Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán lớp 6,7,8,9

giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm; Nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống nhất cách ch[r]

(1)

Tailieumontoan.com 

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

TUYỂN TẬP

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6,7,8,9

(2)

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018

Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi có 02 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm) Hãy chọn đáp án ghi vào giấy thi cho câu sau:

Câu Giá trị biểu thức :

10 14

 

   

 −   +  là:

A

7 B −5

7 C

5 D

−7 Câu Số giá trị x thỏa mãn x2 – 3x = là:

A B C D

Câu Cho A = – + – + + 2017 – 2018 Giá trị biểu thức A là:

A -1009 B -2018 C 1009 D 2018

Câu Giá trị biểu thức

6

13

5.4 M

4.2 2.8 27 − =

− là:

A B C

2 D

3 Câu Chữ số tận số 23456 là:

A B C D

Câu Số nguyên dương n thỏa mãn (3n 6+ ) ( n 1+ ) là:

A B C D

Câu Số nguyên dương nhỏ chia cho 4; dư là:

A 60 B 122 C 62 D 58

Câu Cho a, b ∈ N*, thỏa mãn: a + b = 96 ƯCLN(a, b) = 12 Số cặp giá trị (a; b) là:

A B C D

Câu Cho A = + + 22 + + 22017 + 22018, khẳng định sau đúng? A A = 22019 B A + số phương

C A = 22019 –

D A

+

là số phương

Câu 10 Số cặp số nguyên tố x, y thỏa mãn 51x + 26y = 2000

A B C D

Câu 11 Số tự nhiên x thỏa mãn: x 15< 20<8 là:

A x = B x = C x = D x =

Câu 12 Cho A 12 13 12

2 20

= + + + , khẳng định sau đúng?

A < A < B < A < C A 19

20

= D A 19

(3)

Câu 13 Giá trị biểu thức 13 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

B= + + + + là:

A

4 B 13

4 C −3

4

D Đáp án khác

Câu 14 Trong mặt phẳng cho điểm khơng có điểm thẳng hàng Vẽ

được tam giác có ba đỉnh ba điểm điểm cho? A 120 B 60 C 20 D 15

Câu 15 Cho xOy 70= 0, vẽ tia Oz cho yOz 30 = Số đo góc xOz là:

A 1000 B 400 C 300 D 1000hoặc 400

Câu 16 Một lớp có 40 học sinh gồm ba loại: giỏi, trung bình Số học sinh giỏi

chiếm 25% số học sinh lớp Số học sinh

3 số học sinh lại Tỉ số phần trăm số học sinh trung bình so với số học sinh lớp A 20% B 25% C 30% D 35%

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm): Câu (4,0 điểm)

a) Cho x y, ∈Z, chứng minh rằng: 7x + 4y  37 13x +18y  37; b) Tìm hai số nguyên tố x y cho: x2 - 2x + = 6y2 - 2x +

Câu (4,0 điểm)

a) Tính hợp lý tổng: A=−1+−1+−1+−1+−1+−1 6 12 20 30 42 56

b) 2x+3+5.2x+2 =224

Câu (3,0 điểm)

Cho hai tia Ox Oy đối Trên tia Ox lấy hai điểm A M cho OA = 5cm, OM = 1cm; tia Oy lấy điểm B cho OB = 3cm

a) Chứng tỏ: M trung điểm đoạn thẳng AB

b) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy, vẽ tia Oz, Ot cho



yOz 130= , yOt 80 = Chứng tỏ: Oz tia phân giác xOt

Câu (1,0 điểm): Cho biểu thức = +

− x P

3 x (x ∈ Z) Tìm x ∈ Z để P đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

(4)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN TỐN Năm học 2017 – 2018

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm):

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp

án

đúng C D A B C B C D C,D C B A B C D B Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm):

Đáp án Thang điểm

Câu (4,0 điểm)

a) Cho ,x y∈Z, chứng minh rằng: 7x + 4y  37 13x +18y  37; b) Tìm hai số nguyên tố x y cho: x2 – 2x + = 6y2 - 2x + a) Ta có: 5(13x+18 ) 4(7y − x+4 )y =65x+90y−28x−16y

=37x+74y=37(x+2 ) 37y 

0.50

Hay 5(13x+18 ) 4(7y − x+4 ) 37y  (*) 0.50 Vì 7x+4y37, mà (4;37) = nên 4(7x+4 ) 37y  0.50

Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x+18 ) 37y  , mà (5; 37) = nên 13x+18y37 0.50

b) Ta có: x2 – 2x + = 6y2 -2x +

=> x2 – = 6y2 ⇒ 6y2 = (x-1).(x+1)  , 6y2  0.50 Mặt khác x-1 + x +1 = 2x  ⇒ (x-1) (x+1) chẵn lẻ 0.50 Vậy (x-1) (x+1) chẵn ⇒ (x-1) (x+1) hai số chẵn liên tiếp 0.25

⇒ (x-1).(x+1)  ⇒ 6y2 ⇒ 3y2  ⇒ y2  ⇒ y  0.25

⇒ y = ( y số nguyên tố) , tìm x = 0.25

Kết luận: (x, y) = (2, 5) 0.25

Câu (4,0 điểm)

a) Tính hợp lý tổng: A 1 1 1

6 12 20 30 42 56

− − − − − −

= + + + + +

b) Tìm x, biết : 2x+3+5.2x+2 =224

a) Ta có: A 1 1 1 1 1 1

6 12 20 30 42 56 12 20 30 42 56

− − − − − −  

= + + + + + = − + + + + + 

 

0,50

= − + + + + + 

 

1 1 1

2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 0,50

= − − + − + − + − + − + − 

 

1 1 1 1 1 1 3 4 5 6 7

(5)

= − − = −

 

1

2 8 0,50

b) Ta có: 2x+3+5.2x+2 =224 0,50

( )

2 2 224

2.2x+ 5.2x+ 224 + 2x+ =

⇔ + = ⇔ 0,50

2 32 25

2x+ = ⇔2x+ =

⇔ 0,50

2

x x

⇔ + = ⇔ = Vậy x = 3. 0,50

Câu (3,0 điểm) Cho hai tia Ox Oy đối Trên tia Ox lấy hai điểm A M cho OA = 5cm, OM = 1cm; tia Oy lấy điểm B cho OB = 3cm

a) Chứng tỏ: M trung điểm đoạn thẳng AB

b) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy, vẽ tia Oz, Ot cho



yOz 130= , yOt 80 = 0 Chứng tỏ: Oz tia phân giác xOt * Vẽ hình:

80°

z

y

t

x M

B O A

a) Trên tia Ox có OM < OA (vì 1cm < 5cm) nên M nằm O A ⇒ OM + MA = OA ⇒ MA = OA – OM = 4cm (1)

0,25 0,25 Vì Ox, Oy đối mà M ∈ Ox, B ∈ Oy nên O nằm B M 0,25 ⇒ BM = BO + OM = 4cm (2) 0,25

Từ (1) (2) suy MB = MA = 3cm 0,25

Vì ba điểm A, B, M thẳng hàng MA = MB nên M trung điểm AB 0,25 b) Vì hai tia Ox Oy đối nên hai góc xOz yOz kề bù

   

xOz yOz 180 xOz 180 yOz 50

⇒ + = ⇒ = − = 0,25

Vì hai tia Ox Oy đối nên hai góc xOt yOt kề bù

   

xOt yOt 180 xOt 180 yOt 100

⇒ + = ⇒ = − = 0,25

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy, xOz xOt < (500 <

1000) nên tia Oz nằm hai tia Ox Ot (1) 0,25

     

xOz zOt xOt zOt xOt xOz 50

⇒ + = ⇒ = − = 0,25

  xOz zOt

⇒ = (= 500) (2) 0,25

(6)

Câu (1,0 điểm): Cho biểu thức = +

− x P

3 x (x ∈ Z) Tìm x ∈ Z để P đạt giá trị lớn

nhất, tìm giá trị lớn

Ta có: ( )

( + )  

+ +

= = = =  + 

− − −  − 

3 x

2 x 2 x 13

P

3 x 3 x x x 0,25

⇒ P lớn

− 13

6 x 4 lớn 0,25

⇔ x 4− số dương nhỏ ⇔ x = ⇔ = ±1 x 0,25

Vậy Max P =  + =

 

2 13

1

3 x= ±1 0,25

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

Lưu ý:

- Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống cách cho điểm tương ứng đáp án không làm thay đổi điểm ý, từng câu

(7)

UBND HUYỆN THANH SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM NĂM HỌC 2017–2018

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi có 02 trang I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm

Câu 1 Giá trị x thỏa mãn 11 13 85

8 + = x là:

A 36 B 24 C 18 D 48

Câu Trung bình cộng tử số mẫu số phân số 68 Cộng thêm

vào tử số phân số đơn vị phân số phân số 3

2 Phân số

lúc đầu là: A 84

52 B

76

60 C

75

61 D

80 56

Câu Số chữ số cần dùng để đánh số trang sách toán tập từ

đến 132 là:

A 288 B 291 C 396 D 285

Câu Số tự nhiên x cho 168 x, 36  x , 84  x 3< x< 10 là:

A B C D 4; 6;

Câu Số nguyên dương x thỏa mãn

9

x x

x

< < là:

A B C D

Câu 6 BCNN số 42; 70; 180 là:

A 540 B 630 C 1240 D 1260

Câu Khi phân tích số 112244 thừa số ngun tố số 112244

A Có thừa số nguyên tố B Có thừa số nguyên tố 11 C Có thừa số nguyên tố D Có thừa số nguyên tố 3

Câu Số giá trị nguyên x thỏa mãn (2x + 3)(2x + 10) <

A B C D

Câu Chữ số hàng đơn vị số 760 là:

A B C D

Câu 10 Giá trị nhỏ 2

( 1) | | A= − −x + y− + là:

A B C D 12

Câu 11 Biết ƯCLN(a;b) = 13 BCNN(a;b) = 78 tích a.b

A 89 B 78 C 1208 D 1014

Câu 12 Giá trị biểu thức A = 13a + 19b + 4a - 2b với a + b = 100 là:

A 17 B 100 C 700 D 1700

(8)

Câu 13 Cho 30 điểm có m điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ

một đường thẳng Số đường thẳng vẽ 426 thì:

A m = B M = C m = D m = 28

Câu 14 Số số tự nhiên n thỏa mãn n – chia hết cho 3n + là:

A B C D

Câu 15 Trên nửa mặt phẳng bờ tia Ox cho góc  60 xOy=



100

xOz= Gọi Om, On tia phân giác xOy yOz Khi mOn

bằng:

A 200 B 500 C 800 D 300

Câu 16 Một mảnh vườn hình chữ nhật có 40% chiều rộng

7 chiều dài

Tính diện tích mảnh vườn chiều dài 70m

A 140 B 350 C 240 D 420

II TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Trình bày lời giải đầy đủ cho toán sau:

Câu (4,0 điểm)

a) Tìm số nguyên x y; cho: 1

3

y x

− = ; b) Tìm số tự nhiên a b biết: a b− =5 ( )

[ ],, 16 a b

a b =

Câu (4,0 điểm)

a) Tìm x∈N biết: + + + … + 2x = 156; b) Chứng minh :

2

+ 2

3

+ 2

4

+ + 2

100

<

Câu (3,0 điểm)

1 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB, OC

cho 

120

AOB= , 

80

AOC= Gọi OM tia phân giác BOC a) Tính AOM ;

b) Vẽ tia ON tia đối tia OM Chứng minh OA tia phân giác

 CON

2 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Ox1, Ox2, Ox3, , Oxn

(n≥1) cho: xOx2 =2xOx xOx 1; =3xOx xOx 1; =4xOx1; ;xOxn =nxOx1 Tìm số tự

nhiên n nhỏ để tia vẽ có tia phân giác chung 2017 góc

Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số M = 6

4

n n

−

− đạt giá trị lớn Tìm

giá trị lớn

- Hết -

(9)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN

Hướng dẫn chấm thi gồm 02 trang

( Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa)

Đáp án Điểm

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm).Mỗi ý 0,5 điểm, nếu học sinh chưa tìm, thiếu thừa kết không điểm.

Câu B Câu B

Câu 2 D Câu 10 C

Câu 3 A Câu 11 D

Câu 4 A,B Câu 12 D

Câu 5 C Câu 13 A

Câu 6 D Câu 14 C

Câu 7 B Câu 15 B

(10)

Website:tailieumontoan.com

9

a) Tìm số nguyên x y; cho: 1

3

y x

− = ;

b) Tìm số tự nhiên a b biết: a b− =5 ( ) [ ],, 16

a b

a b =

a) Ta có: 1 1 1

3 3 3

y y y

x x x

−

− = ⇒ − = ⇒ =

Nên: (y - 1).x = ⇒ ta có bảng

x -3 -1

y-1 -1 -3

y -2

1,0

0,5

0,5 b) ( )

[ ],, 16 [ ], 6.( , ) a b

a b a b

a b = ⇒ = Gọi d = (a,b) suy ra: a = d.a

' ;

b = d b' Ta có: a.b = [a,b].(a,b) nên d.a'.d.b' = 6.(a,b).(a,b)

hay d2.a'.b' = 6.d2 ⇒a'.b' = ⇒ a' = 3; b' = a' = 6; b' =1 (Vì a>b ⇒a'>b' )

Mặt khác a - b = ⇒ d.a' - d.b' = ⇒ TH1: với a' =3; b' =2 d(a'

- b') = ⇒ d = Với d = ⇒a = 15; b = 10

TH2: với a' = 6; b' = ta có d.(a' - b') =5 ⇒d.4 = ( khơng có giá trị d ⇒ khơng tìm a; b

0,5

Câu (4,0 điểm)

a) Tìm x∈N biết: + + + … + 2x = 156 ;

b) Chứng minh :

2 + 2 + 2 + + 2 100 < a) + + + …+ 2x = 156 ⇔2( + + …+ x) = 156

⇔ 2.(1 )

2

x x

+

=156 ⇔x( x + 1) =156 = 12.13

( x x + hai số tự nhiên liên tiếp) nên x = 12

0,5

0,5 0,5 0,5 b) Ta có 2

2 < = 1 -2

; 2

3 < = -3

; ; 2

100 < 100 99 = 99 -100

Vậy

2

+ 2

3

+ + 2

100 < 1 -2 + -3 + + 99 -100 2 + 2

+ + 2

100 <1-100 = 100 99 <1 1,0 0,5 0,5

Câu (3,0 điểm)

1 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB, OC cho 

120

AOB= , 

80

AOC = Gọi OM tia phân giác BOC a) Tính AOM ;

b) Vẽ tia ON tia đối tia OM Chứng minh OA tia phân giác CON

2 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Ox1, Ox2, Ox3, ,

Oxn cho:xOx2 =2xOx xOx 1; 3 =3 xOx xOx1; 4 =4xOx1; ;xOxn =nxOx1 Tìm số tự nhiên n nhỏ để tia vẽ có tia phân giác chung 2017 góc

(11)

- -Hết -

a) Lập luận tính AOM =1000 b) Lập luận chứng minh

1,0

Ta có: x Ox  1 2 =x Ox2 3 =x Ox3 4 = = x Oxn−1 n

Vậy n nhỏ n = 2017.2 = 4034 lúc Ox2017 tia phân giác chung 2017 góc xOx  4034;x Ox1 4033;x Ox2 4032; ;x2016Ox2018

0,5

Câu (1,0 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số M = 6

4

n n

−

− đạt giá trị lớn Tìm giá trị

lớn M =

4

n n

− − =

3(2 3) 6 2(2 3) 2(2 3)

n

n n

− + = +

− −

*) Nếu n ≤ M <

2

*) Nếu n > M >

2 Khi để M đạt giá trị lớn 2(2n – 3) đạt giá trị dương nhỏ n = GTLN M = 3

2+ =2 n =

0,25

0,5

(12)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC 2017 - 2018

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời

Câu 1: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 kết là:

A 343400 B 434300 C 333300 D 333030

Câu 2: Cần chữ số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1)

sách có 180 trang

A 432 B 431 C 430 D 433

Câu 3: Số giá trị x để (9 – x2)(x2 + 4)(x – 9)(x + 4) = là:

A B C D

Câu 4: Số số nguyên x thoả mãn 1 x

3+35< 210 < + +7 3 là:

A 115 B 228 C 227 D Đáp án khác

Câu 5: Cho biết x, y số tự nhiên thoả mãn: (x – 2)5 = 243 2y + 2y+4 = 272 Khẳng định sau đúng:

A x + y = B x – y = - C x2 + y2 = 41 D x2 – y2 = -9

Câu 6: Có cặp số nguyên (x; y) thoả mãn xy – 2x – 3y =

A B C D

Câu 7: Tìm số tự nhiên n cho p = (n – 2)(n2 + n – 5) số nguyên tố

A B C D Vô số

Câu 8: Cho hai số tự nhiên nhỏ 200, có tổng 272 ƯCLN chúng

bằng 34 Tích hai số bằng:

A 20400 B 8092 C 13872 D 17340

Câu 9: Tổng tất số nguyên x thoả mãn (x – 2)(8 – x) > bằng:

A 33 B 25 C 35 D 24

Câu 10: Chữ số tận số 71999 là:

A B C D

Câu 11: Gọi a số tự nhiên lớn có ba chữ số cho chia cho 2, cho 3,

cho 4, cho 5, cho ta số dư theo thứ tự 1; 2; 3; 4; Khẳng định sau

A 930 < a < 950 B 900 < a < 930 C 970 < a < 999 D 950 < a < 970

Câu 12: Trên tia Ox lấy điểm A, B, C cho OB = 2OA; OB = 70%OC Biết

AB = 3,5cm Độ dài đoạn OC bằng:

A 5,95cm B 8cm C 10cm D 12cm

(13)

Câu 13: Cho đoạn thẳng AB = 121

2 cm, Gọi O điểm nằm A B Gọi

M; N trung điểm AO BO Độ dài đoạn MN là:

A 30,25cm B 15,125cm C 60,5cm D Đáp án khác

Câu 14: Cho đoạn thẳng AB = 25 (cm) Gọi M1là trung điểm đoạn thẳng

AB; M2là trung điểm đoạn thẳng M1B; M3là trung điểm đoạn thẳng

M2B; M4là trung điểm đoạn thẳng M3B; M5là trung điểm đoạn thẳng

M4B Độ dài đoạn thẳng M1M5 là:

A 15cm B 16cm C 14cm D Đáp án khác

Câu 15: Cho tia chung gốc OA, OB, OC cho AOB = 500, BOC = 700,



AOC = 1200 Vẽ tia OM cho BOM = 300 Số đo góc AOM

A 400 B 200 C 600 D 800

Câu 16: Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo 21 góc Giá trị n bằng:

A B C D 10

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,5 điểm)

a) Tìm x biết: (- 54) - 6−x = - 134

b) Tính nhanh tổng sau: A = 5 5 30+42+56+72+90

c) So sánh: 2225 3151

Câu 2: (2,5 điểm)

Cho S = 2 10+11+12+ +19

a) Chứng minh rằng: S >

b) Chứng minh S số tự nhiên

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy qua điểm O vẽ các tia Om, On, Ot cho xOm = 450; yOn = 1000; yOt = 650 Chứng minh tia On tia phân giác góc mOt

b) Cho 30 điểm có điểm thẳng hàng (ngồi khơng cịn điểm thẳng hàng) Qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất bao nhiêu đường thẳng

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho tổng M = 2018

1 2018

4+4 +4 +4 + + Chứng minh rằng: M <

Hết

(14)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS

NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN

Hướng dẫn chấm có: 03 trang

A Một số ý chấm

Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm

B Đáp án thang điểm

Mỗi câu trả lời đúng, đủ cho 0,5 điểm (không đủ không cho điểm)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Đáp án C A D C A,C B B D B A D C A A B,D C

a) Tìm x biết: (- 54) - 6−x = - 134

b) Tính nhanh tổng sau: A = 5 5 30+42+56+72+90

c) So sánh: 2225 3151

Nội dung Điểm

a) (- 54) - 6−x = - 134 => 6−x = 80 0,25

=> – x = 80 – x = - 80 0,5

+) TH1: – x = 80 => x = -74

+) TH2: – x = - 80 => x = 86 0,5

Vậy x = - 74 x = 86 0,25

b) A 1 1

5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

 

=  + + + + 



 0,25

1 1 1 1 1

5 6 7 8 9 10

 

=  − + − + − + − + −  

 0,25

1 1

5

5 10

 

=  − = 

 0,5

c) Ta có: 2255 = 23.75 = 875 (1) 0,25

3151 > 3150 = 32.75 = 975 (2) 0,25

Lại có: 975 > 875 (3) 0,25

Từ (1), (2), (3) suy ra: 3151 > 2255 0,25

Câu 2: (2,5 điểm) Cho S = 2 2 10+11+12+ +19

a) Chứng minh rằng: S >

(15)

a) Ta có: S > 2

20+20+20+ +20 (có 10 số hạng) 0,5

=> S > 10

20 = Vậy S > (1) 0,5

b) Ta có: S < 2

10+10+10+ +10 (có 10 số hạng) 0,5

=> S < 10

10 = Vậy S < (2) 0,5

Từ (1) (2) có: < S < suy S số tự nhiên 0,5

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy qua điểm O vẽ các tia Om, On, Ot cho xOm = 450; yOn = 1000; yOt = 650 Chứng minh tia On tia phân giác góc mOt

b) Cho 30 điểm có điểm thẳng hàng (ngồi khơng cịn điểm thẳng hàng) Qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất bao nhiêu đường thẳng

a)

x m

y n

t

100°

65° 45°

O

+) xOm yOm là hai góc kề bù => Tính yOm = 1350 0,25 +) CM: Tia Ot nằm tia Oy Om (1) => Tính tOm = 700 0,5 +) CM: Tia Ot nằm tia Oy On (2) => Tính tOn = 350 0,5 +) Từ (1) => Tia Om tia Oy nằm nửa mặt phẳng đối bờ Ot

Từ (2) => Tia On tia Oy nằm nửa mặt phẳng đối bờ Ot Do đó: Tia Om tia On nằm nửa mặt phẳng bờ Ot

0,25

Mà tOn < tOm (350 < 700) => Tia On nằm hai tia Ot Om (3) 0,25 => tOn + nOm = tOm

Hay 350 + nOm = 700 => nOm = 350

Do đó: tOn = nOm = 350 (4)

0,5 Từ (3) (4) => On tia phân giác góc mOt 0,25 b) Giả sử có 30 điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được:

30.(30 – 1) : = 435 (đường thẳng) 0,25 Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được:

(16)

Vậy vẽ 435 – = 426 (đường thẳng) 0,5

Câu 4: (2 điểm)

Cho tổng M = 2018

1 2018

4+4 +4 +4 + + Chứng minh rằng: M <

M = 1 22 33 44 20182018 4+4 +4 +4 + +

=> 4M = + 2 32 43 20182017 4+4 +4 + +

=> 4M – M = 3M = + 1 12 13 20171 20182018 4+4 +4 + +4 −

0,5

=> 3M < + 1 12 13 20171

4+4 +4 + +4 0,25

Đặt N = + 2017

1 1

4+4 +4 + +4

=> 4N = + + 1 12 13 20161 4+4 +4 + +4

=> 4N – N = 3N = - 20171

4

0,5

=> 3N < => N < 4

3 0,25

Do đó: 3M < 4

3 => M < 9 <

4 8 =

1

(17)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH SƠN

MÔN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang

Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm

Câu 1: Giá trị x thỏa mãn 11 13 85

8 + =3x+3 là:

A B C 21 D 24

Câu 2: Cần chữ số để đánh số trang (bắt đầu từ trang 1)

sách có 180 trang

A 432 B 429 C 425 D 423

Câu 3: Số giá trị x (x N∈ ) để (4 – x2)(x2 + 1)(x – 3)(x + 5) = là:

A B C D

Câu 4: Cho biết x, y số tự nhiên thoả mãn: (x – 1)5 = 243 2y+4 = 32 Khẳng định sau đúng:

A x + y = B x – y = -1 C x2 + y2 = 17 D x2 – y2 =

Câu 5: Cặp số (x, y) với x, y số nguyên tố thỏa mãn 35x 2y 84+ = là:

A (2; 5) B (2; 7) C (2; 11) D (2; 13)

Câu 6: Cặp số tự nhiên (a, b) thỏa mãn: a.b = a + 4b = 41

A (0; 41) B (41; 0) C (-41; 0) D (1; 10)

Câu 7: Số số nguyên x thoả mãn 1 x

3 35+ < 210 < + +7 3 là:

A 115 B 228 C 227 D 226

Câu 8: Có cặp số nguyên (x; y) thoả mãn xy – 2x – 3y =

A B C D

Câu 9: Cho A 3= + + 2+ + ⋅⋅⋅ +33 32018 Biết 2A 3= n−1, giá trị n là:

A 2019 B 2018 C 2017 D 2016

Câu 10: Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn: a + b = 12; b + c = 13 c + a =

-15 Khi tổng a + b + c là:

A 10 B -10 C D -5

Câu 11: Biểu thức S=(2x−1)2018+ 3y 4− 2019+2019có giá trị nhỏ là:

A 1

2 B

3

4 C 2018 D 2019

Câu 12: Trên tia Ox lấy điểm A, B, C cho OB = 2OA; OB = 70%OC Biết

AB = 3,5cm Độ dài đoạn OC bằng:

A 10cm B 12 cm C 14cm D 5,95cm

(18)

Câu 13: Cho đoạn thẳng AB = 15cm, tia AB lấy điểm C cho AC = 1cm

Trên tia BA lấy điểm D cho BD = cm Độ dài đoạn CD là:

A 8cm B 10cm C 11cm D 18cm

Câu 14: Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ tia OA, OB, OC

sao cho AOB = 500, BOC = 700 Vẽ tia OM tia phân giác góc AOC Số đo của góc BOM là:

A 100 B 200 C 150 D 600

Câu 15: Cho tam giác ABC, D điểm cạnh BC, E điểm

giữa cạnh AC, biết diện tích tam giác CED 30cm2 Diện tích tam giác ABC

là:

A 90cm2 B 120cm2 C 180cm2 D 240cm2

Câu 16: Cho 17 điểm có điểm thuộc đường thẳng,

ngồi khơng có điểm thẳng hàng Số đường thẳng tạo thành từ 17 điểm là:

A 130 B 132 C 134 D 136

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1(4,0 điểm)

a) Tìm x, biết: ( )2018 ( )2019

x x 5− = x−

b) Tính tổng A 11 19 29 41 55 71 12 20 30 42 56 72

= + + + + + +

Câu 2(4,0 điểm)

a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: (p p 24− )( + ) b) Chứng minh 12n

30n +

+ là phân số tối giản với số tự nhiên n

Câu 3(3,0 điểm)

Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm, AC = 2cm

a) Tính độ dài BC;

b) Giả sử OAB 80  = Tính OAC;

c) Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân biệt (khác A, B, C) Tính số góc đỉnh O có cạnh qua điểm thuộc đường thẳng d

Câu 4(1,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức T ab a b =

+ (ablà số có hai chữ số)

-HẾT -

(19)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH SƠN

NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Đáp án B A A C B B C B A C D A B A B C II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1(4,0 điểm)

a) Tìm x, biết: ( )2018 ( )2019

x x 5− = x 5−

b) Tính tổng A 11 19 29 41 55 71 12 20 30 42 56 72

= + + + + + +

a) Ta có

( )2018 ( )2019 ( )2018 ( )2019 ( ) (2018 )

x x 5− = x− ⇔x x 5− + x 5− = ⇔0 x 5− 2x 5− =0 1,00

( )2018 x

x

5 2x x

2x 2

= 

 − =  − = 

⇔  ⇔  ⇔ 

− = =

− = 

  1,00

Vậy: x 5;5   ∈    

b) Ta có A gồm số hạng, viết lại: A 1 1 1

6 12 72

     

= −  + − + ⋅⋅⋅ + − 

      1,00

1 1 1 1 119

7 7

6 12 72 2.3 3.4 8.9 18

     

= − + + ⋅⋅⋅ + = − + + ⋅⋅⋅ + = − − =

      1,00

Câu 2(4,0 điểm)

a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: (p p 24− )( + ) b) Chứng minh 12n

30n +

+ là phân số tối giản với số tự nhiên n

a) Vì p số nguyên tố lớn nên p 1− p 1+ là hai số chẵn liên tiếp,

suy ra: (p p 8− )( + ) (1) 0,75

(20)

cho 3, mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, suy trong hai số p 1− p 1+ có số chia hết cho

Tức là: (p p 3− )( + ) (2)

Từ (1), (2) (3, 8) =1⇒(p p 24− )( + ) 0,50 b) Gọi d ước chung lớn 12n + 30n + (n N∈ *

) 0,50

( ) ( )

12n d

5 12n 30n d 30n d

+ 

⇒ ⇒ + − +

+ 



 1,00

1 d

⇒  Vậy: 12n

30n +

+ là phân số tối giản với số tự nhiên n 0,50

Câu 3(4,0 điểm)

Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm, AC = 2cm

a) Tính độ dài BC;

b) Giả sử OAB 80  = Tính OAC;

c) Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân biệt (khác A, B, C) Tính số góc đỉnh O có cạnh qua điểm thuộc đường thẳng d

Hình 1:

O

C B

A 80°

Hình 2:

80°

A B

C

O

a) Xét trường hợp:

* Trường hợp 1: C nằm A B (Hình 1)

(21)

* Trường hợp 2: A nằm B C (Hình 2)

Suy ra: BA + AC = BC, hay BC = 6cm + 2cm = 8cm; 0,50 Vậy: BC = 4cm BC = 8cm

b) Xét trường hợp:

* Trường hợp 1: C nằm A B (Hình 1)

Tia AC tia AB trùng ⇒OAC OAB 80 = = 0,50 * Trường hợp 2: A nằm B C (Hình 2)

Tia AC tia AB đối ⇒OAC; OAB  là hai góc kề bù

    0

OAC OAB 180 OAC 180 OAB 180 80 100

⇒ + = ⇒ = − = − = 0,50

Vậy: OAC 80 = 0hoặc OAC 100 =

c) Trên đường thẳng d có 2022 điểm (kể điểm A, B, C) Cứ điểm phân biệt đường thẳng d nối với đỉnh O góc đỉnh O thỏa

mãn yêu cầu đề 0,50

Số góc đỉnh O qua điểm đường thẳng d là:

2022.2021

2 043 231

2 = (góc) Vậy: có 043 231 góc đỉnh O 0,50

Câu 4(1,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ phân số T ab a b =

+ (ablà số có hai chữ số)

Nhận xét: ablà số có hai chữ số nên 0 a 9; b a,b N< ≤ ≤ ≤ ( ∈ ) 0,25

Ta có: T ab 10a b 9a

b

a b a b a b 1

a +

= = = + = +

+ + + + 0,25

ab T

a b =

+ nhỏ b

a lớn Khi đó: a = 1; b = 0,25

Vậy: Giá trị nhỏ phân số 19

10 0,25

(22)

Mơn: TỐN

Hãy chọn đáp án ghi vào giấy thi cho câu sau:

Câu Giá trị biểu thức A= 25+ ( )−5 −5 1, 44+ −6 là: A 10 B C -2 D 22

Câu Số giá trị x thỏa mãn ( )( )( )

x −4 2x−6 x + =1 0 là:

A B C D

1 1 1

2016 2017 2018 2017 2018 2019 A

1 3 2

672 2017 2018 2017 1009 2019

+ + + +

= −

+ + + +

là:

A

6 B C

− D -6

Câu Cho S 2= 0+ +21 22+23+ + 22017+22018, khẳng định sau đúng?

A 2018

S 2 B S + số phương C ( ) 2018

S 2+  D 2019

S=2 −1

Câu Giá trị biểu thức 100 99 98

A=x −2017x −2017x − − 2017x −2017x 1−

=

x 2018 là:

A B 2018 C 2019 D 2017

Câu Cho ba số x, y, z thỏa mãn =x y

2 3, = y z

2 x 2y z 2− + = Khi + −x y 2z bằng:

A B C 11 D -16

Câu Tam giác ABC có A : B : C   =2 : : 4, số đo góc A, B, C là: A 400; 600; 800 B 200; 300; 400 C 800; 600; 400 D 400; 300; 200

Câu Một cửa hàng giảm giá gạo 25% với số tiền trước mua 30kg gạo

thì mua kg gạo?

A 40kg B 30kg C 20kg D 10kg

Câu Biết đồ thị hàm số y = f(x) = (m3 – 1)x qua điểm A(1; 7) Khi giá trị m là:

A -2 B C -2 D

Câu 10 Giá trị đa thức A = 2x4 + 5x2y2 + 3y4 + x2với x2 + y2 = bằng:

A B C D

Câu 11 Giá trị sau nghiệm đa thức ( ) ( )3 f x = x −5x+4 ? A x = B x = C x = D x =

Câu 12 Cho tam giác ABC cân A, trọng tâm G Biết AB = 5cm, BC = 6cm Khi

AG bằng: A 4cm

3 B 4cm C 2cm D

cm

(23)

Câu 13 Tam giác ABC cân, biết AB = 8cm, AC = 5cm Chu vi tam giác ABC là:

Câu 14 Cho ∆ABC, D giao điểm đường phân giác BM CN Biết



BDC 115= số đo góc A là:

A 500 B 800 C 1000 D 600

Câu 15 Cho ∆ABC đều, đường trung tuyến AM đường phân giác BD cắt I

Kẻ IH ⊥ AB (H ∈AB) Biết AM = 6cm, IH bao nhiêu?

Câu 16 Có 10 viên bi đỏ, 11 viên bi xanh, viên bi vàng viên bi trắng để

cùng hộp Khơng nhìn vào hộp, phải lấy viên bi để chắn lấy viên bi màu

A 20 B 21 C 22 D 34

a) Tìm số tự nhiên x; y biết: 2x +80=3y

;

b) Một số nguyên tố p chia cho 26 có số dư r hợp số Tìm hợp số r?

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm x, biết: −x = + +1 1 + + + 19 12 306 342

b) Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn: a = b = c = d

5b 5c 5d 5a Tính giá trị biểu thức: = + +

+ +

19a 5b 1890c M

19a 5b 2018c Câu (4,0 điểm)

Cho ∆ABC cân A Lấy điểm D nằm B C Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB M, từ E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC N Gọi I giao điểm MN BC

a) Chứng minh: DM = EN

b) Gọi O giao điểm đường phân giác góc BAC đường thẳng vng góc với MN I Chứng minh ∆BMO= ∆CNO

c) Chứng minh: Điểm O cố định D thay đổi (D nằm B C)

Câu (1,0 điểm): Cho a, b, c số nguyên dương Chứng tỏ rằng:

a b c

A

a b b c c a

= + +

+ + + số nguyên?

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

(24)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp

án

đúng A B C C,D D D A A B C B,C D A,

B A C A

Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm):

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên x; y biết: 80 3x + = y

b) Một số nguyên tố p chia cho 26 có số dư r hợp số Tìm r?

a) Vì y số tự nhiên nên 3y là số lẻ, suy 80x + là số chẵn 0,50 Vì 80 số chẵn nên 2x là số lẻ, suy

2x 1 2x 2 0

x

= ⇔ = ⇔ = 0,50

Khi đó:

3y 81 3y 3 2

y

= ⇔ = ⇔ = 0,50

Vậy (x; y)=( )0;2 0,50

b) Vì p chia cho 26 có số dư r nên: p = 26k + r (0 < r < 26, k, r tự nhiên)

Hay p = 2.13.k + r 0,50

Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 13

=> r hợp số không chia hết cho 2; 13 r < 26 0,50

Học sinh r∈{9;15;21;25} 0,50

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm x, biết:x− = + +1 1 + + + 19 12 306 342

5b 5c 5d 5a Tính giá trị biểu thức:

+ + =

+ + 19a 5b 1890c M

19a 5b 2018c

a) Ta có: x− = + +1 1 + + +

19 12 306 342

⇔ −x = + + + + + ⇔ −x = −1 =18

19 1.2 2.3 3.4 17.18 18.19 19 19 19 1,0

 − =  =

 

⇔  − ⇔ = −

 − = 



1 18

x x

19 19

17

1 18 x

x 19

19 19

(25)

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

+ + +

= = = = =

+ + +

a b c d a b c d

5b 5c 5d 5a 5a 5b 5c 5d 5 (vì a, b, c, d > nên a + b + c + d > 0) 0,75 Suy ra: a = b = c = d Thay vào M, ta được:

+ +

= =

+ +

19 1890 1914 M

19 2018 2042

0,75 Câu (4,0 điểm) Cho ∆ABC cân A Lấy điểm D nằm B C Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB tại M, từ E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC N Gọi I giao điểm MN và BC

c) Chứng minh: Điểm O cố định D thay đổi (D nằm B C) * Vẽ hình:

N M

I

O

E D

C B

A

a) Ta có: ∆ΑΒC cân A ⇒ABC ACB = 0,5

Mà NCE ACB = (đối đỉnh) nên ABC NCE = 0,25

- Chứng minh: ∆MBD= ∆Ν ΕC (cgv – gn kề) 0,5

- Suy ra: DM = EN 0,25

b) - Chứng minh: ∆ABO= ∆ACO c.g.c( ) => OB = OC 0,25 - Chứng minh: ∆MDI= ∆NEI ch gn( − )⇒MI NI= 0,5 - Chứng minh: ∆MIO= ∆NIO (hai cạnh góc vng) ⇒MO NO= 0,5

- Chứng minh: ∆BMO= ∆CNO c.c.c( ) 0,25

c) Ta có: ∆BMO= ∆CNO c.c.c( )⇒MBO NCO = 0,25 Mà MBO ACO = (do ∆ABO= ∆ACO) nên NCO ACO =

Ta lại có: NCO ACO là hai góc kề bù nên: NCO ACO 90 = =

(26)

OC AC

⇒ ⊥ 0,25

⇒ O giao điểm đường phân giác BAC và đường thẳng vuông góc với

AC C, O cố định 0,25

a b c

A

a b b c c a

= + +

+ + + không phải số nguyên?

Vì a, b, c số nguyên dương nên áp dụng tính chất:

( , , ; )

a a m

a b m N a b

b b m

+

< ∈ <

+ ta được: 0,25

a a a c

a b c a b a b c

b b b a

a b c b c a b c

c c c b

a b c c a a b c

+ < <

+ + + + +

+ < <

+ + + + +

+ < <

+ + + + +

0,25

Cộng vế với vế ta được:

a b c a b c 2(a b c)

a b c a b b c c a a b c

+ + + +

< + + <

+ + + + + + + 0,25

Hay 1 a b c

a b b c c a

< + + <

+ + +

⇒ A không phải số nguyên

0,25

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

Lưu ý:

(27)

Mơn: TỐN

Hãy chọn đáp án ghi vào giấy thi cho câu sau:

Câu Giá trị biểu thức A= 25+ ( )−5 −5 1, 44+ −6 là: A 10 B C -2 D 22

Câu Số giá trị x thỏa mãn ( )( )( )

x −4 2x−6 x + =1 0 là:

A B C D

1 1 1

2016 2017 2018 2017 2018 2019 A

1 3 2

672 2017 2018 2017 1009 2019

+ + + +

= −

+ + + +

là:

A

6 B C

− D -6

Câu Cho S 2= 0+ +21 22+23+ + 22017+22018, khẳng định sau đúng?

A 2018

S 2 B S + số phương C ( ) 2018

S 2+  D 2019

S=2 −1

Câu Giá trị biểu thức 100 99 98

A=x −2017x −2017x − − 2017x −2017x 1−

=

x 2018 là:

A B 2018 C 2019 D 2017

Câu Cho ba số x, y, z thỏa mãn =x y

2 3, = y z

2 x 2y z 2− + = Khi + −x y 2z bằng:

A B C 11 D -16

Câu Tam giác ABC có A : B : C   =2 : : 4, số đo góc A, B, C là: A 400; 600; 800 B 200; 300; 400 C 800; 600; 400 D 400; 300; 200

Câu Một cửa hàng giảm giá gạo 25% với số tiền trước mua 30kg gạo

thì mua kg gạo?

A 40kg B 30kg C 20kg D 10kg

Câu Biết đồ thị hàm số y = f(x) = (m3 – 1)x qua điểm A(1; 7) Khi giá trị m là:

A -2 B C -2 D

Câu 10 Giá trị đa thức A = 2x4 + 5x2y2 + 3y4 + x2với x2 + y2 = bằng:

A B C D

Câu 11 Giá trị sau nghiệm đa thức ( ) ( )3 f x = x −5x+4 ? A x = B x = C x = D x =

Câu 12 Cho tam giác ABC cân A, trọng tâm G Biết AB = 5cm, BC = 6cm Khi

AG bằng: A 4cm

3 B 4cm C 2cm D

cm

(28)

Câu 13 Tam giác ABC cân, biết AB = 8cm, AC = 5cm Chu vi tam giác ABC là:

B 18cm B 21cm C 26cm D 13cm

Câu 14 Cho ∆ABC, D giao điểm đường phân giác BM CN Biết



BDC 115= số đo góc A là:

A 500 B 800 C 1000 D 600

Câu 15 Cho ∆ABC đều, đường trung tuyến AM đường phân giác BD cắt I

Kẻ IH ⊥ AB (H ∈AB) Biết AM = 6cm, IH bao nhiêu?

Câu 16 Có 10 viên bi đỏ, 11 viên bi xanh, viên bi vàng viên bi trắng để

cùng hộp Khơng nhìn vào hộp, phải lấy viên bi để chắn lấy viên bi màu

A 20 B 21 C 22 D 34

a) Tìm số tự nhiên x; y biết: 2x +80=3y

;

b) Một số nguyên tố p chia cho 26 có số dư r hợp số Tìm hợp số r?

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm x, biết: −x = + +1 1 + + + 19 12 306 342

5b 5c 5d 5a Tính giá trị biểu thức: = + +

+ +

19a 5b 1890c M

19a 5b 2018c Câu (4,0 điểm)

Cho ∆ABC cân A Lấy điểm D nằm B C Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB M, từ E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC N Gọi I giao điểm MN BC

c) Chứng minh: Điểm O cố định D thay đổi (D nằm B C)

a b c

A

a b b c c a

= + +

+ + + số nguyên?

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

(29)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp

án

đúng A B C C,D D D A A B C B,C D A,

B A C A

Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm):

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên x; y biết: 80 3x + = y

b) Một số nguyên tố p chia cho 26 có số dư r hợp số Tìm r?

a) Vì y số tự nhiên nên 3y là số lẻ, suy 80x + là số chẵn 0,50 Vì 80 số chẵn nên 2x là số lẻ, suy

2x 1 2x 2 0

x

= ⇔ = ⇔ = 0,50

Khi đó:

3y 81 3y 3 2

y

= ⇔ = ⇔ = 0,50

Vậy (x; y)=( )0;2 0,50

b) Vì p chia cho 26 có số dư r nên: p = 26k + r (0 < r < 26, k, r tự nhiên)

Hay p = 2.13.k + r 0,50

Vì p số ngun tố nên r khơng chia hết cho 2; 13

=> r hợp số không chia hết cho 2; 13 r < 26 0,50

Học sinh r∈{9;15;21;25} 0,50

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm x, biết:x− = + +1 1 + + + 19 12 306 342

5b 5c 5d 5a Tính giá trị biểu thức:

+ + =

+ + 19a 5b 1890c M

19a 5b 2018c

a) Ta có: x− = + +1 1 + + +

19 12 306 342

⇔ −x = + + + + + ⇔ −x = −1 =18

19 1.2 2.3 3.4 17.18 18.19 19 19 19 1,0

 − =  =

 

⇔  − ⇔ = −

 − = 



1 18

x x

19 19

17

1 18 x

x 19

19 19

(30)

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

+ + +

= = = = =

+ + +

a b c d a b c d

5b 5c 5d 5a 5a 5b 5c 5d 5 (vì a, b, c, d > nên a + b + c + d > 0) 0,75 Suy ra: a = b = c = d Thay vào M, ta được:

+ +

= =

+ +

19 1890 1914 M

19 2018 2042

0,75 Câu (4,0 điểm) Cho ∆ABC cân A Lấy điểm D nằm B C Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB tại M, từ E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC N Gọi I giao điểm MN và BC

c) Chứng minh: Điểm O cố định D thay đổi (D nằm B C) * Vẽ hình:

N M

I

O

E D

C B

A

a) Ta có: ∆ΑΒC cân A ⇒ABC ACB = 0,5

Mà NCE ACB = (đối đỉnh) nên ABC NCE = 0,25

- Chứng minh: ∆MBD= ∆Ν ΕC (cgv – gn kề) 0,5

- Suy ra: DM = EN 0,25

b) - Chứng minh: ∆ABO= ∆ACO c.g.c( ) => OB = OC 0,25 - Chứng minh: ∆MDI= ∆NEI ch gn( − )⇒MI NI= 0,5 - Chứng minh: ∆MIO= ∆NIO (hai cạnh góc vng) ⇒MO NO= 0,5

- Chứng minh: ∆BMO= ∆CNO c.c.c( ) 0,25

c) Ta có: ∆BMO= ∆CNO c.c.c( )⇒MBO NCO = 0,25 Mà MBO ACO = (do ∆ABO= ∆ACO) nên NCO ACO =

Ta lại có: NCO ACO là hai góc kề bù nên: NCO ACO 90 = =

(31)

OC AC

⇒ ⊥ 0,25

⇒ O giao điểm đường phân giác BAC đường thẳng vng góc với

AC C, O cố định 0,25

a b c

A

a b b c c a

= + +

+ + + khơng phải số ngun?

Vì a, b, c số nguyên dương nên áp dụng tính chất:

( , , ; )

a a m

a b m N a b

b b m

+

< ∈ <

+ ta được: 0,25

a a a c

a b c a b a b c

b b b a

a b c b c a b c

c c c b

a b c c a a b c

+ < <

+ + + + +

+ < <

+ + + + +

+ < <

+ + + + +

0,25

Cộng vế với vế ta được:

a b c a b c 2(a b c)

a b c a b b c c a a b c

+ + + +

< + + <

+ + + + + + + 0,25

Hay 1 a b c

a b b c c a

< + + <

+ + +

⇒ A không phải số nguyên

0,25

––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––

Lưu ý:

(32)

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi có 02 trang

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1 Giá trị x thỏa mãn

( x−2) =9 là: A 25 B 7

2 C

5

2 D

11

Câu 2 Giá trị x âm thỏa mãn (2x + 1)4= 625 bằng:

A -3 B C D

Câu 3 Giá trị x thỏa mãn

12x+3x+ 4x+ =3900 là:

A B C D

Câu 4 Giá trị nhỏ biểu thức A = (x + 2)4 + |3 – x| + là:

A B 10 C 11 D 13

Câu Cho hàm số f(x) xác định với x Nếu f(a + b) = f(a.b) với a, b

f(2017) = 10 f(2018) bằng:

A 2017 B 2018 C 11 D 10

3

1

2

1 1 15 A

− + =

− + là:

A B 3

2 C D 12

Câu Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(2;3), A(x;6) B nằm trục

hoành Khi MA+MB đạt giá trị nhỏ x bằng:

A B C D

Câu Số 22018chia cho 31 có số dư là:

A B C D 15

Câu 9 Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = 19 3a =2b

2 Khi 2a – 3b bằng:

A B -37 C D

Câu 10 Với x, y thỏa mãn x2 + y2 = giá trị đa thức A = 4x4 + 7x2y2 + 3y4 + 5y2bằng:

A 100 B 50 C 30 D 20

Câu 11 Cho biểu thức

2

5

10

x y

A

x y

+ =

− Giá trị biểu thức A với 3

x y

= bằng:

A B 3

5 C

5 D

Câu 12 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BD CE Trên tia đối

tia BD lấy điểm I, tia đối tia CE lấy điểm K cho BI = AC CK = AB

Khi đó, ta có:

(33)

A  90

AIK = B AI =IK = AK C.IAK =900 D

AI = AK

Câu 13 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD CE vng góc với

nhau Nếu BD = 9cm, CE = 12cm độ dài cạnh BC là:

A cm B 10cm C 11cm D 12cm

Câu 14 Cho tam giác ABC, đường phân giác BK, CH cắt I Biết



121

BIC= Khi góc A bằng:

A 760 B 320 C 620 D 590

Câu 15 Trong tam giác ABC, hai đường phân giác đỉnh A đỉnh B cắt

nhau J tạo thành góc  70

AJB= Vậy góc C bằng:

A 400 B 500 C 800 D 300

Câu 16 Ba công nhân có suất lao động tương ứng tỉ lệ với 3;5;7.Biết

tổng số tiền thưởng người thứ người thứ hai 5,6 triệu đồng số tiền thưởng tỉ lệ thuận với suất lao động Tổng số tiền thưởng ba người là:

A 9,5 triệu đồng B 10,5 triệu đồng C 10 triệu đồng D triệu đồng

Câu (3,5 điểm)

a) Chứng minh số có dạng abcabcln chia hết cho 11;

b) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số của tỉ lệ theo 1: 2:

Câu (3,5 điểm)

a) Tìm x biết: 11

2

x− + = ;

b) Biết 2 2 2

25; 9; 16

3

b b

a +ab+ = c + = a +ac c+ = (với a≠0;c≠0;a+ ≠c 0) Chứng minh rằng: 2c b c

a a c

+ =

+

Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía

ngoài tam giác ABC tam giác đều ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC

a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE b) Chứng minh rằng: DIB = 600

c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh ∆AMN d) Chứng minh IA phân giác góc DIE

Câu (1,0 điểm) Cho số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2017; a + 2b =

2018 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c

- Hết -

(34)

HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý 0,5 điểm,

nếu học sinh chưa tìm, thiếu thừa kết khơng điểm

Câu A Câu B

Câu A Câu 10 A

Câu B Câu 11 A

Câu D Câu 12 C, D

Câu D Câu 13 B

Câu C Câu 14 C

Câu A Câu 15 A

(35)

II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,5 điểm)

a) Chứng minh số có dạng abcabcln chia hết cho 11;

b) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1: 2:

a) Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)

= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)

= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) = 11.91( a.102 + b.10 + c)  11

0,5

0,5 b) Gọi a, b, c chữ số số có ba chữ số cần tìm (a, b, c ∈ N)

Ta có ≤ a + b + c ≤ 27

Mặt khác số cần tìm bội 18 nên bội 9,

do a + b + c = a + b + c = 18 a + b + c = 27 Theo đề ta có: ;

1

a = = =b c a+ +b c

Như a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18 Từ suy a = 3, b = 6, c =

Do số phải tìm bội 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, hai số cần tìm là: 396; 936

0,5

0,55

Câu (4,0 điểm)

a) Tìm x biết: 11

2

x− + = ;

b) Biết 2 2 2

25; 9; 16

3

b b

a +ab+ = c + = a +ac c+ = (với

0; 0;

a≠ c≠ a+ ≠c ) Chứng minh rằng: 2c b c

a a c

+ =

+

a) Ta có 11

2

x− + = => 2x− = 7

=> 2x− = 7 hoặc 2x− = − 7

=> x=4 hoặc x=3

Vậy x=4 hoặc x=3

0,5 0,5 0,5 0,5

b) Ta có:

2

2 2

3

b b

c + +a +ac c+ =a +ab+

2

2c ac ab 2c 2ac ab ac

⇔ + = ⇔ + = +

2

2 (c a c) a b c( ) c b c

a a c

+

⇔ + = + ⇔ =

+

0,5

Câu (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác đều ABD ACE Gọi I giao của CD BE, K giao AB DC

(36)

c) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh ∆AMN đều

d) Chứng minh IA phân giác góc DIE

I K

A

B C

D

E

M

N J

a) Ta có: AD = AB; DAC =BAE AC = AE Suy ∆ADC = ∆ABE (c.g.c)

b) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒ABE =ADC, mà BKI =AKD(đối đỉnh)

Khi xét ∆BIK ∆DAK suy BIK =DAK = 600 (đpcm) c) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN ACM =AEN

⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN CAM =EAN  

MAN=CAE = 600 Do ∆AMN

d) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ ⇒ BJ = BI

 

JBI=DBA = 600 suy IBA =JBD, kết hợp BA = BD

⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) ⇒AIB =DJB = 1200 mà BID = 600

 DIA

⇒ = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE

1,0

0,5

Câu (1,0 điểm)

Cho số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2017; a + 2b = 2018 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c

Ta có: a + 3c = 2017 (1) a + 2b = 2018 (2) Từ (1) ⇒ a = 2017 – 3c

Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = ⇔ b = 3c

2 +

Khi đó:

P = a + b + c = (2017 – 3c) + 3c

2 +

+ c

= 2017 6c 3c 2c 20171 c

2 2

− + +

 + + = −

 

  Vì a, b, c khơng âm nên

P = 20171 c 2−2 ≤

1 2017

2 MaxP =

1 2017

2 ⇔ c =

0,25

(37)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC: 2017-2018

MƠN:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 02 trang

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu Cho a a

15 b b

− =

− − , tỉ số b a là: A

5

− B.5 C -5

D

Câu 2 Số giá trị n thỏa mãn: ≤ −( 3)n ≤ là: 39

A B C D

Câu 3 Giá trị a công thức hàm số y = f(x) = ax, biết a 5= f(1) > f(2)

là

A B -5 C 5± D kết khác

Câu 4 Cho x, y đại lượng tỉ lệ nghịch, x1, x2 là hai giá trị x; y1, y2 hai giá trị tương ứng y Biết y12 + y22 = 52, x1 = 2, x2 = Khi giá trị y1, y2

là:

A 4; B -4; C 6; -4 D -6; -4

Câu Cho x, y, z khác 0, x – y – z = Giá trị biểu thức B =

z x y

1 1

x y z

 

 −  −  + 

   

    là: A -1 B

C

D

Câu 6 Cho tam giác có cạnh a, b, c tỉ lệ thuận với ba số 6; 8; 11 2b2 = c2 + 28 Chu vi tam giác bằng:

A 25 B 50 C 75 D 100

Câu 7 Cho hình vẽ biết: CD = 7, DB = 18, BAC=900 Độ dài x là:

A ; B 12 ; C 15 ; D 18

18

x x

C

A B

D

Câu Tam giác ABC cân, biết AB = 8cm, AC = 5cm Chu vi tam giác ABC là:

C 18cm B 21cm C 26cm D 13cm

Câu Cho tam giác ABC có Â = 400 I giao điểm đường phân giác BD, CE Số đo góc BIC là:

A 1400 B 1100 C 700 D 1080

(38)

Câu 10 Cho F(x) thỏa mãn điều kiện: x.F(x - 2) = (x - 4).F(x) Nghiệm đa thức

F(x) là:

A ; B 2; C -4; -2 D 0;

Câu 11 Số 985có chữ số?

A 14 B 15 C 16 D 17

Câu 12 Có 20 viên bi gồm 10 bi đỏ, bi xanh, lại bi vàng bi trắng để

hộp Khơng nhìn vào hộp, lấy viên bi chắn số bi lấy có bi màu?

A 14 B 15 C 16 D 13

II TỰ LUẬN

Câu 1(3 điểm).1) Thực phép tính

a) 35 11 23

6 15

 −  − 

  

   b)

6

4 12 11

4 120

+ −

2) Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2+ cx + d Với a, b, c, d hệ số nguyên

Biết f(x) chia hết cho với số nguyên x Chứng minh a, b, c, d chia hết cho

Câu 2(3 điểm)

1) Tìm x, y biết: x + y = x : y = 3(x - y)

2) Cho đa thức P = x x2 1

x x x x

2 2

 − +  − − + 

   

 

a) Tính P −     

b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với số nguyên x

Câu 3(2 điểm) Một giá sách chia thành ngăn: ngăn I, ngăn II, ngăn III Biết

rằng

3 số sách ngăn I

4 số sách ngăn II

5 số sách ngăn III số sách ở ngăn III số sách hai ngăn cịn lại 57 Tính số sách ngăn

Câu 4(4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy D

bất kì thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng:

a) BH = AI b) DN ⊥ AC c) IM phân giác góc HIC

Câu 5(1,5 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

y 2018 30 18302 (2x 6) 61

+ + =

+ +

b) Trong bảng vng gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào ô vuông ba số 1; -1 Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số

Hết

(39)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018

MƠN: TỐN

(Hướng dẫn chấm thi đề thức có 04 trang)

- Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách; chấm thi giám

khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơgic

- Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm

B Đáp án biểu điểm

I Trắc nghiệm(Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 10 11 12

Đ án

C C B D A B C A,B B B C A

II Tự luận

Câu 1(3 điểm).1) Thực phép tính

a) 35 11 23

6 15

 −  − 

  

   b)

6

4 12 11

4 120

+ −

2) Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2+ cx + d Với a, b, c, d hệ số nguyên

Biết f(x) chia hết cho với số nguyên x Chứng minh a, b, c, d chia hết cho

1) a) 35 11 23

6 15

 −  − 

  

   =

23 49 13

6 15

 −  − 

  

   =

5 2

2 3 =

5

3

0,75

b)

6

4 12 11

4 120

+ −

6 12 10 12 10 12 10

4 12 11 12 12 11 11 11 11

4 120 3 (1 5) 2.6

8 3 (2.3 1) 3.5

+ + +

= = = = =

− − −

0,75

2 Vì f(x) chia hết cho với số nguyên x nên f(0) = d  0,25 f(1) = a + b + c + d  mà d  ⇒ a + b + c  (1) 0,25 f(-1) = - a + b – c +d  mà d ⇒ - a + b – c  (2) 0,25 Từ (1) (2) suy 2b  ⇒b  (2;5)= 0,25

Từ (1) b  ⇒a + c  0,25

f(2) = 8a +4b +2c + d = 6a + 2(a + c) +4b + d  ⇒6a  ⇒a  ⇒c 0,25

Câu 2(3 điểm)

(40)

2) Cho đa thức P = x x2 1

x x x x

2 2

 − +  − − + 

   

 

a) Tính P −     

b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với số nguyên x

1) Từ x + y = 3(x – y) ⇔2x = 4y⇔x : y = 0,5

Từ suy ra: x + y = 3(x - y) = suy x =

3 y =

0,5

2) P = ( 4 2)

2 x x x x

x − + + − = ( 2)

2

x

x − 0,75

a) P(

2 − ) = 16 1 2

1 =−

     − =               − −      − 0,5

b) Ta có P = ( ) ( 1)

1

1 3− = −

x x x x

x

Vì x(x- 1) tích hai số ngun liên tiếp nên x (x - 1) chia hết cho Vậy P(x) nhận giá trị nguyên với x

0,25

0,5

Câu 3(2 điểm) Một giá sách chia thành ngăn: ngăn I, ngăn II, ngăn III Biết

rằng

3 số sách ngăn I

4 số sách ngăn II

5 số sách ngăn III số sách ở ngăn III số sách hai ngăn cịn lại 57 Tính số sách ngăn

Gọi số sách ngăn I, ngăn II, ngăn III x, y, z

( *

x, y, z∈N ) 0,25

Theo đề ta có: 2x 3y 4z x y z 3 = 4 =5 ⇒18=16 =15

Và x + y - z = 57 0,75

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

x y z x y z 57

3

18 16 15 19 19

+ −

= = = = = 0,5

Suy x = 54, y = 48, z = 45 0,25

Vậy ngăn I có 54 cuốn, ngăn II có 48 ngăn III có 45 0,25 Câu 4(4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy D

bất kì thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng:

(41)

c) IM phân giác góc HIC

0,25

a) Xét ∆AIC ∆BHA có AC = AB (gt);  ( ) 90

ACI =BAH = −HAC 0,5

⇒∆AIC = ∆BHA (ch- gn)⇒ BH = AI 0,75

b) Vì tam giác ABC vng cân A nên đường trung tuyến AM

đồng thời đường cao 0,25

ADC

∆ có hai đường cao AM CI cắt N suy N trực tâm

ADC

∆ 0,5

Vậy DN đường cao thứ tam giác ⇒ DN⊥ AC 0,5

c) Xét ∆BHM ∆AIM có BH = AI (cmt);  HBM =MAI(=DCI); BM = AM (do ∆ABM vng cân) Do ∆BHM = ∆AIM(c.g.c)

0,5

⇒ HM = MI BMH = IMA

0,5 mà: IMA + BMI = 900 ⇒ BMH + BMI= 900 hay 

90

HMI = ∆HMI có HM = MI 

90

HMI = ⇒ ∆HMI vuông cân ⇒ HIM = 450 0,5 mà: HIC = 900 ⇒ HIM = MIC = 450 ⇒ IM phân giác HIC 0,25

Câu 5(1,5 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

y 2018 30 18302 (2x 6) 61

+ + =

+ +

b) Trong bảng vng gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào ô vuông số 1; -1 Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số

a) y 2018 30 18302 (2x 6) 61

+ + =

+ + (1)

H

I

M B

A C

D

(42)

Ta có: (2x+6)2 ≥0,∀x∈Z ⇒ (2x+6)2 +61≥61, ∀x∈Z ⇒

( ) 61 30

1830 61

6

1830

2 + ≤ =

+

x , ∀x∈Z

0,25

2018

y+ ≥ , ∀y∈Z ⇒ y+2018+30≥30,∀y∈Z 0,25

Để (1) có nghiệm nguyên (x, y) 2018 x y + =   + =  2018 x y = −  ⇔  = −  0,25

b) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng 0,25 Mỗi ô vuông ba số 1; -1 nên tổng nhận

giá trị từ -5 đến

0,25

Ta có 11 số nguyên từ -5 đến -5; -4; …; 0; 1; …;5

Có 11 số nguyên có 12 tổng, theo ngun lí Dirichle phải có hai tổng số (đpcm)

0,25

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang

Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm

Câu 1: Giá trị x thỏa mãn 2x 1

3

− = là:

A

7 B 10 C 14 D −

Câu 2: Tập hợp giá trị x thỏa mãn:2 2x

3− −4 =

A 11 24    

  B

11 ; 24 24 −    

  C

11 ; 24 24

 

 

  D

11 ; 24 24 −      

Câu 3: Cho x, y thỏa mãn (x 5+ )2018+ −y 202019 =0 Giá trị x + y là:

A 15 B 25 C -15 D -25

Câu 4: Biết ab = 7; ac = 5; bc = 35 a, b, c số âm Khi tích abc là:

A -105 B -175 C -35 D 35

Câu 5: Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2, 4, Tổng số tiền lãi thu

450 triệu đồng tiền lãi chia tỉ lệ thuận với số vốn góp Đơn vị thu số tiền lãi lớn nhận số tiền là:

(43)

A 175 triệu đồng B 225 triệu đồng C 250 triệu đồng D 245 triệu đồng

Câu 6: Một nhân viên soạn văn gõ 135 ký tự vòng 2,5 phút

Trong 2,5 người gõ số ký tự là:

A 81000 B 8100 C 1800 D 18000

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 2); B(4; 2); C(4; 5) Tọa độ điểm D

để tứ giác ABCD hình vng là:

A (1; 5) B (5; 1) C (-1; 5) D (-1; -5)

Câu 8: Cho a, b, c ba số thỏa mãn a b c

b c+ =c a+ =a b+ a b c 0+ + ≠ Khi giá trị biểu thức P a b b c c a

c a b

+ + +

= + + là:

A 10 B C D

Câu 9: Vận tốc riêng ca nơ 24km/h, vận tốc dịng nước 3km/h Với

khoảng thời gian để ca nơ chạy ngược dịng 35km ca nơ chạy xi dịng được:

A 30km B 35km C 45km D 54km

Câu 10: Tam giác ABC có A 120 = 0, I trung điểm BC Trên tia đối tia IA

lấy điểm K cho IK = IA Khi đó, số đo góc BKC bằng:

A 900 B 1000 C 1100 D 1200

Câu 11: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC, kẻ BH ⊥ AM , C

(H, K ∈ AM ) Biết BH = 5cm Khi độ dài đoạn CK là:

A 5cm B 6cm C 2,5cm D 3cm

Câu 12: Cho ΔABC có cạnh a, b, c tỉ lệ thuận với ba số 6; 8; 11 2b2 = c2 + 28 Chu vi tam giác ABC bằng:

A 40 B 50 C 60 D 70

Câu 13: Cho tam giác ABC có góc B 800, góc C 400 Tia phân giác

góc A cắt BC D Số đo góc ADC

A 600 B 800 C 300 D 1100

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0;6), B(6;0), C(1;1) Diện tích

của tam giác ABC là:

A 11 B 12 C 13 D 14

Câu 15: Cho tam giác ABC nhọn có D trung điểm AB Kẻ DH vng góc với

BC (H thuộc BC) Biết AB = 10cm, BC = 12cm, DH = 4cm Độ dài cạnh AC là: A 10cm B 10 2cm C 12cm D 10cm

Câu 16: Có đội bóng tham gia giải bóng đá theo thể thức đấu vịng trịn tính

điểm (Mỗi đội phải đá với đội khác trận lượt đi, trận lượt về) Toàn giải có số trận là:

A B 28 C 56 D 64

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1(3,5 điểm)

a) Tìm x, biết:

x 2− + = 15 3x 1− +

b) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2x 5y 5xy 14− + =

(44)

a) Tính giá trị biểu thức A 3 3 30 42 56 9702 9900 = + + + ⋅⋅⋅ + +

b) Cho x, y, z thỏa mãn x 16 25 y z 49

9 16 25

+ = − = +

4x3− =3 29 Tính giá trị biểu thức: ( ) (17 ) (5 )2019

B= x 2− + y 7+ + −z

Câu 3(4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng cân A tam giác ABD tam giác ACE

a) Chứng minh DC = BE; b) Chứng minh DC ⊥BE;

c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến ED M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh: A, M, H thẳng hàng

Câu 4(1,0 điểm)

Chứng minh với số tự nhiên n 2≥ tổng:

2

3 15 n

S

4 16 n

−

= + + + ⋅⋅⋅ + số tự nhiên./

-HẾT -

(45)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH SƠN

NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Đáp án A C B C B B A C C D A B D B D C II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1(3,5 điểm)

a) Tìm x, biết:

x 2− + = 15 3x 1− +

b) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2x 5y 5xy 14− + =

a) Đặt x 5− = ≥a 0 Ta có: 3a 1( ) a 2( ) a

a 2+ =3a 1+ ⇒ + = + ⇔ = 0,75

4 19

x x

3

4 11

x x

3

 − =  =

 

⇔  ⇔ 

−

 − =  =

 

 

Vậy: x 19 11;

3

 

∈  

  0,75

b) Ta có:

( ) ( ) ( )( )

2x 5y 5xy 14− + = ⇔x 5y 2+ − 5y 2+ =14 2− ⇔ x 5y 2− + =12 0,75 Với x, y ố nguyên 5y + ước số nguyên lẻ 12 nên

{ }

5y 2+ ∈ −1; 1;3; 3− ⇒5y= − ⇒ = −5 y 0,75

Thay vào tìm x = -3 Vậy (x; y) = (-3; -1) 0,50

Câu 2(3,5 điểm)

b) Tính giá trị biểu thức A 3 3

30 42 56 9702 9900 = + + + ⋅⋅⋅ + +

b) Cho x, y, z thỏa mãn x 16 25 y z 49

9 16 25

+ − +

= = và 4x3− =3 29.Tính giá trị của biểu thức: ( ) (17 ) (5 )2019

B= x 2− + y 7+ + −z

a) Ta có: A 3 3

5.6 6.7 7.8 98.99 99.100

(46)

1 1

5.6 6.7 7.8 98.99 99.100

 

=  + + + ⋅⋅⋅ + + 

 

1 57

5 100 100

 

=  − =

  0,50

b) Ta có: 4x3− =3 29⇔ 4x3 =32⇔x3 = ⇔ =8 x 0,75 Khi đó: 25 y z 49 y 7; z

16 25

− = + = ⇒ = − =

0,75 Suy ra: B=(2 2− ) (17 + − +7 7) (5+ −1 1)2019 =0 0,50

Câu 3(4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng cân A tam giác ABD tam giác ACE

a) Chứng minh DC = BE; b) Chứng minh DC⊥BE;

c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến ED M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh: A, M, H thẳng hàng

Hình vẽ:

I N

K H

M

E

D

C B

A

a) Chứng minh DC = BE

Ta có: DAC DAB BAC 90  = + = 0+BAC,

Tương tự:      

EAB EAC BAC 90= + = +BAC⇒DAC BAE= 0,50

(47)

và tam giác KNB có: AND KNB, ADN KBN   = = ⇒DAN BKN =

Mà DAN 90= 0⇒BKN 90 = ⇒DC⊥BE K= 0,50 c) Chứng minh: A, M, H thẳng hàng

Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = MA, chứng minh được:

AMB IMC(c.g.c)

∆ = ∆ 0,50

CI AB, CI // AB

⇒ = 0,50

Chứng minh được: ACI DAE = ⇒ ∆ACI= ∆EAD(c.g.c) 0,50

    

CAI AED CAI EAH 90 MAH 180 M,A,H

⇒ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ thẳng hàng 0,50

Câu 4(1,0 điểm)

Chứng minh với số tự nhiên n 2≥ tổng:

2

3 15 n

S

4 16 n

−

= + + + ⋅⋅⋅ + số tự nhiên

S có n - số hạng, đó:

2 2

3 15 n 1 1

S 1

4 16 n n

−      

= + + + ⋅⋅⋅ + = −  + − + ⋅⋅⋅ + − 

     

0,25

2 2

1 1

n n

2 n

 

= − − + + + ⋅⋅⋅ + < −

  (1) 0,25

Mặt khác: 12 12 12 12 1 ( ) 1

2 +3 +4 + ⋅⋅⋅ +n <1.2 2.3 3.+ + + ⋅⋅⋅ + n n− = −n 0,25

1

S n 1 n n

n n

⇒ > − − + = − + > − (2)

0,25 Từ (1) (2) ta có: n S n 1− < < − Vậy S khơng có giá trị số tự nhiên

với số tự nhiên n 2≥

(48)

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 02 trang

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu Cho x+ =y 7, xy=8 Giá trị x2 +y2 bằng:

A 33 B 65 C 47 D 15

Câu 2 Cho phương trình

2

3

( 2)( 5) ( 5)( 10) ( 10)( 17) ( 2)( 17) x

x x x x x x x x

−

+ + =

+ + + + + + + + , giá trị x thỏa mãn là:

A 15 B C D -4

Câu Cho a b c, , thỏa mãn 1 1

a+ + =b c Giá trị biểu thức 2 bc ca ab A

a b c

= + + là: A B C D Kết khác

Câu Giá trị lớn biểu thức

2

2 15

3 x

x +

+ là:

A B 7

2 C

5

2 D

11

Câu 5 Giá trị m để (x – 1)(x2 + mx + 2) = x3 + 4x2 – 3x – là: A - B C D

Câu Biết đa thức x2017 + 2x2018 + ax + b chia hết cho đa thức x - Kết a + b là:

A B C - D

Câu Phương trình (2m - 7)x - = mx - vơ số nghiệm m bằng:

A 7

2 B C D

Câu Kết phép nhân (x2017 – 3x – 5)(x2018 + 2x – 1) đa thức có tổng các hệ số là:

A -12 B -14 C 10 D 2018

Câu Giá trị biểu thức B =x17 –12x16 +12x15 –12x14 + –12x2 +12x –1 với x=11 là:

A 11 B 10 C -12 D 12

Câu 10 Tổng nghiệm phương trình (x – 1)3 + (x + 2)3 = (2x + 1)3 là: A

2 −

B -3 C D

2 −

Câu 11 Tam giác ABC có AB=12cm; AC=18cm Trên cạnh AB lấy điểm M

cho AM=4cm, đường thẳng qua M song song với BC cắt AC N Độ dài đoạn thẳng NC

(49)

Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD, AB=10cm, AD=6cm E, F, G, H theo thứ tự

thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho AE=AH=CF=CG Tìm giá trị lớn của diện tích tứ giác EFGH

A B 37 C D 32

Câu 13 Cho hình bình hành ABCD có AC = 12 cm, BD = 9cm Từ C kẻ CE, CF

lần lượt vng góc với AB, AD Tính giá trị AB.AE + AD.AF Kết là:

A 144 cm B 81cm C 108cm D 189cm

Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 5cm, đường phân giác AD Qua

D kẻ song song với AB cắt AC E Độ dài AE là:

A 1,8cm B 1,625cm C 1,875cm D 1,5cm

Câu 15 Cho tam giác ABC có B =2C và AB = 8cm, BC = 10 cm Độ dài cạnh

AC bằng:

Câu 16 Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết 10 phút ngược dòng

từ B A hết 30 phút Tìm vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dòng nước 3km/h

A 15 km/h B 12 km/h C 24 km/h D 26km/h

Câu (3,5 điểm)

a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ

b) Cho x, y, z số khác Chứng minh : Nếu

1 1

x y z

+ + = + + =

6 6

3 3

x y z

xyz

x y z

+ + =

+ +

Câu (3,5 điểm)

1 Cho biểu thức 2 22

1

:

2 1

x x x x

P

x x x x x x

 

+ + −

=  + − 

− +  − − 

a) Rút gọn P ;

b) Tìm giá trị nhỏ P với x > 2 Giải phương trình: 2

8 x x

x

 

+  = −

 

Câu (4,0 điểm)

Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F; G; H trung điểm cạnh AB, BC, CD DA; M giao điểm CE DF

a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng ; b) Chứng minh DF ⊥CE tam giác MAD cân; c) Tính diện tích tam giác MDC theo a

(50)

Cho a b c, , là cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức: P =

2

2 abc

c b

a + + + .

- Hết -

(51)

HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN

I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý 0,5 điểm,

nếu học sinh chưa tìm, thiếu thừa kết không điểm

Câu A Câu B

Câu B, D Câu 10 A

Câu C Câu 11 D

Câu A Câu 12 D

Câu D Câu 13 A

Câu C Câu 14 C

Câu B Câu 15 B

Câu D Câu 16 C II TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu (3,5 điểm)

a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ

b) Cho x, y, z số khác Chứng minh : Nếu x y z 1

x y z

+ + = + + =

6 6

3 3

x y z

xyz

x y z

+ + =

+ +

a) Gọi hai số a2 (a+1)2

Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) +

= ( a2 + a + 1)2là số phương lẻ a2 + a = a(a + 1) số chẵn ⇒ a2+ a + số lẻ

0,25

1,25

b) Từ 3

0

x+ + = ⇒y z x +y +z = xyz

Ta có: 1 3 3 3 2

0 xy yz zx x y y z z x 3x y z

x+ + = ⇒y z + + = ⇒ + + =

6 6 3 3 3 3

3 3

( ) 2( )

3

x y z x y z x y y z z x

x y z xyz

+ + + + − + +

⇒ =

+ +

2 2 2

9

3

x y z x y z

xyz xyz

−

= =

0,5 0,5

0,5

(52)

Câu (3,5 điểm)

1 Cho biểu thức 2 22

1

:

2 1

x x x x

P

x x x x x x

 

+ + −

=  + − 

− +  − − 

a) Rút gọn P ;

b) Tìm giá trị nhỏ P với x > Giải phương trình:

2 x x x   +  = −  

1 a) ĐKXĐ : x≠0;x≠1 Rút gọn ta :

1 x P x = −

b) Ta có : ( 1) 2

P x

x

= − + + ≥ + =

− (theo bất đẳng thức Cauchy)

MinP = ⇔ =x

0,25 0,75

0.5

2 ĐKXĐ: x≠1

Ta có :

2

8

1 1

x x x

    +  = ⇔ +  − = − − −     2

2

1 x x x x   ⇔  − − = − −  

Đặt x y

x =

− , ta được:

2

2 ( 1)

2 y

y y y

y =  − − = ⇔ − = ⇔  = − 

+ Với y= ⇒ =4 x nghiệm

+ Với y= −2: vơ nghiệm (vì (x−1)2+ >1 với ∀x)

0,25

0,5

0,75

Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F; G; H

lần lượt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA; M giao điểm CE DF

a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng ; b) Chứng minh DF ⊥CE °MAD cân ; c) Tính diện tích °MDC theo a

N M G F E C B H A D

a) Chứng minh: EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng

Kết luận Tứ giác EFGH Hình vng

b) BEC=CFD c g c( )⇒ ECB=FDC mà CDF vuông C

(53)

   

90 90

CDF DFC DFC ECB CMF

⇒ + = ⇒ + = ⇒ vuông M

Hay CE ⊥ DF

Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF ⇒GN//CM mà G trung điểm DC nên ⇒ N trung điểm DM Trong∆ MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến⇒ ∆ MAD cân A c) °CMD#°FCD (g.g)

Do :

2

CMD

CMD FCD FCD

S CD CD

S S

S FD FD

    =  ⇒ =         

Mà : 1

2

FCD

S = CF CD= CD Vậy :

2 2 CMD CD S CD FD = 

Trong DCF theo Pytago ta có :

2 2 2 2

2 4

DF =CD +CF =CD + BC =CD + CD = CD

 

Do : 2 2

2

1 1

5 4 5 5

4

MCD

CD

S CD CD a

CD = = =  1,0 0,75 1,0

Câu (1,0 điểm)

Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =

2 2 abc c b

a + + +

Dễ dàng chứng minh BĐT:

(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) ≤ abc (1)

Từ (1) kết hợp với giả thiết a + b + c = 1, ta có: abc ≥ (1 – 2c)(1 – 2a)(1 – 2b)

= – 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) – 8abc

⇒ 9abc ≥ 4(ab + bc + ca) – ⇒ P =

2 2 abc c b

a + + +

≥ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

-2

= (a + b + c)2 -

2

= -

2 =

Min P =

2

khi (1) trở thành đẳng thức

Suy ra: a = b = c =

3

1,0

- -Hết -

(54)

NĂM HỌC: 2018-2019 MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có:02 trang

Hãy chọn phương án trả lời

Câu Cho xyz = 60; (x y+ )2 =9 x2+y2 =5 Giá trị z là:

A 40 B 30 C 20 D.10

Câu Nếu y 2x 3= + 4y 5x 6= + thì giá trị x là:

A -2 B -1 C D

Câu Cho a, b khác thỏa mãn a b ab− = Giá trị biểu thức a b ab b a+ − là:

A - B C.1

2 D

1 −

Câu Đa thức f x( )=2x3+x2−ax 1− chia cho đa thức x 2− có số dư Giá trị

của a là:

A 13 B -13 C D -7

Câu 5 Rút gọn phân thức x 32 2x x

x x x − + − − +

− − + với x≠ ±1 ta được:

A

2

x x +

− B C

2

x x − −

− D -1

Câu Cho a b 32x 192

x x x x −

+ =

+ − − − Giá trị tích

a.b là:

A -255 B.-19 C.19 D 255

Câu Số nguyên x thỏa mãn hai bất phương trình 3x x 0,8

5

− ≥ +

2x x

6

− −

− > là:

A 12 B 11; 12 C 12; 13 D 13

Câu Phương trình

2

3 x

(x 2)(x 5) (x 5)(x 10) (x 10)(x 17) (x 2)(x 17) −

+ + =

+ + + + + + + + có tập ngiệm là:

A S= −{ 15;15} B S = −{ 12;12} C S= −{ 4;4} D S= −{ 3;3}

Câu Cho m, n, p là số nguyên dương thỏa mãn 17 m

1

3 n

p = +

+ Giá trị

biểu thức m2+n2+p2 là:

A 30 B 40 C 50 D 60

Câu 10 Phân thức

( )

2

x x A

x + + =

+ có giá trị nhỏ là:

(55)

A

5 −

B 4

5 C

3 −

D 3

4

Câu 11 Cho hình vng EFGH, cạnh FG lấy điểm I, tia đối tia HG lấy điểm K cho FI = KH Biết EI = 6cm, độ dài đoạn EK là:

Câu 12 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q trung điểm AB, BC,

CD, DA Tỉ số MNPQ ABCD

S

S là:

A 1

3 B

2

3 C

1

2 D

1

Câu 13 Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu

nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm, chiều cao 0,5dm vào thùng, giả sử toàn gạch ngập nước gạch khơng thấm nước Khi đó, nước thùng dâng lên cách miệng thùng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là:

A 2,49dm B 3,49dm C.4,49dm D 5,49dm

Câu 14 Cho tam giác ABC có B =2C , AB = 8cm, BC = 10cm Độ dài AC là:

A 9cm B 10cm C.11cm D 12cm

Câu 15 Một đa giác có số đường chéo số cạnh Số cạnh đa giác là:

A B C D

Câu 16 Trong kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành

được giải thưởng, đó: học sinh giành giải, học sinh giành giải, học sinh giành số giải nhiều nhất, em giải Số giải trường A giành là:

A 26 B 25 C 24 D 23

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm)

a) Chứng minh rằng: A n n= 2( 2− 1 12) với số nguyên n b) Tìm x,y Z∈ thỏa mãn 2y x x y x2 + + + = 2+2y2 +xy⋅

Câu (3,5 điểm)

a) Cho a, b, c thỏa mãn a b c b a c

b+ + = + + ⋅c a a c b Tính giá trị biểu thức:

( )( )( )

30 2020

a b b c c a T

a b c

− − −

=

+ +

b) Giải phương trình: ( )2 ( )

x +1 +3x x + +1 2x = ⋅0

Câu (4,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, K trung điểm AD Gọi I hình chiếu D CK Chứng minh rằng: AIB =900⋅

2 Cho tam giác ABC vuông A; đường phân giác BD, trung tuyến CM đường cao AH đồng quy I

(56)

Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn abcd 1= Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

2 2

a +b + +c d +a b c+ +b c d+ +d c a+ ≥10

-HẾT -

Họ tên thí sinh: SBD:.……… Cán coi thi khơng cần giải thích thêm./

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH SƠN

ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC: 2018-2019

MƠN: TỐN

Lưu ý: Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi

giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm; Nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng, tổ giám khảo thống cách cho điểm tương ứng đáp án không làm thay đổi điểm ý, câu; Điểm thi tổng điểm câu không làm trịn số Học sinh khơng vẽ hình khơng chấm điểm

I TNKQ (8 điểm) Mỗi câu cho 0,5 điểm

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp

án B A B C B D A C A D C C A D D B II TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu (3,5 điểm)

a) Chứng minh rằng: A n n= 2( 2− 1 12) với số nguyên n b) Tìm x,y Z∈ thỏa mãn 2y x x y x2 + + + = 2+2y2 +xy⋅

Tóm tắt đáp án Điểm

a) Ta có A n n= 2( 2− =1) (n n n n− ) ( + ) 0,50 Vì A chứa tích số nguyên liên tiếp nên A chia hết cho 3; A chứa tích

của hai số guyên liên tiếp nên A chia hết cho 4, mà (3,4) = Vậy A chia hết

cho 3.4 = 12 1,00

b) Phương trình cho tương đương với:

( ) ( ) ( ) ( )

2

2y ⋅ − −x x x 1− −y x 1− + =1 0,50

Vì x = 1 khơng phải nghiệm phương trình (1) nên chia hai phương trình cho x - ta 2y2 x y 0 2( )

x

− − + =

−

0,50 Để phương trình có nghiệm ngun

( ) ( ) { } { }

1

Z x U 1; x

x 1− ∈ ⇔ − ∈ = − ⇒ ∈

0,50

(57)

Câu (3,5 điểm)

a) Cho a, b, c thỏa mãn a b c b a c

b+ + = + + ⋅c a a c b Tính giá trị biểu thức:

( )( )( )

30 2020

a b b c c a T

a b c

− − −

=

+ +

b) Giải phương trình: (x2+1)2 +3x x( 2+ +1) 2x2 = ⋅0

a) Từ giả thiết suy ra: a c ab2 + 2+bc2 =b c ac2 + 2+a b2 0,50

( ) ( ) ( )

⇒a b c2 − +a c2−b2 +bc b c− =0

0,50

( )( )( )

⇒ b c a b a c− − − =0 Do T = 0 0,50

b) Đặt x2+ =1 y Phương trình trở thành

( )( )

2

y +3xy 2x+ = ⇔0 y x y 2x+ + =0 0,50

Với x y 0+ = ⇒x2+ + =x 0 Phương trình vơ nghiệm

0,75

Với 2 ( )2

y 2x 0+ = ⇒x +2x 0+ = ⇔ x 1+ = ⇔ = −0 x 1 0,75

Câu (4,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, K trung điểm AD Gọi I hình chiếu D CK Chứng minh rằng: AIB =900⋅

Ta có:

   

0

KID DIC 90 KI KD

KID DIC

DI DC DKI CDI



= =  ⇒ ∆

∆ ⇒ =



=  

0,50

Lại có: KD = KA, DC = DB nên KI KA

DI = DB

Mà IKA IDB = ⇒ ∆IKA ∆IDB (g.c.g)⇒AIK BID =

0,50

Suy ra: AIB AIK KIB BID KIB 90=   + = + = 0,50

2 Cho tam giác ABC vuông A; đường phân giác BD, trung tuyến CM đường cao AH đồng quy I

a) Chứng minh AB = HC; K

I

D C

B

(58)

b) Biết HB = 2cm Tính HC

a) Vì tam giác ABC vng A, có đường cao AH nên

ABC HBA AB BC.BH (1)

∆ ∆ ⇒ = 0,50

Kẻ MN vng góc với AH (N thuộc AH) Theo định lí Talet tính chất đường phân giác ta có:

MN IM BM 2MN 2BM BH AB

BH.BC AB.HC(2) HC = IC = BC ⇒ HC = BC ⇒ HC = BC ⇒ =

1,00

Từ (1) (2) suy ra:AB2 =AB.HC⇒AB HC= 0,50 b) Đặt AB = HC = x, ta có phương trình:x2 =2 x 2( + ) 0,50

( )2

2

x 2x x x

⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = + 0,50

Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn abcd 1= Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

2 2

a +b + +c d +a b c+ +b c d+ +d c a+ ≥10

Tóm tắt đáp án Điểm

Ta có abcd 1= nên cd ab

= 0,25

Mặt khác:

( )

2 2 2 2

a b 2ab; c d 2cd a b c d ab cd ab (1) ab

 

+ ≥ + ≥ ⇒ + + + ≥ + =  + ≥

 

0,25 Lại có: a b c( + +) (b c d+ ) (+d c a+ ) (= ab cd+ ) (+ ac bd+ ) (+ bc ad+ ) 0,25

1 1

ab ac bc 2 (2)

ab ac bc

     

= +  + +  + + ≥ + + =

      0,25

Cộng vế với vế BĐT chiều (1) (2) ta điều phải chứng minh

-HẾT -

I

N

D M

H

C B

(59)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY

MƠN: TỐN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 02 trang

Hãy chọn phương án trả lời đúng:

Câu 1: Giá trị biểu thức

26 27 47 77 50 24

x − x + x − x − x + x + −x x = 25 là:

A.-24 B C.-1 D 25

Câu 2: Cho 1 1

x+ + =y z (Với x, y, z khác 0) Giá trị biểu thức: 2

yz xz xy

A

x y z

= + + là:

A B C D -3

Câu 3:Tính tổng hệ số tất hạng tử dạng khai triển nhị thức

( )20

3x−4y là:

A B 320 C 420 D -1

Câu 4: Số cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức: 2

4x +3y −4x+30y+78=0 là:

A B C D

Câu 5: Giá trị lớn biểu thức 62 x F x − =

+ là:

A B -9 C D -1

Câu 6:Tìm dư chia đa thức 99 55 11

7

x +x +x + +x cho đa thức x +

A B -3 C.4 D 11

Câu 7: Tìm đa thức dư phép chia đa thức 50 49

( )

f x =x +x + +x + +x cho đa

thức x2

- là:

A x + 26 B 25x + C 25x + 26 D 5x + 26

Câu 8: Giá trị số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu

thức B Trong : 2 2;

A=n + n − n+ B=n −n

A.2 B -1 C D

Câu 9:Tập nghiệm bất phương trình 4

2 x x + < + là:

A /

x x −

 < 

 

  B

1 /

2 x x  > 

 

  C

3

/

4

x − x −

 < < 

 

  D

3 /

4

x x −

 > 

 

 

Câu 10: Nghiệm phương trình:

1 3 20 39 40

22

1 39 39

x+ x+ x+ x+

+ + + + = + + + +

A x = B x = C x = D x = -1

Câu 11: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc; biết AB = 8cm, BC = 7cm;

AD = 4cm Tính CD?

A 4cm B 3cm C 2cm D 1cm

Câu 12: Hình thang ABCD có:   90

A=D= , AB = 11cm; AD = 12cm; BC = 13cm Tính độ dài AC?

A.16cm B 20cm C 5cm D 21cm

(60)

Câu 13: Một đa giác có số đường chéo số cạnh Tính góc đa giác

đó

A 900 B 1350 C 1080 D 1200

Câu 14:Tính chu vi tam giác ABC vuông A, biết đường cao AH chia tam

giác thành hai tam giác AHB AHC có chu vi theo thứ tự 18cm 24cm A 25cm B 30cm C 40cm D 35cm

Câu 15: Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song

song với AB, AC tạo thành hình bình hành có diện tích

8 diện tích tam giác

ABC Tính tỉ số BD

BC?

A

4 B

3 C

1

4 D

3

Câu 16: Hiện tuổi cha gấp lần tuổi Sau thời gian nữa, tuổi

tuổi cha lúc tổng số tuổi hai cha 112 Tính tổng số tuổi hai cha nay:

A 48 B 56 C 64 D 68

a) ) Tìm số tự nhiên n để

n +n + số nguyên tố

b) Cho x y z

a+ + =b c

a b c

x+ + =y z Tính giá trị biểu thức sau:

2 2

a b c

P

x y z

= + +

Câu 2: (3,5 điểm):

a) Cho x, y, z số nguyên khác Chứng minh

; x −yz=a

y −zx=b;

z −xy=c

Thì tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c b) Giải phương trình:

3x −10x +3x +3x −10x+ =3 Câu 3: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Tính tổng HD HE HF

AD+ BE +CF

b) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC2

c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF

d) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định

Câu 4: (1,5 điểm)

Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng:

4 4

2 2

a+ b c+ + a b c+ + +a b+ + c ≥ a b c+ +

Hết

(61)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC 2017 - 2018

MƠN: TỐN

Câu 10 11 12 13 14 15 16

Đáp án B C A D C A C A,B A B D B C B A,C B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để

1

n +n + số nguyên tố

b) Cho x y z

a+ + =b c

a b c

x+ + =y z Tính giá trị biểu thức sau:

2 2

a b c

P

x y z

= + +

a) Ta có: 4 2 2 2

1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1)

n +n + = n + n + −n = n + −n = n + +n n − +n 0,5

Vì n số tự nhiên nên 2

1

n + + >n n − +n

Để

1

n +n + số nguyên tố n2− +n 1= 0 ( 1)

1 n

n n n n

n = 

⇔ − = ⇔ − = ⇔ 

=

 0,5

Thử lại:

- Với n = 02 + + = số nguyên tố - Với n = 12 + + = số nguyên tố

Vậy để

1

n +n + số nguyên tố n =

0,5

b) Ta có: x y z bcx acy abz

a+ + = ⇔b c + + = 0,25

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 4

2 2.0

4

a b c a b c a b c ab ac bc

x y z x y z x y z xy xz yz

a b c abz acy bcx a b c

x y z xyz x y z

a b c

x y z

   

+ + = ⇔ + +  = ⇔ + + +  + + =

   

+ +

⇔ + + + = ⇔ + + + =

⇔ + + =

1,0 Vậy 22 22 22

a b c

(62)

Câu 2: (3,0 điểm)

a) Cho x, y, z số nguyên khác Chứng minh

; x −yz=a

y −zx=b;

z −xy=c

Thì tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c b) Giải phương trình:

3x −10x +3x +3x −10x+ =3

a) Ta có:

2 2

a b c+ + =x +y +z −xy−yz−xz

3

ax x xyz

by y xyz

cz z xyz

= − = − = −

0,5 Do đó:

3 3

3

2

2 2

3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )(*)

ax by cz x y z xyz

x y z xy x y xyz

x y z x y x y z z xy x y z

x y z x y z xy yz xz

x y z a b c

+ + = + + −

= + + − + −

 

= + +  + − + + − + +

= + + + + − − −

= + + + + 0,75

Vì x, y, z số nguyên nên a, b, c, ax, by, cz số nguyên Từ (*) suy

ax + by + cz chia hết cho a + b + c (Đpcm) 0,25

b) Giải phương trình:

3x −10x +3x +3x −10x+ =3 0(1)

Biến đổi PT (1) ta có:

5 4

4

3 10 3 10 ( 1)(3 13 16 13 3)

1

3 13 16 13 0(2)

x x x x x x x x x x

x

x x x x

− + + − + = ⇔ + − + − + = = −  ⇔  − + − + =  0,5 0,25 * Giải PT (2):

- Ta thấy x = không nghiệm PT(2) Chia vế (2) cho

0

x ≠ ta được:

2

1

3(x ) 13(x ) 16

x x

+ − + + =

Đặt t = x x

+ 2

2

1

2

x t

x

⇒ + = − PT trở thành:

2

3( 2) 13 16 13 10

1 ( 1)(3 10) 10

3

t t t t

t t t t − − + = ⇔ − + = =   ⇔ − − = ⇔  = 

- Với t = 1

1

x x x

x

⇔ + = ⇔ − + = (Vô nghiệm)

- Với t = 10

3

0,25

(63)

2

10 10

3 10 ( 3)(3 1)

3

1

t x x x x x

x x

x

= ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − − =

=   ⇔

 =

 0,25

Vậy tập nghiệm PT cho là: 1; ;31 S = − 

  0,25

Câu 3: (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Tính tổng HD HE HF

AD+ BE +CF

b) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC2

c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF

d) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định

K

N M

I H

O F

E

D

C B

A

a) Trước hết ta chứng minh: HBC ABC

S HD

AD = S

Tương tự có: HCA; HBA ABC ABC

S S

HE HF

BE = S CF = S

(64)

Nên

1

HBC HCA HAB ABC ABC ABC

S S S S

HD HE HF HD HE HF

AD BE CF S S AD BE CF

+ +

+ + = = = ⇒ + + =

0,5

b) Ta CM: ∆BDHđồng dạng với ∆BEC

⇒BH.BE = BD.BC

CDH

∆ đồng dạng với ∆CFB⇒CH.CF = CD.CB 0,5

Suy ra: BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.CB = (BD + CD) BC = BC2 0,5 c) Trước hết ta CM:

AEF

∆ đồng dạng với ∆ABC⇒  AEF =ABC

CDE

∆ đồng dạng với ∆CAB⇒  CED=CBA  

AEF CED

⇒ = mà EB⊥AC nên EB tia phân giác góc DEF 0,5

Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE 0,25 Suy ra: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF nên H cách ba

cạnh tam giác DEF 0,25

d) Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC, ta có:  

( ) (1)

OMH ONC c c c OHM OCN

∆ = ∆ ⇒ = 0,25

Mặt khác: ∆OHCcân taị O nên OHC (2)=OCH 0,25

Từ (1) (2) ta có: OHC =OHB⇒HO phân giác góc BHC

Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định

Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định điểm O

0,25 0,25

Câu 4: (1,5 điểm)

Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng:

4 4

2 2

a+ b c+ + a b c+ + +a b+ + c ≥ a b c+ +

*Trước hết ta CM BĐT: Với m, n, p số dương, ta có: 1

(m n p)( )

m n p

+ + + + ≥ (*) Dấu "=" xảy ra: m = n = p

Thật vậy, ta có: (m n p)(1 1) (m n) (n p) (m p)

m n p n m p n p m

+ + + + = + + + + + +

Lại có với m, n, p số dương thì: m n 2;m p 2; n p n +m ≥ p+m≥ p+ ≥n

Do đó:(m n p)(1 1) 2 (m n p)(1 1)

m n p m n p

+ + + + ≥ + + + = ⇔ + + + + ≥

(65)

* Ta có: 4

2 2

a+ b c+ + a b c+ + +a b+ + c ≥ a b c+ + (1)

Đặt b + c = x; a +c = y; a + b = z x, y, z > Khi đó:

[ ]

4 4 18

(1)

1 1

2( )( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) 9(2)

x y y z z x x y z

x y z

x y y z z x

⇔ + + ≥

+ + + + +

⇔ + + + + ≥

+ + +

⇔ + + + + + + + ≥

+ + + 0,75

Lại đặt: x + y = A; y + z = B; z + x = C Ta có: 1

(2) (A B C)( )

A B C

⇔ + + + + ≥ (3)

BĐT (3) nên BĐT (1) ⇒Đpcm

0,25

PHÒNG GD & ĐT THANH SƠN ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG CẤP TỈNH LẦN NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm có 02 trang)

Thí sinh làm (trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm bài vào đề thi

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Giá trị m để đường thẳng mx - (m + 4)y = m song song với trục Oy

A -4 B -2 C D

Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số

2

1

x x

y

x x

+ + =

+ +

A -1 B 3

4 C

4

3 D

Câu 3: Cho parabol (P):

y=ax đường thẳng (d) có hệ số góc Biết (d) (P)

có điểm chung A có hồnh độ Khi tung độ điểm A

A -2 B C - D

Câu 4: Trong nghiệm phương trình 2

6

x +y + x− y− xy+ = (a; b) nghiệm có b lớn Khi a – b

A

3

− B 5

3 C – D

Câu 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m - 1)x + (m - 2)y = (m tham số)

Tìm m để d cách gốc tọa độ khoảng lớn

A m= 5 B

m= C

m= D m=

Câu 6: Trên mặt phẳng cho điểm M( 1; 6);− N( 4; 4); (1;1)− P Tọa độ đỉnh Q hình

bình hành MNPQ là:

A (4; 4− ) B ( )4;3 C 0;7

 

 

  D

7 28 ; 9

 

 

 

(66)

Câu 7: Cho hệ phương trình

( )2 2

2

1

mx y m

m x y m

 − = −

 

− − = −

 Tổng tất giá trị nguyên m để hệ phương trình cho có nghiệm số nguyên là:

A B C D 10

Câu 8: Cho biểu thức

2

1

2 1

1

( 1) ( 1)

1

x

x x

P

x x x x

x x

− +

−

= ⋅

+ + + − − −

− +

Giá trị x để

P = x –

A 0 B 3 C D

Câu 9: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường

tròn D Biết BC = 24 cm, AC = 20 cm Bán kính đường trịn (O)

A 25 B 15 C 12,5 D 15,5

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 4,1 cm; AC = 3,2 cm M điểm thay đổi

trên cạnh BC; gọi H, K hình chiếu vng góc M AB AC Giá trị lớn diện tích tam giác HMK

A 1,64 cm2 B 3,28 cm2 C 1,62 cm2 D 2,05 cm2

Câu 11: Cho hình thang cân ABCD có đáy AD BC ngoại tiếp đường tròn tâm O

bán kính nội tiếp đường trịn tâm I Gọi P trung điểm AB biết IP = Tính diện tích hình thang ABCD

A B C D 10

Câu 12: Cho (O); A (O); (I) đường tròn tiếp xúc với (O) tiếp xúc OA trung

điểm OA Tính ( ) ( )

I O

S

A

15 B

1

6 C

1

9 D

1 12

Câu 13: Cho tam giác ABC, đường cao AH có AB = 4cm, AC = 3cm BC = 5cm

Gọi r, r1, r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ABH, ACH

Tổng r + r + r1

A 3,2 cm B 3,75 cm C 2,5 cm D 2,4 cm

Câu 14 Cho hình thang ABCD vng A D, biết AB = 15 cm, AD = 20 cm, hai đường chéo AC BD vng góc với Khi độ dài đường chéo AC

A

144

cm B

3

cm C

3 100

cm D 12cm

Câu 15: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2cm Gọi d tiếp tuyến A đường tròn, lấy M điểm d Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BM, cắt d N Độ dài nhỏ MN

A 10 2cm B 12 cm C 6 2cm D 10 cm

Câu 16: Một sợi dây quấn căng rịng rọc trịn có bán kính 14 dm dm Nếu

khoảng cách tiếp điểm dây với ròng rọc 24 dm (2 tiếp điểm phía bờ đường nối tâm) khoảng cách tâm rịng rọc

A 26 dm B 28 dm C 30 dm D 38 dm

(67)

a) Tính giá trị biểu thức 2 22 22 ( )( )( )

(2 2 )

xy z yz x zx y

P

xy yz zx xyz

+ + +

=

+ + + biết x+ + =y z b) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 2

5(x +xy+y )=7(x+2y)

Câu (3,5 điểm)

a) Giải phương trình:

2 3( 1) 13 15

x x+ + x+ + = x+ x + x+ + x+

b) Giải hệ phương trình:

2

4 13 ( 3)

( 3) ( 1)

x y x x y

x y y y x y x y

 + − + − + − =

 

+ − + − + + = + −



Câu (4,0 điểm)

Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt hai điểm phân biệt A B Trên tia đối tia AB lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), D, E tiếp điểm E nằm (O’) Đường thẳng AD, AE cắt (O’) M N (M, N khác A) Tia DE cắt MN I, OO’ cắt AB DI H F

a) Chứng minh: FE.HD = FD.HE

b) Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD c) Chứng minh: O’I vng góc với MN

Câu (1,5 điểm)

Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

2 2

(a +2)(b +2)(c +2)≥3(a+ +b c)

HẾT

Chú ý: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay (Cán coi thi khơng giải thích thêm)

HƯỚNG DẪN CHẤM

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8

A B B C C B C D

Câu 9 10 11 12 13 14 15 16

C A C D D C B A

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu (3,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức 2 22 22 ( )( )( )

(2 2 )

xy z yz x zx y

P

xy yz zx xyz

+ + +

=

+ + + biết x+ + =y z

1,5

Ta có: xy+2z2 =xy+z2+z2 =xy+z2−z x( +y) (= x−z)(y− z)

yz+2x2 =(y−x)(z−x);zx+2y2 =(z−y)(x−y) 0,5

( ) (2 ) (2 )2

TS x y y z z x

⇒ = − − − − 0,25

Ta có: 2 ( ) ( )

2xy +2yz +2zx +3xyz= 2xy +xyz +2yz + 2zx +2xyz

( ) ( ) ( )

( )( )( )

2 2

2 2 2

xy y z yz xz x y xy y z yz xz

x y x z z y

= + + + + = + + −

= − − −

0,5

( ) (2 ) (2 )2

MS x y y z z x

⇒ = − − −

1 P

(68)

b) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 2

5(x +xy+y ) =7(x+2y) 1,5

Ta có: 5(x2+xy+y2)=7(x+2 )y (1)

⇒ 7(x+2 ) 5y  ⇒ (x+2 ) 5y  Đặt x+2y =5t (2) (t∈Z) (1) trở thành 2

7

x +xy+ y = t (3)

0,5

Từ (2) ⇒ x= −5t 2y thay vào (3) ta 3y2 −15ty+25t2− =7t (*), coi PT bậc hai y có:

84t 75t

∆ = − 0,25

Để (*) có nghiệm

0 84t 75t

⇔ ∆ ≥ ⇔ − ≥ 28

25

t

⇔ ≤ ≤

Vì t∈ ⇒ =Z t t=1 Thay vào (*) :

0,25 + Với t=0⇒ y1=0 ⇒ =x1 0

+ Với t =1 2

3 3 y x y x = ⇒ = −  ⇒  = ⇒ = 

Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) (0; 0), (-1; 3) ( 1; 2)

0,5

Câu (3,5 điểm)

2 3( 1) 13 15

x x+ + x+ + = x+ x + x+ + x+ 1,5

ĐK:

2

2 3

5

2 13 15

x x x x x x x  + ≥ + ≥   + ≥ ⇔ ⇔ ≥ −   + ≥   + + ≥  0,25

PT ⇔ 2x+3(x− +1) x+ + −5 3x− (2x+3)(x+5)=

( ) ( ) ( )

2x x x x 2x

⇔ + − − − + + − + =

( )( ) ( )

( )( )

1 3 3

2 3

x x x x

x x x

⇔ − + − − + − + =

⇔ + − + − + =

0,5

2 3

5 x x x  + = ⇔  + = − 

Với 2x+ = ⇔3 2x+ = ⇔ =3 x

0,5

Với 1 02 2 1

1;

5

x x x

x x

x x x x x

− ≥ ≥ ≥

  

+ = − ⇔ ⇔ ⇔ = − = ⇔ =

+ = − + − − = 

 

Vậy phương trình có hai nghiệm x = x =

0,25

b) Giải hệ phương trình: 13 ( 3) (1)

( 3) ( 1) (2)

x y x x y

x y y y x y x y

 + − + − + − =

 

+ − + − + + = + −

(69)

Nội dung Điểm Điều kiện: y x y x y  ≥  + + ≥   + − ≥ 

Phương trình (2) ⇔(x+ −y 3)( y− +1) (y−1)( x+ + − = y 2)

( 3)( 1) ( 3)( 1)

0

1

x y y x y y

y x y

+ − − + − −

⇔ + =

+ + + +

1

( 3)( 1)

1

x y y

y x y

  ⇔ + − −  + = + + + +   y y x =  ⇔  = −  0,5

Thay y = vào phương trình (1) ta được: 2

(x − + −9) (x 3) x − =3

2

3

( 3)( 3)

3

x

x x x

x x − =  ⇔ − + + − = ⇔  + + − = 

*) x− = ⇔ = suy nghiệm x ( ; )x y =(3;1)

*) 3 3 2 2 ( )

2

3

x x

x x x x VN

x

x x x

≤ − ≤ −   + + − = ⇔ − = − − ⇔ ⇔ = − − = + +   0,5

Thay y = – x vào phương trình (1) ta được: 2

4 ( 3)

x − x− + −x x − − =x

2

(x x 1) (3 x) x x 3x

⇔ − − − − − − − = 2 x x

x x x

 − − =

 ⇔

 − − = −



Với 2

1 10

x − − = ⇔x x − − = ⇔x x − −x = 41; 41

2

x + x −

⇔ = =

Khi 41 41

2

x= + ⇒ =y − < (loại)

Khi 41 41

2

x= − ⇒ =y + (Thỏa mãn điều kiện)

0,5

0,25

Với

2 0 1 1 x x

x x x x

x

x x x

≤ ≤

 

− − = − ⇔ ⇔ = − ⇔ = −

− − = 

 ⇒ y=4

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;1); (-1;4); (1 41 5; 41)

2

− + 0,25

Câu (4,0 điểm)

(70)

H F

I

N

M

A

O

B

O' C

E D

(O) cắt (O’) A, B ⇒ 

' 90

OO ⊥ AB⇒CHO= (1) CD, CE tiếp tuyến (O) D, E ⇒  

90

CDO=CEO= (2)

0,25

Từ (1) (2) ⇒ C, D, O, H, E thuộc đường trịn đường kính CO  

 

CHE CDE

CHD CED

 =

 ⇒ 

= 

0,25

mà CD = CE ⇒ CDE =CED⇒CHE =CHD

⇒ HC phân giác DHE

0,25

Mặt khác OO'⊥ AB tại H hay FH HC⊥ H ⇒ HF phân giác H ∆DHE

⇒ FE HE FE HD FD HE

FD = HD⇒ =

0,25

b) Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD 1,5

Trong (O) có: BMN =BAN Trong (O’) có: BAN =BDE

⇒ BMN =BDE

⇒ BDMI tứ giác nội tiếp ⇒   MBI =MDI =ABE

0,25

Xét ∆MIB ∆AEB có: MBI =  ABE BMI; =BAE

⇒ ∆MIB đồng dạng với ∆AEB⇒ MB IB

AB = EB (3)

0,25

Xét ∆ABN ∆DBI có: BAN =BDI BNA  ; =BID ⇒ ABN∆ đồng dạng với ∆DBI ⇒ AB AN

DB = DI (4)

0,25

Từ (3) (4) ⇒ MB AB IB AN

AB DB = EB DI

⇒MB EB DI =IB AN DB

0,25

c) Chứng minh: O’I vng góc với MN 1,0

Xét ∆IBN ∆DBA có:  IBN =DBA (vì =DEA =IEN) BIN =BDA (vì BDMI nội tiếp)

⇒ IBN∆ đồng dạng với ∆DBA⇒ IN DA

IB = DB (5)

(71)

Xét ∆CDA ∆CBD có: DCB chung; CDA =CBD

⇒ CDA∆ đồng dạng với CBD∆ ⇒ DA CD

DB = CB

mà CD = CE ⇒ DA CE

DB =CB (6)

0,25

Xét ∆CEA ∆CBE có: BCE chung; CEA =CBE

⇒ CEA∆ đồng dạng với CBE∆ ⇒ CE EA

CB = EB (7)

0,25

Mặt khác ∆MIB đồng dạng với ∆AEB (theo phần b) ⇒ EA IM

EB = IB (8)

Từ ( ) ( ) ( ) ( )5 , , , IN IM

IB IB

⇒ = ⇒IN =IM ⇒O I' ⊥MN

0,25

Câu (1,5 điểm)

Nhận thấy đẳng thức xảy a = b = c = Dựa nguyên lý Dirichlet ba số a2

– 1, b2 – 1, c2 – ln có hai số dấu Giả sử hai số a2

– b2 – Ta có: (a2 – 1)(b2 – 1) ≥

Ta được: (a2

+ 2)(b2 + 2) = 3(a2 + b2) + + (a2 – 1)(b2 – 1) ≥ 3(a2 + b2 +1) Theo C-S: (a2 + b2 +1)(c2 + 2) ≥ (a + b + c)2

Dấu “=” xảy a = b = c =

1,5

PHÒNG GD & ĐT THANH SƠN ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG CẤP TỈNH LẦN NĂM HỌC 2019 – 2020

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm có 02 trang)

Thí sinh làm (trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm bài vào đề thi

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(m + 5; 2m); B(-5; -20); C(7; -16)

thẳng hàng Khi m

A - 10 B 10 C - D

Câu 2: Tập hợp giá trị m để phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = có hai nghiệm x1; x2thỏa mãn |x1 - x2| = 17

A {8} B {4} C {-4; 4} D {-8; 8}

Câu 3: Với x > 0, giá trị nhỏ biểu thức M = 9x2 + 3x +

x + 1420 là:

A 1426 B 1437 C 1425 D 1438

Câu 4: Cho Parabol (P): y = -x2và đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(1;

-2) Khi (d) cắt (P) hai điểm A, B yA + yB có giá trị lớn là?

A -3 B 9

4 C D -2

(72)

Câu 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, lấy điểm A B cho A(1; 1) B(9; 1)

Phương trình đường thẳng vng góc với AB chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích

A x = B x = C x = 7

2 D x =

18

Câu 6: Cho biểu thức:

3

2 1

:

1

x x

P

x x x

x

 +   + 

= −   − 

−  + + 

−

  Tập hợp giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên dương

A {3; 16} B {16; 36} C {2} D {3}

Câu 7: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(-1; 0), C(3; 2) Tọa độ tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC là:

A (1;

2 −

) B (3

2; -1) C (2;-2) D (2; -1)

Câu 8: Điểm A đường thẳng y = x điểm B đường thẳng y = 2x có

tung độ Diện tích tam giác OAB (đvdt)

A B C D

Câu 9: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O; 10cm), biết độ dài đường

cao AH độ dài cạnh BC Diện tích tam giác ABC

A 128 cm2 B 144cm2 C 132 cm2 D 120 cm2

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết chu vi tam giác ABH

30cm, chu vi tam giác ACH 40cm Chu vi tam giác ABC

A 35 cm B 50 cm C 60 cm D 70 cm

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, HB = 6cm, HC = 24cm Vẽ

đường tròn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến CN (N tiếp điểm khác H), CN cắt HA K Chu vi tam giác ANK

A 48 cm B 40 cm C 32 cm D 30 cm

Câu 12: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài

15,6cm; đường cao ứng với cạnh bên có độ dài 12cm Độ dài đáy BC

A 16 cm B 15 cm C 14 cm D 13 cm

Câu 13: Diện tích tam giác vng có cạnh góc vng 12cm tỉ số

bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác :

A 54cm2 B 54cm2hoặc 96cm2 C 30cm2 D 30cm2 96cm2

Câu 14: Tính cạnh đáy tam giác cân biết bán kính đường trịn nội tiếp

bằng 6cm, bán kính đường trịn ngoại tiếp 12,5cm

A 16cm 20cm B 24cm C 24cm 4 21cm D 21cm

Câu 15: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD, có AB = BC = 3cm; CD = 4cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD

(73)

Câu 16: Các nhà bên dãy phố đánh số số lẻ liên tiếp

tăng dần Biết số nhà nhiều tổng số nhà 333 Số nhà nhà thứ bảy tính từ đầu dãy phố

A 13 B 19 C 37 D 41

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm)

a) Cho số nguyên dương a b c, , thỏa mãn 3

a +b +c chia hết cho 14 Chứng

minh abc chia hết cho 14

b) Cho số thực phân biệt a b, thỏa mãn a3+b3 =a b ab2 2( −3) Tính giá trị biểu thức M = + −a b ab+3

Câu (3,5 điểm)

2x +5x− =1 x −

2

2( 3)

( 3)(2 5) 16

x x y y

x x x y x

 + − + =

 

+ + − + = +



Câu (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB< AC, nội tiếp đường trịn ( )O ngoại tiếp

đường tròn ( )I Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD =ACB Đường thẳng AI cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E cắt đường tròn ( )O điểm

thứ hai Q Đường thẳng qua E song song với AB cắt BD P a) Chứng minh tam giác QBI cân

b) Chứng minh BP.BI=BE.BQ

c) Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD K trung điểm JE Chứng minh rẳng PK song song với JB

Câu (1,5 điểm)

Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a2+b2+c2 =3 Chứng minh rằng:

2 2

2a 2b 2c

a b c a b+ +b c+ +c+a ≥ + +

HẾT

Chú ý: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay (Cán coi thi khơng giải thích thêm)

HƯỚNG DẪN CHẤM

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm:Mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8

A C C A B B D D

Câu 9 10 11 12 13 14 15 16

A B A D B C B D

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu (3,0 điểm)

a) Cho số nguyên dương a b c, , thỏa mãn a3+b3+c3 chia hết cho 14 Chứng minh

abc chia hết cho 14

(74)

Nhận xét: Với x nguyên dương

0, 1(mod 2)

x ≡ x3 ≡ −1, 0, (mod 7) 0,5

Nếu số không chia hết cho a3+ +b3 c3 ≡1 (mod 2) (vơ lí) 0,25 Nên có số chia hết cho ⇒abc2 0,25 Nếu số không chia hết cho a3+ +b3 c3 ≡ − −3, 1,1, (mod 7) (vơ lí) 0,25 Nên có số chia hết cho ⇒abc7 Vậy abc14 0,25 b) Cho số thực phân biệt a b, thỏa mãn a3+b3 =a b ab2 2( −3) Tính giá trị

biểu thức M = + −a b ab+3

1,5

Đặt c= −ab

Ta có: a3+b3+c3 =3abc⇔(a+ +b c a)( 2+b2+c2−ab bc− −ca)=0

Vì a b, phân biệt nên 2 1( )2 1( )2 1( )2

2 2

a +b + −c ab bc ca− − = a b− + b c− + c a− ≠

0

3 3

a b c

M a b ab a b c

⇒ + + =

⇒ = + − + = + + + =

0,5

Câu (3,5 điểm)

a) Giải phương trình sau :2x2+5x− =1 x3−1 1,5

HD:Đk: x≥1

Ta : ( ) ( ) ( )( )

3 x− +1 x + + =x x−1 x + +x

Đặt

1 ,

u = x− ≥ v= x + + >x , ta được: 2

2

3 1

3

u v

u v uv

u v

=  

+ = ⇔

 = 

0,5

Giải phương trình ta :x= ±4

1,0

2

2( 3)

( 3)(2 5) 16

x x y y

x x x y x

 + − + =

 

+ + − + = +

 2,0

Điều kiện:

2

y

x

≥   ≥ − 

Phương trình (1) ⇔( x+ −2 y) x+2( x+ +2 y) 1+ =

2

x y y x

⇔ + = ⇔ = +

1,0

Thay y= +x vào phương trình (2) ta được:

1 ( )

2 7

( )

x TM

x x

x l

=  

+ − = ⇔

 = 

Vậy nghiệm hệ phương trình là: (1; 3)

1,0

(75)

a) Ta có AI phân giác BAC nên Q điểm cung BC đường tròn

(O)

Suy BAQ =QAC QBC =  ta IBQ =IBC QBC + =IBA BAQ + =BIQ hay tam giác QBI cân Q

1,5

b) Tam giác ABD đồng dạng tam giác ACB Suy AB AD

AC = AB hay

2

AB =AD.AC(1)

Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC (có góc A chung AID =ACE)

Suy AD AI

AE = AC hay AI.AE= AD.AC (2)

Từ (1) (2) suy AI.AE=AB2, suy tam giác ABI đồng dạng tam giác AEB

Suy AEB ABI ABC

= = Ta có AEP BAE BAC

= = suy BEP ABC BAC  +

=

Theo ý a ta có 

  BAC ABC BIQ

2 +

= , từ suy BIQ =BEP

Do ta BPE =ABD =ACB =BQI Nên hai tam giác PBE QBI đồng dạng với

nhau, suy BP BE BP.BI BE.BQ

BQ = BI ⇔ =

1,5

c) Tam giác BQI đồng dạng tam giác BPE tam giác BQI cân Q nên tam giác PBE cân

tại P, suy PBE BAC ABC  +

= PH⊥BE với H trung điểm BE

Do HK đường trung bình tam giác EBJ nên HK//BJ

Ta có JBD ACB

= DBE BAC ABC  +

= , suy JBE =900 hay JB vng góc BE

1,0

P

H

E

K O

Q J

I D

C B

(76)

Suy PH//JB P, H, K thẳng hàng hay PK//JB

Câu (1,5 điểm).Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a2+b2+c2 =3 Chứng minh

rằng: 22 22 22

2a 2b 2c

a b c a b+ +b c+ +c+a ≥ + +

Áp dụng AM-GM với:

2 2

2

2 2

2

a ab ab ab b

a a a b a a

a b a b b a

+

= − ≥ − = − ≥ −

+ +

Tương tự ta được:

2 2

( )

2

a b c ab bc ca

a b c

a b b c c a

+ +

+ + ≥ + + −

+ + +

Mặt khác: a b c+ + ≥ab bc ca+ +

2 2

2a 2b 2c

a b c

a b b c c a

⇒ + + ≥ + +

+ + +

Dấu “=” xảy a= = =b c

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	1,18 MB