Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách gì biến đổi đi chăng nữa thì mục đích cuối cùng của bạn cũng chuyển về phương trình một biến và giải phương trình vừa thu được. Đó cũng là[r]
(1)TRAO ĐỔI MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách biến đổi mục đích cuối bạn chuyển phương trình biến giải phương trình vừa thu Đó suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến quy luật không toán học mà sống thường làm Tóm lại, giải hệ phương trình phải tìm cách làm giảm số ẩn hệ để thuận lợi việc giải Sau xin nêu số kinh nghiệm mà tơi có q trình học tập giảng dạy 1) Từ phương trình rút ẩn (hoặc biểu thức) theo ẩn cịn lại ( theo nhóm biểu thức khác)
Nếu phương trình hệ mà có ẩn xuất dạng bậc nhất, ta rút ẩn theo ẩn cịn lại vào phương trình thứ hai hệ bạn đừng ngần ngại thấy sau thực phép thế, phương trình thu có bậc khơng nhỏ
Ví dụ Giải hệ phương trình 2x34 y(x 1) 4x6 2
5x 4x y
+ + =
− =
Lời giải Vì phương trình thứ hệ chứa y nên ta nghĩ đến việc rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ
Ta có: y 2x (2 x)2 x
− =
+ (Do x= −1 không nghiệm hệ) thay vào phương trình thứ hai hệ ta có :
( )
4
2 2
2
x 4x (2 x)
x 4x
(5 4x )(x 2x 1) 4(4 4x x ) (x 1)
= −
− = ⇔
− + + = − +
+
4 2
x y
x x
x y
4x 8x 3x 26x 11 (x 1)(2x 1)(2x 7x 11) 1 1
x y
2
= ⇒ =
= =
⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ =
+ + − + = − − + + =
= ⇒ =
Vậy hệ cho có ba cặp nghiệm: (x; y) (0;0), (1;1), ( ; )1 2
=
(2)đã sáng tác toán
Cách giải thứ Ta viết lại hệ sau 2x23 y(x 1) 4x6 4
y 4x 5x
+ + =
+ =
Nhận thấy x 0= ⇒ =y 0, hay (x; y) (0;0)= nghiệm hệ
Với x 0≠ ta có hệ
( )
2
2
y
2x x
x
y 4x 5
x
+ + =
⇔
+ =
Đặt a 2x,b y2 x
= = ta có hệ:
2 a
a b( 1)
a b
+ + =
+ =
Đây hệ đối xứng loại Việc giải hệ không khó khăn
Quan lời giải trên, ta thấy đường để chế tác hệ kiểu xuất phát từ hệ biết thuật giải, thay hình thức biến có mặt hệ biến đổi rút gọn ta thu hệ có hình thức hồn tồn xa lạ với hệ ban đầu
Chẳng hạn: Từ hệ x y xy 52 2
x y
+ + =
+ =
(lưu ý hệ có cặp nghiệm (1; 2)) Ta thay x y3
2x y
y ta có hệ:
2
2 3
3
2 6
4
y y y 5
y(y 2x y 1) 10x
2x 2x
y y 5 y (1 4x y ) 20x
4x
+ + =
+ + =
⇔
+ =
+ =
Vậy ta có hệ phương trình sau: y(y2 2x y 1) 10x6 23 6 y (1 4x y ) 20x
+ + =
+ =
Ví dụ Giải hệ phương trình : x24 2xy x y (1)2 2 2 x 4x y 3x y (2)
− + + =
− + + =
Lời giải
Nhận thấy phương trình thứ hệ phương trình bậc x nên ta rút x theo y vào phương trình thứ hai ta phương trình ẩn
Từ (1), suy y x2 x 2x
+ =
− ( x
2
(3)2
2
4 x x x x x
x 4x 3x
f(x)
2x 2x
=
+ +
− + + = ⇔
=
− −
Với f(x) x (2x 1)= − 2−4(x2+x)(2x 1) 3(2x 1)− + − 2+ +(x 1)2=4x4−12x3+10x2−6x 4+ Nên f(x) 0= ⇔2x4−6x3+5x2−3x 0+ = ⇔ −(x 1)(x 2)(2x− 2+ = ⇔ =1) x 1,x = Vậy hệ cho có cặp nghiệm (x; y) (0;0), (1; 2), (2; 2)=
Bình luận: Cũng ví dụ 1, cách giải giải tốn khơng phải đường để sáng tác toán Điều thơi thúc tìm lời giải khác cho toán Sự xuất x2−2xy x4−4x y gợi cho ta nghĩ đến đẳng thức: Ta viết lại hệ sau: − + + − =
− + − =
2
2 2
(x y) x y y (x y) 3x 3y
Việc làm không khả quan, nhìn vào hệ chưa phát mối liên hệ Bắt chước cách làm ví dụ ta biến đổi sau:
Nếu x 0= ⇒ =y nghiệm hệ Nếu x 0≠ , ta có hệ 2
2
2
y y
x 2y x 2y 1
x x
y
y (x ) 6y 3
x 4y x
x
− + + =
+ = +
⇔ ⇔
− + + = + = −
Suy (2y 1)+ 2=6y 3− Đến tốn trở nên đơn giản
Với cách giải trên, ta chế nhiều hệ phương trình khác Ở ý việc giải hệ cuối quy giải phương trình bậc hai nên chuyện hệ số nhận giá trị không quan trọng
Chẳng hạn từ: 2 2y
x 4x
x 2y
x x
x + = +
+ = −
, biến đổi ngược ta có hệ:
Hoặc 3 y
x 4y
x y
x 2y
x − = −
− =
biến đổi ngược ta có hệ
(4)Ví dụ Giải hệ phương trình : − = +
− = +
3
2
x 8x y 2y (1) x 3(y 1) (2) Lời giải
Cách 1: Từ (2) ta suy ra: x2=3(y2+2) (3), thay vào (1) ta được:
3 x x 2
x 8x y(y 2) y x(3x xy 24) 3x 24
3 y
x =
− = + = ⇔ − − = ⇔ −
= • x 0= thay vào (3) ta thấy phương trình vơ nghiệm
• y 3x2 24 x
−
= thay vào (3) ta được:
2 2 3x 24
x
x
−
= +
2
4
2
x y
x
13x 213x 864 96 96 78
x y
x 13 13
13
= = ± ⇒ = ±
⇔ − + = ⇔ ⇔ = ±
⇒ = =
m
Vậy hệ có cặp nghiệm là: (x; y) ( 3; 1), 96; 78 14 13
= ± ± ±
m
Bình luận: Việc suy nghĩ đến rút nhận thấy phương trình thứ chứa y y ; phương trình thứ hai hệ lại chứa y nên ta thay y vào phương trình thứ phương trình thứ hệ trở thành phương trình bậc đổi với ẩn y ta thực rút y Tuy nhiên, có lẽ đường chế tác toán Từ nhận xét trên, ta thấy phương trình thứ hai biến x, y lệch bậc bậc ( x3 x; y y ), đồng thời phương trình thứ hai lệch bậc bậc ( x ,y số) Điều gợi ý ta tạo đồng bậc sau: 2
Cách 2: Hệ x3 y23 8x 2y2 , x 3y − = +
⇔
= −
suy
3 2
6(x −y ) (8x 2y)(x= + −3y ) Đây phương trình đẳng cấp bậc Việc lại để giải hệ khơng cịn khó khăn
Với cách làm ta chế tác nhiều tốn hệ phương trình
(5)Ví dụ Giải hệ phương trình x32 3xy2 249 (1) x 8xy y 8y 17x (2)
+ = −
− + = −
Lời giải
Cách 1: Ta thấy x 0= nghiệm hệ nên từ (1) y2 x3 49 3x
+
⇒ = − (*) vào phương trình (2) ta được: x2 8xy x3 49 8y 17 24y(x2 x) 2x3 51x2 49
3x +
− − = − ⇔ + = + −
2 x 12
24xy(x 1) (x 1)(2x 49x 49) 2x 49x 49 y
24x = −
⇔ + = + + − ⇔ + −
= • x= −1 vào (*) ⇒ = ±y
• y 2x2 49x 49 24x
+ −
= vào (*), ta có:
3 3 2 2
x 49 2x 49x 49 192x(x 49) (2x 49x 49)
3x 24x
+ + −
− = ⇔ − + = + −
Biến đổi rút gọn ta được:
4
4x +4x +45x +94x 49 0+ = ⇔ +(x 1) (4x2 2−4x 49) 0+ = ⇔ = −x Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x; y) ( 1; 4)= − ±
Cách 2: Lấy (1) 3.(2)+ ta có được:
3 2
x +3x +3xy −24xy 3y+ =24y 51x 49− −
3 2
x 3x 3x 3y (x 1) 24y(x 1) 48(x 1)
⇔ + + + + + − + + + =
( 2 )
(x 1) (x 1) 3y 24y 48 x
⇔ + + + − + = ⇔ = −
Đến toán trở nên đơn giản
Cách 3: Đặt a x y, b x y x a b,y a b
2
+ −
= + = − ⇒ = =
Thay vào hệ ta có được: a32 b3 298 (3) 3a 5b 9a 25b (4) + + =
− − − =
Lấy (3) 3.(4)− ta có: a3−9a2+27a 27 b− + 3+15b2+75b 125 0+ =
3
(a 3) (b 5) a b
(6)Cách 4: Vì x 0= khơng nghiệm hệ nên ta đặt y tx=
Khi hệ trở thành: x (1 3t )32 2 49
x (1 8t t ) x(8t 17)
+ = −
− + = −
2
2
49 49 49
x
49 3a 3t 49 3(t 16)
8t 17 8t 17 b
x
a b t 8t (t 16) (8t 17)
= − = − = −
+ + − +
⇔ − −
= = =
− + − − − −
(Với:a t= −2 16; b 8t 17= − )
( )
3 3 3 3
3
49 b 49 b (a b) 3ab 0
49 3a (a b) −
⇒ = ⇔ + − + =
+ −
( 2) ( )
2
a t 16 a 49 b b(a b) (a b) 3b
49 b b(a b) (a b) 3b (*) = ⇔ =
⇔ − − + − + = ⇔
− − + − + =
• t2 =16 vào hệ ⇒ = − ⇒ = ±x y
• Khai triển rút gọn, ta có: (*)⇔49t4+360t3+547t2−360t 304 + = 2
(t 4) (49t 32t 19) t
⇔ + − + = ⇔ = −
Bình luận:
• Với cách giải thứ nhất, địi hỏi kĩ tính toán cách giải giải vấn đề giải tốn mà thơi
• Cách giải thứ cách giải ngắn gọn nhất, nhiên để nghĩ cách giải cần có nhạy cảm định Nguồn gốc cách giải theo nghĩ xuất phát từ việc đoán hệ có nghiệm x= −1 nên tạo thừa số x 1+ Ở phương trình thứ −8xy bắt cặp với −8y tạo thừa số x Vấn đề lại +
2
3xy y Hai đại lượng bắt cặp với để tạo thừa số x bắt buộc ta + nhân vào đại lượng y với số Đó lí mà ta nhân phương trình (2) với cộng với phương trình (1)
Với cách giải này, giúp chế tác nhiều hệ Chẳng hạn, hai sau kết việc làm
Bài Giải hệ phương trình : + =
+ + = +
3
2
x 2xy
(7)Bài Giải hệ phương trình : + = − −
− + + = − +
3
x y (x y)(xy 1) x x y xy(x y 1) • Con đường để đến cách giải thứ có lẽ sau
Do phương trình thứ có xuất x , 3xy phương trình thứ hai có xuất x ,xy,y nên gợi ý cho phân tích qua hai đại lượng 2 x y− x y + Ta có: x3+3xy2 =a(x y)+ 3+b(x y) Đồng hai vế ta có − a b= =1
2
− + = + + −
2 2
x 8xy y a(x y) b(x y) Đồng hai vế ta có: + = − = − ⇔ =
= −
b
a b 2
a b a
2
− = − + +
8y 17x a(x y) b(x y) Đồng nhất, ta có + = − ⇔ = − − + =
= −
25 a
a b 17 2
a b b
2 Nên ta viết lại hệ sau: + + − = −
− + + − = − − − +
3
2
(x y) (x y) 98
3(x y) 5(x y) 25(x y) 9(x y) Và đến đây, để đơn giải mặt hình thức ta đặt a x y,b x y= + = −
Ta có hệ: + + =
− − − =
3 2 a b 98
3a 5b 9a 25b (*)
Cách giải thứ dựa vào cách giải hệ đẳng cấp, nhiên giải với cách giải thứ giúp giải toán địi hỏi phải tính tốn nhiều 2 Biến đổi phương trình tích
Xuất phát từ phương trình cơng trừ hai phương trình hệ, dẫn tới phương trình tích Từ phương trình tích ta biểu diễn ẩn qua ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình:
2
2 2xy
x y (1) x y
x y x y (2)
+ + =
+
+ = −
Lời giải: ĐK : x y 0+ >
(8)Ta có:(1) x2 y2 (x y)2 (x2 y )2 x y
+ − +
⇔ + + − =
+
2 2
(x y )(x y) (x y ) x y 0 x y
+ + − +
⇔ + + − =
+ 2
x y
(x y 1)( 1) x y y x
x y +
⇔ + − + = ⇔ + − = ⇔ = −
+ ( Do
2
x y 0
x y + >
+ )
Thay vào (2), ta được:x2 (1 x) x2 x x y
x y
= ⇒ =
− − = ⇔ + − = ⇔
= − ⇒ =
Vậy hệ có hai cặp nghiệm:(x; y) (1;0), ( 2;3)= −
Ví dụ Giải hệ phương trình : xy x y x2 2y2 x 2y y x 2x 2y + + = −
− − = −
Lời giải Điều kiện: x y ≥ ≥
Phương trình thứ hệ ⇔x2− +(y 1)x 2y− 2− =y (*)
Xem (*) phương trình bậc hai ẩn x, cịn y tham số, phương trình có biệt thức
2 2
(y 1) 4(2y y) (3y 1)
∆ = + + + = +
Do (*) có hai nghiệm x 2y 1,x= + = −y, ta loại nghiệm x= −y
Thay x 2y 1= + vào phương trình thứ hai hệ ta tìm y 2= ⇒ =x Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) (5; 2)=
Bình luận: Khi gặp phương trình hệ có dạng ax2+by2+cxy dx ey f 0+ + + = , ta xem phương trình bậc hai với ẩn x (hoặc y ) y (hoặc x ) tham số Nếu biệt thức ∆ có dạng (my n)+ ta rút x= α +βy
Nếu gặp hệ phương trình gồm hai phương trình bậc hai, phương trình hệ khơng có tính chất nêu ta nhân vào phương trình số cộng chúng lại với để phương trình bậc hai có tính chất vừa nêu Ví dụ Giải hệ phương trình : ( )
( )
2
2x 2xy y y xy 5x
+ + =
+ + =
Lời giải
Nhân phương trình thứ hai hệ với k 0≠ cộng với phương trình thứ ta được:
2
(9)2 2
x (2 k)y 5k 8(ky y 7k 5)
∆ = + + − + − −
= −(k 2) y2 2+2(5k2+10k 4)y 25k− + 2+56k 40+ Ta chọn k cho ∆ =x (ay b)+ 2, tức k thỏa mãn
2 2
y
' (5k 10k 4) (k 2) (25k 56k 40)
∆ = + − − − + + = (**)
Ta thấy phương trình (**) có nghiệm k 1= , ta chọn giá trị Khi ∆ =x y2+22y 121 (y 11)+ = +
Suy phương trình (*) có hai nghiệm: − +
= y = − −
x ;x y
2
Thay vào hệ ta tìm hai cặp nghiệm (1;1),( 1; 3)− −
Ví dụ Giải hệ phương trình x32 2xy2 25
2x xy y 4x y
+ =
+ + = +
Lời giải
Nhận thấy phương trình có nghiệm (1;± 2), nên ta suy nghĩ đến việc tạo thừa số x 1− Chú ý đến số hạng chứa y hai phương trình, ta nghĩ đến lấy phương trình thứ trừ lần phương trình thứ hai ta có được:
3 2
x −4x +8x 2y (x 1) y(x 1) 0− + − + − =
2
(x 1)(x 3x 5) 2y (x 1) y(x 1)
⇔ − − + + − + − =
2
(x 1)(x 3x 2y y 5)
⇔ − − + + + = (*)
Do x2 3x 2y2 y x 2 y 21 0, x,y
2
− + + + = − + + + > ∀ ∈
¡
Nên (*)⇔ =x Từ ta tìm (x; y) 1;=( ± 2) nghiệm hệ 3 Đặt ẩn phụ đưa hệ quen thuộc
(10)Lời giải
Vì x khơng nghiệm hệ nên hệ =
+ =
+ =
⇔ ⇔
+ = −
+ = −
3
3 3
2
2
1 y 19
a y 19
x
1 a y y a 6
y y
x x
(Với a= x)
Đặt S a y,P ay= + = Khi đó: − = ⇔ = ⇒ = ∪ = −
= − = − =
= −
2 S 1 a 3 a 2
S(S 3P) 19
P y y
SP
Vậy nghiệm hệ là: (x; y) ( ; 2), (= − −1; 3)
3
Bình luận
1) Ngồi cách giải trên, ta giải theo cách sau
Ta thấy x không nghiệm hệ, ta biến đổi hệ sau =
+ − + =
+ = −
2
2
6(1 xy)(1 xy x y ) 6.19x 19xy(1 xy) 19.6x
Cộng hai phương trình hệ lại ta được: (1 xy)(6x y+ 2+13xy 25) + = Đến đây, toán trở nên đơn giản
2) Một ví dụ tương tự toán + =
+ =
2
2 2 y xy 6x x y 5x Ví dụ 10 Giải hệ phương trình + + = −
− = + +
2
2 4
(x 1)y 2xy (y 1) xy (3xy 2) xy (x 2y) Lời giải
Hệ ⇔ + + + − =
− − − − =
2 4
2 2
x y 2xy y 2xy 3x y 2xy x y 2xy
+ + − = −
⇔
− − − − =
2
2 2
2
x
x 2xy
y y
2x
3x y x 2xy
y y
+ − = −
⇔
− − + =
2
2 2
2
x 2xy
y
1
3x y 2xy x
y
(11)
Đặt a x= + 12 ,b xy=
y , ta có hệ:
− = − = − = ⇔ ⇔ = ± − + = − + = 2
2 2
a 2b a 2b b
a
a 3b 2b 3b 4b
• − + + = = = = − = ⇔ ⇔ ⇔ = + − = − − = = = 2
5 1
1
1 x x x
x
a y 2 v 2
y
b 1 5 1 5
xy y y y y
2 • + = − = = − ⇔ ⇔ = = + + = 2 1 x x
a y
y b
xy y y
hệ vô nghiệm Vậy nghiệm hệ cho là: = − ± ±
1 5
(x; y) ;
2
Ví dụ 11 Giải hệ phương trình
5 2
2
2
6x y (x 1)
x 4x 3x y 9xy 3y x x 3y − + = + − = − − +
Lời giải Từ phương trình thứ hai, ta có 3y x x 3y
≥
+ ≠
Hệ cho tương đương với:
2
2 2
(x 2x 4)(x 2) 6x y 4x 3x y 9x y (3y x) x 3y − + + = ⇔ − − − = + 2
x 6x y
4x
9y 6xy x 3xy
x 3y + = ⇔ − + = − +
6
2 3
x 6x y x 6x y
(x 3xy 9y )(x 3y) 4x x 27y 4x
+ = + = ⇔ ⇔ − + + = + =
Vì x 0= khơng nghiệm hệ, nên ta có: 3
3 6y x x 27y x x + = + = Đặt a 22 0, b 3y
x x
= > = , ta thu hệ: a33 2b b 2a + =
+ =
(12)3
3
2
a b a b
1 a 2b
a 2a (a 1)(a a 1) (a b)(a ab b 2)
+ = = =
⇔ ⇔ ⇔
− + = − + − =
− + + + =
a b
1
a 1,a =
⇔ = =− +
• a b 1= = , ta có: x2 12 x 22 v x 22
3y 1 y y
3
x
= = = −
⇔
= = −
=
• ( ) ( )
2 x 5 1 x 5 1
1 x
a b 5 1 v 5 1
2 3y 5 1 y y
6
x
−
= + = − +
=
− +
= = ⇔ ⇔ + − + −
−
= = = −
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm hệ cho là:
( )x; y 2; , 1; ( 1)
3
− +
= ± ± − + −
Ví dụ 12 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )
4 2
2
4 2
6x x x y y 12 x
5x x y 11x
− − − + = −
− − − = −
Lời giải
Nhận thấy, x 0= không nghiệm hệ nên chia hai vế phương trình cho x ta được:
2
2
2
2
2
1
6 x x y y 12
x x
1
5 x x y 11
x x
+ − − − − =
+ − − − =
2
2
2
2
1
6 x x y y
x x
1
5 x x y
x x
− − − − =
⇔
− − − − =
Đặt a x
x
= − , ta có hệ: 6a22 ay2 22 y 5a a y
− − =
− − =
(13)Chia hai vế hệ cho a2 ≠0 ta có:
2
2
y y 6
a a
y
a
+ =
+ =
Đặt u a
= , ta có hệ: y u u y 622 22 uy(u y) 62 u y uy (u y) 2uy
u y
+ = + = + =
⇔ ⇔
=
+ − =
+ =
Từ ta tìm được: u
y = =
u y = =
• u a x 1 x2 x x
x
±
= ⇒ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =
• u a x 1 2x2 x x 17
2 x
±
= ⇒ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ =
Vậy nghiệm hệ cho là:
( )x; y 5; , 17;1
2
± ±
=
4 Phương pháp hàm số
Trong phương pháp này, dựa vào tính đơn điệu hàm số để thiết lập mối quan hệ ẩn
Ví dụ 13 Giải hệ phương trình: ( )
2
2
y(1 x ) x y (1) x 3y (2)
+ = +
+ =
Lời giải
Từ phương trình (2)⇔ − ≤1 x,y 1≤ (*)
Từ phương trình (1) ta thấy hệ có nghiệm (x;y) xy 0> (**) x,y ln dấu với
2 1 y x
(1) f(x) f(y)
x y
+ +
⇔ = ⇔ = f(t) t2
t +
(14)Vì x,y dấu nên ta có trường hợp sau:
* Nếu x,y (0;1] f(x) f(y)∈ ⇒ = ⇔ =x y thay vào (2) x y
⇒ = =
* Nếu x,y [ 1;0)∈ − ⇒f(x) f(y)= ⇔ =x y thay vào (2) x y ⇒ = = − Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x; y) ( 1; 1)
2 = ± ± Bình luận:
1) Ngồi cách giải trên, ta biến đổi (1) sau:
2
(1)⇔ +x xy = +y x y⇔ − +x y xy(y x) 0− = ⇔ −(x y)(xy 1) 0− = Từ kết hợp với (2) ta tìm x,y
2) Nếu hệ xuất phương trình dạng f(x; y) f(y; x)= ta có hai cách biến đổi phương trình
Cách 1: Biến đổi dạng (x y)g(x; y) 0− =
Cách 2: Biến đổi dạng h(x) h(y)= , ta sử dụng phương pháp hàm số Tuy nhiên trường hợp ta cần lưu ý tính chất sau hàm đơn điệu
“Nếu hàm số y f(t)= (Có TXĐ D ) đơn điệu tập xác định f
f(x) f(y)= ⇔ =x y Cịn D hợp khoảng ta kết luận f hàm số y f(t)= đơn điệu khoảng xác định từ f(x) f(y)= ta chưa suy x y= ! mà ta suy x,y thuộc khoảng.”
Chẳng hạn ta xét hàm f(x) x2 4x x
− + −
=
− có f '(x)= − −1 (x 2)−1 <0 f(1) f(3) 0= = !
3) Trong cách toán cần phải có hai nhận xét (*) (**) có (*) ta kết luận f(t) nghịch biến, có (**) ta xét hai trường hợp x,y 0< x,y 0> nên từ f(x) f(y)= có: x y= Trong số trường hợp, khơng có nhận xét để đẩy hai biến khoảng xác định ta sử dụng cách biến đổi thứ Chẳng hạn, ta xét sau:
3
1
x y
x y
x 2y − = −
+ =
(15)Ví dụ 14: Giải hệ phương trình : 3
2 2
x y 3y 3x
x x 2y y
− + − − =
+ − − − + =
Lời giải
Điều kiện: x y − ≤ ≤ ≤ ≤
Ta có 3 3
2 2 2
x y 3y 3x x 3x (y 1) 3(y 1) (1)
x x 2y y x x (y 1) (2)
− +
⇔
− −
− − = − − = − − − −
+ − − − + = + − − =
+
Ta có: y 1,x− ∈ − 1;1
Xét hàm số f(t) t= − −3 3t 2,t∈ − 1;1 có f '(t) t= ( )2− ≤ ⇒1 (1)⇔ = −x y Thay vào (2) ta được: x2−2 x− + = ⇔ = ⇒ =2 x y
Vậy nghiệm hệ: x y = =
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình : 22x 2y x y (1)2 x 12xy 9y (2)
+ − + = −
− + + =
Lời giải ĐK: x,y ≥ −
Từ (2) ta thấy hệ có nghiệm (x;y) x.y 0≥ (*) (1)⇔ 2x x+ − = 2y y (3)+ −
Xét hàm số f(t)= 2t t+ − , ta có: f '(t) 1 f '(t) t 2t
= − ⇒ = ⇔ =
+ ⇒hàm f(t) đồng biến 1( ;0)
2
− nghịch biến (0;+∞) Do (*) nên ta có trường hợp sau
TH 1: x,y [ 1;0)
(16)Tóm lại hai trường hợp dẫn đến x y= , tức (1)⇔ =x y thay vào (2) ta được:
2x = ⇔ =4 x (do x ≥ − )
Vậy hệ có cặp nghiệm : x y= = Ví dụ 16: Giải hệ phương trình với x,y (0; )
4 π
∈ :
x y
2
sin x
e sin y
3 8x 2y 2y 8y −
=
+ + = − + +
Lời giải
Ta có : ex y sin x ex ey f(x) f(y) sin y sin x sin y
− = ⇔ = ⇔ = ,
Trong f(t) et sin t
= , t (0; ) π
∈ Hàm f(t) liên tục (0; )
π có t
2 e cos t(tan t 1)
f '(t) t (0; ) f(t)
4 sin
− π
= < ∀ ∈ ⇒ hàm nghịch biến (0; )
4 π
f(x) f(y) x y
⇒ = ⇔ = thay vào phương trình thứ hai ta được:
2
3 8x + + =3 2x −2x 8x+ + ⇔3( 8x2+ −3 2x2−2x 1) 8x 0+ + − =
2
3(8x 1) 8x 0 x (0; )
8
8x 2x 2x
− π
⇔ + − = ⇔ = ∈
+ + − +
Vậy hệ có cặp nghiệm nhất: x y = =
5 Phương pháp đánh giá
(17)tìm mối quan hệ đơn giản hai ẩn Cách làm thường sử dụng yếu tố xuất phương trình khó có mối quan hệ biến đổi đại số
Ví dụ 17 Giải hệ phương trình : x2 y2 2xy 2 (1) x y (2)
+ + =
+ =
Lời giải
Điều kiện: x,y 0≥
Ta có: (x y)2 x2 y2 1(x y)2
− ≥ ⇔ + ≥ + x2 y2 (x y)
2
⇔ + ≥ +
2 1
x y 2xy (x y xy) ( x y) 2
2
⇒ + + ≥ + + = + = (do x+ y 2= )
Đẳng thức có x y x y
x y
=
⇔ ⇔ = =
+ =
Vậy hệ cho có cặp nghiệm x y 1= =
Chú ý: Ta giải hệ cho cách giải hệ đối xứng loại Tuy nhiên, việc biến đổi tương đối phức tạp
Ví dụ 18 Giải hệ phương trình:
2
2
2xy
x x y
x 2x 2xy
y y x
y 2y
+ = +
− +
+ = +
− +
Lời giải
* Ta thấy x 0= ⇒ = ⇒ = =y x y nghiệm hệ * Với xy 0≠ cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta
2
2
1 1
x y 2xy 2xy 2xy
2 (x 1) (y 1)
+ = + ≤ + =
− + − +
2 2
x 2x y (x y) x y
⇒ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ = =
(18)Ví dụ 19 Giải hệ phương trình :
2 3
2
y 8x xy 12 6x (1) 2(x y) 10x 6y 12 y x (2)
− + − + − ≤
− + − + − = +
Lời giải
Ta có: (2)⇔ 2(x y)− 2+10x 6y 12− + = y+ x 2+
2
y 0; x
1
(x y) 5x 3y ( y x 2) (3)
≥ ≥ −
⇔ − + − + = + +
Ta có: TV(3) x= 2−2xy y+ 2+5x 3y 6− +
= +(x 2)2−2y(x 2) y+ + 2+ + +y x
( ) (2 )2
2
(y x 2) y x ( y x 2) VP(3)
2
= − − + + + ≥ + + =
Đẳng thức có ⇔ = + ⇒y x (2)⇔ = +y x Thay vào (1) ta được:
3
2
x −4x 13+ − x −4x 12 1+ ≤ ⇔ t 3+ − t (4)+ ≤ Trong : t x= 2−4x 10 (x 2)+ = − 2+ ≥ ⇒6 3t 2+ ≥
Ta có: t ( )3t 1( ) ( )3t 3t t 23 ( )3t 2
2
+ = + + = + + + + ≥ + + + +
( 3 )2 3
t t t t (5)
⇒ + ≥ + + ⇒ + − + ≥ Đẳng thức có t 6= Từ (4) (5) ta suy t 3+ −3t 1+ = ⇔ = ⇔ =t x
Vậy hệ cho có nghiệm x y = =
Ví dụ 20 Giải hệ phương trình y2 2(4x 1)2 34x(8x 1) 40x x y 14x
+ − = +
+ = −
(19)Lời giải: Đk : x 14 ≥
Hệ y2 216x2 8x 34x(8x 1) 80x 2x 2y 14x
+ − + = +
⇔
+ = −
Cộng hai phương trình hệ với ta được:
2 3
y −2y 14x 14x 96x− + − + −20x 2+ = 4x(8x 1)+
2 3
(y 14x 1) 96x 20x 4x(8x 1)
⇔ − − + − + = + (1)
Ta có: VT(1) 96x2 20x 1[3(8x 1)2 8x 1] 1(8x 1)
2
≥ − + = − + + ≥ +
1[16x 8x 2] 1316x(8x 1)2 34x(8x 1) VP(1)
6
= + + + ≥ + = + =
Suy
1 x
8 (1)
3 y 14x
2 =
⇔
= − =
Thử lại hệ ta thấy thỏa mãn
Vậy hệ cho có nghiệm x
8 y
2 = =
Lời kết: Ngồi phương pháp trình bày trên, cịn có phương pháp khác lượng giác hóa, đặt ẩn phụ khơng triệt để…Nhưng lại để giải hệ phương trình ta tìm cách tìm quan hệ đơn giản ẩn để thực phép chuyển phương trình ẩn Hy vọng với viết nhỏ, góp phần giúp em học sinh khơng cịn lúng túng đứng trước hệ phương trình Những vấn đề đưa thân đúc rút trình giảng dạy, nên mang tính chủ quan Cuối cùng, nêu lên số tập để bạn luyện tập
(20)3x y x y 1)
x y x y
− = −
+ = + +
3x y x y 2)
x y 2x
− = −
+ − − = −
2x y x y 3)
3x 2y
+ + − + =
+ =
4) x y3 39 2xy24
x y 2xy
+ = + = x y 16 5)
3x y =
+ =
1
x y
x y
6)
2y x − = − = + x x
( ) ( ) 12
y y
7)
(xy) xy
+ =
+ =
8) 2xy 2yx x y xy + = − + = 2 x x y y 9) x x y y + + = + + =
x y x y
10)
y x y x
+ + − =
+ − − =
11) x22 xy y22 3(x y)2 x xy y 7(x y)
− + = −
+ + = −
12)
2
x y 2xy
x y
+ = + + + = 2 85
4xy 4(x y )
3 (x y) 13)
1 13 2x
x y
+ + + = + + = + 14) 2
8(x y ) 4xy 13
(x y) 2x x y + + + = + + = + 2 3
x y
15) 1 3x y x y + = − = +
16) 5x y 4xy2 2 22 3y3 2(x y) 02 xy(x y ) (x y)
− + − + = + + = + 2 2
x y x y
17)
2x xy y 5x y + + + − =
+ − − + + =
x y x y
18)
y x y
+ + − =
− =
19) x32 3xy2 26xy 3x 49 x 8xy y 10y 25x
+ = − −
− + = − −
20)
4 2
2
x 2x y x y 2x x 2xy 6x
+ + = + + = + 21)
2
4
5 x y x y xy xy
4 x y xy(1 2x)
4 + + + + = − + + + = −
22) xy x y x2 2y2 x 2y y x 2x 2y + + = −
− − = −
23) x43 x y x y32 2 x y x xy
− + =
− + = −
24)
7x y 2x y 2x y x y
+ + + =
+ + − =
25)
4x y 2x y 2x y x y
+ + + =
+ + + =
26) x y 1
y x 1
+ + =
+ + =
27) 4 7 11 11 x y
(x y )(x y ) x y + ≥
+ + = +
(21)28) xy y
x z y( x y z)
= +
+ = − +
29)
2
4
x 32 x y
x 32 x 6y 24
+ − − = − + − + = 30) 2
2
2
y x 12y (x 17)
3 12
y
x 2x x x
8y 3y
+ − + = + + = + −
31) 2
2 2
3 2x y x y x (1 2x ) y
1 (x y) x (x 2x 2xy )
+ − + − =
+ + − = − + − −
32) 2
3 2
1
x y
2
4x(x x x 1) y 2xy + = − + − = + − 33)
6 2
3 2
y y 2x xy x y
1
4xy y 2x (2x y)
2 + + = − + + ≥ + + −
34) 10
x xy y y
4x y
+ = + + + + = 35)
3x
x y
7y
x y + = + − = + 36) 4
2 x y
x( )
4 x y
2 x y
y( )
4 x y
+ + = + + − = +
37) x(y4 3x ) 73 3 2 2 x x y 9y y x x y 9x
− =
+ + = + +
38)
2
2
8xy
x y 16
x y
y
x 2x x x
8y 3y
+ + = + + = + − 39)
y x
2
2
x (y 1)
2x 9x
4x 18x 20 y
2x 9x + = + − + − + − + = + − +
40) x43 y43 240 2 2
x 2y 3(x 4y ) 4(x 8y) − =
− = − − −