hàm c a hàm h p b ng
o hàm hàm s c p c b n
BÀI T P
Bài 1: Tính o hàm hàm sau
a) y = 3x4 – 2x2 + x – b) 3 3
3
y= x +x − x+ c) y 12 13
x x
= −
d)
y= x x e) y x
x
= +
Bài 2: Tính o hàm hàm sau a) y = (x3 + 2)(x + 1) b)
2 1
2
x x
y x + + =
− c)
4
x y
x − =
+ d)
3
1
x y
x =
−
Bài 3: Tính o hàm hàm sau a) ( 1)6
y= x − b) y = x(x + 2)4 c) 21
y x =
+ d)
x y
x =
(6)Bài 4: Tính o hàm hàm sau a)
1
x y
x =
+ b)
2 6 7
y= x + x+ c) y= x+ +2 4−x
d) ( 1) 1
y= x+ x + +x e)
2 3
2
x x
y
x + + =
+ f)
3 3 2
y= x − x+
g) y=x 6−x h) y=(x2−1)2+ x2+4 i) y x 2x x − + =
Bài 5: Tính o hàm hàm sau
a) y = sinx – cosx b) y = xsinx c) y = sin3x d) y =
1 cos
x x −
e) y = 3sin2x – sinx f) cos5
y= x g) y=cosx−cos3x
h) 3sin2 sin3
y= x− x i) y=xcosx−sinx k) y=cos sinx 2x
Bài 6: Tính o hàm hàm sau a) 1tan4
4
y= x b) sin
1 sin
x y
x + =
− c)
sin cos sin cos
x x
y
x x
− =
+ d)
3
1tan tan
y= x− x+x
Bài 7: Tính o hàm hàm sau a) sin(2 )
4
y= x+π b) y = sin3x +cos2x c) y =sin33x d) y = cos5(2x2+x+1)
e) y=sin 43 x f) cos 24
3
y= x−π g) y= t an5x
h) 1 cos2
2
x y= + i)
2
2
2 tan
2
x tan y
x =
−
CHÚ Ý: ( )x x
e ′ =e T ng quát ( )ax ′ =axlna
Bài 8: Tính o hàm hàm sau a) x
y=x e b) x e y
x
= c) x(sin cos )
y=e x− x d) sinx
y=e e) x
y=e
f)
x x
x x
e e
y
e e
− −
− =
+ g)
x x
y= + h) 2sinx 3ex sin2x
(7)CHÚ Ý: (lnx) (ln x) x
′
′ = = T ng quát (log ) (log )
ln
ax a x
x a
′
′ = =
Bài 9: Tính o hàm hàm sau a) y=xlnx b) y lnx
x
= c) ln( 1)
y= x + d) y=ln sinx
e) ln 23 1
y= x+ f) y=ln(x+ x2+1) g) ln
1 x y x − = +
h) y=log (22 x+1) i)
2
2
3
log (3 1) log ( 1) x
y x
x −
= + +
Bài 10: Tính o hàm hàm sau
a) ln sin cos x a y x a − =
+ b)
sin ln cos x a y x a + =
− c)
2 2 ln x x y x x − + = + +
Bài 11: Cho hàm y ax b
cx d
+ =
+ ch ng minh r ng ' ( )2
ad bc
y
cx d
− =
+ Áp d ng tính o hàm c a:
a) x y x + =
+ b)
3 1 x y x + = −
Bài 12: Cho hàm
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+ ch ng minh r ng
2
2
2 ( )
'
( )
amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+ Áp d ng tính
o hàm c a: a)
2 3 3
1 x x y x − + =
− b)
2 x y x =
+ c)
2 2 x x y x + + = −
CHÚ Ý: (i) [ ( )]v x( ) ln ( ) ln ( ) [ln ] [ ( ) ln ( )]
y= u x y=v x u x y ′= v x u x ′⇔y′= y v x[ ( ) ln ( )u x ]′
(ii) ( )
ln ( ) ln ( ) log ( )
ln ( ) ln ( )
u x
v x v x
y v x y y
u x u x
′ ′
= = =
Bài 13: Tính o hàm c a hàm s sau a) ( 2)ex
y= x + b) y=(sinx)cosx c) ( )
2
1
x
y= +x
d)
4
5 11
( 5) ( 9) ( 11) ( 6) ( 8)
x x x
y
x x
+ + +
=
− − e)
2 log x x y x + − =
(8)CHÚ Ý: (i)
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim lim
o
o o o
o x x x x
o
f x x f x f x f x
y f x
x x x x
∆ → ∆ → → + ∆ − − ∆ ′ = = = ∆ ∆ − 0 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim lim
o
o o o
o
x x x x
o
f x x f x f x f x
y
f x
x x x x
+ + + + ∆ → ∆ → → + ∆ − − ∆ ′ = = = ∆ ∆ − 0 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim lim
o
o o o
o
x x x x
o
f x x f x f x f x
y f x
x x x x
− − − − ∆ → ∆ → → + ∆ − − ∆ ′ = = = ∆ ∆ − ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) o o o o o
f x f x
f x
f x f x
+ − + − ′ ′ ∃ ∃ ′ ∃ ⇔ ′ = ′
(ii) Kh vi Liên t c; Liên t c Kh vi
Bài 14: Xét tính liên t c s t n t i o hàm c a hàm f(x) t i xo bi t:
a) ( )f x = x x, o =0 b) ( ) 1, o x
f x x
x
= =
+
c)
2
ln( 1), 0
( ) ,
0,
o x
x
f x x x
x +
≠
= =
=
d) ( ) ln , 0,
0, o
x x x x
f x x
x
− ≠
= =
=
Bài 15: Cho hàm
1 * , ( ) , nx
xe x n
f x
x x
−
> ∧ ∈ =
=
a) Ch ng minh f liên t c [0;+∞)
b) Xét tính kh vi c a hàm f t i xo =0
Bài 16: Tìm a t n t i ( )f x′ o bi t:
a)
2 1, 1
( ) ,
2, o
x x
f x x
ax a x
+ ≤
= =
− + > b)
( 1) ,
( ) ,
1,
x
o
x e x
f x x
x ax x
−
+ >
= =
− − + ≤
Bài 17: Cho hàm
2sin ,1 0
( )
0,
x x
f x x
x ≠ =
=
a) Tính f x′( )
(9)CHÚ Ý: f( )n (f(n−1))′,n *
= ∈
Bài 18: Cho hàm
4
x y
x − =
+ , ch ng minh r ng 2(y’)
2 = (y – 1)y’’
Bài 19: Cho hàm y= 2x−x2, ch ng minh r ng y3.y’’ + =
Bài 20: Tìm o hàm c p n(n≥2) c a hàm sau: a) y x−1
= b) y=eax c) y=sinx d) y=cosax
Bài 21: Tìm o hàm c p n c a hàm ( ) ; ( )
1
f x g x
x x
= =
+ − T ó suy o hàm c p n c a
hàm ( ) 22
x h x
x
= −
Bài 22: Tìm o hàm c p n(n≥2) c a hàm
2
1
x y
x
= − CHÚ Ý:N u f x′( ) 0,= ∀ ∈x D f hàm h ng D
Bài 23: Ch ng minh r ng cos2 cos2 cos2 2,
3 3
x+ π +x + π −x = ∀ ∈x
Bài 24: Ch ng minh r ng n u sinnx+cosnx= ∀ ∈1, x n=2
CHÚ Ý: (i) Cho ng th ng (d) G i ϕ góc h p b i chi u d ng c a tr c Ox v i (d) Khi ó, ta nh ngh a h s góc c a (d) k=tanϕ
(ii) N u hàm y= f x( ) : ( )C có o hàm t i i m x h s góc c a ti p n v i o (C) t i ti p i m Mo( ; )x yo o f x′( )o Do ó, ph ng trình ti p n v i (C) t i ti p i m Mo( ; )x yo o
( )( )
o o o
y−y = f x′ x−x
Bài 25: Cho hàm s ( ) 3 1 ( )
y= f x =x − x+ C L p ph ng trình ti p n v i (C) bi t
a) Hoành ti p i m xo =3
b) Ti p n song song v i ng th ng ( ) :d y=9x+2010 c) Ti p n vng góc v i ng th ng ( ) :d′ x+9y+2010 0=
d) Ti p n i qua i m ( ; 1)2
(10)Bài 26: Cho ( ) : 2 3
C y=x − x+ L p ph ng trình ti p n v i (C)
a) T i i m có tung yo=1
b) Song song v i ng th ng ( ) : 4d x−2y+ =5
c) Vng góc v i phân giác góc ph n t th nh t c a góc h p b i tr c t a
Bài 27: L p ph ng trình ti p n v i ( ) :
1
x
H y
x
− =
− bi t ti p n h p v i tr c hoành m t
góc 45o
Bài 28: Cho ( ) :C y= −x lnx Tìm (C) nh ng i m mà t i ó ti p n v i (C) ph ng
v i tr c hoành
Bài 29: Cho
3
( ) :
3
x
C y= − x + x+ Tìm m (C) có ti p n v i h s góc m
Bài 30: Ch ng minh r ng
2 2
( ) :
1
x x
H y
x
+ − =
+ khơng có i m mà t i ó ti p n song
song v i ng th ng ( ) :d y= −3x+5
Bài 31: Tìm m th ( ) :C y=x3+x2−2 có m t ti p n vng góc v i ng th ng
(11)CHUYÊN 2: KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V TH C A HÀM S
V n 1: S bi n thiên - c c tr - giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s
C N NH : xét s bi n thiên c a hàm s y= f x( ) ta th c hi n b c sau: B c 1: Tìm t p xác nh D c a hàm s
B c 2: Tìm i m t i h n c a hàm s
(+) Gi i ph ng trình y′ =0 (x∈D)
(+) Tìm nh ng i m thu c D mà t i ó y′ không xác nh B c 3: L p b ng xét d u y′ t! ó a k t lu n
Chú ý: (i) y′ ≥0 hàm "ng bi n; y′ ≤0 hàm ngh ch bi n
(ii) D u c a tam th c: “trong trái cùng”; D u c a nh th c: “ph i trái khác”
BÀI T P
Bài 1: Tìm kho ng n i u c a hàm s sau:
1) 2 1
y= −x + x+ 2) 3 3 5
y=x − x + x+ 3) 6 1
y= −x + x +
4) 3
4
y= x +x − x − x 5)
3
y=x 6) 3
4
y= x +x − x + 7)
1
x y
x
− =
−
8)
1
x y
x
+ =
− 9)
2
1
x x
y
x x
− + =
+ + 10)
2 3 3
1
x x
y x
+ +
=
+ 11)
2
( 2)
1
x y
x
− =
−
12)
3
4
x y
x
=
− 13)
4
2
2
x x
y
x
+ −
= 14)
1
y x
x
= − +
+
15) sin 2cos , [ ; ]
cos
x x
y x
x π π
−
(12)C N NH : tìm c c tr c a hàm s y= f x( ) ta làm nh sau: B c 1: Tìm t p xác nh D
B c 2: L p b ng xét d u y′t! ó ó a k t lu n
Bài 2: Tìm c c tr c a hàm sau:
1) 2 3 12 5
y= x + x − x− 2) y=2x2−x4 3)
2 2 2
1
x x
y x
− +
=
−
4) 16
y x
x
= − 5)
2 1
x y
x
=
+ 6)
3 1
x y
x
=
− 7)
2
3
y= +x x +
8) y= x3−3x−2 9) y= +x 2x2+1 10) y= +x 8−x2 11) y=x 4−x
12) ln
x y
x
= 13) x
y=xe 14) x
y= −x e 15) y= −x lnx 16) y lnx x
=
17) y= x2−4x+3
C N NH :Cách khác tìm c c tr tr c a hàm s y= f x( )
B c 1: Tìm t p xác nh D
B c 2: Gi i ph ng trình y′ =0 (x∈D) Gi s# x nghi m o
B c 3: Tính y x′′( )o , n u: (+) ( ) 0y x′′ o > x i m c c ti u o
(+) ( ) 0y x′′ o < x i m c c o i
Bài 3: Cho hàm xsin
y=e x
a) Tìm c c tr c a hàm s o n [0;2 ]π
b) Tìm c c tr c a hàm s t p xác nh
Bài 4: Tìm c c tr c a hàm sau
a) sin2 3 cos , [0; ]
y= x− x x∈ π b) y=2sinx+cos ,x x∈[0; ]π C N NH : tìm GTLN, GTNN c a hàm f(x) t p D, ta làm nh sau:
B c 1: L p b ng bi n thiên c a hàm f D
(13)Bài 5: Tìm GTLN, GTNN c a hàm sau: a) ( ) 4
f x = + x−x b)
4 3
( )
4
x
f x = +x − c)
2
2 ( )
f x x
x
= +
d)
2 4 4
( ) x x ( 0)
f x x
x
+ +
= > e)
2
3( 1) ( )
2
x f x
x x
+ =
+ + f)
8 ( )
1
x f x
x x
− =
− +
g) ( ) 4 21
x f x
x x
− =
− + h)
2 1
( ) x x
f x
x + +
= i) ( ) 2 10
3
f x = x − x + x−
Chú ý: N u tìm GTLN, GTNN c a hàm f(x) o n [a;b] ta làm n gi n h n:
B c 1: Tính f x′( ) gi i ph ng trình f x′( ) (= x∈[ ; ])a b Gi s# x nghi m o
B c 2: Tính f a( ), ( ), ( )f b f xo r"i so sánh giá tr T! ó k t lu n
Bài 6: Tìm GTLN, GTNN c a hàm sau: a) ( ) 6 9 , [0; 4]
f x =x − x + x x∈ b) f x( )=x4−2x2+5,x∈ −[ 2;3]
c) ( ) 5 5 1, [ 1;2]
f x =x − x + x + x∈ − d) ( ) 3 10
f x = x+ −x
e) ( ) 2 5
f x = x+ −x f) ( )f x = x− +2 x+4 g) f x( ) (= x+2) 4−x2
Bài 7: Tìm GTLN, GTNN c a hàm sau: a) ( ) 2sin 4sin ,3 [0; ]
3
f x = x− x x∈ π b) ( ) 2cos , 0;
2
f x = +x x x∈ π
Bài 8: Tìm kích th c c a hình ch nh t có chu vi l n nh t n i ti p n a ng trịn bán kính
R cho tr c
Bài 9: Tìm hình thang cân có di n tích nh! nh t ngo i ti p ng trịn bán kính R cho tr c
(14)V n 2: i m u n ti m c n c a th hàm s
C N NH : tìm i m u n c a " th ( ) :C y= f x( ) ta làm nh sau:
B c 1: Tìm t p xác nh D
B c 2: Gi i ph ng trình y′′ =0
B c 3: L p b ng xét d u y′′ t! ó suy k t lu n
Chú ý: y′′ > " th lõm
0
y′′ < " th l"i
y′′ i d u x qua x o ( ; ( ))xo f xo i m u n c a " th
BÀI T P
Bài 1: Xác nh kho ng l i, lõm i m u n (n u có) c a th hàm sau 1) 3 2 1
y=x − x + x− 2) y= −x3+3x2+2x 3) y=x3+6x2+ −x 12
4) 3 4
y=x − x + 5) 3 4 2
y=x + x + x− 6) 2 3
8
y= x + x−
7) y 2x2 x4
= − 8)
1
x y
x − =
− 9)
2 3 3
1
x x
y x
+ +
=
+
10) 12 48 50
y=x − x + x − 11) y= +x sinx 12)
3 1
x y
x =
+
13) 1
y= +x 14) 4(12ln 7)
y=x x− 15) ln( 1)
y= x −
C N NH : Cách ch ng minh ba i m u n c a ( ) :C y= f x( )th ng hàng
B c 1: Ch ng minh (C) có ba i m u n
B c 2: T a i m u n th$a mãn h ( )
( )
f x
y ax b
y f x
′′ =
→ = +
=
B c 3: V y ba i m u n n m ng th ng y=ax b+ nên chúng th ng hàng
Bài 2: Ch ng minh th c a hàm sau có ba i m u n ba i m u n th ng hàng a) 2
1
x y
x + =
+ b)
2 1
x y
x + =
+ c)
2
2 3
x x
y
x x
− =
− + d)
3 4 5
x y
x x
=
(15)C N NH : tìm ti m c n c a " th ( ) :C y= f x( ) ta làm nh sau:
B c 1: Tìm t p xác nh D
B c 2: Tính lim ( )f x x ti n n biên c a t p xác nh t! ó k t lu n
Chú ý: lim ( )
o
x→x f x = ∞ x=xo ti m c n ng
lim ( )
x→∞ f x =b y=b ti m c n ngang
( ) lim
lim( ( ) )
x
x f x
a x
f x ax b
→∞
→∞
=
− =
y=ax b+ ti m c n xiên
Bài 3: Tìm ti m c n ngang ng (n u có) c a th hàm sau: a)
2
x y
x − =
− b)
1
x y
x − =
+ c)
2
2
2 3
x x
y
x x
+ +
=
+ − d)
6
x y
x x
= −
Chú ý:Cho hàm s y= f x( ) n u lim( ( ) ( ))
x→∞ f x − ax b+ = y=ax b+ ti m c n xiên Do ó,
tìm ti m c n xiên c a hàm d ng
2
( ) ax bx c
f x
mx n
+ +
=
+ ta bi n i ( )
C
f x Ax B
mx n
= + +
+ Khi ó,
ng y= Ax+B ti m c n xiên
Bài 4: Tìm ti m c n (n u có) c a hàm sau a)
2 1
1
x x
y x
+ − =
− b)
2 2 8
1
x x
y x
− −
=
− c)
4
2
1
x x x
y
x
+ − +
=
−
Bài 5: Tìm ti m c n c a th hàm sau:
(16)V n 3: Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s
!NG L I T"NG QUÁT # KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V TH C A
HÀM S
B c 1: Tìm t p xác nh D c a hàm s
B c 2: S bi n thiên
(i) Gi i h n – ti m c n
(+) Tính lim ( )f x x ti n n biên c a t p xác nh
(+)T! ó tìm ti m c n n u có
(ii) S bi n thiên
(+) Tính y′ gi i ph ng trình y′ =0
(+) L p b ng bi n thiên, t! ó suy kho ng t%ng, gi m, c c tr (n u có)
B c 3: V& " th
(i) Tìm i m 'c bi t
(ii) V& " th theo s ": h t a → ti m c n (n u có) → i m 'c bi t → " th
B c 4: Nh n xét tính ch t 'c bi t c a " th
HÀM B C BA ( 0)
y=ax +bx +cx+d a≠
C N NH : (i) " th ti m c n
(ii) Có m t i m u n tâm i x ng c a " th
(17)BÀI T P
Kh o sát s bi n thiên v" th c a hàm sau:
1) 3 2
y=x + x − 2) y= −x3−3x2+2 3) y= −x3+3x2−1
4) 3 1
y=x − x + 5) y=x3+3x2+1 6) y= −(x3+3x2+1)
7) 2 6 6 1
y= x + x + x− 8) 2 6 6 1
y= − x − x − x+ 9) 3 3 1
y=x − x + x+
10) 3 3 1
y= −x + x − x− 11) 3 4
y=x − x + 12) (1 )( 2)2
y= −x x+
13) y=2x3−3x2+1 14) y= −x3+3x2−5x+2 15) y=x3−3x+2
16) 3 9 27
y=x − x − x+ 17) y=x3+x2−16x+16 18) y=x3−3x2+4x
19) 3
y=x − x 20) 2 3
3
y= x +x + x− 21)
3
y= x − +x
HÀM B C B N TRÙNG PH $NG y=ax4+bx2+c a( ≠0)
C N NH : (i) " th khơng có ti m c n
(ii) " th i x ng qua Oy
(iii) Cho i m 'c bi t i x ng qua Oy
BÀI T P
Kh o sát s bi n thiên v" th c a hàm sau:
1) 2 1
y=x − x − 2) 2 1
y= −x + x + 3) 3
2
y= x − x +
4) 3
2
y= − x + x − 5)
4
2
2
x
y= +x − 6)
4
2
2
x
y= − −x +
7) 2 1
y=x + x + 8) y= −x4−2x2−1 9) y=x4−4x2+3
10) 1
(18)HÀM H%U T& B C NH'T TRÊN B C NH'T
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
C N NH : (i) 2 2
( ) ( )
a b
c d ad bc
y
cx d cx d
−
′ = =
+ +
(ii) " th có hai ti m c n: ng ngang
(iii) " th i x ng qua giao hai ti m c n
(iv) i m 'c bi t: giao v i tr c t a
BÀI T P
Kh o sát s bi n thiên v" th c a hàm sau:
1) 1
x y
x + =
− 2)
2
x y
x − =
+ 3)
2
x y
x + =
− 4)
1
x y
x − =
+
HÀM H%U T& B C HAI TRÊN B C M(T
2
( 0)
ax bx c
y am
mx n
+ +
= ≠
+
C N NH : (i) Chia t# cho m(u tr c kh o sát, ta c y Ax B C
mx n
= + +
+
(ii)
2
2
2 ( )
'
( )
amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+
(19)BÀI T P
Kh o sát s bi n thiên v" th c a hàm sau:
1)
2 3 3
1 x x y x − + =
− 2)
2 3 3
1 x x y x − + =
− 3)
2 1 x x y x + + =
+ 4)
2 1 x x y x − + = + 5) 3 x x y x − =
− 6)
2 2 3
2 x x y x − − =
− 7)
2 2 2
1 x x y x + + =
+ 8)
2 2 x y x − = 9) 5 x x y x + − =
− 10)
2 x y x =
− 11)
2 2 1
1 x x y x + − =
− 12)
2 2 3
2 x x y x + + = −
13) x x y x + + =
+ 14)
2 1 x y x + =
+ 15)
2 3 x y x + =
+ 16)
2 3 4
2 x x y x + + = +
M(T VÀI HÀM KHÁC
C N NH : (i) Cách xét d u c a hàm liên t c
(ii) Nhìn vào b ng bi n thiên v& " th
BÀI T P
Kh o sát s bi n thiên v" th c a hàm sau:
1) 4 2 4 1
3
y=x + x − x − x+ 2)
4
y= x − x − x + x+
3) 22 1 x x y x x − + =
− + 4)
2 2 3 x x y x x − + = + −
5) 2 2
y= x − x+ 6)
1 x y x − =
+ 7)
3 3
y= x − x
8) 3 2
y= x + x − 9) y= −x4+2x2+1 10)
2 3 3
(20)CHUYÊN 3: M(T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN N KH O SÁT HÀM S
V n 1: TÍNH $N I)U C A HÀM S VÀ *NG D NG
C N NH : 1) Cho hàm f xác nh t p D Khi ó,
(i) Hàm f(x) "ng bi n D ⇔ f x′( ) 0,≥ ∀ ∈x D
(ii) Hàm f(x) ngh ch bi n D ⇔ f x′( ) 0,≤ ∀ ∈x D
(D u ‘=’ ch) c phép x y t i h u h n i m Tuy nhiên, i v i hàm mà xét
tài li u i u ki n khơng c n thi t)
2) Cho tam th c f x( )=ax2+bx+c Khi ó,
(i) ( ) 0( ( ) 0), 0( 0)
a
f x > f x ≥ ∀ ∈x ⇔ >
∆ < ∆ ≤
0 ( ) 0( ( ) 0),
0( 0)
a
f x < f x ≤ ∀ ∈x ⇔ <
∆ < ∆ ≤
(ii) x1< <0 x2⇔P< ⇔0 ac<0
1
0
0
0
x x S
P ∆ ≥ < ≤ ⇔ > >
1 2
0
0
0
x x S
P ∆ ≥ ≤ < ⇔ < >
(iii) x1<α<x2⇔af( ) 0α <
1
0 ( )
x x af
S
α α
α
∆ ≥
< ≤ ⇔ >
>
1
0 ( )
x x af
S
α α
α
∆ ≥
≤ < ⇔ >
(21)BÀI T P
Bài 1: Tìm m hàm s sau ng bi n (ngh ch bi n) t p xác nh
a) 2 2
3
y= x − x +mx− b) y x m
x m
+ =
− c)
2 2 1
1
mx x
y
x
+ +
=
+
Bài 2: Tùy theo m, kh o sát s bi n thiên c a hàm y=4x3+(m+3)x2+mx
Bài 3: Cho hàm 1
3
y= x +mx −mx+ #nh m hàm s :
a) # ng bi n t p xác nh
b) # ng bi n kho ng (−∞;0)
c) Ngh ch bi n kho ng (−∞;0)
Bài 4: Cho hàm
2 5
3
x mx
y
x
+ −
=
− #nh m hàm s :
a) Ngh ch bi n t ng kho ng xác nh b) Gi m kho ng ( 1;0)−
c) T$ng kho ng ( 2;2)−
Bài 5: Cho hàm ( 1) ( 3) 4
3
y= − x + m− x + m+ x− #nh m hàm s :
a) Gi m t p xác nh b) Gi m kho ng (0;+∞) c) T$ng kho ng (0;3)
C N NH : ch ng minh b t ng th c A x( )>B x( ),∀ ∈x D ta th ng làm nh sau:
B c 1: Bi n i A x( )>B x( )⇔A x( )−B x( ) 0> 't f x( )=A x( )−B x( )
B c 2: Xét s bi n thiên c a hàm f T! ó ch ng t$ f x( ) 0,> ∀ ∈x D
Chú ý: (i) f t%ng a<b f a( )< f b( )
(22)Bài 5: Ch ng minh b t ng th c sau a) 2sin tan , 0;
2
x+ x> x ∀ ∈x π b) tan , 0;
2
x>x∀ ∈x π
c)
3
tan , 0;
3
x
x> +x ∀ ∈x π d) sin , 0;
2
x
x x π
π
> ∈
Bài 6: Ch ng minh: a) N u
2
a b π
< < < tanb a<atanb
b) N u tam giác ABC có ba góc nh n sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π Bài 7: Ch ng minh v i x>0 ta ln có
3
sin
3! 3! 5!
x x x
x− < < −x +
V n 2: C C TR CÓ I U KI)N
C N NH :Tìm i u ki n hàm f t c c tr t i x , ta làm nh sauo :
B c 1: f t c c tr t i x o f x′( ) 0o = → giá tr tham s
B c 2: Th# l i r"i k t lu n
BÀI T P
Bài 1: Tìm m hàm s
2 1
( ) x mx
f x
xm
+ +
= t c c tr t i xo =2
Bài 2: Tìm m hàm s ( ) sin 1sin3
3
f x =m x+ x t c c tr t i
3
o
x =π
Bài 3: Tìm m hàm f x( )=x3−3mx2+3(m2−1)x−m2+1 t c c i (c c ti u) t i xo=1
C N NH :Hàm f có c c tr (n c c tr) ch) f′ =0 có nghi m (n nghi m) f′ i d u x qua nghi m ó
Chú ý: i v i hàm b c ba y=ax2+bx2+cx+d hàm h u t* b c hai m t
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
(23)Bài 4: Tìm m hàm sau có c c tr
a) ( 6) 1
3
y= x +mx + m+ x− b) y=x3−2x2+mx−1
c)
2 2
4
x x m
y
x
− +
=
− d)
2 2
1
x mx
y x
− +
=
+ e)
2 2
1
x mx
y
mx
+ −
=
−
Bài 5: Tìm α hàm
2 2 cos 1
2sin
x x
y x
α α
+ +
=
+ có c c i c c ti u
Bài 6: Cho hàm 4 3( 1) 1
y=x + mx + m+ x + Tìm m hàm s :
a) Ch% có m t c c ti u
b) Ch% có m t c c i
Chú ý: (i) Xét hàm b c ba y=ax2+bx2+cx+d Ta có nh n xét sau:
Vì y′ tam th c b c hai nên ta có th s# d ng nh lý Viet nh lý v d u c a
tam th c c c hai
N u x x i m c c tr 1, 2 x x nghi m c a 1, 2 y′ =0 Do ó, tính
1,
y y ta làm nh sau:(+) Chia y cho y′ ta c y= y P x′ ( )+Ax+B
(+) Khi ó, y1= y x( )1 =y x P x′( ) ( )1 1 +Ax1+B= Ax1+B; y2 = y x( )2 = Ax2+B
Ta th y hai i m c c tr M x y1( ; ),1 1 M2( ; )x y2 2 th$a mãn ph ng trình y=Ax+B
nên ph ng trình ng th ng qua hai i m c c tr y=Ax+B
(ii) Xét hàm h u t* b c hai m t
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+ Ta có vài nh n xét sau:
Vì
2
2
2 ( )
'
( )
amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+ nên d u c a y′ d u c a tam th c b c hai
2
( ) ( )
g x =amx + anx+ bn mc−
Do ó, ta v(n có th s# d ng nh lý Viet nh lý v d u c a tam th c c c hai
N u x x i m c c tr 1, 2 x x 1, 2 y1 2ax1 b, y2 2ax2 b
m m
+ +
= = Do ó,
ph ng trình ng th ng qua i m c c tr y 2ax b
m +
(24)Bài 7: Cho hàm ( 1) 3( 2)
3
y= mx − m− x + m− x+ Tìm m hàm s
a) # t c c i c c ti u
b) Có hai c c tr trái d u
c) # t c c tr t i x x1, 2 th!a x1+2x2 =1
Bài 8: Tìm m th (C): y=2x3−3(3m+1)x2+12(m2+m x) +1 có c c i c c ti u Vi t
ph ng trình ng th ng qua hai i m c c tr ó
Bài 9: #nh m hàm y=x3−(m−3)x2+(4m−1)x−m t c c tr t i x x 1, 2 th!a x1< − <2 x2
Bài 10: Cho hàm
2 2 1
x mx m
y
x m
− − −
=
− #nh m hàm s có:
a) M t c c i m t c c ti u b) Hai c c tr hai giá tr d u c) C c ti u có hồnh nh! h n
Bài 11: #nh m hàm 21
1
mx y
x + =
− có hai c c tr Trong tr ng h p ó, ch ng minh hai c c tr c a
th hàm s v m t phía so v i tr c hoành
Bài 12: Cho hàm
2
2
mx x m
y
x x
− +
=
− #nh m hàm s ;
a) T$ng t ng kho ng xác nh
b) Ch% có m t c c tr
c) # t c c i c c ti u t i i m có hồnh d ng
Bài 13: Cho hàm 1(sin cos ) 3(sin2 ) 1
3
y= x − α+ α x + α x+
a) #nh α hàm có c c tr
b) G i x x1, 2 i m c c tr , tìm α 2
1 2
x +x =x +x
Bài 14: Cho hàm 3( 10 (2 3 2) ( 1)
(25)Bài 15: Tìm m th (H):
2 ( 1) 1
x m x m
y
x m
+ + − +
=
− có c c i c c ti u Vi t ph ng trình
ng th ng qua hai i m c c tr ó
Bài 16:#nh p hàm s
2 3
4
x x p
y
x
− + +
=
− có giá tr c c i M, giá tr c c ti u m th!a M −m =4
Bài 17: #nh m hàm s
2
2x 3x m y
x m
− +
=
− có c c i, c c ti u th!a ycd −yct >8
Bài 18: Tìm m th hàm s ( 1) 3( 2)
3
y= mx − m− x + m− x+ có c c i, c c ti u ng th i
ng th ng qua i m c c tr
a) Song song v i ng th ng ( ) : 2d x− +y 2010 0=
b) Vng góc v i ng th ng ( )∆ x−2y−2010 0=
Bài 19: Ch ng minh hàm y=(x−a x b x c a)( − )( − ), < <b c t c c tr t i hai i m x x1, th!a
1
a<x < <b x <c
Bài 20: Xác nh m hàm y= −x4−8mx3−3(2m+1)x−4 ch% có c c i mà khơng có c c ti u
V n 3: TÍNH I X*NG C A TH
C N NH : Tìm i u ki n I a b( ; ) i m u n c a " th ( ) :C y= f x( ), ta làm nh sau:
B c 1: ( ; )I a b i m u n c a " th ( ) :C y= f x( ) ( )
( )
f a
f a b
′′ =
= → tham s
B c 2: Th# l i → k t lu n
BÀI T P
Bài 1: Tìm i u ki n c a tham s (C) nh n I làm i m u n, bi t:
a)
3
( ) :C y f x( ) x 3m 2, (1;0)I m
−
= = + − b) ( ) :C y= f x( )=ax3+bx2+ −x 4, (2; 6)I −
c)
1
(26)C N NH : ch ng minh I x y tâm ( ; )o o i x ng c a " th ( ) :C y= f x( ) ta làm nh sau:
B c 1: 't o
o
x x X
y y Y
= +
= + , thay vào ph ng trình y= f x( ) c hàm Y =F X( )
B c 2: Ch ng minh Y =F X( ) hàm l+
Ngoài ra: ( ; )I x y tâm o o i x ng c a ( ) :C y= f x( )⇔ f x( o+x)+ f x( o−x) ,= yo ∀xo± ∈x D BÀI T P
Bài 1: Ch ng minh r ng i m u n tâm i x ng c a th hàm s sau: a) 3 1
y=x − x + b) y= −x3+3x2−2
Bài 2: Ch ng minh r ng giao hai ti m c n tâm i x ng c a th hàm: a) ( )
1
x f x
x − =
+ b)
2 ( ) x
f x x
−
=
c)
2 1
( )
1
x x
f x x
+ + =
− d)
2
2 ( )
1
x x
f x
x − =
−
C N NH : ch ng minh ng th ng ( ) :∆ x=xo tr c i x ng c a " th ( ) :C y= f x( ) ta
làm nh sau:
B c 1: 't o
o
x x X
y y Y
= +
= + , thay vào ph ng trình y= f x( ) c hàm Y =F X( )
B c 2: Ch ng minh Y =F X( ) hàm ch,n
Ngoài ra: ( ) :∆ x=xo tr c i x ng c a ( ) :C y= f x( )⇔ f x( o−x)= f x( o+x),∀xo± ∈x D BÀI T P
Bài 1: Ch ng minh r ng ng th ng ( ) :d x=1 tr c i x ng c a th hàm a) ( ) 4 7 6 4
f x =x − x + x − x+ b) ( ) 4 6 4
f x =x − x + x − x
c) f x( )=x4−4x3−2x2+12x−1
Bài 2: Tìm m (C) có tr c i x ng song song v i tr c Oy, bi t r ng:
a) ( ) : ( ) 4
(27)V n 4: T $NG GIAO GI%A HAI TH
D+ng 1: T,-ng giao gi.a hai th ( ) :F y= f x( ) ( ) :G y=g x( )
Ph,-ng pháp:
B c 1: L p ph ng trình hoành giao i m c a (F) (G): f x( )=g x( ) (*)
B c 2: S nghi m c a (*) b ng s i m chung c a (F) (G)
+) (*) có n nghi m n phân bi t: (F) (G) c t t i n i m phân bi t
+) (*) có n nghi m b i phân bi t: (F) (G) ti p xúc t i n i m phân bi t
+) (*) vơ nghi m: (F) (G) khơng có i m chung
Bài 1: Tìm m ng th ng (d) c&t hypebol (H) t i hai i m phân bi t Bi t r ng:
a) (d): y=mx+1 (H):
2 4 3
2
x x
y x
+ +
= +
b) (d): y=mx−2m+2
2 2 4
( ) :
2
x x
H y
x
− +
= −
c) ( ) :d y=mx+1 ( ) :
1
x
H y
x + =
−
Bài 2: Tìm m ng th ng y= −mx c&t ( ) :C y= x3+3x2+3m t i hai i m phân bi t
Bài 3: Cho ng cong ( ) : 4 4
C y=x − x + ng th ng ( ) :d y=mx+4 Tìm m (C) (d):
a) C&t t i i m phân bi t
b) C&t t i i m phân bi t có hồnh khơng âm
c) Có nh t m t i m chung d) Không có i m chung
Bài 4: Bi n lu n theo m v trí t ng i gi a ( ) :H y x x
(28)Bài 5: Cho hàm ( 1) ( 3) 3( )
m
y=x − m+ x + m +m− x−m + C #nh m (Cm) c&t Ox t i:
a) Ba i m phân bi t
b) Ba i m phân bi t có hồnh d ng
c) Ba i m phân bi t ó có úng hai i m có hồnh âm
Bài 6: #nh m (Cm) :y=x3−3mx2+m c&t tr c hoành t i ba i m phân bi t
Chú ý:Cho y= f x( ) ( )C hàm b c ba Tr c hoành c t (C) t i ba i m phân bi t
1
1
( ) co nghiem phan biet , ( ) ( )
f x x x
f x f x
′ =
⇔
<
Bài 7: #nh m (Cm) :y=x3−x2+18mx−2m c&t Ox t i ba i m phân bi t có hồnh d ng
Chú ý: Cho ( ) : ( 0)
C y=ax +bx +cx+d a≠ Khi ó, Ox c&t (C) t i ba i m phân bi t có
hồnh d ng
1
1
( ) co nghiem phan biet ( ) ( )
(0)
f x x x
f x f x af
′ = < <
⇔ <
<
Bài 8: Cho ( ) : 3 1
C y=x − x+ ( ) :P y=3mx2−3m x2 +m2 #nh m (C) (P) c&t t i ba
i m phân bi t có hồnh d ng
Bài 9: Ch ng minh r ng ng th ng ( ) :d y= − +x m c&t ( ) :
2
x
H y
x + =
+ t i hai i m A, B
phân bi t Tìm m o n AB ng&n nh t
Bài 10: Tìm m
2
( ) :
1
m
mx x m
H y
x + + =
− c&t Ox t i hai i m phân bi t có hồnh d ng
Bài 11: Tìmm ( ) :d y=mx+3 c&t ( ) :
1
x
H y
x + =
− t i i m A, B cho ∆OAB vuông t i O
Bài 12: #nh m ( ) :d y=m c&t
2 2 5
( ) :
1
x x
H y
x
− + −
=
− t i hai i m A, B cho ∆OAB có di n
tích b ng ( vdt)
Chú ý: N u x x x1, ,2 3 ba nghi m c a
1
1 3
1
b
x x x
a c
x x x x x x
a d
x x x a
+ + = −
+ + =
(29)Bài 13: #nh m (Cm) :y=x3−3x2−9x+m c&t Ox t i i m phân bi t có hồnh l p thành
m t c p s c ng
Bài 14: Cho ( ) : 3 4
m
C y=x − mx + m Tìm m ( ) :d y=x c&t (Cm) t i ba i m phân bi t A, B, C cho AB=BC
Bài 15: Tìm m (Cm) :y=x4−2mx2+2m−1 c&t Ox t i b n i m phân bi t có hồnh l p thành
m t c p s c ng
Bài 15: Tìm m hai ng cong ( ) :C y=x4 ( ) :P y=2(m+4)x2−m2−8 c&t t i b n
i m A, B, C, D cho AB=BC=CD
Bài 16: #nh m ph ng trình x3+mx2− =1 có nghi m nh t
D+ng 2: S ti p xúc gi.a hai th ( ) :F y= f x( ) ( ) :G y= g x( )
Ph,-ng pháp:
Cách 1: ( )F ( )G ti p xúc ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
= ⇔
′ = ′ (I) có nghi m x
Cách 2: ( )F ( )G ti p xúc ⇔ f x( )=g x( )(II) có nghi m kép (b i)
Chú ý: Hồnh ti p i m nghi m c a (I) ho'c (II)
Dùng cách ph ng trình hồnh b c ho'c có th a c v d ng b c
Ngoài ra, dùng cách
BÀI T P
Bài 1: Tìm m cho:
a) ( ) :d y=m ti p xúc v i
2 3 2 1
( ) :
2
mx mx m
H y
x
+ + +
=
+
b) ( ) :d y=m+4 ti p xúc v i
2 (2 1) 3
( ) : ( 1)
2
mx m x m
H y m
x
+ + + +
= ≠ −
+
c) ( ) : 2 ( 1)
C y=x − x − m− x+m ti p xúc v i Ox
d) ( ) : 9
C y=x − x ( ) : 9
(30)Bài 2: Tìm m cho:
a) ( ) : 2 3( 3) 18 8
C y= x − m+ x + mx− ti p xúc v i Ox
b) ( ) :d y=1 ti p xúc v i ( ) : 4 6( 2) 24 9
m
C y= x − m+ x + mx−
c)
2 1
( ) :
1
x x
H y
x − + =
−
2
( ) :P y=x +m ti p xúc
d)
2 2 2
( ) :
1
x x
H y
x
+ +
=
+
2
( ) :P y= −x +m ti p xúc
V n 5: BI)N LU N S NGHI)M C A PH $NG TRÌNH B/NG TH
Bài toán: Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình F x m( , ) 0= (*) b ng " th
H, ng gi i: Ta ã bi t “S nghi m c a ph ng trình f x( )=g x( ) b ng s i m chung c a hai " th ( ) :F y= f x( ) ( ) :G y=g x( )”, ó, gi i lo i ta tìm cách bi n i (*) v
d ng ph ng trình hồnh giao i m c a nh ng " th thích h p, sau ó v& " th r"i t!
" th a k t lu n
D+ng 1: F x m( , ) 0= ⇔ f x( )=h m( )
Ph,-ng pháp:
B c 1: Kh ng nh s nghi m c a (*) b ng s i m chung c a ng th ng ( ) :d y=h m( )
và ng ( ) :C y= f x( )
B c 2: V& ( ) :C y= f x( ) ( ) :d y=h m( ) m t h tr c t a
B c 3: Nhìn vào " th k t lu n
BÀI T P
Bài 1: Cho hàm 3 1
y=x − x+ có th (C)
a) Kh o sát hàm s
(31)Bài 2: Cho hàm
2
1
x y
x =
+ có th (H)
a) Kh o sát hàm s
b) Dùng (H) bi n lu n s nghi m c a ph ng trình : x2−mx−m=0 Bài 3: Tìm m x4−x2−2m+ =2 có nghi m phân bi t
Bài 4: Cho hàm
2 2 1
1
x x
y x
− +
=
+ có th (H)
a) V" (H)
b) Tìm m ph ng trình cos2t−(2+m) cost−m+ =1 có nghi m
D+ng 2: F x m( , ) 0= ⇔ f x( )=kx+m , k h ng s
Ph,-ng pháp:
B c 1: Kh ng nh s nghi m c a (*) b ng s i m chung c a ng th ng
( ) :d y=kx+m ng ( ) :C y= f x( )
B c 2: V& ( ) :C y= f x( ) ti p n c a (C) có h s góc k m t h tr c t a
B c 3: Nhìn vào " th k t lu n
BÀI T P
Bài 1: Cho hàm
2
x y
x − + =
− (H)
a) Kh o sát hàm s
b) L p ph ng trình ti p n v i (H) bi t ti p n song song v i phân giác góc ph n t
th th
c) D a vào (H) bi n lu n s nghi m c a ph ng trình 2x2−2(m+1)x+m+ =3
Bài 2: Cho hàm 2
y=x − x +x
a) Kh o sát hàm s
(32)V n 6: I#M C NH C A H0 TH
Ph,-ng pháp: Cho h ng cong (Cm) :y= f x m v i m tham s i m ( , ) A x y( , )o o Ta có:
( m) o ( , )o
A∈ C ⇔ y = f x m (*)
Xem (*) ph ng trình -n m Khi ó, ta k t lu n:
(*) vơ nghi m m: Khơng có " th c a h (Cm) qua A
(*) có úng n nghi m: Có úng n ng h (Cm) qua A
(*) nghi m úng v i m i m: M i ng cong h (Cm) u qua A Ta g i A i m
c nh c a h (Cm)
BÀI T P
Bài 1: Tìm i m c nh c a h th sau:
a) ( ) : ( 1) (2 ) 1
m
C y=mx − m− x − +m x+m−
b) ( ) : (1 ) (3 1) 5 2
m
C y= −m x − m− x+ m−
c)
2 3 2 1
( ) :
2
m
mx mx m
H y
x
+ + +
=
+ d)
2 ( 1) 1
( ) :
2
m
mx m x
H y
mx
+ + +
=
+
Bài 2: Ch ng minh r ng:
a) ( ) : 2 4 2
m
C y=x +m x +mx− m − m i qua m t i m c nh
b) (Hm) :y (m 1)x
x m
− −
=
− i qua hai i m c nh v i m i m≠ −1 m≠2
Bài 3: Ch ng minh r ng ( ) : ( 1) 2
m
C y=x + m− x − mx+m ti p xúc v i m t i m c nh t i
m t i m c nh
Bài 4: Ch ng minh r ng (Hm) :y 2x2 (1 m x) m
x m
+ − + +
=
(33)Bài 5: Cho h ng cong ( ) : ( 1) 4
m
C y=x + m + x − m Tìm ( ) :d x=2 nh ng i m M mà:
a) Qua M có nh t m t ng cong h (Cm) i qua
b) Qua M có hai ng cong h (Cm) i qua
c) Qua M khơng có ng cong h (Cm) i qua
Bài 6: Cho h ( ) : 2 2 2 4 0
m
C xy− my− mx+ m − m= Tìm nh ng i m M cho:
a) Có úng m t (Cm) i qua b) Có úng hai (Cm) i qua c) Khơng có (Cm) i qua
Bài 7: Tìm ( ) :d x=1nh ng i m mà th c a h
2
(3 1) ( m) :
m x m m
H y
x m
+ − +
=
+
i qua
Bài 8: Cho ( ) : 2 1
m
C y=x +m x− m+ Tìm ( ) :d x=1nh ng i m mà có nh t m t th
c a h (Cm) i qua
Bài 9: Ch ng minh r ng h parabol ( ) : 2( 1) 1
m
P y=mx − m− x+m+ ti p xúc t i m t
i m c nh
V n 7: QU1 TÍCH I S
Ph,-ng pháp: tìm qu tích i m M x y th( ; ) $a i u ki n cho tr c ta th c hi n b c sau:
B c 1: T! i u ki n cho tr c tìm t a M theo tham s , ch ng h n
( ) :
( )
x f m
M
y g m
= =
B c 2: Kh# tham s h ta c ph ng trình hai -n x, y c l p v i m, ch ng
h n F x y( , ) 0= Khi ó, M∈( ) : ( , )L F x y
B c 3: Tìm gi i h n (n u có)
(34)Chú ý: I trung i m o n AB
2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
+ = ⇔
+ =
M chia o n AB theo t( s k ≠1
1
A B
M
A B
M
x kx
x
k
MA kMB
y ky
y
k − =
−
⇔ = ⇔
− =
−
:
( )
x a
M
y g m
=
= M n m ng th ng x = a
( ) : x f m
M
y a
=
= M n m ng th ng y = a
BÀI T P
Bài 1: Cho hàm s 4( )
1
x
y H
x + =
+
a) Kh o sát hàm s
b) Tìm m ng th ng ( ) :d y= −2x+m c&t (H) t i hai i m phân bi t A, B Khi ó, tìm
qu) tích trung i m I c a o n AB
Bài 2: Cho hàm
2 6
( )
x mx
y H
x m
− −
=
+ Tìm m (H) m t hypebol tìm qu) tích tâm i x ng
c a hypebol ó
Bài 3: Tìm qu) tích tâm i x ng c a (Cm) :y=2x3−3(m−2)x2−(m−1)x+m
Bài 4: Cho hàm
2 3
( )
x x m
y H
x
− +
=
− Xác nh m hàm s có c c tr Khi ó, tìm qu) tích i m
c c i c a (H)
Bài 5: Cho hàm ( 2) ( )
1
x m x
y H
x
+ −
=
−
a) Tìm m hàm s có c c i c c ti u
(35)V n 8: KHO NG CÁCH
C N NH : ( )2 ( )2
A B A B
AB= x −x + y −y
Cho Mo( ; )x yo o ( ) :∆ Ax+By+C=0 Khi ó,
1)
2
0 ( , ) o o
o
Ax By C
d M
A B
+ + =
∆ =
+
2) 'c bi t: (d M Oxo, )= xo , (d M Oyo, )= yo
BÀI T P
Bài 1: Tìm m
2 2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+ có c c i, c c ti u kho ng cách t hai i m ó t i ng
th ng ( ) :∆ x+ + =y b ng
Bài 2: Cho hàm 2( )
3
x
y H
x + =
− Tìm (H) nh ng i m cho kho ng cách t n hai ti m
c n b ng
Bài 3: Cho hàm
2 5 15
( )
x x
y H
x
+ +
=
+
a) Tìm ti m c n c a (H)
b) Ch ng minh r ng tích kho ng cách t m t M∈( )H b t k n hai ti m c n h ng s c) Tìm M∈( )H cho t*ng kho ng cách t ó n hai ti m c n nh! nh t
d) Tìm M∈( )H cách u Ox Oy
e) Tìm i m (H) cho kho ng cách t n Ox g p hai l n kho ng cách t
(36)V n 9: M(T S BÀI TRONG THI I H0C VÀ CAO 2NG
Bài (Kh i A – 2010 – i m) Cho hàm y=x3−2x2+(1−m x) +m C( m), m tham s th c
a) Kh o sát s bi n thiên v" th hàm s m =
b) Tìm m (Cm) c&t tr c hồnh t i ba i m phân bi t có hồnh x x x1, ,2 3 th!a mãn i u
ki n 2
1
x +x +x <
Bài (Kh i B – 2010 – i m) Cho hàm 1( )
1
x
y H
x + =
+
a) Kh o sát hàm s ã cho
b) Tìm m ng th ng ( ) :d y= −2x+m c&t (H) t i hai i m phân bi t A, B cho tam
giác OAB có di n tích b ng (O g c t a )
Bài (Kh i D – 2010 – i m) Cho hàm s y= −x4−x2+6( )C
a) Kh o sát hàm s ã cho
b) Vi t ph ng trình ti p n c a (C), bi t ti p n vng góc v i ( ) : 1
6
d y= x−
Bài (C – 2010 – i m) Cho hàm y=x3+3x2−1( )C
a) Kh o sát hàm s ã cho
b) ) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) t i i m có hồnh b ng –
Bài (Kh i A – 2009 – i m) Cho hàm ( )
2
x
y H
x + =
+
a) Kh o sát s bi n thiên v" (H)
b) Vi t ph ng trình ti p n v i (H), bi t ti p n ó c&t tr c tung, tr c hồnh l n l t
t i hai i m phân bi t A, B tam giác OAB cân t i g c t a O
Bài (Kh i B – 2009 – i m) Cho hàm y=2x4−4 ( )x C2
a) Kh o sát hàm s
(37)Bài (Kh i D – 2009 – i m) Cho hàm s y=x4−(3m+2)x2+2 (m Cm), m tham s th c
a) Kh o sát hàm s kho m =
b) Tìm m ng th ng y = - c&t (Cm) t i i m phân bi t u có hồnh nhị h n
Bài (C – 2009 – i m) Cho hàm y=x3−(2m−1)x2+(2−m x) +2 (Cm), m tham s th c
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm m hàm s có c c i, c c ti u i m c c tr c a (Cm) có hồnh d ng
Bài (Kh i A – 2008 – i m) Cho hàm
2 (3 2) 2
( )
3 m
mx m x
y H
x m
+ − −
=
+ , m tham s th c
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm giá tr c a m góc gi a hai ng ti m c n c a (Hm) b ng 45o
Bài 10 (Kh i B – 2008 – i m) Cho hàm s y=4x3−6x2+1( )C
a) Kh o sát hàm s
b) Vi t ph ng trình ti p n c a th (C), bi t ti p n qua M( 1; 9)− −
Bài 11 (Kh i D – 2008 – i m) Cho hàm s y=x3−3x2+4( )C
a) Kh o sát hàm s
b) Ch ng mih r ng m i ng th ng i qua (1; 2)I v i h s góc k (k > - 3) u c&t (C) t i
ba i m phân bi t I, A, B ng th i I trung i m AB
Bài 12 (C – 2008 – i m) Cho hàm s ( )
1
x
y H
x =
−
a) Kh o sát hàm s
b) Tìm m ng th ng ( ) :d y= − +x m c&t (H) t i hai i m phân bi t
Bài 13 (Kh i A – 2007 – i m) Cho hàm
2 2( 1) 4
( )
2 m
x m x m m
y H
x
+ + + +
=
+ , m tham s th c
a) Kh o sát hàm s m = -
b) Tìm m hàm s có c c tr ng th i i m c c tr c a (Hm) v i g c t a O
(38)Bài 14 (Kh i B – 2007 – i m) Cho hàm s y= −x3+3x2+3(m2−1)x−3m2−1(Cm), m tham s
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm m hàm s có c c i, c c ti u i m c c tr c a (Cm) cách u g c t a
Bài 15 (Kh i D – 2007 – i m) Cho hàm ( )
1
x
y H
x =
+
a) Kh o sát hàm s
b) Tìm M∈( )H , bi t ti p n c a (H) t i M c&t Ox, Oy t i A, B tam giác OAB có di n
tích b ng
Bài 16 (Kh i A – 2006 – i m) Cho hàm s y=2x3−9x2+12x−4( )C
a) Kh o sát hàm s
b) Tìm m ph ng trình x3−9x2+12x =m có nghi m phân bi t
Bài 17 (Kh i B – 2006 – i m) Cho hàm s
2 1
( )
x x
y H
x + − =
+
a) Kh o sát hàm s
b) Vi t ph ng trình ti p n c a (H), bi t ti p n vng góc v i ti m c n xiên c a (H)
Bài 18 (Kh i D – 2006 – i m) Cho hàm s y=x3−3x+2( )C
a) Kh o sát hàm s
b) G i (d) ng th ng qua A(3; 20) có h s góc m Tìm m ng th ng (d) c&t (C)
t i i m phân bi t
Bài 19 (Kh i A – 2005 – i m) Cho hàm s y mx 1(Hm) x
= + , m tham s
a) Kh o sát hàm s
m=
b) Tìm m hàm s có c c tr kho ng cách t i m c c ti u c a (Hm) n ti m c n xiên
(39)Bài 20 (Kh i B – 2005 – i m) Cho hàm s
2 ( 1) 1
( )
1 m
x m x m
y H
x
+ + + +
=
+ , m tham s
a) Kh o sát hàm s m =
b) Ch ng minh r ng v i m i m, (Hm) ln có c c i, c c ti u kho ng cách gi a hai
i m ó b ng 20
Bài 21 (Kh i D – 2005 – i m) Cho hàm 1( )
3 m m
y= x − x + C , m tham s
a) Kh o sát hàm s m =
b) G i M i m thu c (Cm) có hồnh b ng – Tìm m ti p n c a (Cm) t i M
song song v i ng th ng ( ) : 5d x− =y
Bài 22 (Kh i A – 2004 – i m) Cho hàm
2 3 3
( ) 2( 1)
x x
y H
x
− + −
=
−
a) Kh o sát hàm s
b) Tìm m ng th ng y=m c&t (H) t i hai i m A, B cho AB =
Bài 23 (Kh i B – 2004 – i m) Cho hàm s 2 ( )
3
y= x − x + x C
a) Kh o sát hàm s
b) Vi t ph ng trình ti p n (d) c a (C) t i i m u n ch ng minh r ng (d) ti p
tuy n có h s góc nh! nh t
Bài 24 (Kh i D – 2004 – i m) Cho hàm s y=x3−3mx2+9x+1(Cm), m tham s
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm m i m u n c a (Cm) thu c ng th ng y = x +
Bài 25 (Kh i A – 2003 – i m) Cho hàm s
2
( ) m
mx x m
y H
x + + =
−
a) Kh o sát hàm s m = -
(40)Bài 26 (Kh i B – 2003 – i m) Cho hàm s y= x3−3x2+m C( m), m tham s
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm m (Cm) có hai i m phân bi t i x ng qua g c t a
Bài 27 (Kh i D – 2003 – i m) Cho hàm s
2 2 4
( )
x x
y H
x
− +
= −
a) Kh o sát hàm s
b) Tìm m ng th ng ( ) :dm y=mx+ −2 2m c&t (H) t i hai i m phân bi t
Bài 28 (Kh i A – 2002 – 2,5 i m) Cho hàm s y= −x3+3mx2+3(1−m x2) +m3−m C2( m)
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm k ph ng trình −x3+3x2+k3−3k2=0 có ba nghi m phân bi t c) Vi t ph ng trình ng th ng qua hai i m c c tr c a (Cm)
Bài 29 (Kh i B – 2002 – i m) Cho hàm s y=mx4+(m2−9)x2+10(Cm), m tham s th c
a) Kh o sát hàm s m =
b) Tìm m hàm s có ba i m c c tr
Bài 30 (Kh i D – 2002 – i m) Cho hàm s
2
(2 1)
( )
1 m
m x m
y H
x
− −
=
−
a) Kh o sát hàm s m = -