Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö.[r]
(1)I Ph ơng pháp giải số ph ơng trình bậc cao đặc biệt 1 Ph ơng trình tam thức : phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = (a ≠ 0) (*)
Phơng pháp giải: đặt y = xn ta đa dạng ay2 + by + c = 0
L
u ý : Với n = phơng trình (*) có dạng: ax4 + bx2 + c = ( a≠ 0) đợc gọi phng
trình trùng phơng.
VD1: Giải phơng trình: x4 -10x2 + 24 = (phơng trình trùng phơng) (1)
Giải: đặt x2 = y x2 ≥ nên y ≥ phơng trình có dạng: y2 - 10y + 24 = 0(1’)
=(-5)2 -1.24 = 25 - 24 = phơng trình (1)có nghiƯm ph©n biƯt :
y1 = - 1= (tho¶ m·n); y2 = + = ( tho¶ m·n)
y1 = => x2 = => x1 = 2; x2 = -2
y2 = => x2 = => x3 6; x4
Vậy phơng trình (1) có nghiÖm: x1 = 2; x2 = -2; x3 = ; x4 = -
VD2 Giải phơng trình: -2x4 + 15x2 + 27 = (phơng trình trùng phơng) (2)
Giải: -2x4 + 15x2 + 27 = 2x2 – 15x – 27 = 0
đặt x2 = y x2 ≥ nên y ≥ phơng trình có dạng: 2y2 - 15y - 27 = (2’)
= 152 - 4.2.(-27) = 225 + 216 = 441 => =21 phơng trình (2) có nghiệm:
2
2 21 15
1
y (loại không thoả mÃn điều kiện);
2
21 15
2
y (thoả mÃn điều kiện)
y2 = => x2 = => x1 = 3; x2 = -3
Vậy phơng trình (2) có nghiệm là: x1 = 3; x2 = -3
VD3: Giải phơng trình: x4 + 15 19
x +
5
= (3) 15x4 + 19x2 + = 0
Giải: Đặt y = x2 Điều kiện y ≥ phơng trình có dạng : 15y2 + 19y + = (3’)
= 192 – 4.15.6 = 1; 1
phơng trình có nghiệm
y1 =
5 30
1 19
(lo¹i); y2 =
3 30
1 19
(loại) Vậy phơng trình (3) vô nghiệm
VD4: Giải phơng trình: x6 - 9x3 + = (4)
Giải: Đặt y = x3 PT(4) có dạng: y2 - 9y + = (4’)
V× + (-9) + = nªn pt(4') cã nghiƯm y
1 = 1; y2 =
y1 = => x3 = x = 1;
y2 = => x3 = x =
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = ; x2 =
Lu ý: Nếu phơng trình có tổng hệ số phơng trình lu«n cã mét nghiƯm b»ng 1.
Bài tập đề ngh:
Giải phơng trình sau:
a 2x4 - 8x2 + = 0; x6 - 5x3 - = 0; - 2x4 + 7x2 - = ; 6x12 – x6 - = 0
b x6 + x4 + x2 = 0;5x4 – 13x2 + = 0; x6 -
2
x3 +
3 25
=
2 Ph ơng trình đối xứng : phơng trình anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = (an 0) gọi phơng
trình đối xứng hệ số số hạng cách số hạng đầu cuối nhau, nghĩa là: an = a0
an-1 = a1
an-2 = a2
L
u ý: Nếu a nghiệm phơng trình đối xứng
a
nghiệm phơng trình đó.
2.1 Ph ơng trình đối xứng bậc chẵn : phơng trình có dạng: a2nx2n + a2n-1x2n-1 + + a1x + a0 = (a2n 0)
(2)a2n-1= a1
Phơng pháp giải:Vì x = khơng phải nghiệm phơng trình, nên ta chia vế phơng trình cho xn Sau đặt y = x +
x
V× 1 2
x
x nên y phải có điều kiện /y/ 2
VD 5: Giải phơng tr×nh: x4 + 2x3 - 13x2 + 2x+ = (5)
Giải: Ta thấy x = khơng phải nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình (5) cho x2 ta đợc: x2 + 2x - 13 +2 0
2 x x ) ' ( 13 13 2 2 2 x x x x x x x x
Đặt y = x +
x
1 ®iỊu kiƯn |y| ≥ 2
Ta cã: 1 1 2
2 2 y x x x x x x x x
PT(5’) cã d¹ng: y2 + 2y - 15 = 0; 11516
phơng trình có nghiệm:y1 = -1 - = -5 (tho¶ m·n); y2 = -1 + = (tho¶ m·n)
+ y1 = -5 => x +
x
= -5 =>x2 + 5x +1 =
= 25 - = 21 phơng trình có nghiệm:
2 21 21
; x
x
+ y2 = => x +
x
= => x2 - 3x +1 = ;
XÐt = (-3)2 - = Phơng trình có nghiệm:
2 5
; x
x
Vậy phơng trình (5) có nghiƯm lµ: 21 21
; x
x ; 5
; x
x
VD6: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 4x2 -3x+ = 0
Giải: x= nghiệm nên ta chia vế phơng trình cho x2 ta đợc: 2 x x x x
Đặt y = x +
x
1 víi |y| ≥2 th×
2 1 2 2 y x x x x
ta đợc: y2 - 3y + =
=> y1 = (lo¹i) ; y2 = (tho¶ m·n)
Víi y2 = => x +
x
= =>x2 -2x + = <=>(x- 1)2 = <=> x =1
Vậy phơng trình có nghiệm : x =
VD7 Giải phơng trình 2x4 5x3 + 13x2 – 5x + = (7)
Giải: Vì x = khơng phải nghiệm phơng trình nên ta chia vế cho x2 ta đợc:
13
2 2
x x x
(3)Đặt y = x +
x
1 víi |y| ≥2 th×
2
1
1
2
2
y
x x x x
Phơng trình (7) cã d¹ng 2(y2 -2) - 5y +13 = 2y2 – 5y + = (7’’)
= (-5)2 – 4.2.9 = 25 – 72 =-47 <
Phơng trình (7) vô nghiệm Vậy phơng trình (7) vô nghiệm
VD x6 -3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1= (8)
Giải: Vì x = khơng phải nghiệm phơng trình nên ta chia vế cho x3 ta đợc:
7
1
2
3
x x x
x x
x (8)
Đặt y = x +
x
1 víi |y| ≥2
th× 1 2
2
2
y
x x x x
y y
x x x x x x x
x 1 1 3
3
3
Thay vào pt(8’) ta đợc: y3 - 3y - 3(y2 - 2) + 6y - = 0
y3 -3y2 + 3y -1 = 0
(y - 1)3 = 0
y = loại Vậy phơng trình (8) vô nghiệm
2.2 Ph ơng trình đối xứng bậc lẻ : có dạng: a2n+1x2n+1 + a2nx2n + + a1x + a0 =
Trong đó: a2n+1 = a0
a2n = a1
a2n-1 = a2
Ph¬ng pháp giải:
Phng trỡnh i xng bc l luụn có nghiệm -1 nên vế trái phơng trình bậc lẻ chia hết cho x + 1.
L
u ý : Khi chia vế phơng trình đối xứng bậc lẻ ẩn số x cho x+ ta đợc phơng trình đối xứng bc chn.
VD9: Giải phơng trình: 2x3 + 7x2 + 7x + = (9)
Giải: 2x3 + 7x2 + 7x + = (Đây pt đối xứng bậc lẻ nên có nghiệm -1)
(x + 1)(2x2 + 5x + 2) =
(x + 1)(x + 2)(2x + 1) =
Phơng trình (9) cã nghiƯm lµ: x1 = -1; x2 = -2; x3 =
2
VD10: Giải phơng tr×nh: x5 + 3x4 -11x3 -11x2 + 3x + = (10)
Gi¶i: (x +1)(x4 + 2x3 -13x2 +2x +1) = 0
) '' 10 ( 13
) ' 10 (
1
2
4 x x x
x x
Giải phơng trình (10’) ta đợc x = -1
Giải phơng trình (10’’): ta thấy phơng trình (10’’) phơng trình đối xứng bậc chẵn có nghiệm:
2 21
21
2
; x
x ;
2
5
4
; x
x (đã giải VD5).
Vậy phơng trình (10) có nghiệm:
2 21
21
2
; x
x ;
2
x ; x5 = -1
VD11: Giải phơng trình: x5 - 2x4 +x3 + x2- 2x + = 0
(x + 1)(x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1) = (*)
;
5 3
(4)
) '' 11 (
) ' 11 (
1
2
4 x x x x
x
Giải phơng trình (11’) ta đợc x = -1
Giải phơng trình (11’’): ta thấy phơng trình (2) phơng trình đối xứng bậc chẵn có nghiệm x = (Đã giải VD6 )
Vậy phơng trình (11) có hai nghiệm là: x1 = -1; x2 =
VD 12: Giải phơng trình: x7 - 2x6 + 3x5 -x4 -x3+3x2 - 2x +1 = (12)
Gi¶i: x7 - 2x6 + 3x5 -x4 -x3+3x2 - 2x +1 = 0
(x + 1)(x6 -3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0
) '' 12 (
) ' 12 (
1
2
6 x x x x x
x x
Phơng trình (12’) có nghiệm x = -1 Phơng trình (12’’) vơ nghiệm (đã giải VD8) Vậy phơng trình (12) có nghiệm x = -1
Bài tập đề nghị: Giải phơng trình sau:
a x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + =
b x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = 0
c x4 - x3 - x + = 0
d x5 - 3x4 + 6x3 + 6x2 - 3x + =
e x4 – 3x3 + 6x2 + 3x +1 ( §Ị thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- TP Hồ Chí Minh)
f x4 + 2x3 – 6x2 + 2x +1 = (Thi chuyên A- Bùi Thị Xuân TP Hå ChÝ Minh)
g x5 – 5x4 + 4x3 + 4x2 -5x +1 = 0
h x6 - 5x3 + 4x2 - 5x + = 0
3 Ph ơng trình có dạng: (x + a)4 + (x + b) = c4 Phơng pháp giải: Ta đặt xab y
2 ; råi ®a vỊ phơng trình trùng phơng Tuy nhiên trờng
hp (a + b)2 ta thờng đặt y = x + a y = x + b
VD 11: Giải phơng trình: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2
Giải: Đặt x + = y phơng trình cho có dạng: (y -1)4 + (y +1)4 =2
y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1+ y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1-2 = 0
2y4 + 12y2 = 2y2(y2 + 6)= y =
y = => x+ = <=> x = - Vậy phơng trình có nghiệm là: x = -
VD 12: Giải phơng trình (x 2)4 + (x 3)4 = 1
Giải: Đặt x – = y => x – = y + phơng trình cho có dạng: (1 + y)4 + y4 = 1
y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 = 1
2y4 + 4y3 + 6y2 + 4y = 0
2y( y3 + 2y2 + 3y + 2) = 0
2y(y + 1)(y2 + y + 2) = 0
y = hc y = -1 y = => x -3 = x = y = -1 => x – = -1 x = -2
Vậy phơng trình có hai nghiƯm lµ: x1 = 3; x2 = -2
Bài tập đề nghị
a x4 + (x - 1)4 = 97
b (x – 2)4 + (x - 6)4 = 82
c (x – 5)2 + (x – 2)4 = 17
II Mét sè ph ơng pháp giải ph ơng trình bậc cao khác
(5)Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nh: Đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng đẳng thức, thêm bớt hạng tử, tách hạng tử, thử nghiệm…; Sau tôi chỉ trình bày phơng pháp thờng sử dụng q trình giải phơng trình bậc cao
1.1 Ph©n tích vế trái thành nhân tử ph ơng pháp thử nghiệm
Cơ sở phơng pháp là: phơng trình anxn +an-1xn-1+ +a1x + a0 = 0
có hệ số hữu tỉ (ai Q i 1;n) đa đợc phơng trình có h s nguyờn.
Định lý: Nếu phơng trình anxn +an-1xn-1+ +a1x + a0 = (1) (ai Z i 1;n) có nghiệm hữu tỉ nghiệm có dạng x =
q p
(trong : p ớc a0; q ớc an)
Hệ 1: Mỗi nghiệm nguyên có phơng trình (1) ớc a0
Hệ 2: Nếu an = 1 nghiệm hữu tỉ (1) u nguyờn
VD 13: Giải phơng trình: x3 +6x2 + 2x + 12 = 0
Nhận xét: Ta có an = 1; a0 =12 Nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải ớc
của 12 Các ớc 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12
Lần lợt thay giá trị vào phơng trình ta thấy x = nghiệm PT
Giải: x3 +6x2 + 2x + 12 = 0
(x+6)(x2 +2) = 0
x + = (v× x2 + > víi mäi x)
x = -
Vậy phơng trình có nghiệm là: x1 = -
VD 14: Giải phơng trình: x4 + x3 - 7x2 - x + = 0
Nhận xét: Ta có an = 1; a0 = Nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải ớc của
6 C¸c íc cđa là: 1; 2; 3; 6
Lần lợt thay giá trị vào phơng trình ta thấy x= 1; x=-1; x= 2; x= -3 lµ nghiƯm cđa ph-ơng trình.
Giải: x4 + x3 - 7x2 - x + = 0
(x+1)(x-1)(x- 2)(x + 3) =
x+ = hc x - = hc x - = hc x + = x = -1 hc x= hc x = x= -
Vậy phơng trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 = -1; x3 = 2; x4 = -3
VD 15: Giải phơng trình: 2x3 + x2 - 7x + =
NhËn xÐt: Ta cã an = 2; a0 =3
Các ớc là: 1; 2, Các ớc là: 1; 2; 3
Nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải thơng phép chia ớc cho ớc của Nh vậy, nghiệm là: 1; 2; 3;
2
;
Lần lợt thay vào ta thấy phơng trình có nghiệm hữu tỉ x =
2
Gi¶i: 2x3 + x2 - 7x + =
(2x -1)(x2 + x - 3) = 0
) ( x
x
) ( x
2
1
1
2
gi¶i PT(1): 2x -1 = 0 x =
2
gi¶i PT(2): x2 + x - = 0
XÐt = 12 -4.(-3) = 13 phơng trình(2) có nghiệm phân biệt:
2 13
13
2
; x
x Vậy
phơng trình có nghiệm :
2 13 ;
2 13
2
x
x ; x3 =
2 VD 16: tìm nghiệm nguyên phơng trình x3 + x2 + = 0
(6)Víi x =1 ta cã 13 + 12 + = => x = lµ nghiƯm
Víi x = -1 ta cã (-1)3 + (-1)2 + = ≠ => x = -1 nghiệm
Vậy phơng trình nghiệm nguyên
L
u ý : Nếu a0 lớn nhiều ớc số việc tìm nghiệm nguyên phơng trình gặp nhiều khó khăn
ta cú th da vo du hiu sau gim bt phộp th:
Định lý: Nếu 0là nghiƯm cđa ®a thøc P(x) = anxn +an-1xn-1+ +a1x +a0 víi
ai Z i 1;n Khi
1 1
1
) ( P vµ ) ( P
nguyên
VD 17: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x4 + 2x3 - 4x2 - 5x - = (*)
Nhận xét: Nếu (*) có nghiệm ngun nghiệm phải ớc Các ớc là: 1;
2; 3; 6
x -1 -2 -3 -6
1
) ( P
-12 -6
5 12
7 12
1
) ( P
-2
2
2
3
Thay x= vµ x= -3 vào pt(*) ta thấy thoả mÃn Vậy phơng trình (*) có nghiệm nguyên x = x = -3
Chú ý: Việc tìm nghiệm hữu tỉ phơng trình: anxn +an-1xn-1+ +a1x + a0 = (1)
thờng đợc đa tìm nghiệm nguyên phơng trình:xn +a
n-1 xn-1+ +a1x + a0 = (2)
Chúng ta chuyển từ (1) sang (2) cách nhân vế phơng trình (1) với ann-1 (1)
trë thµnh (1'): a
nnxn +an-1.ann-1 xn-1+ +a1.ann-1x + ann-1.a0 = 0
Đặt y=anx (1') trở thành: yn +an-1 yn-1+ +a1.ann-2y + ann-1.a0 = 0 VD 18: T×m nghiƯm hữu tỉ phơng trình: 2x3 + x2 - 7x + = (1)
Giải: Nhân vế phơng trình với 22 ta đợc: 23x3 + 22x2 - 7.22x + 3.22 = 0
(2x)3 + (2x)2 - 14.(2x) + 12 = 0
Đặt 2x = y phơng trình trở thành: y3 + y2 - 14y + 12 = (2)
Nếu pt(2) có nghiệm hữu tỉ nghiệm phải ớc 12 Các ớc 12 là: 1; 2; 3;
4; 6; 12
P(1) = 0; P(-1) = 24
X -1 -2 -3 -4 -6 12 -12
1
) ( P
0 0 0 0 0
1
) ( P
8 -24 -12
5 24
-8
7 24
5 24
13 24
11 24
Thư víi y=1; y= 2; y = 3; y= - ta thÊy chØ cã y =1 tho¶ m·n y =1 => x =
2
VËy phơng trình có nghiệm hữu tỉ x =
2
1.2 Ph ơng pháp hệ s bt nh
VD 19: Giải phơng trình: x3 -12x + 16 = 0
Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c)
Ta cã: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac
§ång nhÊt hƯ sè ta cã:
4 4 16
12
b c a
ac c ab
b a
(7) 4 x x ) x ( x
VD 20 x3 -4x2 - 4x - = 0
Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c)
Ta cã: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac
§ång nhÊt hƯ sè ta cã: 1 5 4 b c a ac c ab b a
=> x3 - 4x2 - 4x - = <=> (x - 5)(x2 + x + 1) = 0 ) ( x x ) ( x 1
gi¶i pt(1): x - = <=> x =
gi¶i pt(2): x2 + x + = <=> x2 + 2.x.
4
= <=> (x + 2 )
Ta cã: (x + 2
) víi mäi x, nªn (x + 2
) với x nên phơng trình (2) vô nghiệm
Kết luận: Vậy phơng trình có nghiƯm nhÊt x =
VD 21: Gi¶i phơng trình: x4 + 6x3 + 11x2 + 6x +1= (1)
Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+ d)
Ta cã: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd
§ång nhÊt hƯ sè ta cã:
3 11 d c b a bd bc ad ac d b c a
x4 + 6x3 + 11x2 + 6x +1= <=> (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 1) = 0<=>(x2 +3x +1)2 =
<=> x2 + 3x + 1= (2)
0 32
pt (2) cã nghiƯm ph©n biƯt:
2 5
; x
x
Vậy phơng trình (1) có nghiÖm kÐp:
2 5
; x
x
VD 22 2x3 - 5x2 + 8x - = 0
Giải: nhân vế với 22 ta đợc:
(2x)3 - 5.(2x)2 + 8.2.(2x) - 22 = 0
<=>(2x)3 - 5.(2x)2 + 16.(2x) - 12 = 0
Đặt y = 2x ta đợc: y3 - 5y2 + 16y - 12 = 0
Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng:
(y + a)(y2 + by + c) = y3 + (a + b)y2 + (ab + c)y + ac
§ång nhÊt hƯ sè ta cã: 12 12 16 c b a ac c ab b a
VËy y3 - 5y2 + 16y - 12 = <=> (y -1)(y2 - 4y + 12) = <=> ) ( y y ) ( y 12 1
gi¶i pt(1): y - = <=> y =1 y =1 => 2x = => x=
2
(8)(y - 2)2 + > víi mäi y
KÕt ln: Ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm nhÊt x =
2 VD 23 Giải phơng trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
Giải: Nếu vế trái phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+ d)
Ta cã: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd
§ång nhÊt hƯ sè ta cã:
7
14 37
10
d c b a
bd bc ad
ac d b
c a
VËy x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = <=> (x2 -5x +2)(x2 + x - 7) = 0
) ( x
x
) ( x
x
2
1 2
Gi¶i pt(1): x2 -5x + = 0
2 17
17 25
, x
Gi¶i pt(2): x2 + x - = 0
2 29
29 28
, x
Vậy phơng trình có nghiệm:
2 17
,
x ;
2 29
, x
Bài tập đề nghị:
Giải phơng trình a x3 + 2x2 + x - = 0
b 2x3 + 3x + = 0
c x4 + 2x3 + x + = 0
d x4 - 4x2 + 7x – = 0
2 Ph ơng pháp t n ph
VD 24: Giải phơng trình:(x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 = (*)
Giải: Đặt x2 + x = y phơng trình (*) có dạng: y2 + 4y - 12 =
= 22 -1.(12) = 16; = =>y1 = -2 - 4= -6; y2 =-2 + =
y1 = -6 => x2 + x = -6 <=> x2 + x + = (1)
= 12 - 4.6 = - 23 < => pt(1) v« nghiƯm y2 = => x2 + x - = (2)
Phơng trình (2) có nghiệm x1 = 1; x2 = -2
Vậy phơng trình (*) cã nghiÖm: x1 = 1; x2 = -2
VD 25: Giải phơng trình: (x2 + 5x)2 8x(x + 5) - 84 = 0
cách giải: <=>(x2 + 5x)2 - 8(x2 + 5x) - 84 = 0
Đặt x2 + 5x = y
Khi phơng trình có dạng: y2 – 8y - 84 = 0
giải phơng trình ta tìm đợc y => x
VD 26: (x - 7)(x-5)(x-4)(x-2) = 72
Gi¶i: (x - 7)(x-5)(x-4)(x-2) = 72 [(x - 7)(x-2)][(x - 5)(x-4)] =72 (x2 - 9x + 14)(x2 - 9x + 20) = 72
(9) y2 = 81 y =
9 + Víi y = ta cã: x2 - 9x +17 = (1) x2 - 9x + = 0
Phơng trình (1) cã nghiÖm x1 = 1; x2 =
+ Víi y = - ta cã: x2 - 9x + 17 = -9
x2 - 9x + 26 = 0
= 81 - 26 = 81 - 104 =- 23 < => phơng trình (2) vô nghiệm
Vậy phơng trình (*) cã nghiÖm: x1 = 1; x2 =
VD 27 (6x +7)2 (3x +4)(x + 1) = 6
Giải: nhân vế với 12 ta đợc: (6x +7)2 (6x + 8)(6x + 6) = 72
Đặt y = 6x + phơng trình trở thành: y2(y +1)(y - 1) = 72
<=>y2 (y2 - 1) - 72 = 0
<=> y4 - y2 - 72= 0
Đặt y2 = t; t phơng trình trở thành: t2 - t - 72 =
= 12 - 4.(-72) = 289; = 17
8
17
1
t (lo¹i);
2 17
2
t (tho¶ m·n)
víi t2 = => y2 = => y = 3
+ Víi y = => = 6x + <=> x =
3
+ Víi y = - => -3 = 6x + <=> x =
3
Vậy phơng trình có nghiêm: x1 =
3
; x2 =
3 Bi ngh
Giải phơng trình:
a (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b (x - 7)(x - 5)(x - 4)(x - 2) = 72 c (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 d (x2 -3x + 1)(x2 - 3x + 2) =2
e (6x + 7)2 (3x + 4)(x + 1) = 6
f (8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1) = 3,5