Đang tải... (xem toàn văn)
cuûa CD. c) Ñöôøng thaúng qua I vaø trung ñieåm cuûa BC thì vuoâng goùc AD.. d) Dieän tích tam caùc tam giaùc ACE vaø CDB. BC laø daây cung trung tröïc cuûa OM .A laø moät ñieåm baát k[r]
(1)MỘT TRĂM BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN TẬP TỐT NGHIỆP THCS Bài : Đường tròn (O,R) có AB đường
kính dây MN = R( Mvà N thuộc nửa đường tròn theo thứ tư A, M ,N ,B).Gọi S giao
điểm AM BN, H giao điểm BM AN
a)Tính số đo cung MN
b)Tính số đo góc ASB , MHN c)Chứng minh SMHN nội tiếp d) Chứng minh: SH⊥ AB
e) Gọi I trung điểm SH Chứng minh IM tiếp tuyến đường trịn (O)
Bài Cho hình vẽ : Biết ABC∆ nội tiếp (O) có AK , CE , BF ba đường cao , AD đường kính (O) , AK cắt (O) M (khác A ) xy tiếp tuyến A (O)
a) Tìm chứng minh ba tứ giác có đỉnh H nội tiếp đướng trịn
b)Tìm chứng minh ba tứ giác có cạnh ba cạnh tam giác ABC nội tiếp đướng tròn
c) Chứng minh :
BH = BM ; HE = NE d) Chứng minh : EF//NP// xy
Bài : Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O;R ) có AK , BF ,
CE ba đường cao cắt tai ïH Gọi I trung điểm BC
A Chứng minh
a) Nếu M H đối xứng qua K M ∈ (O)
b) Nếu D H đối xứng mhau qua I D ∈(O) c) OA ⊥EF (ba cách) H tâm đường trịn nội tiếp EKF∆
d) Tính R( ∆BHC) theo R
Bài : Cho hình vẽ : Biết tam giác ABC nội tiếp (O;R ) AD , BE hai đường cao cắt H AK đường kính , AD cắt đường tròn I , Gọi F giao điểm CH AB Đường thẳng EF cắt (O) M N
I
a)Chứng minh BI KC hình thang cân b)Chứng minh BHCK hình bình hành c)Chứng minh
(2)d) Chứng minh BHCD hình bình hành e) Chứng minh BMDC hình thang cân Bài : Cho hình vẽ : Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC ) AH ; AK đường cao phân giác tam giác ABC , AI cắt đường tròn điểm thứ hai K ( K khác A )
a) Chứng minh : BK = CK
b) Chứng minh AK phân giác ƠH c) Kẻ đường kính AD đường tròn (O) Chứng minh : AB.AC = AH.AD d) Chứng minh : IA.I K = IB.IC AB.KC = AK.BI e) Chứng minh KB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI
Bài 6:
Cho đường trịn (O; R) , Với kí hiệu có hình chứng minh:
a)Tứ giác CAIM , BDMI nội tiếp b)Tam giác CID vuông
c)EF // AB
d)Khi M cố đinh I thay đổi AO , tìm vị trí I để AC BD lớn
e) Cho bieát OI = R
AM = R Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD diện tích tam
CD CB = CE CA
AH.AD = AF.AB d)Chứng minh AM = AN e) Chứng minh OA ⊥ EF
f) Cho biết : AC = R Tính F Ê D độ dài đoạn thẳng DF , BH theo R
g)Tính DA2 +DB2 + DC2 + DI theo R
Bài : Cho hình vẽ : Biết hai đường trịn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc ngồi A CD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( C ∈ (O) , D
) ' (O
∈
a)Chứng minh ∆CAD vuông
b)Gọi M trung điểm CD Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) , từ suy OM ⊥ O’M
c) Các đường thẳng CA DA cắt (O) (O’) F E Chứng minh C, O , E
thẳng hàng D , O , F thẳng hàng d) Tính CD2 + EF2 theo R R’
e) Chứng minh : S∆CAD= S∆EAF Bài :
Cho hình vẽ , với kí hiệu có hình chứng minh :
(3)giaùc CID theo R
Bài : Cho đường tròn (O ;R ) điểm M cho OM = 2R Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O) ( A , B thuộc (O) ) C điểm thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến C cắt MA MB E F
a)Chứng minh : EF = EA + FB
b) Tính chu vi tam giác MEF theo R c) Tính E Ơ F
c) Gọi I K giao điểm OE OF với AB Chứng minh bốn điểm F , I , O ,B thuộc đường tròn
d) Khi Sđ cung BC 900 ,Tính độ dài EF diện tích tam giác OIK theo R
Bài 10 : Cho đường trịn (O ; R ) có AB đường kính Trên hai nửa khác đường trịn ta lấy hai điểm M N cho AM = R ; AN = R 2.Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B đường tròn C D Chứng minh
a) AM.AC = AN.AD b)Tứ giác MNDC nội tiếp
c) Gọi MK , NI , AJ ba đường cao tam giác AMN Tính số đo góc độ dài cạnh tam giác KIJ
b)
DE DM CE
CM = c) CN = CA
d) Gọi I giao điểm BC AD , F giao điểm MI AB Chứng minh MI // AC I trung điểm MF
e) Chứng minh : AB tiếp xúc đường trịn đường kính CD
Bài 11 : Cho đường tròn (O);R) điểm M nằm ngồi đường trịn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A B thuộc (O) )và cát tuyến MCD (MC < MD) Gọi I trung điểm CD Đường thẳng OI cắt đường thẳng AB K Chứng minh a) Các tứ giác MAOB , MHIK nội tiếp đường tròn
b) OI OK = R2
c) MH MO = MC.MD d) CĤD = 2CÂD
e)
AD AC BD BC
=
f)Cho bieát OM = 3R , CD = R ,Tính diện tích
tam giác MKC MK theo R Bài 12 :
(4)Baøi 13 :Cho đường trịn tâm (O;R) có AB CD hai đường kính vng góc I điểm nằm OB cho OI = OB
3
Đường thẳng CI cắt đường tròn E cắt BD K Đường thẳng AE cắt CD F Chứng minh:
a)Tứ giác OIED nội tiếp tính CI.CE theo R
c)Chứng minh I trọng tâm tam giác CBD từ tính KE.KC theo R
d)Chứng minh F trung điểm OD e)Tính diện tích tam giác ACE theo R f)Trong trường hợp I thay đổi OB chứng minh diện tích tứ giác CAFI khơng đổi Bài 14 :
Với hinh vẽ cho biết : MA MB hai tiếp tuyến (O) , CI ⊥ AB ;CK ⊥ MA ; CD ⊥ MB
a) Tìm chứng minh bốn tứ giác nội tiếp có hình vẽ
b) Chứng minh CK CD = CI2.
c) Gọi H giao điểm AC KI , E giao điểm BC ID Chứng minh tứ giác CHIE nội tiếp
hai C khác D Đường thẳng BC cắt MA F ,đường thẳng AC cắt MB E
1)Chứng minh :
a) Tứ giác MAOB nội tiếp b) EB 2 = EC.EA
c) E trung điểm MB d) BC MB = MC AB e) CF tia phân giác MĈA 2)Tính diện tích ∆ BAD theo R
3)Tính khoảng cách hai đường thẳng AD MB
Bài 15 :
Với hình vẽ cho biết : MA MB hai tiếp tuyến (O) , CD ⊥ AB ;CE ⊥ MA ; CF ⊥ MB
a)Tìm chứng minh bốn tứ giác nội tiếp có hình vẽ
b)Chứng minh CE CF = CD2
c)Gọi H giao điểm AC DE , K giao điểm BC FD Chứng minh tứ giác CHDK nội tiếp
(5)d) Chứng minh EH // AB e) Chứng minh :
CD CK DI
KI =
2
Bài 17 :Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB Từ A ,B vẽ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ,kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax ,By E F
a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp b) AM cắt OE P ,BM cắt OF Q.Tứ giác MPOQ hình ?
c)Chứng minh: OP.OE = OQ.OF AE.BF = R2
d) Kẻ MH vuông góc AB ,Klà giao điểm MH EB So sánh MK HK
e) Cho AB= 2R r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh
:
2
1 < <
R r
Bài 18 :Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB,kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn ,C điểm nừa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D tùy ý ( D khác C B ) Các tia AC AD cắt Bx E F Chứng minh:
a)Tam giác ABE vuông cân b)Tứ giác CEFD nội tiếp
c)Khi C di động nửa đường trịn ,D di động cung CB AC.AE= ADAF có
Cho đường trịn (O,R ) điểm M cho OM = 3R Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B thuộc (O) ) Gọi E trung điểm MB ,đường thẳng EA cắt đường tròn điểm thứ hai C khác A Đường thẳng MC cắt đường tròn D khác C ,đường thẳng BC cắt MA F
1)Chứng minh :
a)Tứ giác MAOB nội tiếp b)EB = EC.EA
c)AD // MB
d)BC MB = MC AB e)Tam giác DBA cân 2)Tính diện tích ∆ BAD theo R
3) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Bài 19 :Cho hai đường tròn (O,R) (O’; R’) cắt A B Tiếp tuyến A (O’) cắt (O) C, tiếp tuyến A (O) cắt (O’) D.Gọi K điểm đối xứng A qua B Chứng minh :
a)BÔO’ = BÊA
b)AB2 = BC.BD BK phân giác góc CBD c) ME2 = MA.MB M trung điểm EF d)Tứ giác ACKD nội tiếp
' R R AD AC
=
(6)giá trị không đổi
d) Khi Sđ cung CD 600 K thuộc tia DA cho DK = DB Tính diện tích ∆ AKB chu vi tứ giác CDFE theo R
Bài 21 : Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn Từ điểm P cung lớn AB ke ûđường kính PQ cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K Chứng minh
a)Tứ giác PDKI nội tiếp b)CI.CP = CK.CD
c)IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB
d) Khi A , B ,C cố định đường tròn (O) thay đổi qua A ,B đường thẳng QI qua điểm cố định
Bài 22:Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d cắt (O) C D Một điểm M di động d cho MC < MD ngồi đường trịn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB Gọi H trung điểm CD giao OM , d , OH với AB I , E F
Chứng minh :
a) Các tứ giác MIHF ; OHEI nội tiếp
a) C , B , D thẳng hàng CD = OO’
b)Các tứ giác AEMF ; CFED, OO’EF nội tiếp c) M , A , B thẳng hàng A tâm đường tròn nội tiếp ∆EBF
d) CA.CE + DA.DF = CD2
e) Các tiếp tuyến E F đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFED đồng quy điểm MB.â
Bài 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O ,R ) có hai đường chéo AC BD vng góc điểm I khác O Kẻ đường kính CE (O) Chứng minh
a) IA.IC = IB.ID
b) Đường thẳng qua I vng góc AB qua trung điểm
cuûa CD
c) Đường thẳng qua I trung điểm BC vng góc AD
d) AB2 +CD2 = 4R2 vaø AB2+ BC2 + CD2 + AD2 = 8R2
(7)b) MA2 = MCMD vaø MC.MD = MI.MO c) FI EI =
4
2
AB
OH OF = OI.OM d)Đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 25 :
Cho đường tròn (O ,R ) có AB đường kính ,C D hai điểm nằm hai nửa đường tròn khác cho AC = R OD ⊥ AB Tính
a)Số đo góc tam giác ACE tam giác ACD
b)Độ dài cạnh tứ giác ACDB theo R c) Độ dài đoạn thẳng AE ,CE , BE , CD theo R
d) Diện tích tam tam giác ACE CDB
Bài 26 :
Cho đường trịn (O,R ) có OM bán kính BC dây cung trung trực OM A điểm cung lớn BC Gọi AD , BE , CF ba đường cao cắt H
a) Chứng minh tứ giác BOCM hình thoi b) Tính số đo góc BAC BHC c)Chứng minh tam giác MOH cân
d)Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BHO
24.1 Cho tam giác ABC có B = 600 , BA = 6cm
BC = 8cm AD , BE , CF ba đường
cao cắt H
a)Tính độ dài đoạn thẳng AD , AC , BE , CF
b) Tính diện tích;ø bán kính đường trịn nội tiếp , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
24.2 Tam giác ABC có BC =6cm
B= 600 , Ĉ= 450 a) Tính độ dài đường cao
AH tam giác ABC
b) Tính AB , AC , diện tích tam giác ABC , bán kính đướng trịn ngoại tiếp ,bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
24.3 Tam giác ABC có AB = 6cm, AC=8cm
BC = 12cm AK đường cao
a) Tinh BK , CK, AK
b)Tính bán kính đường trịn
ngoại tiếp ,đường tròn nội tiếp
(8)e) Gọi K trung điểm HC Chứng minh tứ giác EFDK nội tiếp
f)Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác EFD
Bài 29 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) Các đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A , B , C đồng quy S và cắt đường tròn Q , P , R
a)Chứng minh Q cách đỉnh tam giác BSC
b) Gọi E F giao điểm RP với AB AC Chứng minh AQ vuông góc RP; Điểm S gọi tam giác QRP? c)Gọi I giao điểm RQ AB , J giao điểm PQ AC Chứng minh tứ giác ARIS nội tiếp
d) Chứng minh ba điểm I , S , J thẳng hàng Bài 30 :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AD , AM đường cao trung tuyến tam giác ABC , d trung trực đoạn BC Chứng minh
a) Nếu H giao điểm củaAD với đường thẳng nối O trọng tâm G tam giác
a) Chứng minh CA = CB
a) Chứng minh C tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c) Tứ giác ACBO MADBlà hình gì?Tính diện tích tứ giác theo R
d) Gọi N trung điểm AD ,đường thẳng MN cắt AC E Chứng minh E trung điểm MN e) Tính độ dài MN diện tích tam giác MND, MED theo R
f) Hãy giải lại câu e N giao điểm tia phân giác góc AMD với AD
Baøi 28 :
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R)
M điểm cung nhỏ BC Chứng minh:
a)Nếu MH ⊥ AB, MI ⊥ BC K giao điểm HI AC MK ⊥ AC
b) Nếu MH ⊥ AB, MK ⊥ AC I giao điểm HK BC MI ⊥ BC
c)Nếu MH ⊥ AB , MI ⊥ BC MK ⊥ AC ba điểm H , I , K thẳng hàng (Đường thẳng IHK nói gọi đường thẳng SimSon*)
* Robert Simson(1687-1768) nhà tốn học Scotland
(9)ABC H trực tâm tam giác ABC bNếu G giao điểm AM với đường thẳng nối O trực tâm H tam giác ABC G trọng tâm tam giác ABC Bài 33 :Cho đường trịn (O;R) dây cung AB khơng qua tâm Các tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt C Gọi P điểm dây AB cho AP =
BP.Đường thẳng vng góc với OP kẻ từ P cắt đường thẳng CA E cắt đường thẳng CB D
1)Chöng minh:
a) Các tứ giác OPDB , OPAE nội tiếp b) P trung điểm đoạn thẳng DE c) CE.CD = CA2 - AE2
2) Cho bieát AB = R Tính diện tích tam giác EOC theo R
Bài 34 : Cho đường tròn ( O,R ) ,đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A B Từ điểm C d ( C nằm ngồi đường trịn ) ,kẻ hai tiếp tuyến CM CN ( M N thuộc (O) ) GoÏi H trung điểm AB ,đường thẳng OH cắt tia CN K.Đoạn thẳng CO cắt (O) I Chứng minh:
trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC O tâm (ABC)
d) Với H , G trực tâm ,trọng tâm tam giác ABC Chứng minh O , H , G thẳng hàng Bài 31: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B (Tâm đường tròn nằm ngồi đường trịn kia).Qua A vẽ cát tuyến thay đổi MN ( M∈(O),N∈(O')) Hai tiếp tuyến M N hai đường tròn cắt K Hai tiếp tuyến A (O) (O’)lần lượt cắt (O’) (O) D C
Chứng minh:
a) ∆BMN ∆AOO’ đồng dạng
b)Số đo góc MBN, ABC, AND khơng thay đổi
c) Tứ giác KMBN nội tiếp số đo góc MKN khơng đổi
d) Tìm vị trí cát tuyến MN để MN lớn Bài 32 :Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O,R) Â= 450ù BM CN hai đường cao cắt nhau H Chứng minh :
a)BM = CN , MN // BC , AH = BC b) Năm điểm B,C , N , O , M thuộc đường tròn
(10)1) C,O,H ,N thuộc đường tròn 2) KN.KC= KH.KO
3) I cách CM , CN , MN
4) Một đường thẳng qua O song song MN cắt tia CM CN E F Xác định vị trí C d để diện tích tam giác CEF nhỏ
Bài 37: Cho đường tròn (O,R) , Mlà điểm cho OM = 2R Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A , B thuộc (O) ) Đường thẳng MO cắt đường tròn E F ( ME < MF )
1) Chứng minh :
a)MO trung trực đoạn thẳng AB E cách ba cạnh tam giác MAB b)Tam giác MAB Tính diện tích ∆MAB c)MA = AF tứ giác MAFB hình thoi 2) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng MC cắt AB S Chứng minh diện tích hình trịn ngoại tiếp ∆MBS gấp ba lần diện tích hình trịn ngoại tiếp ∆ASC Bài 38.1: Cho đường tròn (O,R) , Mlà điểm cho OM = 3R Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A , B thuộc (O) ) Tia
d) Các tứ giác BMON , MONH , BHCD hình gì?
e)Tính độ dài đoạn thẳng BD , AB theo R Bài 35: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD (nằm giũa A D )
1) Chứng minh AB2 = AC.AD
2) Gọi H trung điểm CD Chứng minh tứ giác ABOE có bốn điểm thuộc đường tròn
3) Vẽ tia Bx // CD cắt (O) I , IE cắt (O) K Chứng minh AK tiếp tuyến (O) 4) Đường thẳng BH cắt (O) F Chứng minh
KF // CD
5) Tím vị trí cát tuyến ACD đề diện tích tam giác AID lớn
Bài 36.1 : Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi E trung điểm CD ,đường thẳng AE cắt BC F Tia vng góc với AE A cắt CD K
1)Chứng minh tứ giác KACF nội tiếp đường tròn Xác định tâm I
2) Chứng minh tam giác KAF vuông cân ba điểm B,D I thẳng hàng
(11)đối tia MO cắt đường tròn C Gọi D trung điểm MA ,đường thẳng MO cắt AB BD I G Tính
1) Độ dài cạnh tam giác MAB 2) Độ dài cạnh C A
3) Độ dài đoạn thẳng CD diện tích tam giác MDC , DGC , DBC
4) Tỉ số diện tích hai tam giác DAK BCK (Với K giao điểm CD AB )
Bài 38.2 : Xác định góc B C tam giác vng A biết BC= diện tích tam giác ABC
2
Bài 41: Cho hai đường trịn tâm O ,hai đường kính AB CD vng góc , gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây cung MQ vng góc với OA (
) ,Q cungAD cungAC
M∈ ∈ Đường thẳng
vng góc MQ M cắt đường tròn (O) P
1) Chứng minh :
a)Tứ giác PMIO hình thang vng b) Các điểm P, O ,Q thẳng hàng
2) Gọi S fgiao điểm AP CQ Tính số đo góc CSP
3) Gọi H giao điểm AP MQ Chứng minh :
a) MH.MQ = MP2
4) Tính diện tích tam giác BJC theo a 5) Tính chu vi tứ giác IDEF theo a
Bài 36.2 : Cho hình vẽ : a) Chứng minh ABOC hình
vuông
b) Tính độ dài đoạn thẳng
BD , BE BF theo bán kính
R đường tròn (O)
Bài 39 :Cho đường tròn ( O ) dây cung AB khơng qua tâm Vẽ đường kính CD K (D ∈cung nhỏ AB ).Trên cung nhỏ BC lấy điểm N ( N khác B C ) DN KB cắt F , CN AB kéo dài cắt E
a) Chứng minh tứ giác KFNC nội tiếp đường tròn
b) Chứngminh DF.DN = DK.DC
c) Tiếp tuyến N đường tròn (O) cắt đường thẳng AB I Chứng minh IE = IF
d) Chứng minh
KA KE FB EB
=
(12)b) MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác QHP
Bài 42: Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm
ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN B C Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB hình thang cân b) MA MB = R2
c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến K cắt AM, AN P Q Chứng minh : BP.CQ = BC2/4
d) Cho biết : OA = 2R , Tính SMBCN theo R
Bài 45 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt
nhau A B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O) (O’) phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O), (O’) thứ tự C, D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I
1) Chứng minh IA vng góc với CD
2) Chứng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp 3) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF
1)Chứng minh tam giác AIO vuông 2)Tiếp tuyến M cắt đường thẳng (d) T Chứng minh MA phân giác hai góc QMO TMP
3) Chứng minh cặp tam giác AIQ , ATM AIP , AOM đồng dạng
4 ) Tính độ dài đoạn AQ , AI , AP biết AT = 10 cm
Bài 40.2 : Xác định góc B C tam giác vuông A biết BC= đường cao AH =
2
Bài 43 : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R C trung điểm đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vng góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn I., K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn cho M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx D
1) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D nằm đường tròn
2) Chứng minh ∆MNK cân
3) Tính diện tích ∆ABD K trung điểm đoạn thẳng CI
4) Chứng minh : Khi K di động đoạn thẳng CI tâm đường trịn ngoại tiếp ∆AKD nằm đường thẳng cố định
Bài 44 :Cho đường trịn (O), đường kính AB
(13)Bài 46 : Cho đường tròn tâm O bán kính R,
hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H
a) Chứng minh ∠ BMD = ∠ BAC, từ suy tứ giác AMHK nội tiếp
b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2
Bài 49 ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Đà Nẵng)
Cho hình vng ABCD ,gọi E trung điểm AD Nối B với E Đường thẳng qua E vng góc với EB cắt CD F Chứng minh :
a) Tứ giác CBEF nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường trịn
b) ED tiếp tuyến đường tròn tâm I c) BE = EF
d) FE laø phân giác góc DFB
Bài 50 : ( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Hà
trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh ∆AME đồng dạng với ∆ACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 47: Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn
Bài 48 1 : Cho tam giác ABC vng A có M
(14)nội )
Cho tam giác ABC vng A Lấy điểm M tùy ý nằm A B Đường trịn đường kính BM cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Các đường thẳng CM AE cắt đường tròn điểm thứ hai H K
1) Chứng minh :
a) Tứ giác AMEC tứ giác nội tiếp b) Góc ACM góc KHM
c) Các đường thẳng BH , EM , AC đồng qui
2) Giả sử AC< AB ,hãy xác định vị trí M để tứ giác AHBC hình thang cân
Bài 53: (Phỏng theo tập báo Toán học tuổi trẻ)
Gọi A B giao điểm hai đường tròn (O,R ) ( O’; R’) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng OO’ có chứa điểm B vẽ T T’là tiếp tuyến chung hai đường tròn ( T thuộc (O) T’thuộc (O’) ) Gọi I giao điểm AB TT’.Chứng minh
1) OO’ vuông góc AB
2) IT2 = IB IA suy I trung điểm
Bài 48.2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt
nhau hai điểm A B Qua A vẽ hai đường thẳng (d) (d’), đường thẳng (d) cắt (O) C cắt (O’) D, đường thẳng (d’) cắt (O) M cắt (O’) N cho AB phân giác góc MAD
Chứng minh CD = MN
Baøi 51 :
( Đề thi tốt nghiệp 04 -05 - Thành phố Hồ Chí Minh)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ,R ) ,hai đường cao AD BE cắt H ( D∈BC,E∈AC,AB< AC)
a)Chứng minh AEDB CDHE tứ giác nội tiếp
(15)TT’ 3) SOIO’ =
2 1S
OO’T’T
4) B trọng tâm tam giác ATT’ OO’ =
2
( R + R’ )
Bài 54: (Phỏng theo tập báo Toán học tuổi trẻ)
Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy hai điểm tương ứng M N cho MÂN = 450 , BD cắt AM AN I K Chứng minh
1).Chứng minh
a)Tứ giác AIND nội tiếp đường tròn suy NI ⊥ AM
b) AK AN = AI.AM
2) Gọi H giao điểm NI MK Tính
AH KI
3) Chứng minh S∆CIK = SMNIK
Bài 57 :( Đề thi HSG 03 -04- Tỉnh Thừa Thiên – Huế - Vòng )
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ,gọi M trung điểm cạnh BC ,H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A cạnh BC
d) Đường phân giác AN góc A tam giác ABC cắt BC N cắt đường tròn (O) K khác A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đường tròn (O)
Bài 52 : ( Đề thi lớp 10 02-03 - Hải phòng )
Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox Oy góc xOy A B Từ điểm A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn cho điểm thứ hai C Tia OC cắt đường tròn E ,Hai đường thẳng AE OB cắt K
1) Chứng minh OK = KB
CA CB EA EB
=
2) Gọi a, b ,c thứ tự khoảng cách từ C đến AB , OB
OA Chứng minh a2= bc
Bài55.1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AD ,BE ,CF ba đường cao tam giác ABC Gọi M,N,Q giao điểmcủaAD,BE,CF với đương tròn (O)
Chứng minh : + + =4 CF CQ BE BN AD AM
(16)Tính độ dài AK diện tích tam giác ABC biết OM= HK = KM
4
vaø AM = 30cm
Bài 58: :( Đề thi HSG 03 -04- Tỉnh Thừa Thiên – Huế - Vòng )
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , gọi I trung điểm cạnh BC ,M điểm đoạn CI ( M khác C D ) ,đường thẳng AM cắt đường tròn (O) D Tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI M cắt đường thẳng BD ,DC P Q
1)Chứng minh DM.IA = MP.IB 2) Tính tỉ số
MQ MP
Bài 61: (Đề thi tuyển vào lớp 10 , 95 -96 Thành phố Hồ Chí Minh)
Cho hình vng ABCD cố định cạnh a Điểm E di chuyển cạnh CD ( E≠ D ) Đ ường thẳng AE cắt đường thẳng BC F ,đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K
BAØI 55.2 Chop tam giác ABC Trên tia đối tia BA CA lấy điểm E F (khác B C )theo thứ tự BF cắt CE điểm M
Chứng minh:
AE AF
AC AB ME
MC MF MB
≥
+ Khi
naøo dấu “= “xảy
Bài 56:Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm C thuộc đoạn AB ,M điểm nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc MC cắt tiếp tuyến qua A B nửa đường tròn E F
1) Khi M cố định ,C di động Tìm vị trí C để AE.BF lớn
2) Khi C cố định ,M di động Tìm vị trí M để
S∆CEF lớn
Bài 59( Đề thi HSG 03 -04 - Thành phố Hồ Chí Minh)
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O ,đường kính AI Gọi E trung điềm AB K trung điểm OI
(17)1)Chứng minh ∆ABF = ∆ADK ,suy ∆AKF vuông cân
2)Gọi I trung điểm FK Chứng minh làtâm đường tròn qua A ,C , F ,K I di chuyển
trên đường thẳng cố định E di động CD
3)Chứng minh tứ giác ABFI nội tiếp 4) Cho DE = x (0 < x a≤ ) Tính độ dài cạnh ∆AEK theo a x
5) Hãy vị trí E để EK ngắn
Bài 62: (Đề thi tuyển vào lớp 10 , 02 -03 trường Lê Q Đơn , Đà Nẵng )
Cho đường trịn tâm O dây cung AB đường tròn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đường tròn cắt C Kẻ dây CD đường trịn tâm I có đường kính OC (D khác A B ) CD cắt cung AB đường tròn (O) E ( E nằm C D ) Chứng minh :
1) BÊD = D ÂE DE = DA DB 2) Gọi S diện tích tứ giác AIOB Chứng
minh
OI + AB ≥ 2S
Bài 65: Cho ∆ABC với BC = a , AC = b , AB = a Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, AB
Bài 60.1:Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB=2R ,M điểm nửa đường tròn(khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B nửa đường tròn (O) C D
1)Tìm giá trị nhỏ của:
a)Độ dài đoạn thẳng CD diện tích tam giác COD
b) Diện tích chu vi tứ giác ACDB
c)Tồng diện tích tam giác ACM BDM 2) Tìm giá trị lớn :
a) Diện tích chu vi tam giác MAB b) Tích MA.MB
Bài 60.2: (Đề thi tuyển vào lớp 10 , 02 -03 trường Trần Đại Nghĩa TP Hồ Chí Minh )
Cho tamgiác ABC ( AB < AC ) nội tiếp (O,R) , AD phân giác Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC E , Cho BD = b ; CD = c Tính EA
Bài 63: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , AA’ BB’ hai đường cao Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) C Hạ AM ⊥ d , BN ⊥ d , A’H ⊥ d, B’K
(18)D , E , F .Veõ
BK ⊥ AI K AH ⊥ BI H
1)Tính AF , DC , B D theo a , b , c 2) Chứng minh tứ giác AEHI nội tiếp 3) Bốn điểm E , H , K , D thẳng hàng
Bài 66: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ,M N hình chiếu H lên phân giác phân giác ngồi góc A tam giác ABC
1) Chứng minh MN qua trung điểm S AH
2) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,còn I ,E trung điểm BC AC Chứng minh tam giác OIE đồng dạng vơiù tam giác AHB
3 Chứng minh ba điểm M , I , N thẳng hàng ) Chứng minh OI =
2
AH
Bài 69 ;Từ điểm ngồi đường trịn ,vẽ hai tiếp tuyến IA IB đến (O) Gọi M
Chứng minh: A’H = B’K MH = NK
Bài 64.1:Cho tam giác ABC có góc A = 450 nội tiếp đường tròn (O,R) Kẻ đường cao AA’ BB’của tam giác ABC Gọi O’ điểm đối xứng O qua đường thẳng B’C’
1) Chứng minh tứ giác CC’OB’ hình thang cân
2) Chứng minh A , B’, C’, O’cùng nằm đường trịn tính B’C’ theo R
Bài 64.2: Cho đường tròn tâm (O,R) Trên đường tròn theo chiều kim đồng hồ lấy theo thứ tự điểm A , B ,C ,D cho Sđ cung AB = 300 , sđcung BC = 450 , sđ cung CD =1200 a)Tính số đo cung AC , BD
b) Tính độ dài đoạn AB c) Tính diện tích tam giác OCD , OBC , OAB
d*) Tính diện tích tứ giác ABCD theo R
e)Tính độ dài đoạn AC ,BD
(19)trung điểm IB , AM cắt (O) A K
1)Chứng minh IO vng góc AB 2)Gọi C giao điểm IO AB
.Chứng minh hai tam giác AKB AMC đồng dạng ,suy AB2 = 2AK AM
3)Gọi D giao điểm thứ hai IK (O) Chứng minh MB2 = MK.MA AD // IB ) Chứng minh AB tiếp xúc với đường ròn ngoại tiếp tam giác IKB
Bài 70.1:Cho tam giác ABC vuông A điểm D cạnh BC Gọi E điểm đối xứng với D qua AB G giao điểm AB với DE Từ giao điểm H AB với CE hạ IH ⊥ BC điểm I Các tia CH IG cắt K Chứng minh
1)Tứ giác GHDI BKHI nội tiếp 2) KC tia phân giác góc IKA
Bài 70.2:Cho hai điểm A B cố định Đường tròn tâm O đường tròn tâm O’ tiếp xúc AB A B , biết (O) (O’) cắt M N Chứng minh đường thẳng MN ln qua điểm cố định hai đường trịn thay đổi
Bài 73 ; Cho tam giác ABC nội tiếp đường
kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC 1) Chứng minh S = p.r
2) Chứng minh
c b a h h h
r
1 1
+ +
= ha ,hb ,hc chiều cao tam giác ABC hạ từ A , B , C Bài 67.2:
Tính bán kính đường trịn nội tiếp
tam giác vụông có cạnh huyền a vaø
chu vi laø 2p
Bài 68: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O Lấy điểm D cung BC khơng chứa điểm A Kẻ dây AE song song BC dây DE cắt cạnh BC F Hạ DH , DI , DK vng góc với cạnh BC, AC , AB
1) Chứng minh tam giác BDF đồng dạng tam giác ADC
2) Chứng minh tam giác DCF đồng dạng tam giác BAD
3) Chứng minh :
DK AC DI AB DH
BC
(20)trịn (O ; R)có M , N trung điểm AB AC , đường cao AH Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AMN
a) Chứng minh O ,I , A thẳng hàng b) Chứng minh góc IAC = góc HAB
c) Kẻ dây AE (I) song song MN , HE cắt MN K Chứng minh KM = KN d) HE cắt (I) D Chứng minh tứ giác
BHDM nội tiếp
Bài 74 ; Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp điểm A’, B’, C’ Đường thẳng B’C’ cắt OA H BC K , AA’ cắt OK M Chứng minh
a) Hai tam giác OAA’ OA’H đồng dạng b) Tứ giác AHMK nội tiếp
c) AA’ vuông góc OK
d) Năm điểm O ,A , B’, C’ , M nằm đường tròn
Bài 77: Cho hai đường tròn (O; R ) (O;
4) Chứng minh ba điểm I , H , K thẳng hàng
Bài 71 ; Cho tam giác ABC vuông C ,I điểm cố định AB
( IB< IA ) (BC < CA ) Kẻ đường thẳng d qua I vng góc với AB , d cắt AC vàBC F E Gọi M điểm đối xứng B qua I
a)Chứng minh ∆IME đồng dạng ∆IFA IE.IF = IA.IB
b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh ba điểm F , N ,B thẳng hàng c)Cho A ,B cố định ,C thay đổi Chứng minh ( AEF ) luôn qua hai điểm cố định tâm đường tròn nằm đường thẳng cố định
Bài 72 ; Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R ) , M N di động BC ,CA cho BM = CN
1) Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi tam giác ABC theo R
2)Chứng minh OM = ON 3)Tứ giác CMON nội tiếp
4) Đường thẳng qua O vng góc với MN cắt AB E Tam giác MNE có tính chất gi?
(21)R’) cắt A B Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) (O’) C D
1)Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng CD qua điểm cố định Xác địmh điểm cố định
2)Với vị trí củađường thẳng (d) tam giác BCD có diện tích lớn
Bài 78 (Thi lớp 10 Bùi Thị Xuân 94-95 HCM)
Cho ∆ABC cân tạiA điểm D di chuyển cạnh BC ( D khác B C ) Dựng qua D hai đường tròn (O ; R ) (O’; R’) tiếp xúc với AB B AC C ,hai đường tròn cắt K D
1)Chứng tỏ tứ giác ABKD nội tiếp 2) Chứng tỏ ba điểm A ,D ,K thẳng hàng tích AD AK khơng đổi
3) Chứng tỏ tổng R+R’ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm D cạnh BC
4) Tìm đường di chuyển trung điểm M đoạn thẳng OO’
6 ) Cho OM = 2R
Tính diện tích tam giác OMN EBM theo R
Bài 75 ; Tam giác ABCvuông A có đường cao AH Gọi (O ; R ) , (O’ ; R’ ) ; (O” ; R” ) đường tròn nội tiếp cacù tam giác ABC ; ABH ; ACH Chứng minh
a) R2 = R”2 + R’2
b) OA = OO’ c) R” + R’ ≤ R
d) Chứng minh O trực tâm tam giác AO”O’
e) Đường thẳng O’O” cắt AB AC K M Chứng tỏ tam giác AKM vuông cân
Bài 76 ; Cho hai đường tròn (O; R ) (O; R’) cắt A B Một đường thẳng (d) quay quanh B cắt (O) (O’) C D Gọi M trung điểm CD N điểm đối xứng C qua D
(22)Bài 81.1 : Cho đường tròn (O) , từ điểm M nằm ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến MA (A ∈(O)) cát tuyến MBC ( B; C thuộc (O) , MB < MC ) ) Cho AB = c , BC = a , AC = b Tính MA
Bài 81.2 : Cho hình vng ABCD Lấy điểm M nằm hình vng cho MÂB = MBA = 150 Chứng minh tam giác MCD
Bài 82.1 : Cho tứ giác ABCD có AC = 10
cm ,BD= 12 cm góc AC BD 300 Tính diện tích tứ giác
Bài 82.2 : Cho tam giác ABC có AB < AC BM , CN hai trung tuyến So sánh BM CN
A B Xác định tâm bán kính chúng 2)Các tiếp tuyến C D hai đường tròn cắt E Chứng tỏ tứ giác ACED nội tiếp 3)OC OD cắt K Chứng tỏ năm điểm A ,C ,E D , K thuộc đường tròn
Bài 79: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C
a)Chứng minh tứ giác CDIM nội tiếp b)Chứng minh tích MC.MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB
c)Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh MÂB =
2
AÔ D
d)Chứng minh ba điểm A , O’ , N thẳng hàng M A tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 80 : Cho đường trịn tâm O có đường kính BC Gọi A điểm cung BC cho AB< AC , D điểm bán kính OC Đường vng góc với BC D cắt ACở E cắt tia AB F
(23)Bài 85: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R ) , M điểm cung nhỏ BC , MA cắt BC D Chứng minh :
a) AD.AM = AB2
b) MA = MB +MC c) MA +MB +MC ≤ 4R d) MA2 +MB2 + MC2 = 6R2
e) MA4 +MB4 + MC4 = 18R4
f)
MC MB MD
1 1
+ =
Bài 86.1:
Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao Vẽ đường trịn tâm O đường kính HC Kẻ tiếp tuyến BK với (O) ( K tiếp điểm ) Tính tỉsố
BK AB
Bài 86.2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Điểm D di động cung AC Gọi E giao điểm AC BD , F giao điểm AD BC Chứng minh :
a)Góc AFB = góc ABD b) Tích AE BF không đổi
c) Chứng minh AM tiếp tuỵến đường tròn (O)
d) Gọi K giao điểm CF đường tròn (O) Chứng minh B ,E ,F thẳng hàng OM ⊥ AK
Bài 83 : Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD
,đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn tâm O AB kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đường tròn tâm (O) B D cắt K
a)Chứng tỏ tứ giác BIKD nội tiếp IK// BC c)Hình thang ABCD cần điều kiện để tứ giác AIKD làhình bình hành.Khi chứng minh hệ thức IC.IE=ID.CE
d) Vẽ hình bình hành BDKM đường trịn ngoại tiếp tam giác BKM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Chứng minh D , N , M thẳng hàng
Baøi 84 :
(24)Baøi 89:
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O) I di động cung AB AI cắt CB M , AB cắt IC N
a) Chứng minh : AMC + ANC = ACB
b) Chứng minh tích AI AM khơng đổi c) Vẽ dây cung IK song song với BC ,IK cắt AC E Chứng minh : ∆ACK ~ ∆AMB, ∆ACM ~ ∆AKB ∆AEK ~ ∆AIB d) Xác định vị trí I để AB = MB
Bài 90 :
Cho đường tròn (O) điểm S nằm ngồi đường trịn Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA SA’ cát tuyến SBC tới đường tròn ( B nằm C S ) Phân giác BÂC cắt dây BC D cắt cung BC E Gọi F giao điểm AA’ với BC; G giao điểm OE với BC
a) Chứng minh EC2 = ED EA b) Chứng minh SA2 = SG SF
c) Khi cát tuyến SBC quay quanh S D di
a) Chưng minh hai tam giác CAI CBN đồng dạng
b) So sánh hai tam giác ABC INC c) Chứng minh IM vng góc IN
d) Tìm vị trí I cho diện tích tam giác IMN lớn gấp đơi diện tích tam giác ABC
Bài 87: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn đường kính CD cắt BD E cắt AE F
a) Chứng minh A , B , C , E thuộc mộpt đường tròn
b) Chứng minh BĈA = AĈ F
c) Gọi M , N điểm đối xứng D qua AB BC Chứng minh tứ giác BNCM nội tiếp
d) Xác định vị trí điểm D cho bán kính đường trịn (BNCM) đạt giá trị nhỏ
(25)động đường cố định ? d) Biết SB = a ; BC =
3 2a
tính SF
Bài 93 : Cho tam giác cân A nội tiếp đường trịn (O) đường kính AM Gọi D , H ,I trung điểm AB , BC , AC
1) Chứng minh :
a) A , O , H thẳng hàng AC2 = AO AH b) Bốn điểm O ,I , C ,H thuộc
đường trịn có tâm (O’)
c) Đường trịn (O’) tiếp xúc với (O) 3) Gọi H’ điểm đối xứng H qua AC
.Chứng minh CH’ tiếp tuyến (O) 4) Gọi E ,G trọng tâm tam
giác ACD ABC Chứng minh hai tam giác AGC IEO đồng dạng
Baøi 94.1 :
Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao , I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Phân giác BÂH CÂH cắt BC D E
Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 94.2 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác AD
a) Xác định tâm O’của đường tròn qua A tiếp xúc với BC D
AB C điểm cung AB Lấy M điểm cung BC vẽ đường cao CH tam giác ACM
a) Chứng tỏ OH tia phân giác góc COM b) Gọi I giao điểm OH BC ,D giao
điểm thứ hai MI với nửa đưởng tròn (O) Chứng minh MC//BD
c) Tìm vị trí M cho D , H , B thẳng haøng
d) Gọi N giao điểm OH BM Chứng minh N di động đồng tròn cố định
Bài 91: Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M ,,kẻ tiếp tuyến MC MD tới đường trịn phân giác góc ACB cắt AB E Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh :
a) MC = ME
b) DE phân giác góc ADB
c) Đường tròn qua ba điểm M , C , D qua hai điểm cố định O I
d) IM laø tia phân giác góc CID
(26)b) Chứng minh đường tròn O’) tiếp xúc với -đường tròn (O)
Bài 97 :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ,AH đường cao Kẻ HM ⊥AB;HN ⊥ AC.Gọi I điểm đối xứng H qua M , K điểm đối xứng H qua N Đường thẳng IK cắt AB AC E F Chứng minh:
a) Góc AIK = góc AKI b) Tứ giác MNBC nội tiếp c) CE vng góc AB
d) ∆ABC thỏa điều kiện IN = MK
Bài 98.1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O) có trực tâm H , M điểm cung BC khơng chứa A
a)Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh tứ giác ANBH nội tiếp
c) Chứng minh N , H , E thẳng hàng
Bài 98.2 :Cho tamgiác ABC vuông B có đường cao AH Trên tia đối BA lấy E cho BE = BA Gọi D trung điểm HB
Bài 92 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao điểm hai phân giác kẻ từ B C, K giao điểm hai phân giác kẻ từ B C Gọi M điểm cung BC ,D giao điểm AM BC
a)Chứng minh A ,I , M thẳng hàng
b) BI cắt A C N , MN cắt AC , BC E F Chứng minh tam giác EFC cân
c) Chứng minh điểm I , B , K , C thuộc đường tròn tâm đường tròn thuộc (O)
Bài 95 : Cho hai đường tròn tâm O O’ Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF ( A ,E
)) ' ( , );
(O B D∈ O
∈ Gọi M giao điểm AB
và EF, N giao điểm AE BF.Chứng minh :
a) Hai tam giác AOM BMO’ đồng dạng b) AE vng góc BF
(27)Chứng minh HE vng góc CD
Bài 96.1 :Cho tam giác ABC ,các đường trịn đường kính AB AC cắt tại A D cắt cạnh AB , AC E F
a) Chứng tỏ đường thẳng AD ,BF ,CE đồng quy
b) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c) Đường trịn đường kính AB cắt CE N ,đường trịn đường kính AC cắt BF M Chứng tỏ tam giác ANM cân
Bài 96.2 : Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy hai điểm M , N cho BM= MN = NC Chứng minh
Goùc BAM = goùc NAC < goùc MAN
Bài 99.1 : Cho tam giác ABC vuông A có AD đường cao ,kẻ DE ⊥ AB,DF⊥ AC Chứng minh :
a) DB.DC = EA.EB + FA.FC Hệ thức có cịn không D điểm tùy ý BC ? b)
BE CF AB
AC =
3
(28)Trong tam giác cân ABC từ
trung điểm H cạnh đáy BC
ta keû HE vuông góc AC Gọi O
trung điểm HE Chứng minh AO vuông góc BE
Bài 100 :Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I trung điểm OA Đường thẳng vng góc với OA I cắt (O) K Điểm M di động đoạn IK Đường thẳng AM cắt (O) điểm C Tiếp tuyến C với (O) cắt IK N , BC cắt IK D
a) Chứng minh ∆AOK tam giác CMN cân b) GỌi J điểm đối xứng B qua J Chứng minh
tứ giác AMDJ nội tiếp