tổng hợp các bài tập về giải phương trình và hệ phương trình
BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trình 13232 122 +++=+ + x xx xx Giải: Ta có xxf xx ++= 32)( tăng trên R, nên phương trình tương đương )1()2( += xff x 12 +=⇔ x x Hàm số )1(2)( +−= xxg x xác định trên R ( ) exxgxg x 22 // loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−= Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm trên ( ) )(loglog; 22 e∞− v ( ) ∞+;)(loglog 22 e Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là 1;0 == xx Bài 2: Giải phương trình 1514312log 114312 5 −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−++−− −−−++−− xxxx xxxx Giải : Điều kiện 1≥x .Đặt 0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chứng minh) phương trình tương đương 15)1(log 5 −=+ t t ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = += ⇔ −=− += ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ += += ⇔ ty t ty y t y t yt t y t 15 (*)55 15 15 15 0=⇔ t 0114312 =−−−++−−⇔ xxxx 52 ≤≤⇔ x Bài 3: Giải phương trình 324 42442 2 1 −+−= xxxx Giải : 021224 234 =−+−−⇔ xxxx Xét hàm số 12412421224 23/234 +−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1 Do đó đặt 1+= Xx , ta có phương trình ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +±= −±= ⇔=+− 1141 1141 058 24 x x XX Bài 4: Giải phương trình ( ) xx x coscos 4.342)cos1( =++ Giải : Đặt 11cos ≤≤−= yyx ( ) yy y 4.342)1( =++⇔ Đặt () 1 42 4.4ln.6 )(1 42 4.3 )( 2 / − + =⇒−− + = y y y y yfyyf () 2 / 424.4ln.160)( yy yf +=⇔= Đây là phương trình bậc hai theo y 4 , nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roolle phương trình 0)( =yf có không quá 3 nghiệm. Ta có 1, 2 1 ,0 === yyy là 3 nghiệm của phương trình 0)( =yf Suy ra phương trình có nghiệm π π π π π 2 3 2 , 2 ,2 kxkxkx +±=+== Bài 5: Giải phương trình 13 1 24 log 26 26 2 2008 −−= + + + xx xx x Giải : 241 2008 2008 1 24 226 26 2 2 2 4 1 26 +=++⇔= ++ + + ++ xxx xx x x xx vì hàm số x xxf 2008.)( = tăng trên R Giải phương trình 013013 326 ≥−−⇔=−− uuuxx phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2) Đặt 2 0cos2 π <<= ttu 2 1 3cos =⇒ t Suy ra phương trình có nghiệm 9 cos2 π ±=x Bài 6: Giải phương trình xx xx cossin 2 5 .sin 2 5 .cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Giải : Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét 2 π k x ≠ xx xx cos 2 5 sin 2 5 cossin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ Xét hàm số 0,1 2 5 )( ≠< ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = tt t tf t . Hàm số )( tf nghịch biến Suy ra π π kxxx +=⇔= 4 cossin Bài 7: Giải phương trình 322 32 54 log)2( 2 2 2 += + ++ ++ x x xx x Giải : Đk 032 >+x [] 322log3221)2(log1)2( 2 2 2 2 +++=+++++⇔ xxxx Đặt )0(log)( 2 >+= ttttf Tương tự Phương trình có nghiệm 1−=x Bài 8: Giải phương trình xx xx 20072007 19751975 cos 1 sin 1 cossin −=− Giải : x x x x 2007 1975 2007 1975 cos 1 cos sin 1 sin −=− 1cos;1sin == xx không là nghiệm của phương trình Đặt hàm số )1;0()0;1( 1 )( 2007 1975 ∪−∈−= t t ttf Ta có 0 2007 1975)( 2008 1974/ >+= t ttf nên hàm số tăng trên mỗi khoảng )(:)0;1( tft −∈ chỉ nhận giá trị dương )(:)1;0( tft ∈ chỉ nhận giá trị âm Nên π π kxxxxfxf +=⇔=⇔= 4 cossin)(cos)(sin Bài 9: Giải phương trình xxxxxx 4422 cos2cos3sin.sin22cos. 2 cossin. 2 sin −+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ππ Giải : () xxxxxx 442222 cos2cos2coscos22cos. 2 coscos. 2 cos −+−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ ππ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−⇔ xxxxxx 224224 cos. 2 coscos2cos2cos. 2 cos2cos22cos ππ Xét hàm số 10. 2 cos2)( 2 ≤≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= tttttf π . )(tf giảm 3 cos2cos)(cos)2(cos 2222 π k xxxxfxf =⇔=⇔= Bài 10: Giải phương trình [ ] 35)37634(log337634)37634(2 2 2 2329334 2 =+−+++−+− +− xxxxxx xx Giải : Đặt )87(37634 2 ≥+−= txxt )256.256(log256.22.35).2(log.2 3 2 32562833 2 3 ttt tt ==⇔ Hàm số ).2(log.2)( 3 2 3 tttf tt = đồng biến trên [ ) ∞+;1 4;3025637634256 2 ==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt Bài 11: Giải phương trình )16cos2cos4(log2cos 2 1 2 1 3 4 2 sin2 −−+=+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ xxx x Giải : Đặt )1 3 1 (2cos ≤<= yxy )13(log 2 1 2 4 1 −+=+⇔ − yy y Đặt )1(132)13(log 2 ≤−=⇔−= tyyt t Ta có hệ ty y ty ty t y +=+⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −= −+= 22 132 122 Xét hàm số uug u += 2)( , hàm số đồng biến trên R 0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft tt Xét hàm số 132)( +−= ttf t , sử dụng định lý Roll cm phương trình có không quá 3 nghiệm Phương trình có nghiệm )(31 Ltt == , suy ra phương trình có nghiệm π kx = Bài 12: Giải phương trình 11 7.4.128343.864 −− +=− xxxx Giải : Đặt 1 7.2;4;2 − =−== xx cba 03 333 =−++⇔ abccba 00 2 )()()( )( 222 =++⇔= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− ++⇔ cba accbba cba 07.242 1 =+−⇔ −xx Xét hàm số 7ln.7. 7 2 4ln.4)(7.242)( /1 xxxx xfxf +−=⇒+−= − Phương trình 0)( / =xf có nghiệm duy nhất nên theo định lí Lagrange phương trình 0)( = xf không có quá 2 nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm 2;1 == xx Bài 13: Giải phương trình )32(log)22(log 2 32 2 322 −−=−− + + xxxx Giải : Điều kiện xvx <−< 31 )32(log)22(log 2 347 2 348 −−=−−⇔ ++ xxxx Đặt 347 +=a và 32 2 −−= xxt tt aa log)1(log 1 =+⇔ + Đặt ty a log= 1 1 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ yy aa a 1=⇔ y là nghiệm duy nhất Phương trình có nghiệm 34111 +±=x Bài 14: Giải hệ phương trình () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += += += 4loglog 4loglog 4loglog 35 35 35 xz zy yx Giải : Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh zyx ==⇒ Từ đó ta có ( ) 4loglog 35 += xx , đặt xt 5 log= 1 3 1 4 3 5 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ t t Phương trình có đúng 1 ngiệm 2=t do hàm số 1 3 1 4 3 5 )( = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = t t tf nghịch biến Hệ phương trình có 1 nghiệm 25=== zyx Bài 15: Giải hệ phương trình () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+−+ −−=− − 04122 2 3 22 2 2 2 2 2 1 xyxxyx xy y x x Giải : Từ phương trình (2) 2 21 1)2( x x yxyx − =⇔=+⇔ (1) 22 2 2 21 2 2 1 2 2 21 2 2 1 x x x x x x x x − = − ⇔ + − + − xét hàm số 0 2 1 2ln2)( 2 2)( / >+=⇒+= tt tf t tf 22 2 2 21 2 1 x x x x − = − ⇔ Hệ phương trình có 1 nghiệm 4 3 ,2 −== yx Bài 16: Giải hệ phương trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++=++ + + = − 1)2(log2)62(log3 1 1 23 2 2 22 yxyx y x e xy Giải : Đk 062 >++ yx và 02 >++ yx (1) 1)1ln(1)1ln( 2222 +++=+++⇔ yyxx Hàm số 1ln)( >+= ttttf đồng biến trên );0( ∞+ yxyx ±=⇔+=+⇔ 11 22 .Nếu 3;31)6(log)2( 3 −==⇔=−⇔−= yxxyx .Nếu yx = (2) uxx 6)1(log2)2(log3 23 =+=+⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇔ =+ =+ ⇔ 1 9 8 9 1 21 32 3 2 uu u u x x Hàm số uu ug ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 8 9 1 )( nghịch biến trên R, suy ra 1=u là nghiệm duy nhất Hệ phương trình có 2 nghiệm 4 3 ,2 −== yx và 7;7 == yx Bài 17: Giải hệ phương trình () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ −=− + + + 2 7 2 3 2 )2(342 2 2 1 2 8 1 2 yx xy yx y x Giải : Đk 0; ≥yx () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ +=+ ⇔ + + + + 732 43232 1 2 1 2 )4( 1 2 yx yx yx y x Hàm số xxf x 32)( 1 2 += + đồng biến trên [ ) ∞;0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ =+ = ⇔ =+ = ⇔ 5 1 5 4 1 4 )1()( )4()( y x yx yx fyxf yfxf Bài 18: Giải hệ phương trình ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −−= −−= )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos )52coscos8(logcos 2 2 2 zyz yxy xzx Giải : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++= ++= ⇔ 4228 4228 4228 2 2 2 ZY YX XZ Z Y X Hàm số () 422 8 1 )( 2 ++= ttf t đồng biến trên ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 1; 2 1 () 422 8 1 2 ++===⇔ XZYX X Giải bằng đồ thị ⎢ ⎣ ⎡ === === ⇔ )(2 1 lZYX ZYX Hệ phương trình có 2 nghiệm πππ 2;2,2 mzlykx === Bài 19: Giải hệ phương trình ⎩ ⎨ ⎧ +=+ +=+ 2)(coslog)sin31(log 2)(sinlog)cos31(log 32 32 xy yx Giải : Đk 0sin;cos ≥yx )(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log 3232 yyxx =+=++⇒ Hàm số tttf 32 log)31(log)( ++= 0 3ln 2 2ln)31( 3 )( / >+ + =⇒ tt tf đồng biến trên 0>∀t xy cossin =⇒ Thay vào phương trình (1) 2)(coslog)cos31(log 32 +=+⇒ xx Lập BBT hàm số vvvg 32 log)31(log)( −+= với ( ] 1,0cos ∈= xv phương trình chỉ có 2 nghiệm 3 1 cos,1cos == xx Bài 20: Giải hệ phương trình 34 223 28 2182 xy y xy xy y ⎧ −= ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ Giải: Hệ tương đương ( ) 33 2 28 (1) 0 ( ) 18 2 (2) yx y xy yx y ⎧ −= ⎪ ⇒>> ⎨ += ⎪ ⎩ (2) 4 38 x y y ⇒= − , thay vào (1) được: 3 4 3 38 28 yyy y ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ (3) Đặt 0ty=> , (3) trở thành: () 3 4 3 226 93 4 38 28 3 8 28 0 ttt ttt t ⎡⎤ ⎛⎞ ⎢⎥ − −=⇔− − += ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ Xét hàm () 3 93 4 () 3 8 28 f tt t t=− − + ta có: () 82 3 4 '( ) 9 9 3 8 28 0, 0 f ttt t t=+ −+>∀> Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đă cho nếu có nghiệm (x 0 , y 0 ) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của hệ. Nếu chọn x = 2y thì từ (1) ta có: 4 4222yy x=⇔= ⇒= . Rỏ ràng cặp số (2 2; 2) thỏa (2). Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2 2; 2) . Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng )2;0( π của phương trình 2 5 )sin10sin12sin8( 246cos2 2 +=+− exxxe x Giải : 0 1 1 t g' g 1- 3 6 0 + _ -5 f u 0 1 6 t f' 0 + _ 0 Đặt 10sin 2 ≤≤== tyxt 2 5 )10128( 23)1(2 +=+−⇔ − etxtxte t Xét hàm số )10128()( 23)1(2 tttexf t +−= − [ ] )( 2)10128(2)102424()( )1(2232)1(2/ tgetttttexf tt −− −=+−−+−=⇒ Với )112412(2)(522248)( 2/23 +−=⇒−+−= tttgttttg Lập bảng biến thiên, suy ra phương trình 0)( =tg có nghiệm duy nhất 6 3 10, −<<= uut Lập bảng biến thiên hàm số )(tf , suy ra phương trình 0)( =tf có nghiệm duy nhất uvvt <<= 0, Suy ra phương trình vx ±= sin có 4 nghiệm phân biệt )2,0( π ∈x