Tai lieu on thi TN DH CD

Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành.. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung.[r]

Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số & vẽ đồ thị hàm số

-@@@@ -Chủ đề i : tính đơn điệu hàm số Soạn : 5/9/2009 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hm s

Phơng pháp:

Bc 1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm

 Bớc 2: Tìm điểm mà đạo hàm không xác định  Bớc 3: Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên  Bớc 4: Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y=x3−3x2+5 ; b) y=− x4+2x2−3

c) y=2x −3

x+1 ; d) y=

x2−2x+5 x −1

e) y=√x2−4 Gỵi ý:

a) y=x3−3x2+5

BBT:

x − ∞ +∞ y' + - +

+∞ y

− ∞

Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; 0), (2; +∞ ) nghịch biến khoảng (0; 2) b) y=− x4+2x2−3

D = IR

BBT: x − ∞ -1 +∞ y' + +

-2 -2 y

− ∞ -3 − ∞

Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; -1), ,(0; 1) nghịch biến khoảng (-1; 0), (2; +∞ )

c) y=2x −3 x+1

TX§ : D = IR\ {−1} y'

=

(x+1)2 > ∀x∈D BBT:

x − ∞ -1 +∞ y' + +

+∞

y

− ∞

d) y=x

2−2x

+5 x −1

TX§ : D = IR\ {1} y'

=x

2−2x −3

(x −1)2

y'=0⇔x2−2x −3=0⇔ x=−1

¿ x=3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ BBT:

x − ∞ -1 +∞ y' +

+∞ y

− ∞

Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; 1), (3; +∞ ) nghịch biến khoảng (-1; 1), (1; )

e) y=√x2−4

TX§ : D =(-∞ ; -2] [2 ; +∞) y'= x

√x2−4 Ta cã : y'≠0,∀x∈D

BBT:

x − ∞ -2 +∞ y' - +

+∞ +∞ y

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu mt khong Phng phỏp:

Định lí Viét: NÕu PT bËc hai ax2 + bx +c = (a 0) () cã hai nghiƯm x1, x2 th×: 2

;

b c

S x x P x x

a a

    

 HƯ qu¶:

1) PT (*) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu x1< < x2  P0 2) PT (*) cã hai ngiÖm cïng dÊu

 

1 2

0 0

0

x x x x

P

  

     

 

3) PT (*) cã hai nghiƯm cïng ©m

0

0

0

x x S

P

        

4) PT (*) cã hai nghiƯm cïng d¬ng

1

0

0

0

x x S

P            Nhận xét: Đặt : f(x) = ax2 + bx + c (a 0)

1) f(x) = có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 <  < x2 tức x1  0x2 . Đặt: t x  ,g t  f t  Dẫn đến g t  0 có hai nghiệm trái dấu  Pg 0

2) f(x) = cã hai nghiÖm x1, x2 thoả mÃn x1x2 tức x1 x2  0 g t  0cã hai

nghiÖm cïng ©m

0 0 g g g S P         

3) f x  0cã hai nghiÖm x1, x2 thoả mÃn x1x2tức 0x1 x2

 g t 0cã hai nghiƯm cïng d¬ng

0 0 g g g S P         

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số  

2 1 x mx y x   

 đồng biến khoảng 1; Gợi ý: TXĐ : D\ 1 

Ta cã:  

2

2

2

1

x x m

y

x



Đặt :  

2

f x x  x m

Hàm số (1) đồng biến 1;

     

0, 1; 0, 1;

y x f x x

              0 * f m f x        

 ,(*) có hai nghiệm thoả mãn x1 x2 1 2  Đặt : t = x- 1, g(t) = f(t + 1) áp dụng nhận xét ĐK (2) tơng đơng với

g(t) = t2 m có hai nghiệm không dơng. Tức là:

0

0 0

0 g g g m S m P m             

 Vậy với m  ( ; 0 hàm số (1) đồng biến 1;.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số        

2 3 2

1

2

3

y m x  m x  m x

nghịch biến (-1 ; 0) Gợi ý: TX§: D = R

Ta cã:        

2 2

2

y f x  m x m x m

Hàm số (2) nghịch biÕn trªn (-1 ; 0)

 

0, 1;

y x

    

+ Khi m = 2, ta cã

1 12

12

y  x   x

+ Khi  

2

m  m 

nªn ta cã y   0, x  1; 0  y0cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1,x2 tho¶ m·n     2

x x a

x x b

       

Xét TH (a): Đặt : t = x + 1; g(t) = f(t - 1) theo nhËn xÐt (1) ta cã: y f x( )0 cã hai nghiƯm

x1,x2 tho¶ m·n  

2 2

1 ( ) ( 2) 10 15

x  x  g t  m t  m  m tm  m 

cã hai

nghiÖm t1,t2 tho¶ m·n  

 

2

1 2

3;5 15 0 2 m m m t t m m               

◦ Xét TH (b): tơng tự dẫn đến

 

 2

1 2 m m m m          

KÕt hợp TH, ta có m 1;5 hàm số (3) nghịch biến (-1; 0)

Vớ d 3: Tìm m để hàm số      

3

1

1

3

y mx  m x   m x

nghÞch biÕn ; 2 Gợi ý: TXĐ : D = R Ta cã:      

2

2

y f x mx  m x  m

Hµm số (4) nghịch biến

;  y     0, x  ; 2

+ Khi m = 0, ta cã : y 2x  6 x3tøc x ; 2không thoả m·n y 0loai

+ Khi m0, ta cã



 

0

2

0, ( ;

0 ( ) 0(*) m a m m y x m b y                            

 (*) cã hai nghiƯm tho¶ m·n

1

2 x x

  

◦ Xét TH (a) : dẫn đến

2

2

m 

◦ Xét TH (b) Đặt : t = x + 2, g(t) = f(t - 2), theo nhËn xÐt cã

0

( ) 2(3 1) 10 11

m

g t m m m

  

     

 cã hai nghiÖm 0 t1 t2

 

2

2

10

2

0 11 2

11 10 g g g m m m m m S m m P m                           

KÕt hỵp c¸c TH ta cã

10 ; ) 11

m

hàm số (4) nghịch biến ( ; . Bài Tập:

1) Tìm a để hàm số

3

1

( 1) ( 3)

3

y x  a x  a x

2) Tìm m để hàm số

2

2

2

x mx m

y

x m

 



 đồng biến khoảng (1;).

3) Tìm m để hàm số yx3 3(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến khoảng (  ; 1) (2;)

4) Tìm giátrị m cho hàm số : f(x) = x3 – 3x2 + 3mx -1 a) §ång biÕn trªn TX§ cđa nã

b) §ång biÕn khoảng (2; +) c) Nghịch biến khoảng (0; 3) Gỵi ý :

Ta cã : x¿ '

=3x2−6x+3m=3(x2−2x+m)

f¿ Đây tam thức bậc hai Do đó: a) f(x) đồng biến TXĐ R :

x¿

'≥0⇔ ∀x∈R:x2−2x

+m≥0⇔Δ'=1−m ≤0⇔m≥1 ∀x∈R:f¿

b) f(x) đồng biến khoảng (2; +∞) : x2;: f(x)0 x2;:x2 2xm0

Ta đến tốn: Tìm m cho tam thức bậc hai g(x) = x2 – 2x + m không âm với x > 2. Xét trờng hợp:

+ Δg'=1− m≤0⇔m≥1. Lúc g(x)≥0 với x thuộc R, g(x)≥0 với ∀x∈(2;+∞)

+ Δg'=1− m > Lúc g(x) có nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) Bởi vậy: g(x)≥0,∀x>2⇔x1<x2≤2 điều kiện tơng đơng là:

¿ Δ'=1− m>0 g(2)=m≥0 0≤ m<1

S

2=1<2

¿{ { ¿

XÐt chung trờng hợp, đk m phải thoả mÃn là:

m≥1

¿

0≤ m<1 ¿ m0

c) f(x) nghịch biến khoảng (0 ; 3) vµ chØ

x¿

'≤0⇔∀x∈(0;3):x2−2x+m≤0

∀x∈(0;3):f¿

Tơng tự câu b) ta có đk tơng đơng : g(x) có nghiệm phân biệt x1, x2 cho x1≤0<3≤ x2 , tức là:

¿ g(0)=m≤0

g(3)=3+m≤0 ⇔m ≤−3

¿{ ¿

Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh Bất đẳng thức Phơng pháp:

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a) x −x

3

6 <sinx<x ,∀x>0

b) sinx + tanx > 2x , (0<x<π

2)

Gỵi ý:

a) x −x

3

6 <sinx<x ,∀x>0 (1)

⇔

x −sinx>0, x>0

sinx − x+x

3

6 >0,∀x>0

¿{ Đặt f(x) = x – sinx với x > (vì cosx ≤1 ) Suy hàm số đồng biến x >

Do : f(x)>f(0)=0

Suy : x – sinx > (2), ∀x>0 đợc chứng minh Đặt : g(x)= sinx − x+x

3

6 >0,∀x>0 Ta cã : g(x)

′

=cosx −1+x

2

g(x)″=−sinx+x ⇒g' '(x)>0,∀x>0 (2)

Suy hàm số g'(x) đồng biến x > Suy g'(x)>g'(0)=0

Suy g(x) đồng biến x > Suy g(x) > g(0) =

Suy : sinx − x+x

3

6 >0,∀x>0 ⇒ (®pcm)

b) sinx + tanx > 2x , (0<x<

2)

* Đặt : f(x) = sinx + tanx - 2x , (0<x<π

2)

Ta cã :

f'(x)=cosx+

cos2x −2≥2√cosx cos2x −2

⇒f'

(x)≥2√

cosx 2 Mà (0<x<

2) nên < cosx <1 ⇒

cosx>1 Suy : f '

(x)>2−2=0⇒f'(x)>0 < x < π

2 víi (0<x<

π

2) ⇒ f'(x) đồng biến với 0<x<

π

2

Suy : f(x) > f(0) =

Do : sinx + tanx – 2x > với 0<x<π

2 Ta có đpcm

Bài tập1:CMR với x > ta cã: eÏ>1+x+x

2

(§HKT HN -98)

Gợi ý: BĐT phải chứng minh tơng đơng với

2 ln

2

x x   x 

 .

XÐt hs:

2 ( ) ln

2

x f x  x   x 

 , cã

2

2

1

( )

2

2

x x

f x

x x x

x



    

 

Hàm số đồng biến R Do với x > 0, ta có:

   

2

0 ln

2

x

f x  f   x   x 

 

Lu ý: Víi x d¬ng nN, ta có BĐT tổng quát sau: ex >

2

1 , ln

2! ! 2! !

n n

x x x x

x hay x x

n n

 

         

 

 

Bài tập 2: Chứng minh BĐT sau:

a)

2

cos ,

2

x x

xe   x  x

;

b)

1

2 ,

2

b a

a b

a b a b

   

    

   

   

Bài tập áp dụng: Bài 1: Khảo sát tính đơn điệu hàm số sau:

a) y=2x −1

x+1 ; b) y=

x2−3x+3

2− x ; c) y=x −

3

x −2 ;

d) 2x

x2+1 ; e) y = cosx – x ; f) y=x+√x

2

−2x −3

§S:

a) y'=

(x+1)2>0,∀x ≠ −1 hàm số tăng khoảng xác định e) y'=−sinx −1≤0 hàm số nghịch biến.

f) D=¿∪¿

+ y'=1+ x −1

√x2−2x −3=

√x2−2x −3+x −1

√x2−2x −3

x ≥3⇒y' =0 x ≤ −1; y'=√x

2

−2x −3−(− x+1)

√x2−2x −3 =

−4 √x2−2x −3(

√x2−2x −3

+√− x+1) <0 + BBT :

x − ∞ -1 +∞ y' - +

+∞ y

-1

Bài 2: Xác định giá trị m cho hàm số : y = x3 – 2x2 + mx -1 a) Đồng biến R

b) Đồng biến khoảng (0 ; 1/3) Gợi ý:

a) D = R

y'=3x2−4x+m;a=3>0; Δ'

=4−3m

Hàm số đồng biến R ⇔4−3m ≤0⇔m≥4

3

b) Víi m≥4

3 hàm số đồng biến R nên đồng biến (0; 1/3)

Víi m<4

3; Δ

'

0<1

3<x1<x2(1)

¿ x1<x2≤0≤1

3(2)

¿ ¿ ¿ ¿ (1)⇔

3y'

(13)≥0

S

2>

⇔ ¿m−1≥0

2 3>

1

⇔m ≥1

¿{ (2)⇔

3y'(0)≥0 S

2<0

⇔ ¿3m≥0

2 3<0

¿{

v« nghiƯm

Vậy với m≥1 hàm số ln đồng biến (0 ; 1/3)

Bài 3: Cho hàm số : y = x3 – 3(a - 1)x2 + 3a(a - 2)x +1 a tham số Với giá trị a hàm số đồng biến tập hợp giá trị x cho : 1|x|2

(ĐH Luật Dợc HN-2001) Gỵi ý:

+ y'=3[x2−2(a −1)x+a(a −2)]≥0 f (x)=x22(a 1)x+a(a 2)0 Ta xét trơng hợp:

 TH1: Δ'=(a −1)2−a(a −2)≤0⇔1≤0 : v« nghiƯm

 TH2: x1≤ x2≤−2

⇔ Δ'

=1≥0

1.f(−2)=a2

+2a ≥0 S

2=a −1≤−2

⇔a ≤−2

¿{ {

 TH3:

−1≤ x1≤ x2≤1⇔

 

 

 TH4: 2≤ x1≤ x2

⇔ Δ'=1≥0

1.f(2)=a2−6a

+8≥0 S

2=a −1≥2

⇔a ≥4

¿{ {

KÕt luËn :

a ≥4

¿ a=1

¿ a ≤ −2

¿ ¿ ¿ ¿

Bài 4: Tìm a để hàm số : y = x3 + 3x2 + ax +a nghịch biến đoạn có độ dài 1 (Khối D - ĐHQGHN-2000) Gợi ý:

+ D = R

+ y'=3x2+6x+ay'=03x2+6x+a=0 (1)

Hàm số nghịch biến đoạn dộ dài pt (1) có nghiệm âm x1, x2 thoả m·n : {x1 – x2} =

⇔ Δ>0

|x1− x2|=1

⇔ ¿Δ>0

√Δ

3 =1

⇔36−12a=9⇔a=9

4

{ ĐS : a=9

4

Bài : Cho hµm sè : y=(m+1)x

2

−2 mx−(m3−m2+2)

x −m (Cm)

Trong m – tham số Xác định tất giá trị tham số m cho hàm số nghịch biến khoảng xác định

(HVTCKT HN - 2001) Gỵi ý:

Ta cã: y'=(m+1)x

2

−2m(m+1)x+m3+m2+2 (x −m)2

Để hàm số luôn nghịch biến khoảng xác định ta phải có: F(x) = (m+1)x2−2m(m+1)x+m3+m2+2≤0,∀x ≠ m

+ Với m = -1: F(x)=20 suy không thoả m·n (lo¹i)

+ Với m≠ −1 : để

F(x)≤0,∀x ≠ m⇔ m+1<0 Δ'=−2(m+1)≤0

⇔ ¿m+1<0

m+1≥0 ¿{

KL : Không có giá trị m thoả mÃn Bµi 6: Cho hµm sè : y=−2x

2

3x+m

2x+1

Với giá trị m hàm số nghịch biến (-1/2 ; + )

(Khôí B - ĐHNNI-2001) Bài 7: Cho hµm sè : y=x

2

−8x

8(x+m) , m tham số

Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số đồng biến [1 ; + ∞ )

(ĐH Mỏ - ĐC 2001) Gợi ý:

Ta cã : y'=1

8

x2+2 mx−8m (x+m)2

Để hàm số đồng biến [1 ; + ∞ ) ĐK là:

¿ x=−m<1 y'≥0∀x∈¿

¿{ ¿

⇔ m>−1(1)

x2+2 mx−8m≥0∀x∈¿(2)

¿{ XÐt (2): Cã TH

+ Δ'=m2+8m≤0⇔−8≤ m≤0 Kết hợp (1) ta đợc : −1≤ m≤0

+

¿

Δ'=m2+8m≥0

1.f(1)=−6m+1≥0 S

2=− m≤1

⇔0≤ m≤1

6

¿{ { ¿

(tho¶ (1))

Dạng 3: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình Ví dụ 1: Giải phơng trình : √4x −1+√4x2−1

=1 (1)

(HVNH_ĐHQG Khối D -2001) Gợi ý:

ĐK :

¿

4x −1≥0 4x2−1≥0

⇔x ≥1

2

¿{ ¿

Nhận xét số nghiệm PT (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = √4x −1+√4x2−1 đờng

thẳng y =

+ Xét hàm sè : y = √4x −1+√4x2

−1

D = [

2;+∞¿

y'=

√4x −1+ 4x

√4x2−1>0,∀x ≥

2 Do hàm số ln ln đồng biến với ∀x ≥12

NhËn thÊy x=1

2 tho¶ m·n PT

VËy PT cã nghiƯm Ví dụ : Giải phơng trình:

2

2

3

1

log

2

x x

x x

x x

 

  

 

Gỵi ý:

Đặt :

2 1; 2 2 3 0; 0

ux  x v x  x u v

Suy ra: v – u = x2- 3x +2

Phơng trình cho tơng đơng với :

 

3 3 3

log u v u log u log v v u log u u log v v

v          

XÐt hµm sè: f t  log3tt , cã :  

1 0,

ln

f t t

t

     

nên hàm số đồng biến t > Từ (1) có f(u) = f (v), suy u = v hay v – u = 0, tức x2 – 3x + = 0.

PT cã nghiÖm x = 1, x =  Lu ý:

 Víi PT d¹ng

loga , 0, 0,

u

v u u v a

v      , ta thờng biến đổi:

logau logav v u logau u logav v

, hàm số f t logatt đồng biến t > 0, suy v = u

Với đk ta có BPT :

loga ( ) ( )

u

v u f u f v u v

v     

VÝ dơ 3: Gi¶i BPT: log 35 x log4x Gợi ý: ĐK: x >

Đặt : log4 t

t x x

, BPT trë thµnh :  

3

log 3

5

t

t t t

t

t  

        

 

Hµm sè :

3

( )

5

t

t

f t     

  nghịch biến R f(1) = BPT trở thành : f t   f 1  t 1, ta đợc : log4 x 1 0x4

 Lu ý:

 Với BPT dạng logaulogbv, ta thờng giải nh sau: Đặt: tlogau( tlogbv);đa BPT mũ; sử dụng chiều biến thiên hàm số để suy nghim

Với PT dạng logaulogbv, ta thờng giải nh sau: Đặt :

log log

t

a b t

u a

t u v

v b

  

   

 

 , sử dụng phơng pháp để đa PT mũ; tìm t ( thơng thờng có nghiệm t nhất), suy x

Bài tập t ơng tự: Giải PT, BPT: a) log2sin x = 2log3 tanx b)

2 2

3

log

2

x x

x x

 



  x2 - x – 2

Khảo sát lập BBT hàm số y = f (x) TXĐ cña nã

 Căn vào BBT, xác định dáng điệu đồ thị hàm số y = f(x) TXĐ để suy giá trị m cần tìm

Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có nghiệm thực phân biệt

1x 8 x  1x 8 x m Gỵi ý:

§K:   1 x XÐt hs: f x   1x  8 x 1x 8 x trªn 1;8

Ta cã:  

       

 

     

1

2 8 8

1

7

2

2

x x x x

f x

x x x x x x x x

x

x x

x x x x

                                    

Mµ  

1

2 1x 8 x 1x 8 x    

1 x x



  >0 với x  1;8 Do đó, dấu đạo hàm f x phụ thuộc vào dấu nhị thức bậc – 2x Ta có BBT:

x -1

2 8  

f x

+

-  f x 2

Tõ BBT suy giá trị m cần tìm

9

3

2

m

  

Ví dụ 2: Tìm m để PT sau có nghiệm thực phân biệt 42x 2x 2 64  x2 6 x m (ĐTTS ĐH – A 2008) Gợi ý: ĐK: 0 x 6.Xét hàm số :  

42 2 2 64 2 6

f x  x  x  x  x

trªn 0; 6 Ta cã:  

 3  3  3  3

4 4

1 1 1 1 1

2

2 6

2 2 6

f x

x x x x

x x x x

                         Đặt :

3 3

4 1 u x x x    ;

  1

2

v x

x x

 

 Ta thÊy : u (2) = v (2) = 0.

Nªn f 2 Hơn u(x), v(x) dơng (0 ; 2) âm (2 ; 6) Ta có BBT:

x

  f x

+ - 

f x

62 64 4122

Từ BBT suy giá trị m cần tìm 62 64 m3 26 Ví dụ 3: Tìm m để PT :tan2x + cot2x + m(tanx + cotx) + = có nghiệm. Gợi ý:

§K: sinx0,cosx0  

k

x  k Z

  

Đặt : tanx + cotx = t, t 2.PT cho trở thành t2 + mt +1 = 0.

Nhận thấy t = khơng phải nghiệm PT Do :

 

1 1

t

m t

t t



  

XÐt hµm :

1 ,

y t

t

 

víi t 2.Ta thÊy:

, 1,

y t y t t

t

      Ta cã BBT :

t - -2 -1 + y

y 

 

5

Từ BBT ta thấy PT cho có nghiệm

m

hoặc

5

m Bài tËp t¬ng tù:

1) Tìm m để PT mx x 3 m có nghiệm

2) Tìm m để PT xmm x2 1có nghiệm thực phân biệt 3) Tìm m để PT x x  x12m 5 x 4 x có nghiệm 4) Tìm m để PT 2x x  x 7 x27x mcó nghiệm 5) Tìm m để PT sinx + 2cos2

x m



(cosx + 2sin2

x

) có nghiệm đoạn 0;

2

 

 

 

-Chủ đề ii : cực trị hàm số Soạn : 15/09/09 Dạng 1: Tìm cực trị hàm số

Phơng pháp : Quy tắc 1: Tìm f'(x)

 Tìm điểm xi(i = 1, 2, 3….) đạo hàm hàm số hàm số liên tục nhng khơng có đạo hàm

 Quy t¾c 2:

Tìm f'(x)

Tìm nghiệm xi(i = 1, 2, 3.) phơng trình f'(x)=0 Với xi , tính f' '

(xi) Nếu f' '

(xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f' '(xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm số sau:

a) y = - x3 + 3x2 – ; b) y = x

4 − x

2

+3 c) y=x −3

2− x ; d) y=

x2− x −1

x 2

Gợi ý:

Dùng quy tắc I

a) y = - x3 + 3x2 –

x − ∞ +∞ y' +

+∞

y

− ∞ -1

Vậy hàm số đạt yCT=−1 , x = yCĐ = x =

b) y = x

4 − x

2

+3 + TX§ : D = R

y'=2x3−2x=2x(x2−1) y'=0⇔

x=0 ¿ x=±1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + BBT:

x − ∞ -1 +∞ y' - + - +

+∞ +∞ y

2

Vậy : Hàm số đạt yCT =

2 , x = 1 yCĐ =3 x =

c) y=x −3

2− x

+ TX§ : D = R \ {2} + y'= −1

+ BBT :

x − ∞ +∞ y' - -

+∞ +∞

y

− ∞ − ∞ Vậy hàm số không só cực trị

d) y=x

2

− x −1

x −2

+ TX§ : D = R \ {2}

+

y'=x

2

−4x+3 (x −2)2 ; y

' =0⇔ x=1

¿ x=3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + BBT :

x − ∞ +∞ y' +

+∞ y − ∞

Vậy : Hàm số đạt yCT =5 , x =3 yCĐ =1 x = Ví dụ 2: Tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + ; b) y = sin2x – x c) y = sin2x + cos2x ; d) y = sin2x

Gỵi ý:

Dïng quy t¾c II

Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 hay đạt cực trị y0.

1 Định m để hàm số y = f(x) đạt cc tr ti x0

Phơng pháp:

 Giải phơng trình f'(x0)=0 để định m

 Thử lại điều kiện đủ cách dùng lại dấu hiệu I II

2 Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị y0

Phơng pháp:

ĐK

¿ f'(x0)=0

f(x0)=y0

¿{ ¿

(x0 cha biết để định m)

 Thử lại đk đủ nh phần Ví dụ 1: Định m để hàm số : y = f(x) =

3 x3 – (m - 1)x2 + (m2 – 3m +2)x +5 đạt cực đại x =

y = f(x) =

3 x3 – (m - 1)x2 + (m2 – 3m +2)x +5

D = R y'

=f'(x) =x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3m +2 Hàm số đạt cực đại x = nên :

f'(0

)=0⇔m2−3m

+2=0⇔ m=1

¿ m=2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Thư l¹i :

+ Dïng dÊu hiÖu I:

 m = 1: y'=x2; y'=0⇔x=0 BBT : x +∞ y' + +

+∞

y

− ∞

Nh hàm số không đạt cực đại x = Nên loại m =

 m = 2: y'

=x2−2x ; y'=0⇔ x=0

¿ x=2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ BBT :

x − ∞ +∞ y' + - +

+∞ C§

y

− ∞ CT Nh hàm số đạt cực đại x = Nên nhận m = Ví dụ 2: Cho hàm số : y=x

2

+mx+1 x+m

y=x

2

+mx+1 x+m ¿ ¿+D=R{−m

x=− m−1 ¿ x=−m+1

¿ ¿ ¿ ¿ y'=x

2

+2 mx+m2−1 (x+m)2 y

'

=0⇔x2+2 mx+m2−1=0⇔¿ + BBT:

x − ∞ - m -1 - m - m + +∞ y' +

C§ +∞ y

CT − ∞

a) Theo bảng biến thiên ỏ ta thấy hàm số đạt cực đại x = - m +1 = ⇔ m = -3 b) yCT = y(- m +1) = (-m +1) + m = - m +

⇔ yCT = - m +2 = Suy : m = -1 VËy m = -1

Dạng 3: Điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại cực tiểu. Phng phỏp:

Tìm TXĐ D TÝnh y'=f(x)

 Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu y' đổi dấu lần ⇔ phơng trình : y'=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc D ⇔Δ>0

VÝ dô 1:

Chøng minh r»ng hµm sè : y = x

2

+2x+m

x2+2 ln ln có cực đại cực tiểu Gợi ý:

+ D = R

+

y'=−2x

2

+2(2− m)x+4

(x2+2)2

=2[− x

2

+(2− x)x+2]

(x2+2)2 y'

=0⇔− x2+(2− x)x+2=0( ) Δ=(2− m)2+8>0∀m

Chứng tỏ phơng trình (*) ln có nghiệm phân biệt Do hàm số cho có mọtt cực đại , cực tiểu Ví dụ 2: Cho hàm số : y=x

2

− m(m+1)x+m3+1 x − m

a) CMR : Hàm số có CĐ, CT b) Định m để cực yCĐ yCT trái dấu Gợi ý:

a) y=x

2− m(m+1)x+m3+1

+

¿D=R{m ¿ x1=m−1

¿ x2=m+1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿ y'=x

2

−2 mx+m2−1 (x − m)2 y

'

=0⇔x2−2 mx+m2−1=0(x ≠ m)⇔¿

Nh phơng trình y'=0 ln có nghiệm phân biệt x1, x2 khác m Nên hàm số có cực đại cực tiểu

b) Hai cùc trÞ cho bëi: y(x0)=u(x0)

v(x0)= u'(x0)

v(x0)=2x m(m+1) Vì aa > nên:

yC = y(x1) = 2(m - 1) – m(m + 1) = - m2 + m – 2 yCT = y(x2) = 2(m + 1) – m(m + 1) = - m2 + m + 2 Điều kiện đề ⇔ yCĐ yCT <

⇔(−m2

+m−2) (−m2+m+2)<0 ⇔− m2+m+2>0,(− m2+m −2<0,∀m)

⇔−1<m<2

Dạng 4: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực đại điểm x1, x2 ( hay có yCĐ, yCT )thỏa mãn điều kiện

cho tríc.

Ph¬ng pháp: Tìm TXĐ D

Tính y'=f(x)

 Định m để phơng trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức cho trớc:

o Nếu thoả đẳng thức thờng dùng h thc Viột

o Nếu thoả mÃn BĐT thêng dïng c¸ch so s¸nh sè α víi c¸c nghiệm phơng trình bậc hai

Vớ d1: nh m để hàm số : y=1

3mx

3

(m1)x23(m2)x+1

3 có hao điểm cực trị x1, x2 thoả mÃn: x1+

3x2 = Gợi ý:

y=1

3mx

3

−(m−1)x2−3(m−2)x+1

3

+ D = R

+ y

'

=mx2−2(m −1)x −3(m −2) y'=0⇔mx2−2

(m −1)x −3(m −2)=0(1)

⇔ m ≠0

Δ'=(m−1)2+3m(m−2)>0 ⇔

¿m≠0

4m2−8m

+1>0 ¿

⇔ m>1+√3

2

¿ m<1−√3

2

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

vµ m≠0 (2)

Ta cã:

¿ x1+3x2=1(a)

S=x1+x2=

2(m −1) m (b) P=x1.x2=−3(m−2)

m (c) ¿{ {

¿

GiảI hệ (a) (b) ta đợc: x1=5m −6

2m ; x2=

− m+2

2m

Tahy vµo (c):

(5m −6)(− m+2)

4m2 =−

3(m −2)

m ⇔7m

2

−8m −12=0⇔ m=2

¿ m=−6

7

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

(đều thoả (2))

§S : m = , m =-6/7

Bµi tËp áp dụng: Bài 1: Tìm cực trị hµm sè sau:

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 b) y = x4 + 2x2 – 3 c) y = x+1

x d) y=

x2−2x

+3 x −1

e) y = x3 ( - x)2.

Bài 2: Cho hàm số : y = mx3 + 3mx2 – ( m - 1)x – Tìm m để hàm số khơng có cực trị. Gợi ý:

+ D = R

+ Ta cã : y'=3 mx2+6 mx−(m−1)

⇔Δ'

=9m2+3m(m −1)≤0

⇔12m2−3m ≤0

⇔0<m≤1

4

§S : 0≤ m≤1

4

Bài 3: Cho hàm số : y = x3 - 2mx2 – Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = 1. Gợi ý:

+ D = R + Ta cã: y'

=3x2−4 mx; y' '=6x −4m

Để y đạt cực tiểu x =

⇔

y'(1)=3−4m=0 y''(1)=6−4m>0

⇔ ¿m=3

4

m<3

2

⇔m=3

4

¿{

Bài 4: Cho hàm số : y = 2x3 + ax2 – 12x – 13 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu hai điểm cách trục tung

Gỵi ý: + D = R + Ta cã:

2

6 12

y  x  x

Do '=a2+72>0a nên y có điểm cực trị với a.

Gọi x1, x2 nghiƯm ph©n biƯt cđa pt y’ = 0.

Hai điểm cực trị cách trục tung

⇔|x1|=|x2|⇔ x1=x2(loai)

¿ x1=− x2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Bài 5: Cho hàm số: y = mx4 + ( m2 - 9)x2 + 10 Tìm m để hàm số có cực trị Gợi ý:

+ D = R

+ Ta có: y'=4 mx3+2(m29)x=2x[2 mx2+m29] Yêu cầu toán y'=0 có nghiệm phân biệt

g(x)=2 mx2+m29=0 có hai nghiệm phân biệt khác

⇔ m≠0

Δ=0−8m(m2−9)>0 g(0)=m2−9≠0

⇔m<−3 ¿{ {

hc < m <

+ D = R

+ Ta cã: y'=4x3−4 mx=4x(x❑2

− m)

Để y có cực trị ⇔ m > Lúc đó: y'

=0⇔ x=0

¿ x=±√m

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Gäi A, B, C điểm cực trị B(0; m4+2m); A(m ;m4 m2+2m);C(m ;m4 m2+2m)

Yêu cầu toán

⇔

BA2=BC2

BA2

=AC2 ¿{

( ln trục tung trục đối xứng)

⇔(−√m−0)

2

+(−m2

)2=(−2√m)2 ⇔m+m4=4m⇔m(m3−3)=0

⇔m=0 ( loại đk m > 0) m3 = ⇔m=√33 Bài 7: Xác định m để hàm số : y=x

2

+mx+1

x+m đạt cực đại x = ĐS : m = -3

Bài 8: Cho hàm số : y = f(x) = x3 + ax2 + bx +c có đồ thị (C) Định a, b, c biết (C) có điểm cực trị (- ; 0) qua điểm A(1 ; 0)

Gỵi ý:

Ta cã: y = f(x) = x3 + ax2 + bx +c + D = R

+ y'=f'(x)=3x2

+2ax+b

(C) có điểm cực trị (-2 ; 0) qua ®iĨm A(1; 0), nªn:

¿ f'(−2)=0

f(−2)=0 f(1)=0

⇔ ¿12−4a+b=0 −8+4a −2b+c=0

1+a+b+c=0 ¿{ {

¿

Giải ta đợc a = , b = , c = -4 Vậy: y = f(x) = x3 + 3x2 – 4.

Thư l¹i , ta cã: y'=f'(x)=3x2+6x ; y''=f' '(x)=6x+6

Suy : f' '(−2)=−12+6=−6≠0⇒ Hàm số đạt cực trị x = -2 ĐS: a = 3, b = , c = -4

Bài 9: Định m để hàm số : y=x

2

+(m+1)x+2m+1

x+1 đạt cực trị điểm x1, x2 cho: x1 < x2 <

Gỵi ý: Ta cã : y=x

2+(m+1)x+2m+1

x+1 ; D = R \ {−1} y'=x

2

+2x − m (x+1)2 ; y

'

⇔ Δ'>0 g(−1)≠0

g(2)>0 S

2−2<0

⇔ ¿1+m>0 −1− m≠0

8− m>0 −1−2<0

⇔ ¿m>−1

m<8 ⇔−1<m<8

¿{ { {

Bài 10: Định m để hàm số y=− x

2

+3x+m

x −4 cã {yC§ - yCT} =

Gỵi ý:

+ D = R \ {4} + y'=− x

2

+8x −m −12 (x −4)2 ; y

'

=0⇔− x2+8x −m −12=0(1), x ≠4

Trớc tiên để hàm số có yCĐ, yCT PT(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác ⇔

Δ'

=16−(m+12)>0 −(4)2+8(4)−m −12≠0

⇔ ¿m<4

m ≠4

⇔m<4(a) ¿{

Lúc cực trị cho

   

 

 

  2 2 2

i i

i i CD CT

i i

u x u x

y x x y y x x x x

v x v x 

           



   

2

2 2 2

2 2 2

4

4 4

CD CT

y y x x

x x x x x x x x x x

    

          

 

2

8 m 12 m

     

VËy : m =

-chủ đề iii: giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Soạn : 20/09/09

D

ạng : T×m giá trị lớn nht v giá trị nh nht hàm số y = f(x) liên tụctrên đoạn [a ; b]. Phơng pháp:

Tớnh o hm y'=f(x)

Tìm điểm x1, x2, …xi (a ; b) f'(x)  Tính f(a), f(x1), f(x2)⋯f(xn), f(b)

Lúc : maxf(x)=M

❑ ;

minf(x)=m

❑

VÝ dơ 1: T×m GTLN, GTNN hàm số sau đây: a) f(x) = x3 3x2 - 9x +5 đoạn [-4; 4]; [0; 5]. b) f(x) = sin2x – x trªn [−π

2;

π

2]

c) f(x) = 2sinx – 4/3 sin3x trªn [0; π ] (TN THPT 2003 - 2004) Gỵi ý:

a) * f(x) = x3 – 3x2 - 9x +5 đoạn [-4; 4].

Hm s liờn tc trờn [-4 ; 4] nên đạt GTLN, GTNN đoạn Ta có: x=−1

¿ x=3

¿ ¿ ¿ ¿

¿ f

'

(x)=3x2−6x −9 f'(x)=0⇔3x2−6x −9=0⇔¿

(tho¶ m·n)

Ta cã: f(-4) = -71; f(-1) = 10; f(3) = -22; f(4) = -15 VËy : Max f(x) = 10; Min f(x)= -71

[-4; 4] [-4; 4]

* f(x) = x3 – 3x2 - 9x +5 đoạn [0; 5] x=1

x=3

¿ ¿ ¿

¿ f

'

(x)=3x2−6x −9 f'(x)=0⇔3x2−6x −9=0⇔¿

(lo¹i)

Ta cã: f(0) = 5; f(3) =-22 ; f(5) = 10 VËy: Max f(x) = 10; Min f(x)= -22 [0;5] [0;5]

b)f(x) = sin2x – x trªn [−π

2;

2]

Hàm số f(x) liên tục đoạn [

2 ;

2]

f'

(x)=2 cos 2x −1 f'(x)=0⇔cos 2x=1

2⇔2x=±

π

3+k2π⇔x=±

π

6+kπ(k∈Z)

V× : x¿∈

¿ [

−π

2 ;

π

2] , nªn chän x=±

π

6

Ta cã: f(π

6)=

√3

2 −

π

6 ;f(

π

2)=−

π

2 ; f(−

π

6)=−

√3

2 +

π

6; f(−

π

2)=

π

2

VËy : Max f(x) = π

2 ; Min f(x) =

-π

2

[−π

2 ;

π

2] [−

π

2 ;

π

2]

c) f(x) = 2sinx – 4/3 sin3x trªn [0; π ]

y=g(t)=2t −4

3t

y'

=g'(t)=2−4t2 y'=0⇔2−4t2=0⇔t2=1

2⇔t=

√2,(t ≥0)

Ta cã: g(0) = 0; g(

√2)= 2√2

3 ; g(1)=

VËy : Max f(x) = 2√2

3 ; Min f(x) =

[0; π ] [0; π ]  Chú ý : Trên đoạn [a ; b]

Hàm số tăng Min y = f(a) ; Max y = f(b) Hàm số giảm Min y = f(b) ; Max y = f(a)

 Hàm số có cực trị điểm x0 mà cực trị cực đại thì:

¿

Miny=min{f(a), f(b)} Maxy=f(x0)

¿ { ¿

 Hàm số có cực trị điểm x0 mà cực trị cực tiểu thì:

¿

Maxy=min{f(a), f(b)} Miny=f (x0)

¿ { ¿ D¹ng 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số phơng pháp khảo sát trực tiếp

Phơng pháp:

Lập bảng biến thiên hàm số D, dựa vào kết luận. Ví dụ 1: Tìm GFTLN, GTNN hàm số sau:

a) y=x+1

x trªn (0;+∞) b) y = 4x3 – 3x4

c) y= x

2

+1 x2

+x+1 Gợi ý:

a) y=x+1

x (0;+) y'=1−

x2 y'=0⇔1−

x2=0⇔x=2,(x>0) + BBT:

x +∞ y' - +

+∞ +∞

y

VËy : Min y = x = 2, GTLN (0;+∞)

+ D = R

+

x=0 ¿ x=1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

y'=12x2−12x3=12x2(1− x); y'

=0⇔12x2(1− x)=0 ⇔

¿

+ BBT:

x − ∞ +∞ y' + + -

y

− ∞ − ∞ VËy : Max y = 1, kh«ng cã GTNN

c) y= x

2

+1 x2+x+1 + D = R

+ lim

x →+∞y=x →lim+∞

x2(1+ x2) x2(1+1

x+ x2)

=lim x→+∞

(1+

x2)

(1+1 x+

1 x2)

=1

+ y'= x

2

−1 (x2

+x+1)2

; y'=0⇔x2−1=0⇔x=±1 + BBT :

x − ∞ -1 +∞ y' + - +

y

3

VËy : Max y = t¹i x = -1 Min y =

3 , t¹i x =

 Chú ý: Với kết ta đợc

3≤

x2

+1

x2+x+1≤2,∀x∈R Nên ta đổi thành dạng:

CMR:

3≤

x2

+1

Dạng 3: Dùng giá trị hàm số y = f(x) Phơng pháp:

Gọi T miền giá trị hàm số trên, yT Phơng trình f(x) = có nghiệm x Viết lại hàm số dạng phơng trình Èn x

 Tìm điều kiện để phơng trình ẩn x có nghiệm, từ suy GTLN, GTNN hàm số Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y= x

2

+1 x2+x+1

Gợi ý: Gọi T miền giá trị hàm số trên, yT Phơng trình x

2

+1

x2+x+1 = y cã nghiÖm x∈R (1)

Ta cã : (1)⇔x

2

+1=y(x2+x+1) ⇔(y −1)x2+ü+y −1=0(2)

 y = 1: (2) trë thµnh x = Suy PT (1) cã nghiÖm x = Suy : y = (a)  y ≠1 : (2) cã nghiÖm

⇔Δ'=y2−4(y −1)2≥0 ⇔−3y2

+8y −4≥0⇔2

3≤ y ≤2(b)

Víi (a) vµ (b) cho

3≤ y 2 Miền giá trị hàm số T=[2/3; 2]

Vậy : Maxy = 2, Min y =2/3 (có thể tính đợc x nghiệm kép PT (2) ứng với y = 2; y = 2/3)

Dạng 4: áp dụng BĐT để tìm GTLN GTNN.

VÝ dơ 1: T×m GTLN cđa hàm số : y = (3 2x)2 x đoạn [0 ; 3/2] Gợi ý:

Hm s xỏc định đoạn [0; 3/2] – 2x ; 4x ≥0 Hàm số : y=1

4(3−2x) 2 4x

lớn (3−2x)2 4x lớn Ta có: tổng số – 2x, – 2x, 4x khơng đổi nên tích lớn : – 2x = 4x ⇔x=1

2 Khi đó: y = 2

.1 2=2

VËy : Max y =2

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y=5 sinx 12cos sx5 Gợi ý:

áp dụng BĐT Bunhiac«xki cho sè 5, -12, sinx, cosx ta cã: |5 sinx −12 cosx|≤√169 √sin2x+cos2x=13

Nªn −13≤5sinx −12 cosx ≤13⇒−18≤5 sinx −12 cosx −5≤8

VËy : Max y = 8; Min y = -18

VÝ dô 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số: a) y=|x23x+2| đoạn [-10;10] b) y=|x22x+3| đoạn [0;2] Gợi ý:

a) XÐt hµm sè : f(x) = x2−3x+2 DƠ thấy hàm số liên tục đoạn [-10;10] * f'(x)=2x −3, f'(x)=0⇔x=3

*

f(x)=0⇔x2−3x

+2=0⇔ x=1∈[-10;10]

¿

x=2∈[-10;10] ¿

¿ ¿ ¿ ¿

* |f(−10)|=132;|f(10)|=72;|f(3 2)|=

1

4;|f (1)|=0;|f(2)|=0 VËy : Max y = 132; Min y =

b) XÐt hµm sè : f(x) = x2−2x+3 ; dễ thấy hàm số liên tục đoạn [0; 2]

* f'(x)=2x −2; f'(x)=0⇔x=1∈[0;2] * f(x)=0⇔x2−2x

+3=0(VN) * |f(0)|=3;|f(2)|=3;|f(1)|=2 Vậy : Max |f(x)|=3;Min|f(x)|=2

Bài tập áp dông: Bài 1: Cho hàm số y= 14 x4−1

2 x

−1

4 Tính giá trị lớn nhỏ hàm số

[-1;1]

Baì 2: Cho hàm số y= 13 x3−3 2x

2

+2x Tính giá trị lớn nhỏ hàm số [-1;1]

Bài 3: Cho hàm số y= 2x −2

x+1 Tính giá trị lớn nhỏ hàm số [0;1] Bài 4: Cho hàm số y= 2x −2+8

x Tính giá trị lớn nhỏ hàm số [1;2] Bài 5: Cho hàm số y= x+

x −1 Tính giá trị lớn nhỏ hàm số [-1;0]

Bài 6: Cho hàm số y= sinx −1 Tính giá trị lớn nhỏ hàm số [ π

4;π ]

Bài 7: Tìm GTLN hàm số sau: a) y = + 8x -2x2

b) y=4

3 x

− x4

Bµi 8: Tìm GTLN hàm số: a) y=(x+2)

2

x ,(x>0) b) y=x

2

+2 x,(x>0)

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: f(x) = x3 3x +3 đoạn [-3; 3/2] Bài 10: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 – 9x +35 đoạn [-4; 4] b) y=x

2

+x+2

x+2 đoạn [-1 ; 3] c) y=54x đoạn [-1; 1] d) y=x+4 x2

e) y=x+2 x2

Bài 11: Tìm GTLN, GTNN hàm sè sau: a) f(x) = 2sin4x + cos4x

d) f(x) = sinx+1

sin2x+sinx+1 Gợi ý:

a) TXĐ : D = R

Ta cã f(x) = (sin2x+cos2x)2−2 sin2x cos2x=1−1

2sin

2x ,∀x∈R f(x)≤1,∀x∈R ;f(0)=1 VËy : Max f(x) =

f(x)≥1

2, x∈R ; f(

π

4)=1− 2=

1

2 Min f(x) =

b) Đặt : t = sinx, ĐK: −1≤t ≤1 Khi : y = f(t) = 2t2 + 2t - 1 + f'(t)=4t+2;f'(t)=0⇔t=1

2

+ BBT:

t -1 -1/2 f'(t) - +

-1 f(t)

-3/2 Min f(t) = -3/2; Max f(t) =

Do : Min y = -3/2 x = − π

6 ; Max y = t¹i x=

π

2

c) Ta cã: y = 1−sin22x −1

2sin 2x+4

Đặt : t = sin2x, −1≤t ≤1 Khi : y=f(t)=−t2−1

2t+5

+ f'(t)=−2t −1

2; f

'

(t)=0⇔t=−1

4

+ BBT :

t -1 -1/4 f'(t) +

81/16 f(t)

9/2 7/2 VËy : Min f(t) = 7/2; Max f(t) = 81/16

Do : Min y = 7/2 ; Max y = 81/16 d) f(x) = sinx+1

sin2x+sinx+1 + TX§ : D = R

+ Đặt : t = sin x, đk : 1t 1 Hµm sè trë thµnh : f(t)= t+1

t2+t+1 víi −1≤t ≤1 * f'(t)=−t

2−2t (t2

⇔f'(t

)=0⇔−t2−2t

=0⇔ t=0∈[−1;1]

¿

t=−2∉[−1;1] ¿

¿ ¿ ¿ ¿

 f(-1) = ; f(1) = 2/3; f(0) = VËy : Max y = 1; Min y =

Bài 12: Tìm GTLN, GTNN hàm số : y=2 cos 2x+4 sinx đoạn [0;

2]

(TN THPT 2001 -2002) §S: 2√2;√2

-Chủ đề iv: đờng tiệm cận đồ thị hàm số Soạn: 25/09/09

Dạng 1: áp dụng định nghĩa tìm tiệm cận Phơng pháp:

 Đờng thẳng y = a đợc gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số nếu: lim

x →+∞f (x)=a hc x →− ∞lim f(x)=a

 Đờng thẳng x = x0 đợc gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số : lim

x → x0

−f(x)=+∞ hc

x → x+0¿

f(x)=+∞

lim

¿

hc x → x0

+¿

f(x)=− ∞

lim

¿

hc lim x → x0

−f(x)=−∞

 Đờng thẳng y = ax + b , đợc gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số nếu: lim

x →+∞[f(x)−(ax+b)] hc x →− ∞lim [f (x)(ax+b)] Có thể áp dụng công thức: a = lim

x → ±∞ f(x)

x ;b=x →± ∞lim [f(x)−ax]

(nếu a = ta có tiệm cận ngang) Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau:

a) y=2x −1

x+2 ; b) y=

√x2

+1 x Gỵi ý:

a) y=2x −1 x+2 + D = R \ {-2} + V× : lim y

x →+∞

=2 nên đờng y = tiệm cận ngang.

x → −2

+¿

=− ∞ limy

¿

nên đờng thẳng x = -2 tiệm cận đứng

b) y=√x

2

+1 x + D = R \ {0}

+ Ta cã :

lim y

x →+∞ =lim

x →+∞

x√1+ x2

x =x→lim+∞√1 +

x2=1

lim y

x →− ∞=x →− ∞lim

− x√1+ x2

x =x→ −∞lim √1+

1

x2=−1

, đờng thẳng y = -1 l tim cn ngang ca

thị hàm sè

+ V× :

x →0+¿

y=+∞;lim

x→0−y

=−∞

lim

¿

, nên đờng thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau: f(x)= x

3

x2−1

Gỵi ý:

C¸ch 1: f(x)= x

3

x2−1=x+

x x2−1

Đồ thị hàm số có đờng thẳng y = x tiệm cận xiên : lim

x → ±∞[f(x)− x] =lim

x → ±∞ x x2−1=0

C¸ch 2: Ta cã:

a=lim x →+∞

f(x) x =x →lim+∞

x3

x(x2−1)=1

b=lim

x →+∞[f(x)− x]=x →lim+∞( x3

x2−1− x)=x→lim+∞ x x2−1=0 Đờng thẳng y = x tiệm cận xiên đồ thị hàm số Ví dụ 3: Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y=2x+1

√x2+1 ; b) y=

3

√4x2− x3 Gỵi ý:

a) y=2x+1

√x2

+1

+ D = R nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng

+ lim

x →+∞y=x →lim+∞

2x+1

√x2(1+ x2)

=lim x →+∞

x(2+1 x) x√1+

x2 =lim

x →+∞ (2+1

x)

√1+

x2 =2

Suy đồ thị có tiệm cận ngang bên phải đờng thẳng y =

+ lim

x →− ∞y=x→ −∞lim

2x+1

√x2

(1+ x2)

= lim x →− ∞

x(2+1 x) − x√1+

x2 = lim

x→ −∞

(2+1 x) −√1+

x2 =−2

Suy đồ thị có tiệm cận ngang bên trái đờng thẳng y = - b) y=√34x2− x3

+ D = R nên đồt thị hàm số tiệm cận đứng Ta có:

+ a=lim x →+∞

y

x=x →lim+∞

3

√4x2− x3 x3 =x →lim+∞

❑

√4x−1=−1 + b=lim

x →+∞

(y −ax)=lim

x→+∞(

3

√4x2− x3+x)=lim x →+∞

4x2− x3+x3

(√34x2− x3)2− x3

√4x2− x3

¿ lim x →+∞

4x2

x2[(√3 x−1)

2

−√3

x−1+1] = lim

x →+∞

4

(3 √4x−1)

2

−3

√4x−1+1 =4

3

VËy tiÖm cËn xiên : y= x+4

3

Dng 2: Biện luận số tiệm cận đồ thị hàm số tuỳ theo m

Ví dụ 1: Biện luận theo m đờng tiệm cận đồ thị hàm số: y=x

2

−4x+m x+2

Gỵi ý:

+ D = R \ {-2} + Ta cã: y=x

2

−4x+m

x+2 =x −6+ m+12

x+2

 Với : m + 12 = hay m = -12 Hàm số có dạng suy biến : y = x – 6( x ≠ −2 ) đồ thị đ-ờng thẳng nên khơng có tiệm cận

 m≠ −12 : lim x →+∞

m+12

x+2 =0 nªn y = x tiẹm cận xiên Vµ x → −2

+¿y=+∞

lim

¿

nên có tiệm cận đứng x = -2

Ví dụ 2: Tuỳ theo m tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số : y=2x

2

−3x − m x+m Gỵi ý:

+ D = R \ {-m}

+ y=2x −2m −3+2m

2

+2m x+m

+ Víi :

m=0 ¿ m=−1

¿ ¿ ¿ ¿

đồ thị khơng có tiệm cận

Víi :

m≠0

¿ m≠ −1

¿ ¿ ¿ ¿

đồ thị có tiệm cận đứng : x = - m tiệm cận xiên : y = 2x – 2m -3

Dạng3: Tìm m để đờng tiệm cận thoả mãn điều kiện cho trớc Ví dụ 1: Tìm m để đờng y=− x

2

+x+m

x+m có tiệm cận xiên qua điểm A(2; 0) Gợi ý:

+ D = R \ {-m}

+ y=− x+m+1− m

2

x+m có đờng tiệm cận xiên m≠0 Phơng trình đờng tiệm cận xiên d: y = - x + m +1( m≠0 ) d qua A(2; 0) ⇔0=−2+m+1⇔m=1

§S : m =

VÝ dơ 2: Cho hµm sè : y=x

2

− x −1

x −2 có đồ thị (C)

y=x

2− x −1

x −2 =x+1+

x −2

Hµm sè cã tiƯm cËn d1: x =

d2: y = x + hay : x – y + = §iÓm A(x0; x0+1+

1

x0−2) (C)

Khoảng cách từ A đến d1 h1=|x0−2| Khoảng từ A đến d2 h2=|x0− y0+1|

√2 =

1

2|x02|

h1, h2 > nên áp dụng BĐT Cô si ta có: h1+h22h1.h2=2

2=

√2=

√8

Suy : h1 + h2 nhá nhÊt h1 = h2 = 41

√2 hay |x0−2|=¿

√2 ⇔x0=2±

√2; y0=3±

√2±

√2

Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm đờng tiệm cận hàm số sau:

a) y=3x+4

x −1 ; b) y=2x

+7x+4

x+3 ; c) y=x+√x

2

+1 ; d) y=√x2+3x+4 §S:

a) TC§ : x = 1; TCN : y = b) TC§ : x = -3 ; TCX : y = 2x +1 c) TCN : y = 0; TCX : y = 2x d) TCX ë + ∞ lµ : y=x+3

2 ; TCX ë - ∞ lµ : y=− x −

Bài 2: Hãy xác định tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau: a) y=x

2

−6x+3

x −3 ; b) y=

x2+x+1 x2+1 §S:

a) TCX : y = x – b) TCX : y = x Bµi : Cho hµm sè y=x

2

+mx+1

x −1 (Cm) Tìm m để tiệm cận xiên (Cm):

a) §i qua ®iĨm M(1; -3)

b) Tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích (đvdt) Gợi ý:

+ D = ¿ ¿R{1

¿ Ta cã: y=x

2

+mx+1

x −1 =x+m+

m x −1

ĐK để (Cm) có tiệm cận xiên : m≠0 (*) Khi vì: lim

x →+∞[y −(x+m+1)]=x →lim+∞ m x −1=0

Nªn : y = x + m + (Δm) tiệm cận xiên (Cm)

a) (m) ®i qua M(1 ; -3) ⇔−3=1+m+1⇔m=−5 tho¶ ®k (*) b) Gäi A=(Δm)∩Ox⇒A(− m−1;0) ; B=(Δm)∩Oy⇒B(0;m+1)

SΔOAB=1

2 OA OB=

2|− m−1|.|− m+1|= 2(m+1)

Theo gi¶ thiÕt :

SΔOAB=8⇔1

2(m+1)

=8⇔(m+1)2=16⇔ m+1=4

¿ m+1=−4

¿ m=−5

¿ m=3

¿ ¿ ¿ ⇔¿

(thoả (*))

Bài 4: Cho hµm sè y=x

2

− x −1

x −2 (C) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm (C) đến hai

tiệm cận (C) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm Gợi ý:

y=x

2− x −1

x −2 =x+1+

x −2

TC§ d1 : x =

TCX d2 : y = x + hay x – y + = §iĨm : A(x0; x0+1+

x −2) (C) Khoảng cách từ A đến d1 h1= |x0−2|

Khoảng cách từ A đến d2 h2 = |x0− y0+1|

√2 =

1

√2|x0−2|⇒h1.h2=|x0−2|

√2|x0−2|=

√2 không đổi với bt

kì vị trí A (C)

Chủ đề v: khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm số đa thức phân thức

Soạn: 05/10/2009 Giảng: 06/10  Các bớc khảo sát biến thiên vẽ th ca hm s:

Tìm TXĐ hàm số ; xét tính chẵn , lẻ tuần hoàn hàm số(nếu có) Xét biến thiên cđa hµm sè

+ Tìm giới hạn vơ cực giới hạn vơ cực (nếu có) hàm số Tìm đờng tiệm cận đồ thị (nếu có)

+ LËp BBT cđa hµm sè, bao gåm:

Tính đạo hàm xét dấu đạo hàm; xét chiều biến thiên ; tìm cực trị (nếu có), điền kết vào bảng

 Vẽ đồ thị hàm số

+ Vẽ đờng tiệm cận đồ thị hàm số (nếu có)

+ Dựa vào BBT yếu tố xác định để vẽ Có thể tìm số điểm khác ngồi điểm đặc biệt để vẽ đồ thị xác

+ Nhận xét đồ thị: trục tâm đối xứng đồ thị (nếu có)

Dạng 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số theo bớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số. Ví dụ 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2.

b) y = -x3 + 3x2 – 4x + 2 c) y = x4 – 2x2 – 3. d) y = -x4 – 2x2 + 3. e) y = 2x −1

x −1

f) y = x+1

2x+4

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 6x ; y’ =

⇔ x=0

¿ x=−2

¿ ⇒ y=−1 ⇒ y=3

¿ ¿ ¿

Giới hạn vô cực : x →− ∞lim (x3+3x2−1)=− ∞ ; lim x →+∞(x

3

+3x2−1)=+∞ BBT :

x − ∞ - +∞

y’ + - +

y

+∞

− ∞ -1

Hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; - ) (0 ; +∞ ) ,nghịch biến khoảng (-2 ; 0) Hàm số đạt cực đại x = - , yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = , yCT = -1

Đồ thị hàm số nhận điểm I (-1 ; 1) làm tâm đối xng Dạng 2: Một số tính chất hàm bậc ba

Giảng: 13/10/2009 I.

Mét sè tÝnh chÊt cđa hµm bËc ba

1 Hàm số có cực đại ,cực tiểu ⇔ Δ = b2−4 ac >0

2 Hàm số đồng biến ℜ ⇔

¿ a>0 Δ≤0

¿{ ¿

3 Hàm số nghịch biến

¿ a<0 Δ≤0

¿{ ¿

4. Để tìm giá trị điểm cực trị ( Đờng thẳng hai điểm cực trị) trờng hợp hoành độ cực trị số lẻ ,ta thực phép chia đa thức y cho y’ ta đợc:

y=y’.g(x) +h(x) ta cã:

+Gọi (xo; y0) toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số y’( x0¿ =0 +Do đó: y ( x0¿ =y’( x0¿ g( x0¿ + h( x0¿ = h( x0¿

Khi : Đờng thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thịhàm số có dạng: y= h(x)

Chú ý: Nếu tìm đợc hai điểm cực trị lần lợt A (x1; y1) B (x2; y2)

Thì đờng thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: x − x1 x2− x1

= y − y1 y2−y1

5. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Thật vậy, thực phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ ⃗OI

Với I điểm uốn có toạ độ là:

¿ x0=− b

3a y0=ax03+bx02+cx0+d

¿{ ¿

Công thức đổi hệ trục toạ độ

¿

x=X+x0

y=Y+y0

¿{

¿

Thay x,y vào phơng trình hàm số ta đợc:

Y+

X+x0¿2+c(X+x0)+d

X+x0¿3+b¿

y0=a¿

<=> Y=a X3+g(x).X

Hàm số hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I (xo; y0) làm tâm đối xứng 6.Tiếp tuyến điểm uốn:

Tếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số có hệ số góc K nhỏ a>0 lớn a<0 tất tiếp tuyến đồ thị hàm số:

ThËt vËy, ta cã y’= ax02+2 bx0+c=a(x0+

b

3a)

2

+3 ac− b

2 3a * nÕu a>0 th× K ❑NN=3 ac−b

2

3a đạt đợckhi x ¿− b

3a * nÕu a>0 th× K ❑LN=3 ac−b

2

3a đạt đợckhi x ¿− b

mµ y’’=6ax +b=0 <=> x= − b

3a nªn x ¿− b

3a hồnh độ điểm uốn => ĐPCM

7. Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm đồ thị với trục hồnh)

*Bài tốn1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc ph ơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có nghiệm pb) , thơng thờng ta sử dụng cách sau đây:

Cách 1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm đồ thị trục hồnh nghiệm phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = o đó:

Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0¿ <=> (x- α )( a x2

+ex+l¿ =0

<=>

x=α ¿

g(x)=ax2+ex+l=0 ¿

¿ ¿ ¿

(*) ycbt <= > pt (*) cã nghiÖm pb x α

<= > ¿ Δ❑>0

g(α)≠0 ¿{

¿

Chú ý: Khi điểm A (α ;0) mộtđiểm cố định đồ thị hàm số

Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành ®iÓm pb

<=>

¿ y '=0 y(x1).y(x2)<0

¿{ ¿

* Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hồnh độ dơng( phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có nghiệm dơng pb)

Cách1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm đồ thị trục hoành nghiệm phơng trình: ax3 + bx2

+ cx + d = o đó:

Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0¿ <=> (x- α )( a x2

+ex+l¿ =0

<=>

x=α>0 ¿

g(x)=ax2+ex+l=0 ¿

¿ ¿ ¿

(*) ycbt <= > pt (*) cã nghiƯm d¬ng pb

x α <=> ¿ Δg>0

s>0 p.>0 g(α)≠0

¿{ { { ¿

Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hồnh độ dơng

Cã nghiƯm pb x1, x2

x2

x1

<=>

¿ y '=0 y(x1).y(x2)<0

a.y(o)<0 ¿{ {

¿

* Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hồnh độ âm ( Hoặc phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có ba nghiệm âm pb)

Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm đồ thị trục hoành nghiệm phơng trình: ax3 + bx2

+ cx + d = o đó:

Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0¿ <=> (x- α )( a x2+ex+l¿ =0

<=>

x=α<0 ¿

g(x)=ax2+ex+l=0 ¿

¿ ¿ ¿

(*) ycbt <= > pt (*) cã nghiƯm ©m pb

x α <=> ¿ Δg>0

s<0 p.>0 g(α)≠0

¿{ { { ¿

Cách2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hồnh độ âm

<=>

¿ y '=0 y(x1).y(x2)<0

a.y(o)<0 ¿{ {

¿

Chú ý: Nếu tốn u cầu: “Tìm giá trị tham số để phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*) Có nghiệm phân biệt

2 Cã nghiƯm d¬ng pb Có nghiệm âm pb

Thì ta sử dụng phơng pháp hám số : - Đa phơng trình (*) dạng: f(x)= h(m)

- Lập bảng biến thiên hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( ;+ khoảng (o ;+) khoảng ( ;0) ) tuỳ theo yêu cầu toán 1, hay3

- Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm tham sè

Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tai điểm có hồnh độ x1, x2, x3 cách nhau.(Lập thành cấp số cộng)

Cách1 (PP đại số)

*ĐK cần : Hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*)

Giả sử pt(*) có nghiêm x1, x2, x3 cách ,khi ta có

¿ x1+x3=2x2

x1+x2+x3=−b

a ¿{

¿

<=> x2=− b

3a

Thay x2=− b

*ĐK đủ: Thay giá trị tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*) tìm nghiểmồi kết luận.

Cách2: Đồ thị cắt trục hoành điểm cáchđều điểm uốn thuộc trục hồnh( Vì điểm uốn

là tâm đối xứng đồ thị) ta có x ¿− b

3a hoành độ điểm uốn =>y(- b

3a )=0 => Giá trị tham số

8 Vi Đờng thẳng (d) qua điểm I( x1; y1¿ có hệ số góc m tiếp xúc với đồ thị hàm số y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)

- lập pt đờng thẳng (d): y=m(x- x1+y1

- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) <= > hÖ pt sau cã nghiÖm

¿

ax3+bx2+cx+d=m(x − x1)+y1

3 ax2

+2 bx+c=m ¿{

¿

- Sử dụng pp để tìm hệ số góc m thay vào phơng trình đờng thẳng(d) ta đợc đờng thẳng cần tìm Chú ý : Đờng thẳng (d) trờng hợp tiếp tuyến đồ thị hàm số Do sử dụng pp để giải toán “viết pt tiếp tuyến với ( C) qua điểm I( x1; y1¿ cho trớc

9 Đồ thị hàm số y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (C) tiếp xúc với đờng thẳng y=kx+m

Khi hệ phơng trình sau có nghiệm:

¿

ax3

+bx2+cx+d=kx+m

3 ax2

+2 bx+c=k {

Đặc biệt , Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thĨ sư dơng mét c¸ch sau

C¸ch1 Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành hệ phơng trình sau có nghiệm :

¿ y=0 y '=0

¿{ ¿

( Vì phơng

trình trục hoành y=0)

Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm nghiệm pt: ax3 + bx2 + cx + d =0

<=

>(x-¿ x=α

¿

g(x)=ax2+ex+l=0(∗) ¿

¿ ¿

αax2+ex+l¿=0⇔¿ ¿

Ycbt <=> pt(*)có nghiêm x= có nghiệm kép x α

<= >

¿Δg=0 g(α)≠0

¿ g(α)=0

¿ ¿{

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

10 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm ( phơng trình ax3 + bx2 + cx + d =0)

<= >

¿y '=0 y(x1).y(x2)>0

¿

y ' ≥0(y ' ≤0)∀x ¿

¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

¿

cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biƯt

11 Đồ thị hàm số có cựcđại cực tiểu nằm hai phía trục tung y’=0 có hai nghiệm x1, x2 trái dấu <=> P<0

12 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hồnh khi

cã hai nghiÖm x1, x2

¿ y '=0 y(x1).y(x2)<0

¿{ ¿

ph©n biƯt

13 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm phía trục hồnh khi

cã hai nghiÖm x1, x2

¿ y '=0 y(x1).y(x2)>0

¿{ ¿

ph©n biƯt

14 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung khi y’=0 có hai nghiệm

x1, x2 cïng dÊu <= > ¿ Δ>0 P>0 ¿{

¿

15 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu có hồnh độ dơng pt y’=0 có hai nghiệm x1>0, x2 >0

<= > ¿ Δ>0 S>0 P>0 ¿{ {

¿

16 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu có hồnh độ âm pt: y’=0 có hai nghiệm x1<0, x2 <0 <=

> ¿ Δ>0 S<0 P>0 { {

II tập th ờng gặp Ging: 27/10/2009 Bài 1.Cho hàm sè: y = x3 – mx + – m

1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến có hệ số góc điểm có hồnh độ x = Viết pt tiếp tuyến điểm

1.Khảo sát vẽ đồ thị a = 1, b = 2.Tìm a, b để hàm số có cực đại cực tiểu 3.CMR: đồ thị hàm số cắt Ox điểm

Bài 3.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – (Cm) 1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.ViÕt pt tiÕp tun cđa (Cm) qua ®iĨm A(0, -1)

3.Tìm m để (Cm) có CĐ, CT đờng thẳng qua hai điểm song song với đờng thẳng y = kx Bài 4.Cho hàm số: y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (Cm)

1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.CMR: (Cm) qua điểm cố định

3.Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dơng

Bài 5.Cho hàm số: y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (Cm) 1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.Tìm điểm cố định (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox 3.Tìm m để (Cm) đồng biến ¿

4.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng y = - 49x + 98 Bài 6.

1.Khảo sát vẽ đồ thị y = x3 + 3x2 + 3x + 5

2.CMR: không tồn hai điểm đồ thị mà tiếp tuyến hai điểm vng góc với 3.Tìm k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến đồ thị vng góc với y = kx Bài 7.Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + (Cm)

1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.CMR: (Cm) cắt y = x3 + 2x2 + hai điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I AB 3.Tìm m để (Cm) cắt y = C(0; 1), D, E phân biệt tiếp tuyến D E vng góc với Bài 8.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + (C)

1.Khảo sát vẽ đồ thị

2.Viết phơng trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A(1, -1) 3.Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: |x| (x – 3)2 = m Bài 9.Cho hàm số: y = x3 + (m - 1)x2 – (2m + 1)x - (Cm) 1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox

3.Tìm m để (Cm) đạt cực trị điểm có hồnh độ x1, x2 thoả mãn x12+x22=2 Bài 10.Cho hàm số: y = mx3 - 3mx2 + (2m + 1)x + - m (Cm)

1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.Tìm m để (Cm) có cực đại cực tiểu Chứng minh đờng thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị (Cm) ln qua điểm cố định

Bµi 11.Cho hµm sè: y =

3 x3 - 2x2 + 3x + (C)

1.Khảo sát vẽ đồ thị 2.Chứng minh A(2;

3 ) tâm đối xứng đồ thị

3.Tìm điểm (C) có hệ số góc tiếp tuyến điểm nhỏ 4.Lập phơng trình tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng y = 3x – Bài 12.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - (Cm)

1.Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =

2.Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) biết chúng qua A(0, -1)

3.Tìm m để (Cm) có cực trị đờng thẳng qua hai điểm vng góc với đờng thẳng y = x Bài 13.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 – 9x + m (Cm)

1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2.Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 14.Cho hàm số: y =

3 x3 - 2x2 + 3x (C)

1.Khảo sát vẽ đồ thị 2.Qua A(

9;

3 ) kể đợc tiếp tuyến với đồ thị hàm số Viết phơng trình tiếp tuyến

3.CMR: khơng có tiếp tuyến khác đồ thị hàm số song song với tiếp tuyến qua B(2;

3 ) đồ thị

Bµi 15.Cho hµm sè: y = m−1

3 x3 + mx2 + (3m – 2)x (C)

1.Tìm m để hàm số: a.Đồng biến

b.Cắt Ox điểm phân biệt Khảo sát vẽ đồ thị m =

2 suy đồ thị |y| = x3 +

3 x2 +

5

2 x

Bài 16.Cho hàm số: y = x3 + mx2 + 7x + (Cm) 1.Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm CĐ, CT Khảo sát vẽ đồ thị m =

3.Tìm m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ Bài 17.Cho hàm số: y = f(x) = x3 + x - (C)

1.Khảo sát vẽ đồ thị

2 Giả sử f(x0) = Chứng minh x02 - x0 < 3.Từ đồ thị (C) vẽ đồ thị y = |x|3+|x|−1

Bài 18.Cho hàm số: y = x3 - mx2 + mx + 2m - (Cm) 1.Khảo sát vẽ đồ thị m =

2 Tìm m để hàm số có hai cực trị hai điểm nằm phía đờng thẳng x – =

3.CMR: đồ thị hàm số qua hai điểm cố định Viết pt đờng thẳng (d) qua hai điểm cố định tìm m để (Cm) tiếp xúc với (d)

Bµi 19.Cho hµm sè: y = x3 - 3mx2 + (m – 1)x + (Cm) 1.Chứng minh hàm số cã cùc trÞ

2 Tìm m để hàm số có hai cực tiểu x = Khảo sát vẽ đồ thị với m tìm đợc 3.Biện luân theo k số nghiệm phơng trình: x 2 – 2x – = k

|x −1| Bài 20.Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m - (Cm) 1.Khảo sát vẽ đồ thị (C1) m =

2 Tìm đờng thẳng y = điểm mà từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C1) 3.Tìm điểm mà đồ thị (Cm) qua với m

Bài 21.Tìm m để hàm số y= x3−3 mx2+3(m2−1)x+m đạt cực tiểu x=2

Bài 22 Tìm m để hàm số y= x3−3 mx2+(m −1)x+2 đạt cực tiểu x=2 đạt cực tiểu x=2 Bài 23 Cho h/s y x 3 3mx29x1 (1)

a.K/s m =

b.Tìm m để điểm uốn (1) thuộc đờng thẳng y = x+1

Bài24.ĐH-CĐ Kd-05:Gọi Cm đồ thị h/s:

3

1

(*)

3

m y x  x  a.K/s m=2

b.Gọi M điểm thuộc Cm có hồnh độ 1.Tìm m để tiếp tuyến Cm M song song với đờng thẳng 5x-y=0

Bài25 ĐH-CĐ Ka-06: cho hàm số y2x3 9x212x (1) a.K/s vê đồ thị hàm số (1)

b.Tìm m để pt sau có nghiệm phân biệt :

3 2

2 x  9x 12 x m Bài26 ĐH-CĐ Kd-06: Cho h/s y x 3x2 ( C )

a.K/s (C)

b.Gọi d đờng thẳng qua A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phânbiệt Bài27 ĐH-CĐ Kb-07: Cho h/s:y x 33x23(m21)x 3m21(1)

a.K/s m=1

b.Tìm m để h/s có cực đại cực tiểu điểm cực trị cách gốc toạ độ Bài28.Cho h/s y=x3 (m1)x2 (m1) (*)x có đồ thị Cm

a.K/s m=1

Bài 29.Cho h/s yx33x a.K/s gọi (C) đồ thị

b.ViÕt pttt cña tt biÕt tt ®i qua A(-2;0)

c.BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cđa pt x3 3x 2 log2m0

Bµi30.Cho h/s y=

3

2

1(1) 3x  mx  a.K/s m=1, viết pttt điểm uốn b.Tìm m để (1) tiếp xúc với trục Ox

c.Tìm m để (1) nhận điểm có hồnh độ x=1 làm điểm uốn Bài 31.Cho h/s y=x3mx2 x m (1) (Cm)

a.K/s (1) m=1

b.Tìm m để Cm cắt trục hoành ba điểm phân biệt hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng Bài 32Cho h/s y= x3 mx m 

a.K/s m=3

b.Gọi (Cm) đồ thị h/s cho Chứng tỏ rằngtt (Cm) điểm uốn qua điểm cố

định m thay đổi

Bµi 33.Cho h/s y=x3 3(m1)x23(2m1)x a.K/s m=1

b.Tìm m để h/s cho đồng biến :0; Bài 34.Cho h/s y=x3 3x24m

a.Cmr đồ thị h/s ln có điểm hai cực trị Khi xđ m để hai cực trị thuộc trục Ox b.K/s m=1 (C)

Bµi 35.Cho h/s y=x3 mx21 (Cm)

a.Khi m=3: K/s vẽ đồ thị hàm số Tìm đồ thị h/s tất cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ b.Xđ m để đờng cong Cm tiếp xúc với đờng thẳng (d):y=5.Khi tìm giao điểm cịn lại (d) với đờng cong

Bµi 36.y=(x-1)(x2-2mx-m-1)(1) a.K/s m=1

b.Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ lớn -1 Bài 37.Cho h/s y=x33mx21(1)

a.K/s m=1

b.Tìm quỹ tích điểm cực đại h/s (1) m thay đổi Bài 38.Cho h/s y=2x3 3x21(1),( )C

a.K/s

b.Tìm k để (d):y= kx-1 cắt (C) ba điểm phân biệt có hai điểm có hồnh độ dơng Bài 39 ĐH-CĐ Ka-02: Cho hàm số y =  x33mx23(1 m x m2)  3 m2 (1)

a)Khảo sát vẽ m=1

b)Tỡm k để pt x33x2k3 3k2 0 có ba nghiệm phân biệt c)Viết pt đờng tthẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Bài 40 ĐH-CĐ Kb-03 : Cho hàm số y = x3 3x2m(1)

a.Tìm m để (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ b.K/s vẽ m =2

Bài 41 ĐH-CĐ Kd-04 :Cho h/s y x 3 3mx29x1 (1) a.K/s m =

b.Tìm m để điểm uốn (1) thuộc đờng thẳng y = x+1

Bài 43 Tìm m để hàm số y= m−1

3 x

3

+mx2+(3m−2)x đồng biến

Bài 44.Tìm m để hàm số y= −1

3x

+(m−1)x2+(m+3)x đồng biến khoảng(0;3)

Bài 45Tìm m để hàm số y=

3mx

−(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 đồng biến khoảng [2;+ ∞ )

Bài 46 Tìm m để hàm số y= x3+3x2+(m2−2m)x+4m có cực đại cực tiểu nằm phía trục tung

Bài 47 Tìm m để hàm số y=

3mx

3

−(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 có cực đại cực tiểu nằm hai phía đối

víi trơc tung

Bài 48Tìm m để hàm số y=

3mx 3−

(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 có cực đại cực tiểu có hồnh độ dơng

Bài 49.Tìm m để hàm số y= −1

3x

+(m−1)x2+(m+3)x có cực đại cực tiểu có hồnh độ âm

Bài 50 Tìm m để hàm số y= m−1

3 x

3

+mx2+(3m−2)x cực trị

Bi 51.Tỡm m hm số y= x3−3 mx2+3(m2−1)x −(m2−1) cắt trục hoành độtại điểm pb có hồnh độ dơng

Bài 52Tìm m để hàm số y=

3 x

−(m−1)x2+3(m−2)x+1

3 có cực đại cực tiểu nằm hai phía đối đờng

th¼ng x=1

Bài 53.Tìm m để hàm số y= x3−3x2−9x+m cắt trục hồnh độtại điểm pb B i 54:à Cho hàm số : y=x3−3x2+4

a) Khảo sát SBT vẽ đồ thị (C) hàm số CMR đồ thị (C) có điểm uốn I tâm đối xứng b) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ

Gỵi ý: a)

* Chứng minh (C) có I( 1; 2) tâm đối xứng: Ta có: ⃗OI=(1;2)

Phép tịnh tiến T⃗OI: Oxy→IXY Công thức đổi trục cho :

¿

x=X+x1=X+1

y=Y+y1=Y+2

¿{

¿

Thay vào y=x3−3x2+4 , ta đựơc : Y + = ( X + 1)3 - 3( X + 1)2 + 4 ⇔Y=X3

−3X

Đây hàm số lẻ nên đồ thị nhận I tâm đối xứng b) Hệ số góc tiếp tuyến M( x0; y0) thuộc (C):

¿

0

¿k=y'(x0)=3x02+6xalignl¿❑ k'

=y' '(x0)=6x0−6

x0 − ∞ -1 +∞ k' - +

+∞ +∞

-3

Suy hÖ sè gãc k nhá nhÊt b»ng -3 t¹i x0 = hay y0 = 2, tức điểm uốn I Phơng trình tiếp tuyến (C) có hệ số gãc nhá nhÊt lµ : y – = - (x - 1) hay y = -3x +

 Tổng quát : Với đồ thị y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠0)

+ a > 0: Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ + a < 0: Tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn B i 54:à Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 + ax2 + có:

a) Hai điểm uốn b) Không có điểm uốn c) Có điểm uốn Gợi ý:

+ D = R

+ y'=4x3+2 ax; y' '=12x2+2a

a) Đồ thị có hai điểm uốn y''=0 cóa hai nghiệm phân biệt y'' đổi dấu qua hai điểm ⇔a<0 , hồnh độ điểm uốn x=±√− a

6 b) Nếu a ≥0⇒y''≥0 đồ thị khơng có điểm uốn

c) Đồ có giá trị a để đồ thị có điểm uốn

Dạng 3: Giao điểm hàm bậc trùng phơng với trục hoành

Son:27/10/20009

Ging: 3/11/2009

Phơng pháp:

Hàm bậc trùng phơng y = f(x) = ax4 + bx2 + c

Đặt t = x2 ( t ≥0 ) pt trë thµnh f(t) = at2 + bt + c

Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt f(t)=0 có nghiệm t1 < < t2 Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt f(t)=0 có nghiệm = t1 < t2 Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt f(t)=0 có nghiệm < t1 < t2

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 6x2 + 9x + m có đồ thị (Cm) Xác định giá trị m để th (Cm):

a) Cắt trục hoành điểm b) Cắt trục hoành điểm phân biệt Gợi ý: TXĐ : D = R.

+

y'=3x2+x+; y'=0⇔ x1=−1

¿ x2=−3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

+ y(x1) = y(- 3) = m; y(x2) = y(- 1) = m + (Cm) cắt trục hoành ®iĨm nhÊt

m<0 ¿ x>4

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔y(x1).y(x2)>0 ⇔m(m−4)>0

⇔

⇔y(x1)y(x2)<0 ⇔m(m−4)<0

⇔0<m<4

Ví dụ 2: Cho hàm sồ f(x) = mx4 – 2(m – 1) x2 + m -1 (1) Xác định m để (Cm) : a) Cắt trục hồnh hai điểm phân biệt

b) C¾t trục hoành điểm phân biệt Gợi ý:

+ D = R

+ Đặt t = x2 víi t ≥0 , (1) trë thµnh: g(t) = mt2 -2(m - 1) t + m – 1. Víi m = 0.: g(t) = ⇔2t −1=0⇔t=1

2⇔x

=1

2⇔x=±

√2

Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt

a) Đồ thị cắt trục hoành điểm ph©n biƯt ⇔ f(x) = cã hai nghiƯm ⇔g(t)=0 cã nghiÖm t1 < < t2

⇔ag(t)<0⇔m(m −1)<0⇔0<m<1 Với 0<m<1 đồ thị cắt trục honh ti im phõn bit

b) Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt f(x) = có hai nghiệm dơng phân biệt < t1 < t2 ⇔

m≠0

Δ' >0 P>0 S>0 ⇔ ¿m ≠0

1− m>0 m−1

m >0

2(m −) m >0 ⇔m<0

¿{ { {

Vởy m < đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt

Chủ đê vi: số toán thờng gặp đồ thị

Soạn: Bài toán : Lập phơng trình tiếp tuyến với dồ thị hàm số

Dng 1: Lập phương trỡnh tiếp tuyến điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị (C).

 Pttt M(x0;y0) có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0

 Ta có : x0 =……., y0 =……

 Tính đạo hàm f’(x)=……… f’(x0)=………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta pttt M

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y=x3 3x22 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(1;0) Bài 2: Cho hàm số y= x42x2 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(2;-8) Bài 3: Cho hàm số y=

2

1 x x



 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(2;1) Bài 4: Cho hàm số y=

1 x

x  

Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(1;1)

Chú ý : Các trường hợp đặc biệt

1 Tiếp tuyến điểm M có hoành độ x = x0

2 Tiếp tuyến điểm M có tung độ y = y0

3 Tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số trục hoành Tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số trục tung D¹ng 2: Tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x = x0

Phương pháp :

 Pttt M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0

 Ta có : x = x0 Thế x0 vào pt hàm số y=f(x) để tính y0

 Tính đạo hàm f’(x) =……… f’(x0) =………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta pttt M

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y =x33x4.Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có hoành độ : x = -2

Bài 2: Cho hàm số y =x42x21 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ: x = -2 Bài 3:Cho hàm số y =

2 x x



 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x = -1 Bài 4:Cho hàm số y =

2 x

x  

.Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x = -2

D¹ng 3: Tiếp tuyến điểm M có tung độ y = y0

Phương pháp :

 Pttt M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0

 Ta có : y = y0 Thế y0 vào pt hàm số y = f(x) để tính x0

 Tính đạo hàm f’(x) =……… f’(x0) =………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta pttt M

Bài 1: Cho hàm số y =x42x2 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có tung độ y = Bài 2: Cho hàm số y =

2

1 x x



 Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có tung độ y = D¹ng 4: Tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số trục hoành

Chú ý : Điểm M nằm trục hồnh có tung độ y0 =0 , tức M(x0;0)

Phương pháp :

 Pttt M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0

 Ta có : y0=0 Thế y0 vào pt hàm số y=f(x) để tính x0

 Tính đạo hàm f’(x)=……… f’(x0)=………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta pttt

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y= x42x2 Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm đồ thị hàm số trục hoành

.

Bài 2: Cho hàm số y=

3 x x



 Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm đồ thị hàm số trục hoành D¹ng 5: Tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số trục tung

Chú ý : Điểm M nằm trục tung có hồnh độ x0=0 , tức M(0;y0)

Phương pháp :

 Pttt M có dạng :yf x'( )(0 x x 0)y0

 Ta có : x0=0 Thế x0 vào pt hàm số y=f(x) để tính y0

 Tính đạo hàm f’(x)=……… f’(x0)=………

 Thế x0,y0, f’(x0) vào phương trình yf x'( )(0 x x 0)y0 , thu gọn ta pttt

Bài tập áp dụng

Bài 2: Cho hàm số y=

2 x x



 Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị hàm số trục tung Bài tập tương tự :

Bài 1: Cho hàm số y=x33x2 4

a/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(-3;-4)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x = c/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có tung độ y =-

a/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M(-2;-9)

b/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x = c/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M có tung độ y= -1

d/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại giao điểm đồ thị hàm số trục hoành e/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại giao điểm đồ thị hàm số trục tung Dạng 6: Lập phơng trình tiếp tuyến đờng cong (C) qua điểm M(x1; y1)

Phơng pháp: Cách 1:

 Viết phơng trình đờng thẳng d đI qua điểm M có hệ số góc k: y = k (x – x1) + y1 (1)

 Đờng thẳng d tiếp xúc với đờng cong (C) điểm có hồnh dộ x0 néu x0 k nghiệm hệ pt:

¿

f(x)=k(x − x1)+y1 f'(x)=k

¿{ ¿

Ta tÝnh k råi thay vµo (1)

 Cách 2: ( Tìm hồnh độ tiếp điểm x0)

 Phơng trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0, y0) lµ: y=yx0

'

(x − x0)+f(x0)(1)

 Vì tiếp tuyến qua M( x1, y1) nên x1, y1 nghiệm (1): y1=yx0

'

(x1− x0)+f(x0)(2)

 Giải phơng trình (2) ta có x0, x0 vào phơng trình (1) , ta có phơng trình tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho parabol y = x2 – 4x + Viết phơng trình tiếp tuyến với parabol qua điểm A (3/2;-3) Gợi ý: Gọi (d) đờng thẳng qua A có hệ số góc k có pt là:

y=k(x − xA)+yA⇔y=k(x −3

2)−3

ĐK để (d) parabol tiếp xúc hệ phơng trình sau có nghiệm:

¿ x2−4x

+3=k(x −3

2)−3(1) 2x −4=k(2)

¿{ ¿

Tõ (1), (2) suy ra: x2−4x+3=(2x −4)(x −3

2)−3

⇔x2−3x=0⇔x=0, x=3 hồnh độ tiếp điểm + Với x = suy k = -4 , tiếp tuyến : y = -4x+3

+ Víi x = suy k = 2, tiÕp tuyÕn lµ : y = 2x –

VÝ dô 2: Cho (C) : y = 4x3 3x Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) ®i qua A(2; -1) Gỵi ý:

Hồnh độ tiếp điểm nghiệm phơng trình: 8x3 – 24x + = 0 ⇔(x −1

2)(8x

−20x −10)=0

Ví dụ 3: Tìm tất điểm đồ thị hàm số : y=(x −1)2(x −4) mà qua ta kẻ đợc tiếp tuyến với đồ thị

Gỵi ý: Ta cã:

y=(x −1)

2

(x −4)=x3−6x2+9x −4 I(m;m3−6m2+9m−4)

¿x1=m x0=m x3=− m+6

2

¿

(x0− m)[2x0 2−

(6+m)x0− m2+6m]=0

⇔ { {

§Ĩ cã tiÕp tun nhÊt : m=−m+6

2 ⇔m=2

Suy ra: I(2;−2) tâm đối xứng đồ thị hàm số

Ví dụ 4: Hãy tìm đờng thẳng : y = -2 điểm mà từ kẻ đến đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 + hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

Gỵi ý:

Gọi A ( m ; -2) thuc ng thng y = -2

Phơng trình tiếp tuyến điểm M0( x0 ; y0) thuộc (C): y − y0=f'(x0) (x − x0)

⇔y=(3x02−6x0)x −2x30+3x02+2

TiÕp tuyÕn qua A : -2 =

x0=2 ¿

2x0

+(1−3m)x0+2=0( )

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

(3x02−6x

0)m−2x0

+3x02+2 ⇔(x0−2)[2x0

2

+(1−3m)x0+2]=0

⇔

¿

Hai tiÕp tun cđa (C) kh«ng song song víi Oy, nên hai tiếp tuyến vuông góc ứng tiếp điểm nghiệm ph-ơng trình:

k1.k2 = -1

⇔y1' y2'=−1

⇔(3x12−6x 1)(3x2

2−6x 2)=0

⇔(x1x2)

−18x1x2(x1+x2)+36x1x2+1=0(**)

Víi x1+x2=3m−1

2 , x1x2=1

(**) ⇔−27m+55=0⇔m=55

27⇒A( 55 27;−2)

Dạng 7: Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = f(x) có hệ số góc k. Phơng pháp:

 TÝnh y'=f(x)

 Giải phơng trình : f'(x)=k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0

 Thế x0 vào phơng trình y = f(x) để tìm tung độ tiếp điểm y0, phơng trình tiếp tuyến là: y = k (x – x0) +y0

Dạng :Lập phơng trình tiếp tuyến (d) tiếp xúc với (C) điểm. Phơng pháp:

Phơng trình (d) : y = ax + b

 Phơng trình hồnh độ giao điểm (d) (C) : f(x) = ax + b (1)

 Từ (1) phải có hai nghiệm số kép x1, x2 , từ tìm đợc a b suy phơng trình tiếp tuyến Ví dụ: Hãy xác định a b để đờng thẳng (d) : y = ax + b tiếp xúc với đờng cong

(C) : y = x4 4x3 +4x hai điểm phân biệt. Gỵi ý:

Phơng trình hồnh độ giao điểm (d) (C) :

   

4 4 4 4 4 0 1

x  x  x ax b   x  x   a x b 

     

       

2

4

2

4 2

4 , ,

4 2 , ,

x x a x b x u x v x R u v

x x a x b x u v x u v uv x uv u v x u v x R u v

          

 

                

 

§ång nhÊt vÕ:

 

 

 

2

2

2

2

2 2 4

2 4

4

u v

u v a

u v uv uv b

uv u v b u v

a uv

u v b

u v u v

u v

  



  

 



 

  

  

 

  

       

  

     



  

 

   



VËy a = -4 , b =

Bài toán 2: Dựa v o à đồ thị biện luận số nghiệm PT : f(x)=m Sự tơng giao hai đồ thị. Phương phỏp :

1 D¹ng 1:

 Ta có : y = f(x) có đồ thị (C)

y = m có đồ thị đường thẳng d song song với trục hoành

 Số nghiệm phương trình f(x) = m với số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d  Dựa vào đồ thị hàm số ,ta suy số nghiệm phương trình f(x) = m

2 D¹ng 2:

 Các đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) cắt điểm M(x0; y0) (x0; y0) nghiệm hệ phơng trình :

¿ y=f(x) y=g(x)

¿{ ¿

Nh hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình :

f(x) = g(x) Chú ý :

◦ Ta dựa vào cực đại cực tiểu để suy số nghiệm

◦ Bài tốn thay m biểu thức chứa m VD: g(m)= am+b

◦ Nhiều tốn vế trái khơng phải hàm số f(x) mà có dạng h(x)=m , ta phải thực hiện

các phép biến đổi cộng , trừ ,nhân ,chia hai vế để đưa dạng f(x)=am+b Bài tập áp dụng

Bài 1: Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số : y = x2 – 2x +2.

Dùng đồ thị biện luận theo m, số nghiệm phơng trình : x2 – 2x + m = 0. Bài 2: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = x4 – 3x2 + 2.

Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phơng trình: x4 – 3x2 + 2m -1 = 0.

Phơng pháp:

Hai ng cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc với hệ phơng trình :

¿

f(x)=g(x) f'(x)=g'(x)

¿{

¿

cã nghiÖm

Ví dụ 1: Chứng minh hai đờng cong y = x3 + 5/4x – tiếp xúc với điểm Xác định tiếp điểm viết phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng cong cho điểm

Gỵi ý:

Hoành độ tiếp điểm hai đờng cong cho nghiệm hệ phơng trình:

(I)

¿ x3+5

4 x −2=x

+x −2 (x3+5

4x −2)=(x

+x −2) ¿{

¿

Ta cã :

(I)⇔ x3− x2+x

4=0 3x2+5

4=2x+1

⇔x=1

2

¿{

Vậy hai đờng cong cho tiếp xúc với điểm M(1

2;− 4)

Hệ số góc tiếp tuyến chung điểm M hai đờng cong cho : y'(1

2)=2

Phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng cong điểm M : y=2(x −1

2)−

4 hay y=2x −

4

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 +3 Lập phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 12x +

Gỵi ý:

Phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = 12x +1 có dạng : (d) y = 12x + b

Để (d) tiếp tuyến hệ phơng trình :

2x3−3x2+3=12x+b

6x2−6x=12 ¿{

¿

có nghiệm x (x hoành độ tiếp điểm)

Giải phơng trình x2 - x – = đợc x = -1 x = 2

Với x = -1 ta đựơc b = 10 Phơng trình tiếp tuyến : y = 12x + 10 Với x = ta đựơc b = -17 Phơng trình tiếp tuyến : y = 12x – 17 Ví dụ 3: Cho hàm số y=(2m−1)x − m

2

x −1 (1) , m tham số, Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng

(1) tiÕp xóc víi (2)

⇔

(2m −1)x −m2=x x −1

m2−2m+1 (x −1)2 =1

⇔ ¿x ≠1 (x − m)2=0 (m−1)2 (x −1)2=1

⇔m≠1