Baâi 20: Cho hai àûúâng troân (O,R) vaâ (P,R) tiïëp xuác ngoaâi vúái nhau taåi.. a) Chûáng minh MNDC nöåi tiïëp. Goåi EF laâ tiïëp tuyïën chung cuãa hai àûúâng. troân .Chûáng minh[r]
(1)Chương I VECTƠ A KHÁI NIỆM VECTƠ
1 Cho ABC Có thể xác định vectơ khác ⃗0
Cho tứ giác ABCD
a/ Có vectơ khác ⃗0
b/ Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA CMR : MQ→ = NP→
2 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định vectơ phương với MN→ b/ Xác định vectơ NP→
3 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH→ FG→ AD→ CMR : ADHE, CBFG, DBEG hình bình hành
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB=2CD Từ C vẽ CI→ = DA→ CMR : a/ I trung điểm AB DI→ = CB→
(2)4 Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AD Dựng MK→ = CP→
KL→ = BN→
a/ CMR : KP→ = PN→ b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : AL→ = ⃗0
5 Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết điêù ?
a) AB−→ = BC−→ b) AB−→ = DC−→ c) OA− → = OC− → d) OB− → = OC− →
e) | AB−→ | = | CD−→ | f) | OB− → | = | OC− → |
1.12 Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm véc tơ a) Bằng với AB−→
b) Đối với AC−→ 1.14 Cho hình vng ABCD cạnh 4cm , tâm O , M trung điểm AB Tính độ lớn véc tơ AB−→ , AC−→ , OA− → , OM− →
1.15 Cho tríc hai điểm A, B Tìm tập hợp điẻm M tho¶ : | MA−→ | = | MB−→ |
B PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ
(3)a) Chûáng minh −− →AB + CD−→ = −− →AD + CB−→
b) Chûáng minh nïëu coá −− →AB = CD−→ thò −− →AC = BD−→
c) Vúâi ăiïìu kiïơn nađo thị −− →AB + −− →AC nùìm trïn ặúđng phín giâc ca gôc
BAC
2 Cho điểm A, B, C, D, E
CMR : AB→ + CD→ + EA→ = CB→ + ED→ Cho điểm A, B, C, D, E, F
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = AE→ + BF→ + CD→ Cho điểm A, B, C, D, E, F, G, H
CMR : AC→ + BF→ + GD→ + HE→ = AD→ + BE→ + GC→ + HF→ Gọi O tâm hình bình haønh ABCD CMR :
a/ DO→ + AO→ = AB→ b/ OD→ + OC→ = BC→
c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0
(4)CMR : OD→ + OC→ = AD→ + BC→
Cho ABC Từ A, B, C dựng vectơ tùy ý AA→' , BB→' , CC→'
CMR : AA→' + BB→' + CC→' = BA→' + CB→' + AC→' Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB→ +AD→ theo a
Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a a/ Tính AB→ +AD→
b/ Dựng ⃗u = AB→ +AC→ Tính ⃗u
Cho ABC vuông A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng ⃗v = AB→ +AC→
b/ Tính ⃗v
2.6. Cho hịnh bịnh hânh ABCD cố O lâ têm
a) Chûáng minh : OA− → + OB− → + OC− → + OD−→ = ⃗0
b) M tuyâ yá trïn d Chûáng minh : MA−→ + MB−→ + MC−→ + MD− → = MO→
c) Xâc ắnh võ trđ cuêa M trïn d ăïí MA−→ + MB−→ + MC−→ + MD− → nhoê nhíịt
C PHÉP TRỪ HAI VECTƠ
(5)Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR :
a/* CD→ + FA→ BA→ ED→ + BC→ FE→ = ⃗0
b/ AD→ MB→ EB→ = MA→ EA→ FB→
c/ MA→ DC→ FE→ = CF→ MB→ + MC→
Cho ABC Hãy xác định điểm M cho :
a/ MA→ MB→ + MC→ = ⃗0
b/ MB→ MC→ + BC→ = ⃗0
c/ MB→ MC→ + MA→ = ⃗0
d/ MA→ MB→ MC→ = ⃗0
e/ MC→ + MA→ MB→ + BC→ = ⃗0
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a a/ Tính AD→ AB→
b/ Dựng ⃗u = CA→ AB→ Tính ⃗u
Cho ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC
(6)b/ Tính BA→ BI→
Cho ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a
Tính AB→ −AC→
D PHÉP NHÂN VECTƠ
Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB O điểm tùy ý
a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = ⃗0
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ + ON→ + OP→ Cho ABC có trọng tâm G Goïi M BC cho BM→ = MC→
a/ CMR : AB→ + AC→ = AM→
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MG→
Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD O trung điểm EF a/ CMR : AD→ + BC→ = EF→
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0
c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = MO→ (với M tùy ý)
(7)a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = ⃗0
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→ c/ CMR : AB→ + AC→ + AD→ = AG→ (với G trung điểm FH)
Cho hai ABC DEF có trọng tâm G H
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = GH→
Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm AD CMR : a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = ⃗0
b/ EA→ + EB→ + EC→ = AB→ c/ EB→ + EA→ + ED→ = EC→
Cho ABC có M, D trung điểm AB, BC N điểm cạnh AC cho AN→ =
1
2 NC
→
Gọi K trung điểm MN a/ CMR : AK→ = 1
4 AB
→
+ 1
6 AC
→
b/ CMR : KD→ = 1
4 AB
→
+ 1
3 AC
(8)Cho ABC Treân hai cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD→ = DB→ , CE→ =
EA→ Gọi M trung điểm DE I trung điểm BC CMR : a/ AM→ = 1
3 AB
→
+ 1
8 AC
→
b/ MI→ = 1
6 AB
→
+ 3
8 AC
→
Cho điểm A, B, C, D thoûa AB→ + AC→ = AD→ CMR : B, C, D thẳng hàng
Cho ABC, laáy M, N, P cho MB→ = MC→ ; NA→ +3 NC→ = ⃗0 vaø PA→ + PB→
= ⃗0
a/ Tính PM→ , PN→ theo AB→ vaø AC→ b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
3.1. Cho ABC ; I ; J nựỗm trùn caồnh BC vaõ BC keỏo daõi cho
2CI = 3BI ; 5JB = 2JC
a) Tñnh AI− → theo −− →AB ; −− →AC b) Tñnh AJ−→ theo vec tú AB−→ ;
AC−→
c) G lâ trổng têm ABC Tđnh AG− → theo −− →AB vaâ −− →AC
ÀS: a) 3
5 AB
−→
+ 2
5 AC
−→
b) AJ−→ = 5
(9)3.2. Cho ABC ; G lâ trổng têm vâ I lâ àiïím àưëi xûáng ca B qua G M lâ
trung àiïím BC Tđnh
a) AI− → theo −− →AB vaâ −− →AC b) CI−→ theo −− →AB
; −− →AC
c)Tñnh MI→ theo −− →AB ; −− →AC
ÀS: a) AI− → = 2
3 AC
−→
- 1
3 AB
−→
b) CI−→ = - 1
3 AB
−→
- 1
2 AC
−→
c)
MI→ = 61 AC−→ - 56 AB−→
3.3. Cho ABC Gổi I lâ àiïím àưëi xûáng ca troång têm G qua B
a) Chûáng minh : IA→ – IB→ + IC→ = ⃗0
b) Àùåt AG− → = ⃗a ; AI− → = ⃗b Tñnh AB−→ ; AC−→ theo ⃗a ; ⃗b
ÀS: b) AB−→ = 1
2 ( ⃗a + ⃗b ) ; AC −→
= 5
2 ⃗a – 1 2 ⃗b
3.4. Cho ABC M di àöång Chûáng minh vectú : MA−→ – MB−→ – MC−→ lâ
vectú khưng àưíi vïì àưå lúán vïì hûúáng ? Vệ tưíng àố ?
3.5. Cho hịnh vng ABCD cẩnh a Chûáng minh cấc vec tú sau àêy lâ cấc vec
tỳ hựỗng vaõ tủnh ửồ lỳỏn cuóa noỏ : a = MA−→ + MB−→ – MC−→ – MD− →
(10)v
→
= MA−→ – MB−→ – MC−→ coá hûúáng vâ àưå lúán khưng àưíi ? Dûång
v
→
?
Tđnh àưå lúán ca →v ? ÀS : a√13
4.1. Cho ABC Dûång caác àiïím M ; N thoẫ
a) MA−→ + MB−→ = CB−→ b) −− →AN – BN−→ = ⃗0
4.2. Cho ABC; O lâ àiïím tu Dûång cấc àiïím D ; E ; F thoaã :
OD−→ = OC− → + −− →AB ; OE−→ = OA− → + BC−→ ; OF−→ = OB− → + CA−→
a) Chûáng tỗ võ trđ ca D; E; F khưng ph thåc vâo võ trđ O
b) So sấnh hai tưíng vec tú sau : OA− → + OB− → + OC− → vaâ OF−→ + OE−→ +
OD−→
4.3. Cho ABC vaâ M tuyâ yá
a) Chûáng minh →v = MA−→ + MB−→ + MC−→ khưng ph thåc vâo võ trđ
ca M ?
b) Dûång àiïím D thoaã CD−→ = →v
(11)a) MA−→ – MB−→ – MC−→ = ⃗0 b) MA−→ + MB−→ +
MC−→ = BC−→
4.5. Cho ABC Dûång cac àiïím M ; J thoẫ
a) MA−→ + MB−→ + MC−→ = AB−→ – AC−→ b) AJ−→ + BJ− → +
CJ −→
= AB−→
4.6. Cho ABC Xaâc ắnh sưị thûơc k vađ ăiïím I ăïí câc ăùỉng thûâc sau ăng
vúái mổi àiïím M
a)2 MA−→ + MB−→ – MC−→ = k MI→ b) MA−→ +2 MB−→ – k MI→ =
⃗
0
4.7. Cho hịnh bịnh hađnh ABCD Xâc ắnh sưị thûơc k vađ ăiïím I ăïí câc ăùỉng
thûác sau àng vúái mổi àiïím M : MA−→ + MB−→ + MC−→ = k MI→ – MD− →
4.8. Cho ABC Dûång cấc àiïím K ; M thoẫ
a) AK− → +2 BK−→ = AC−→ b)2 MA−→ – MB−→ +3
MC−→ = AB−→ + AC−→
c) Tịm m àïí AJ−→ + BJ− → + m CJ−→ = AB−→ àuáng vúái moåi J
E TRỤC - TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.
(12)a/ Tìm tọa độ AB→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ điểm M cho MA→ + MB→ = ⃗0
d/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = 1
Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
b/ Tìm tọa độ điểm M cho MA→ + MB→ MC→ = ⃗0
c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA→ NB→ = NC→
Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3
a/ Tìm tọa độ điểm M cho MA MB =
c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB Trên trục x'Ox cho điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR : 1 AC +
1 AD =
2 AB
b/ Goïi I trung điểm AB CMR : IC ID=IA2
c/ Gọi J trung điểm CD CMR : AC AD=AB AJ
(13)Viết tọa độ vectơ sau : ⃗a = ⃗i ⃗j , ⃗b = 1
2 ⃗i + ⃗j ; ⃗c = ⃗i + 3
2
⃗j ; ⃗d = ⃗i ; ⃗e = 4 ⃗j
Viết dạng ⃗u = x ⃗i + y ⃗j , biết :
⃗
u = (1; 3) ; ⃗u = (4; 1) ; ⃗u = (0; 1) ; ⃗u = (1, 0) ; ⃗u = (0, 0)
Trong mp Oxy cho ⃗a = (1; 3) , ⃗b = (2, 0) Tìm tọa độ độ dài vectơ :
a/ ⃗u = ⃗a ⃗b
b/ ⃗v = ⃗a + ⃗b
c/ ⃗w = ⃗a 1
2 ⃗b
Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ vectơ AB→ , AC→ , BC→ b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
c/ Tìm tọa độ điểm M cho : CM→ = AB→ AC→
d/ Tìm tọa độ điểm N cho : AN→ + BN→ CN→ = ⃗0
Trong mp Oxy cho ABC coù A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2)
a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC
(14)Trong mp Oxy cho ABC coù A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1)
a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC
b/ Gọi D(3; 1) CMR : điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)
a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ABC tính bán kính đường trịn
Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trục hồnh điểm M cho ABM vuông M
Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trục hoành điểm C cho ABC cân C
b/ Tính diện tích ABC
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
c/ CMR : ABC vuoâng cân
d/ Tính diện tích ABC
(15)9.7. Cho A(1, 1) ; B(5, 3) ; C(0, -1).Tịm toaơ ăươ chín ặúđng phín giâc AD
vâ phên giấc ngoâi AE ca gốc A ABC ?
ÀS: D(5/3 ; 1/3) ; E(-5, -5)
a) Tịm toaơ ăươ tím ặúđng trođn ngoaơi tiïịp ABC vúâi
A(6, –2) ; B(–2, 4) ; C(5, 5)
b) Tũm iùớm M nựỗm trùn chiùỡu dỷỳng ca trc hoânh cho MAB vng tẩi M
vúái A(–3, 2) ; B(4, 3) ? ÀS: a)(2, 1) b)(3, 0)
ÔN TẬP CHƯƠNG I Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM
a/ CMR : IA→ + IB→ + IC→ = ⃗0
b/ Với điểm O CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OI→
Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC
a/ CMR : AI→ = AO→ + AB→
b/ CMR : DG→ = DA→ + DB→ + DC→
Cho ABC Lấy cạnh BC điểm N cho BC→ = BN→ Tính AN→ theo AB→
AC→
Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a/ CMR : AI→ = 1
2 ( AD →
(16)b/ CMR : OA→ + OI→ + OJ→ = ⃗0
c/ Tìm điểm M thỏa : MA→ MB→ + MC→ = ⃗0
Cho ABC điểm M tùy ý
a/ Hãy xác định điểm D, E, F cho MD→ = MC→ + AB→ , ME→ = MA→ + BC→ vaø MF→ = MB→ + CA→ CMR điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MD→ + ME→ + MF→
Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện :
a/ MA→ = MB→
b/ MA→ + MB→ + MC→ = ⃗0
c/ MA→ + MB→ = MA→ MB→
d/ MA→ + MB→ = MA→ + MB→
e/ MA→ + MB→ = MA→ + MC→
Cho ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD→ = AB→ , AE→ =
2
5 AC
→
(17)b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
Cho ABC Gọi D điểm xác định AD→ = 2
5 AC
→
M trung điểm đoạn BD a/ Tính AM→ theo AB→ AC→
b/ AM cắt BC I Tính IB IC
AM AI Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2)
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm Ox cách điểm A B b/ Tính chu vi diện tích OAB
c/ Tìm tọa độ tâm OAB
d/ Đường thẳng AB cắt Ox Oy M N Các điểm M N chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ?
e/ Phân giác góc AOB cắt AB E Tìm tọa độ điểm E f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC hình bình hành
Chương
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC & TRONG ĐƯỜNG TRÒN
(18)So sánh cặp số sau :
a/ sin60o cos30o. b/ sin100o sin110o c/ sin90o10' sin90o20' d/ sin80o sin100o e/ sin50o15' sin50o25' f/ cos40o cos50o g/ cos112o cos115o h/ cos90o cos180o i/ cos45o sin135o j/ cos90o5' cos90o10' Tính giá trị biểu thức sau :
a/ A = acos0o + bsin0o + csin90o + dcos90o b/ B = asin180o + bcos180o + ccos90o c/ C = a2sin90o + 2abcos00
b2cos180o
d/ D = cos20o + 3sin230o 4cotg245o
e/ E = 8b2cos245o
5(btg45o)2 + (4asin45o)2
f/ F = 2 cos
2
0o−3 sin290o 5 cotg45o
+3 sin180o−2 tg 45o
g/ G = 4 3sin
2
60o+4 sin230o
4 3cos
230o
+4 cos260o
Tính giá trị biểu thức sau :
a/ A = sin2x 3cosx (với x = 0o, 30o, 45o)
(19)c/ C = tg2x + cotg2x (với x = 30o, 45o, 60o) d/ D = (acos0o)2
2asin90o.bcos180o b2cos180o
e/ E = 4a2cos245o + 7(atg45o)2
(3asin90o)2
Xác định dấu biểu thức sau :
a/ A = sin50ocos100o b/ B = sin130ocos40o c/ C = cotg110osin140o d/ D = tg50ocos100o e/ E = tg70ocotg160ocos100o
Cho < x < 90o Xét dấu cos(x + 90o) tg(x + 90o) B HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC Cho cos = 4
5 Tính sin, tg, cotg Cho sin = 8
17 (90o < < 180o) Tính cos, tg, cotg Cho tg = Tính cotg, sin, cos
Cho cotg = 1
2 Tính tg, sin, cos Cho tgx = Tính A = 3 sinx+cosx
sinx −cosx
Cho sinx = 2
3 Tính B =
(20)Rút gọn biểu thức : A = 2cos
2 x −1
sinx+cosx B =
cosx tgx
sin2x cotgx.cosx
C = (1 sin2x)cotg2x + cotg2x
D = cos
2x −cotg2x
sin2x tg2x
E = √sin2x(1+cot gx)+cos2x(1+tgx)
Chứng minh đẳng thức sau : a/ sin4x + cos4x =
2sin2xcos2x
b/ sin6x + cos6x =
3sin2xcos2x
c/ cosx
1+sinx + tgx =
1 cosx
d/ 2
sinx
sinx
1+cosx =
1+cosx
sinx
e/ cotg2x
cos2x = cotg2x.cos2x
f/ tgx−sinx sin3x =
1 cosx(1+cosx)
g/ 1+cos
2 x
1−cos2x = + 2cotg
2x h/ 1+cosx
1−cosx
1−cosx
1+cosx =
(21)i/ 1+2 sinxcosx sin2x −cos2x =
tgx+1
tgx−1 j/ sinx+cosx
cos3x = tg
3x + tg2x + tgx + 1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x
A = 2(sin6x + cos6x)
3(sin4x + cos4x)
B = cos4x + cos2xsin2x + sin2x C = (tgx + cotgx)2
(tgx cotgx)2
D = cos
2
x −sin2 y
sin2x sin2y cotg
2x.cotg2y Bài 11: Tính giá trị :
A = tg10O.tg20Otg30O.tg40O.tg50O.tg60O.tg70O.tg80O B = cotg1O.cotg2O.cotg3O cotg87O.cotg88O.cotg89O
C = cos10O + cos20O + cos30O + + cos150O + cos160O + cos170O D = sin210O +sin220O +sin230 + +sin2150O +sin2160O +sin2170O + sin2180o E = tg20O + tg40O + tg60O + tg80O + + tg160O + tg180O
(22)G = sin(−234 O
)−cos 216O
sin 144O−cos 126O tg36
O H= cos 676o
cos 406O.(cotg224O−tg(−406O))
H= 1
tg 368O+
2 sin 2550O.cos(−188O)
2 cos 638O
+cos 98O I =
sin 486O−cos 936O
sin 846O−cos 486O tg216 O
J= (cotg44 O
+tg 226O).cos 406O
cos 316O −cotg72
O
.cotg18O
K = cos(−216 O
)+sin(−144O)
cos(−216O)+sin 234O −
1 2 cotg36O
L = sin( - a) - cos( π
2 - a) + cotg(2 - a) + tg( 3π
2 - a)
Cho ABC Chứng minh :
a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C)
c/ sin A+B
2 = cos
C
2 d/ sin
A
2 = cos
B+C
2 e/ sin A+B −C
(23)C TÍCH VƠ HƯỚNG
Cho ABC vuông A có AB = 3a, AC = 4a
Tính AB→ AC→ , CA→ AB→ , CB→ CA→ , AB→ BC→ Cho ABC coù AB = 5, BC = 7, AC =
a/ Tính AB→ AC→ suy góc A b/ Tính CA→ CB→
c/ Gọi D điểm cạnh CA cho CD = Tính CD→ CB→ , AD→ AB→ Cho hình vuông ABCD cạnh a
a/ Tính AB→ AC→ b/ Tính AB→ BD→
c/ Tính ( AB→ + AD→ )( BD→ + BC→ ) d/ Tính ( AC→ AB→ )(2 AD→ AB→ )
Cho ABC có cạnh a I trung điểm BC Tính tích : AB→ AI→ , AC→
BC→ , AI→ BC→ , AI→ CA→
(24)a/ Tính AB→ AC→ b/ Tính BC
c/ Tính độ dài trung tuyến AM
d/ Gọi I, J điểm xác định IA→ IB→ = ⃗0 ;
JB→ JC→ = ⃗0 Tính IJ
Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4)
a/ CMR ABC vuoâng A
b/ Tính BA→ BC→ c/ Tính cosB
1.11 Cho ABC coá AB = ; BC= ; AC =
a) Tñnh −− →AB −− →AC vaâ suy cosA ?
b) Gổi G lâ trổng têm Tđnh −− →AG BC−→ ?
ÀS: a) - 3
2 ; -1
4 b)
5 3
1.12 Cho ABC coá AB = ; AC = ; A = 120o
a) Tñnh −− →AB −− →AC vâ suy àưå dâi cẩnh BC ?
b) Tđnh àưå dâi trung tuën AM ?
ÀS: a) BC = √19 b) √7 /2
(25)a) Tñnh −− →AD theo −− →AB ; −− →AC vâ −− →AB b) Tđnh AD ?
ÀS: a) −− →AD = 3
5 AB
−− →
+ 2
5 AC
−− →
; - 3
2 b)
3 5 √6
1.14. Cho ABC coá AB = ; AC = ; BC = √19 Gổi I ; J lâ hai àiïím thoẫ hïå
thûác IA→ + IB→ = →0 ; JB→ - JC→ = →0 Tñnh −→IJ theo −− →AB ;
AC −− →
vaâ IJ ? ÀS: IJ = 2
3 √133
1.15. Cho ABC coá AB= ; BC = ; AC =
a) Tđnh gốc A ca ABC ?
b) Gổi G lâ trổng têm ; M ; N ; P laâ trung àiïm BC ; CA ; AB Tđnh cấc biïíu thûác
P = −− →AB BC−→ + BC−→ CA−→ + CA−→ −− →AB vaâ
Q = AM−− → BC−→ + BN−→ CA−→ + CP− → −− →AB ÀS: a) 60o b) P = - 69 ; Q = 0
1.16. Cho A(1, 0) ; B(2, 4) ; C(10, -2)
a) Chûâng minh ABC vng vađ tđnh bân kđnh ặúđng trođn ngoaơi tiïịp; toaơ
ăươ tím I ca ặúđng trođn ?
b) Tđnh BA−→ BC−→ vâ cosB ; cosC ?
1.17. Cho A(-1, -1) ; B(1, 3) ; C(5, -1)
a)Tịm toaơ ăươ chín ặúđng cao AA’ ca ABC ?
b)Tịm toẩ àưå trûåc têm H vâ troång têm G cuãa ABC ?
(26)d) Tđnh sưë gốc C ca ABC ?
ÀS: a)(2, 2) b)H(1, 1); G( 5
3 , 1
3 ) c)(2, 0) ; √10 d)
π
4
1.18. Cho A(1, 1) ; B(-3, -1) ; C(0, -1)
a) Tđnh sưë gốc A ca ABC ?
b) Tịm toaơ ăươ chín ặúđng phín giâc ca gôc A
c) Tịm toaơ ăươ tím ặúđng trođn ngoaơi tiïịp ABC ?
d) Tịm toaơ ăươ chín ặúđng cao AH ?
e) Tñnh diïån tñch ABC ?
ÀS: a) 4/5 b)(-1,-1) c) I(- 3
2 ,1) d) H(1,-1) e) S =
Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5) a/ CMR ABC vuoâng
b/ Tính AB→ AC→ c/ Tính cosA
Cho ⃗a = (4; 3) , ⃗b = (1; 7)
a/ Tính ⃗a ⃗b
b/ Tính góc
HÏÅ THÛÁC LÛÚÅNG TRONG TAM GIẤC VNG
1.1. Chûáng minh ABC vng gốc tẩi A
(27)b) S = 1
2 a.c.sinB =
1
2 a.b.sinC
c) cotgB + cotgC = a
h d)
sinB+sinC
sinA =
b+c a
e) tgB + tgC = b.c
h2 f) sin
2A +sin2B +sin2C = 2
1.2. ABC taơi A coâ AB = 3; AC = 4; ặúđng cao AH Tđnh bân kđnh ặúđng
trôn ngoẩi tiïëp ; HB ; HA ; HC ? ÀS: 2,5 ; 1,8 ; 3,2 ; 2,4
1.3. ABC taơi C coâ CD lađ ặúđng cao Biïịt AD = ; BD = 16 Tñnh CD ; AC ;
BC ? ÀS: 15 ; 20 ; 12
1.4. ABC tẩi A cố AB
AC= 2
3 ; ặúđng cao AH = Tñnh HB ; HC ; AB ?
ÀS: ; ; √13
1.5. ABC tẩi C cố AA1 lâ phên giấc
BA1 = ; A1C = Tñnh ba caơnh ; bân kđnh ặúđng trođn ngoaơi tiïịp ĂS: 15
; 12 ; ; 7,5
1.6. ABC tẩi A cố AB = 3a ; AC = 4a ; I lâ àiïím trïn cẩnh AB cho IA =
2IB ; CI cùưt ặúđng cao AH taơi E Tñnh CE ? ĂS: 16
11 √5a
1.7. Ba ặúđng trođn (O1; r1 = 3) ; (O2; r2 = 3) ;
(O3; r3 = 2) tiïëp xc ngoai vúái tẩi cấc tiïëp àiïím A;
(28)ÀS: O1O2O3 : ; ; ; ABC : 12 5 ;
6 5√5
1.8. Cho (O1; r1 = 5); (O2; r2 = 3) nựỗm ngoaõi AB laõ tiùởp tuyùởn chung
ngoaâi ; CD laâ tiïëp tuyïën chung ; A ; C nựỗm trùn (O1) ; biùởt AB = 3
2 CD
Tđnh ăươ dađi ặúđng nưịi tím ? ĂS: k O2E // CD O1O2 =
1.9. Cho (O1; r1 = 9) ; (O2; r2 = 4) tiïëp xc ngoâi Tđnh àưå dâi tiïëp tuyïën
chung ngoaâi ? ÀS: 12
1.10.ABC vng tẩi A AH HD AB ; HE AC
a) Chûáng minh AD.AB = AE.AC
b) Cho BC = 2a ; ACB = 30o Tđnh EC
A ĐỊNH LÝ COSIN 1 Cho ABC Bieát
a/ AB = ; AC = ; ^A = 60o Tính BC b/ AB = ; AC = ; ^A = 120o Tính BC c/ AB = ; AC = √2 ; ^A = 45o Tính BC d/ AB = √3 ; AC = ; ^A = 30o Tính BC e/ AB = √3 ; BC = ; B^ = 30o Tính AC
(29)g/ AB = ; BC = 13 ; ^A = 60o Tính AC h/ AB = √3 ; BC = √2 ; C^ = 60o.Tính AC i/ ^A = 60o ; AC = ; BC = Tính AB j/ B^ = 120o ; BC = 10 ; AC = 14 Tính AB 2 Cho ABC Bieát :
a/ AB = ; BC = ; AC = Tính ^A
b/ AB = ; AC = 10 ; BC = 14 Tính ^A
c/ AB = ; BC = ; AC = Tính B^
d/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14 Tính B^
e/ BC = ; AC = √6 ; AB = √3 + Tính ^A ; B^ ; C^
f/ BC = √3 ; AC = √2 ; AB = + √3 Tính ^A ; B^ ; C^
g/ BC = ; AC = √6 ; AB = √2 √6 Tính ^A ; B^ ; C^
h/ BC = √3 ; AC = √2 ; AB = √6 √2 Tính ^A ; B^ ; C^
i/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15 Chứng minh B^ là góc nhọn
B ĐỊNH LÝ SIN
1 Cho ABC Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp
(30)c/ ^A = 60o ; AB = ; AC = 8 d/ AB = ; AC = ; BC =
e/ AB = ; AC = √3 ; BC = √7 2 Cho ABC Bieát
a/ AC = ; R = √3 Tính B^
b/ BC = ; R = √2 Tính ^A
c/ ^A = 60o ; R =
√21 Tính BC d/ Cos ^A = 3
5 ; R = 10 Tính BC e/ ^A = 60o ; B^ = 45o ; BC =
√3 Tính AC C DIỆN TÍCH TAM GIÁC
1 Tính diện tích ABC Bieát :
a/ ^A = 60o ; AB = ; AC = 8 b/ B^ = 45o ; AB = 2
√2 ; BC = c/ C^ = 30o ; AC = ; BC = 8 d/ ^A = 60o ; AC = 2
√3 + ; AB = √3
e/ Cos ^A = 3
5 ; AC = ; AB = f/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15
(31)h/ AB = ; AC = ; BC = i/ AB = ; AC = 10 ; BC = 14 j/ BC = ; B^ = 60o ; C^ = 45o
2 Cho ABC Tính độ dài đường cao, biết :
a/ AB = ; BC = ; CA = b/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14 c/ AB = ; AC = ; ^A = 60o. d/ AB = ; AC = 10 ; ^A = 120o. e/ AC = ; AB = ; S = √3 f/ BC = √3 ; AC = ; B^ = 30o.
3 Cho ABC Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R
a/ AB = ; AC = ; BC = b/ AB = ; AC = ; BC = c/ AB = ; AC = ; ^A = 60o d/ AB = ; AC = 10 ; ^A = 120o e/ AB = 16 ; AC = 10 ; ^A = 60o
4 Cho ABC Tính bán kính đường trịn nội tiếp r
(32)d/ BC = ; B^ = 60o ; C^ = 45o e/ AB = ; AC = ; BC =
D ĐỊNH LÝ TRUNG TUYẾN
* Cho ABC Tính độ dài trung tuyến
a/ AB = ; AC = ; BC = b/ AB = ; AC = ; BC = c/ AB = ; AC = ; BC = 10 d/ BC = ; AC = √7 ; AB = e/ AB = ; AC = ; S = √3
5.1.ABC cố G lâ trổng têm
Chûáng minh : GA2 + GB2 + GC2 = 1
3 (a2 + b2 + c2 )
5.2. Cho ABC coá hai trung tuyïën BM = 6cm ; CN = 9cm ; goác húåp búãi hai
trung tuën 120o Tđnh ba cẩnh ?
ÀS: TH1: 2√13;4√7;2√19 – TH2 : 2√19;2√34;2√7
5.3. Hịnh bịnh hânh ABCD cố AB = a ; BC = b Tđnh tỗng cấc bịnh phûúng
ca hai ặúđng chêo theo a ; b ? ĂS: AC2 + BD2 = 2(a2 +b2)
5.4. Cho ABC coá hai trung tuyïën BM vâ CN vng gốc vúái Chûáng minh
(33)5.5. Cho ABC coá trung tuyïën AM = 1
2 c Chûáng minh : a) 2b2 = a2 + c2
b) sin2A = 2sin2B – sin2C
5.6. Cho ABC coá hai trung tuyïën BM ; CN thoaã
c : b = mb : mc Chûáng minh :
a) 2a2 = b2 + c2 *b) 2cotgA = cotgB + cotgC
5.7. Cho hai ăiïím A ; B cưị ắnh vađ AB = a Tịm tíơp húơp câc ăiïím M thoă :
a) MA2 + MB2 = 3
4 a2 b) MA2 + MB2 = a2
E PHAÂN GIÁC TRONG
* Cho ABC Tính độ dài đường phân giác AD
a/ AB = ; AC = ; ^A = 60o b/ AB = ; AC = ; ^A = 60o c/ AB = ; AC = ; BC = d/ AB = ; AC = ; BC = e/ AB = 10 ; AC = 16 ; BC = 14 F TOÁN TỔNG HỢP
1 Cho ABC coù AB = 5, AC = 8, ^A = 60o
(34)2 Cho ABC coù AB = 13, BC = 14, AC = 15
Tính S, AH, R, r, trung tuyến AM
3 Cho ABC có AB = 3, AC = 8, ^A = 60o
Tính S, BC, AH, R, r, trung tuyến BN 4 Cho ABC coù AB = 5, AC = 8, BC =
Tính ^A , S, AH, R, r, trung tuyến CK
5 Cho ABC có AB = 10, AC = 16, ^A = 60o
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến AM 6 Cho ABC coù AB = 13, AC = 8, BC =
Tính ^A , S, AH, R, r, trung tuyeán AM
7 Cho ABC coù AB = 6, AC = 10, ^A = 120o
Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến BN 8 Cho ABC coù AB = 10, AC = 16, BC = 14
Tính ^A , S, AH, R, r, trung tuyến BN phân giác AD
3.1.Tđnh gốc A ca ABC cấc cẩnh ca nố thoaã
a) b.(b2 – a2) = c(c2 – a2) vúái b c
b) b3 + c3 = a2(b + c)
ÀS: a) 120o b) 60o
3.3. Ba caånh cuãa ABC liïn hïå vúái bựỗng hùồ thỷỏc
(b2 + c2 a2)2 +
√6 b2c2 = (
(35)Tđnh gốc A? ÀS: 30o v 45o
3.4. Chûáng minh mổi ABC ta ln cố :
cotgA + cotgB + cotgC = (a
2
+b2+c2)R
a.b.c
3.5.ABC coâ a = ; b = ; A = 60o Tñnh caơnh c vađ bân kđnh ặúđng trođn
ngoẩi tiïëp R? ÀS: c= 5; R = 7
3 √3
3.6.ABC coá a + b = 2c
a) Chûáng minh sinA + sinB = 2.sinC
b) Biït a = 2R vâ c = Tđnh gốc A ; vâ ba caånh ? ÀS: b) 900 ; ; ; 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN A PHƯƠNG TÍCH :
1 Cho đường trịn (O, R) điểm M Tính PM/(O) , biết : a/ OM = R √2
(36)c/ OM = 2
3 ; R = 4 3 d/ OM = R
e/ OM = 3R 2
2 Cho đường trịn (O; R) điểm M Tính OM biết : a/ PM/(O) = 3R2
b/ PM/(O) = R
2
4 c/ PM/(O) = 0 d/ PM/(O) = R2
e/ PM/(O) = 5R2
3 Cho tam giác ABC có cạnh a trực tâm H. a/ Tính PB/(AC)
b/ Tính PH/(AC)
4 Cho ABC vng A Biết AB = 3, AC = đường cao AH
(37)c/ Tìm PB/(AC)
5 Trong đường tròn (O) cho dây cung AB CD cắt I. a/ Biết IA = 3, IB = 4, CD = Tính IC, ID
b/ Bieát IA = 12, IB = 18, IC ID =
3
8 Tính CD c/ Bieát IA = 12, IB = 16, CD = 32 Tính IC, ID d/ Biết IA = 8, IB = 24, CD = 91
3 Tính IC, ID e/ Bieát PI/(O) = 28 , AB = Tính IA, IB
6 Cho đường trịn (O) điểm I (O) Kẻ cát tuyến IAB ICD. a/ Biết IA = 12, IB = 6, CD = Tính IC, ID
b/ Biết IA = 5, IB = 6, CD = 13 Tính IC, ID c/ Bieát IA = 3, IB = 8, IC
ID = 2
3 Tính CD d/ Bieát IA = 4, AB = 5, CD = 35 Tính IC, ID e/ Biết PI/(O) = 28 , CD = Tính IC, ID.
7 Cho đường trịn (O) điểm I ngồi (O) Kẻ cát tuyến IAB tiếp tuyến IT. a/ Biết IA = 4, IB = Tính IT
(38)c/ Bieát IT = √3 , AB = Tính IA, IB d/ Biết PI/(O) = 49 Tính IT
B TỨ GIÁC NỘI TIẾP & TIẾP TUYẾN
1 Cho điểm A, B, C thẳng hàng Gọi (O) đường trịn đường kính AB; d đường thẳng qua C và vng góc với BC Gọi M, N điểm tùy ý (O) AM, AN cắt d M’, N’ CMR : M, M’, N, N’ nằm đường tròn
2 Cho đường tròn (O) (O’) cắt A & B Gọi M điểm tùy ý AB (nằm đoạn AB) Vẽ tiếp tuyến MT với (O) cát tuyến MCD với (O’)
CMR : MT tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp TCD T
3 Cho đường tròn (O), R = điểm I cho OI = 9. a/ Tính PI/(O)
b/ Vẽ cát tuyến IAB, biết IA = 7, Tính IB
c/ Tiếp tuyến (O) A B cắt M Veõ MH IO CMR : M, B, O, H, A nằm
đường trịn Tính IH
(39)4 Cho đường tròn (O), đường kính BC Trên (O) lấy điểm A cho AB = R. a/ Tính AC theo R
b/ Trong ABC kẻ đường cao AH CMR : AB tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp AHC
c/ Gọi K trung điểm AC BK cắt đường tròn (O) E Tính PK/(O) độ dài KE.
Bađi 7: Cho hai ăiïím C ; D trïn ặúđng trođn ặúđng kđnh AB.Dûơng ặúng thùỉng d
AB tẩi H AC ; AD lêìn lûúåt cùỉt d tẩi E ; F Chûáng minh CEDF nöåi tiïëp
Bađi 8: Cho ặúđng trođn ặúđng kđnh AB.Goơi AM ; BN lađ hai díy cung cùưt
taơi I Keê IH AB ặúđng nađy cùưt (O) taơi J Chûâng minh :
a) BHIM vađ AHIN lađ câc tûâ giâc nươi tiïịp ? b)AƠ lađ tiïịp tuýịn cuêa ặúđng trođn (IJM) ?
c) Tđch sưë −− −AIAM− −−+− −−BIBM− −− khưng ph thåc vâo võ trđ àiïím I
Bađi 9: Cho ặúđng trođn (O) vađ díy BC Goơi M lađ trung ăiïím BC V ặúđng trođn (O’) qua hai ăiïím O ; M (O’) cùưt (O) taơi A ; D vađ cùưt BC taơi E AD cùưt BC taơi F CMR
a) −− −FB−−−FC=− −−FEFM− −− b) EB−− −EC−−−=− −−EFEM−− − c)EA lađ tiïịp tuýịn cuêa ặúđng trođn (AMF)
Bâi 10: Cho (O) vâ (O’) cùỉt theo dờy chung AB M nựỗm trùn AB vaõ ỳó ngoaõi àoẩn AB Kễ tiïëp tuën ME ca (O) ; MF cuãa (O’)
a) Chûáng minh ME = MF ?
b) Kễ cất tuën MCD ca (O) vâ cất tuyïën MÕ cuãa (O’) Chûáng minh CDJI nöåi tiïëp
Bađi 11: Cho (O) ặúđng kđnh AB; M di ăương trïn (O) V ặúđng trođn tím M tiïịp xc AB taơi P; MP cùưt (M) taơi N vađ cùưt (O) taơi Q Chûâng minh
(40)Baâi 12: Cho (O) vâ IAB lâ cất tuën ca (O) Tiïëp tuën tẩi A ; B cùỉt
tẩi M Kễ MH OI ; MH cùỉt AB tẩi N ; K lâ trung àiïím AB Chûáng minh
a) ăiïím O; A ; B ; M ; H cuđng nùìm trïn ặúđng trođn b) −− −IB−−−IA=− −−IK− −−IN c) KN−− −− −−KI=KA2
Bađi 13: Cho (O, R = 4) I lađ ăiïím OI = 6; A ; B lađ hai ăiïím nùìm trïn ặúđng trođn cho IA = ; IB = IA ; IB líìn lûúơt cùưt ặúđng trođn taơi A’ ; B’
a) Tñnh IA’ ; IB’ b) Tñnh SOAT ; SOBJ
ÀS a)10/3 ; b) Duâng ct Herron
Bađi 14: Cho ba ăiïím A ; B ; C thùỉng hađng ; goơi (O) lađ ặúđng trođn ăi qua B; C AD vađ AD’ lađ tiïịp tuýịn cuêa (O) Chûâng minh :
a) DD’ AO tẩi H b) BCOH nưåi tiïëp
c) M di àưång trïn DD’ kễ AN OM Chûáng minh tủch sửở OM.ON laõ hựỗng sửở
tủnh hựỗng sửở ?
ÀS OM.ON = R2.
Bađi 15: Cho (O) ; (O’) cô díy chung AB Goơi EF lađ tiïịp tuýịn chung cuêa hai ặúđng trođn Chûâng minh
a) AB ài qua trung àiïím cuãa EF ?
b) Goơi H lađ giao ăiïím cuêa AB vađ OO’ Chûâng minh AB lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa hai ặúđng trođn (OEJH) vađ (O’FIH)
Bađi 16: Tam giaâc ABC cô M; N lađ trung ăiïím ca AB ; AC Chûâng minh ặúđng cao AH lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa hai ặúđng trođn ặúđng kñnh BN ; CM ?
Bađi 17: Cho nûêa ặúđng trođn (O) ặúđng kñnh AB vađ ăiïím M nùìm trïn nûêa
ặúđng trođn H lađ hònh chiïịu cuêa M lïn AB Ăûúđng trođn ặúđng kđnh MH
cùỉt MA tẩi P vâ cùỉt MB tẩi Q ; cùỉt cungAB tẩi àiïím thûá hai E
a) Chûâng minh ABQP nöơi tiïịp vađ xaâc ắnh truơc dùỉng phûúng cuêa ặúđng trođn (ABQP) ; (O)
(41)Bađi 18: Cho ABC cô AA’ ; BB’ ; CC’ lađ ặúđng cao Giă sûê A’B’ cùưt AB taơi M ;
B’C’ cùæt BC tẩi N ; A’C’ cùỉt AC tẩi P Chûáng minh
a) Tûâ giâc BCB’C’ nươi tiïịp vađ suy P nùìm trïn truơc ăùỉng phûúng hai ặúđng trođn (ABC) ; (BCB’C’)
b) Ba àiïím M ; N ; P thùèng haâng
Bađi 19: Cho ăoaơn AB cưị ắnh (C ) tím O vađ (C’) tím O’ lađ hai ặúđng trođn di
ăöơng nhûng luön luön tiïịp xuâc AB taơi A ; B Goơi (C1) lađ ặúđng trođn tím O
bân kđnh OB vađ (C2) lađ ặúđng trođn tím O’ bân kđnh O’A; (C1) cùưt (C2) taơi
M;N Chûâng minh MN lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa (C ) vađ (C') tûđ ăoâ suy MN ln ln ăi qua mươt ăiïím cưị ắnh
Bađi 20: Cho hai ặúđng trođn (O,R) vađ (P,R) tiïịp xuâc ngoađi vúâi taơi Tûđ O veô tiïịp tuýịn vúâi (P,R) ; Tiïịp tuýịn nađy cùưt (O) taơi M ; N Tđnh bân kđnh
ca ặúđng trođn (PMN) ? ĂS: R√13
2
Bađi 21: Cho nûêa ặúđng trođn ặúđng kñnh AB ; vúâi hai díy AM ; BN cùưt taơi I Chûâng minh :
PA / (IBM) + P B / (IAN)
khưng phuơ thơc vađo võ trđ ca M ; N trïn ặúđng trođn
Bađi 22: Cho ăoaơn AB cô trung ăiïím I Biïịt phûúng tđch cuêa A ; B ; I ăöịi vúâi cuđng ặúđng trođn (O) lađ p1 ; p2 ; p3
Chûáng minh AB = √2(p1+p2− p3)
Baâi 23: Cho hiânh chûä nhêåt ABCD nưåi tiïëp (O) M lâ àiïím bêët kị H ; H’ ; K ; K’lêìn lûúåt lâ chiïëu ca M xëng AB ; CD ; AD ; BC Chûáng minh :
PM / (O) = MH − −−
MH−− −' +MK
−− −
MK−−−'
Bađi 24: Cho hai ặúđng trođn tím (O,R) vađ (O’, R √3 ) cùưt taơi A ; B
AM ; BN líìn lûúơt lađ hai ặúđng kñnh cuêa (O) ; (O’) a)Chûâng minh PM /(O’) + PN / (O) = 4O’O2
(42)ÀS: b) 4
9 R2
Bađi 25: Cho (O) cô CD lađ ặúđng kđnh Trïn CD líịy A ; B cho OA−− −OB−− − = R2
Chûáng minh
a) PA / (O) + PB / (O) = AB2 b)
PB/(¿O)=−
1
R2
PA/(¿O)+1
¿
1
¿
Bađi 26: Cho (O,R) cô ặúđng kđnh AB cưị ắnh ; CD lađ mươt ặúđng kđnh di ăöơng d lađ tiïịp tuýịn taơi B cuêa (O); AC vađ AD líìn lûúơt cùưt d taơi M ; N a) Chûâng minh MNDC nöơi tiïịp Goơi ặúđng trođn ngoaơi tiïịp MNDC lađ (O’) b)Ăùơt CAB = ( 0o < < 90o) Tđnh bân kđnh R’ ca ặúđng trođn (O’) theo vađ
R Xấc àinh àïí R’ nhoã nhêët ?
ÀS: b) 45o
8.1. Cho (O) ; (O’) cô díy chung AB Goơi EF lađ tiïịp tuýịn chung cuêa hai ặúđng
troân Chûáng minh
a) AB ài qua trung àiïím cuãa EF ?
(43)8.2. Tam giaâc ABC cô M; N lađ trung ăiïím ca AB ; AC Chûâng minh ặúđng cao AH lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa hai ặúđng trođn ặúđng kñnh BN ; CM ?
8.3. Cho nûêa ặúđng trođn (O) ặúđng kñnh AB vađ ăiïím M nùìm trïn nûêa ặúđng
trođn H lađ hònh chiïịu cuêa M lïn AB Ăûúđng trođn ặúđng kđnh MH cùưt MA
tẩi P vâ cùỉt MB tẩi Q ; cùỉt cungAB tẩi àiïím thûá hai E
a) Chûâng minh ABQP nươi tiïịp vađ xâc ắnh truơc dùỉng phûúng cuêa ặúđng trođn (ABQP) ; (O)
b) Goơi I lađ giao ăiïím cuêa ME vađ PQ Chûâng minh ăiïím I cô cuđng phûúng tđch vúâi hai ặúđng trođn (ABQP) vađ (MEH) suy AB ; ME ; PQ ăưìng qui taơi I
8.4. Cho ABC coâ AA’ ; BB’ ; CC’ lađ ặúđng cao Giaê sûê A’B’ cùưt AB taơi M ;
B’C’ cùỉt BC tẩi N ; A’C’ cùỉt AC tẩi P Chûáng minh
a) Tûâ giâc BCB’C’ nươi tiïịp vađ suy P nùìm trïn truơc ăùỉng phûúng hai ặúđng trođn (ABC) ; (BCB’C’)
b) Ba àiïím M ; N ; P thùèng haâng
8.5. Cho ăoaơn AB cưị ắnh (C ) tím O vađ (C’) tím O’ lađ hai ặúđng trođn di
ăương nhûng luön luön tiïịp xuâc AB taơi A ; B Goơi (C1) lađ ặúđng trođn tím O
bân kđnh OB vađ (C2) lađ ặúđng trođn tím O’ bân kđnh O’A; (C1) cùưt (C2) taơi
M;N Chûâng minh MN lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa (C ) vađ (C') tûđ ăoâ suy MN ln ln ăi qua mươt ăiïím cưị ắnh
8.6. Cho hai ặúđng trođn (O,R) vađ (P,R) tiïịp xuâc ngoađi vúâi taơi Tûđ O
vệ tiïëp tuën vúái (P,R) ; Tiïëp tuën nây cùỉt (O) tẩi M ; N Tđnh bấn kđnh
cuêa ặúđng trođn (PMN) ? ĂS: R√13
2
8.7.Cho nûêa ặúđng trođn ặúđng kñnh AB ; vúâi hai díy AM ; BN cùưt taơi I
(44)PA / (IBM) + P B / (IAN)
khưng phuơ thơc vađo võ trđ ca M ; N trïn ặúđng trođn
8.8. Cho àoaån AB cố trung àiïím I Biïët phûúng tđch ca A ; B ; I àöëi vúái
cuđng ặúđng trođn (O) lađ p1 ; p2 ; p3
Chûáng minh AB = √2(p1+p2− p3)
8.9. Cho hiânh chûä nhêåt ABCD nưåi tiïëp (O) M lâ àiïím bêët kị H ; H’ ; K ;
K’lêìn lûúåt lâ chiïëu cuãa M xuöëng AB ; CD ; AD ; BC Chûáng minh :