ON THI TOT NGHIEP DAY DU

Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’.. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Cho hình lăng trụ [r]

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM §1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định (a,b)

1) f tăng (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 f(x1)<f(x2)

2) f giảm (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 f(x1)>f(x2)

3) x0 (a,b) gọi điểm tới hạn hàm số tạ f’(x) khơng nh hay

II Định lý:

1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a,b]và có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c(a,b) cho

( ) ( )

( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a

f b f a f c b a hay f c

b a 

   

 2) Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b)

 Nếu f’(x)>0 x(a,b) hàm số y=f(x) đồng biến (a,b)  Nếu f’(x)<0 x(a,b) hàm số y=f(x) nghịch biến (a,b)

(Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm khoảng (a,b) định lý đúng). CÁC DẠNG BÀI TẬP

Hàm số bậc ( hàm số hữu tỷ )  Tập xác định

 Đạo hàm y/

 Hàm số tăng R ( khoảng xác định): y/  x  R

{Δ≤ 0a>0 Giải tìm m

 Chú ý:Nếu hệ số a y/ có chứa tham số phải xét a = 0

 Tương tự cho hàm số giảm : y/  x R ⇔

{Δ≤ 0a<0 2.Hàm số biến : y=ax +b

cx +d  Tập xác định

 Đạo hàm y/

 Hàm số tăng (giảm) khoảng xác định : y/ > ( y/ < ) Giải tìm m  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0

B CÁC BÀI TẬP :

Bài 1: Cho hàm số y x 3 3mx23(2m1)x1 a) Khảo sát hàm số m=1

b) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định c) Định m để hàm số giảm (1,4)

Bài 2: Cho hàm số y 2x x a) Tính y’’(1)

b) Xét tính đơn điệu hàm số Bài 3: Cho hàm số

1 2

mx y

x m  



a) Khảo sát vẽ đồ thị m=2

b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1

c) Chứng minh với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định Bài 4: Chứng minh

c) ln x>1 x

e

x   .

Bài : Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x5 x32x1 0 §2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định (a,b) điểm x0 (a,b)

 Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số y= f(x) với x thuộc lân cận điểm x0 ta

có f(x) < f(x0) (x ≠ x0)

 Điểm x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) với x thuộc lân cận điểm x0

ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0)

2 Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm x0(a,b) đạt cực trị điểm f’(x)

=

Định lí 1:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm lân cận điểm x0 (có thể trừ x0)

a) Nếu f’(x0) > khoảng (x0 ; x0); f’(x) < khoảng (x0; x0 + ) x0 điểm cực đại hàm

số f(x)

b) Nếu f’(x) <0 khoảng (x0 - ; x0) ; f’(x) > khoảng (x0; + x0) x0 điểm cực tiểu

hàm số f(x)

Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị

Định lí Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp x0 f’(x0) = 0, f''(xo)  xo

điểm cực trị hàm số Hơn

1) Nếu f”(x0) > x0 điểm cực tiểu

2) Nếu f”(x0) < x0 điểm cực đại

Nói cách khác:

1) f’(x0) = 0, f”(x0) >  x0 điểm cực tiểu

2) f’(x0) = 0, f”(x0) < x0 điểm cực đại

Tìm m để hàm sốá có cự c đại , cực tiểu 

 Tập xác định  Đạo hàm y/

 Hàm số có cực đại,cực tiểu y/ = có hai nghiệm phân biệt

{a ≠ 0Δ>0  Giaûi tìm m



Dùng dấu hiệu tìm cực trị 

 Tập xác định  Đạo hàm y/

 Giải phương trình y/ = tìm nghiệm x

 Đạo hàm y//.Tính y//(x 0)

* Neáu y//(x

0) > : hàm số đạt cực tiểu x0

* Neáu y//(x

0) < : hàm số đạt cực đại x0



Tìm m để hàm số đạt cực trị x 0 Cách 1:  Tập xác định

 Đạo hàm y/

 Hàm số đạt cực trị x0 :

y/(x 0) =

y/ đổi dấu x qua x

 Chú ý :

 Hàm số đạt cực tiểu x0 :

y/ (x 0) =

y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +”

 Hàm số đạt cực đại x0 :

y/ (x 0) =

y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–”

 Đạo hàm y//

 Hàm số đạt cực trị x0 :

{y

❑

(x0)=0 y//(x0)≠ 0  Cực đại: { y/ (x

0) = vaø y// (x0) < }

 Cực tiểu : { y/ (x

0) = vaø y// (x0) > }



Hàm số đạt cực trị y 0 x0  Tập xác định

 Đạo hàm y/= f/ (x)

 Hàm số đạt cực trị y0 x0

{ f❑

(x0)=0 f (x0)=y0 f//

(x0)≠ 0 B CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm sốyx42mx2 2m1 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1/3

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành c) Biện luận theo m số cực trị hàm số (1)

Bài 2: Cho hàm số

2 2 4

2

x mx m

y

x

  



 a) Khảo sát hàm số m=-1

b) Xác định m để hàm số có hai cực trị Bài 3: Cho hàm số y=2 x3− 3(m+1) x2+6 mx− m

a)Khảo sát hàm số m = gọi đồ thị (C) Chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

Bài 4: Cho hàm số

2 2 1

x kx k

y

x k

  



 với tham số k. 1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số k=1

2)Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3;0) có hệ số góc a Biện luận theo a số giao điểm (C) (d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A

3)Chứng minh với k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu tổng tung độ chúng Bài 5: Định m để hàm số

3 2

1

( 1) 1

3

y x  mx  m  m x

đạt cực tiểu x =

Bài 6: Cho hàm số

2 1

x x m

y x

 



 Xác định m cho hàm số. a) Có cực trị

b) Có hai cực trị hai giá trị cực trị trái dấu Bài 7: Cho hàm số yf x( )x33x2 3 x+3m-4m a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn m

b) Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn tất tiếp tuyến đồ thị hàm số §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1)Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số y=f(x) D nếu:

0

: ( ) : ( )

x D f x M

x D f x M

  

   (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi GTNN hàm số y=f(x) D nếu:

0

: ( ) : ( )

x D f x m

x D f x m

  

2) Cách tìm GTLN-GTNN (a,b)

+ Lập bảng biến thiên hàm số (a,b)

+ Nếu bảng biến thiên có cực trị cực đại( cực tiểu) giá trị cực đại (cực tiểu) GTLN(GTNN) hàm số (a,b)

3) Cách tìm GTLN-GTNN [a,b]

+ Tìm điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) [a,b]

+ Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)

+ Tìm số lớn M số nhỏ m số

[ , ] [ , ]

max ( ) ; ( ) a b a b

M  f x m f x

B CÁC BÀI TẬP:

Bài 1:Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y2x33x21 [-2;-1/2] ; [1,3)

b) y x  4 x2 c)

3 4 2sinx- sin

3

y x

đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)

d)y 2 os2x+4sinxc x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)

e)

2

3 2

yx  x

đoạn [-10,10]

Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy= x 1  3x 6x 2   đoạn[-1,3] 4 TIỆM CẬN

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng:

Nếu lim ( )

xx f x  đường thẳng (d) có phương trình x= x

0 tiệm cân đứng đồ thị (C)

2) Tiệm cận ngang:

Nếu lim ( )x  f x y0thì đường thẳng (d) có phương trình y= x0 tiệm cân ngang đồ thị (C)

3) Tiệm cận xiên:

Điều kiện cần đủ để đuờng thẳng (d) tiệm cận đồ thị (C) lim [ ( ) (ax+b)] 0

x  f x  

hoặc xlim [ ( ) (ax+b)] 0   f x  

lim[ ( ) (ax+b)] 0x  f x  

4) Cách tìm hệ số a, b tiệm cận xiên y=ax+b x

( )

lim b= lim[ ( ) ax] x

f x

a f x

x

   

 

B CÁC BÀI TẬP:

Bài 1:

1 Khảo sát hàm số

2 4 5

2

x x

y

x

  

 

2 Xác định m để đồ thị hàm số

2 ( 4) 4 5

2

x m x m m

y

x m

     



  có tiệm cận trùng với tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát (TN-THPT 02-03/3đ)

Bài 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số

a) y x21 b)

3

1 1

x x

y x

  

 c)

2

3 1

1 2

x x

y

x   

 .d)

2

2 1

3 2 5

x x

y

x x

  

 

PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ 1 Tập xác định

Sự biến thiên

- Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn

- Bảng biến thiên

3 Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị

1 Tập xác định Sự biến thiên

- Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Giá trị đặt biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức khơng có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.

 Các dạng đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a  0)

 Hàm số biến : y=ax +b

cx +d (ad − bc ≠ 0)

 Hàm số hữu tỷ (2/1) :

2

1 1

ax bx c y

a x b

 



 (tử, mẫu khơng có nghiệm chung, ) x

y

O



I

x y

O



I

a < a >

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị  ? x

y

O

 I

x y

O

 I

a < a >

Dạng 1: hàm số có cực trị  ?

x y

O x

y

O

a < a >

Dạng 2: hàm số có cực trị  ?

x y

O x

y

O

a < a >

Dạng 1: hàm số có cực trị  ?

y

I

x y

O

Dạng 2: h/số nghịch biến Dạng 1: h/số đồng biến

x O

I

x y

O

I

x y

O

I

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị x

y

O

I

x y

O

I

Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:

f(x) = m f(x) = g(m) f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) khảo sát

+ Đường thẳng (d): y = m y = g(m) y = f(m) là đường thẳng thay đổi phương với trục Ox. Các bước giải

Bước : Biến đổi phương trình cho dạng pt (1) dùng bảng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:

Ví dụ 1:

1 Biện luận phương trình

3

1

3x  x = m ( dùng bảng 1)

2 Biện luận phương trình

3

1

3x  x = 3m -2 ( dùng bảng 2)

3 Biện luận phương trình

3

1

3x  x =

3

1

3m  m ( dùng bảng 3)

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay. Học sinh cần nhớ vận dụng thành thạo cơng thức:  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

(C): y = f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a < b)

 Ta sử dụng công thức

b

a Sf x dx( )

(I)

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]

 Ta sử dụng công thức

b

a

Sf x( ) g x dx( )

(II)  Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh từ hình phẳng (H) giới hạn

(C): y = f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a < b), (H) quay quanh Ox

 Ta dùng công thức

 2

b

a

V f x( ) dx

(III)

 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh từ hình phẳng (H’) giới hạn (C): x = g(y), trục Oy đường thẳng y = a, y = b ( a < b), (H’) quay quanh Oy

 Ta dùng công thức

 2

 

b

a

V  g y( ) dy

(IV)

Đặc biệt hóa trường hợp cần thiết phù hợp với đề cụ thể, đồng thời nắm được bước giải dạng toán này:

 Khi cần tính diện tích hình phẳng:

 Nắm dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay khơng có Ox).  Xác định cận a cận b (nếu chưa có biết tìm)

 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu biểu thức f(x)/[a;b] (hay dấu f(x) – g(x) /[a;b])  Biết bước trình bày giải tính kết

 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:

 Nắm dấu hiệu để biết sử dụng cơng thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)  Xác định cận trên, cận tính kết

Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT khơng phân ban 2006 )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = ex, y = đường thẳng x = 1.

Ta có: ex =  x = ln2

Diện tích hình phẳng cần tìm S =  

1

ln ln

2 2

x x

e  dx e  dx

 

(0,25 đ) =  

1 ln

2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 4

x

e  x  e    e 

(đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) : y = – x 3 – 3x2 trục Ox.

Giải:

Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm

Từ đồ thị ta có:

3

3

0

3 ( 3 )

S   x  x dxx  x dx

4

0 4

x x

 

   

  = 27/4 ( đvdt)

Bài tập : (cho dạng dạng 2)

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + có đồ thị (Cm)

a) Khảo sát hàm số m =

b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 – 3x – k +1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng (D): y = Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Khảo sát hàm số Gọi đồ thị (C)

c) Tiếp tuyến (C) O cắt lại (C) điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đoạn OA Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài 4: Cho hàm số y=(m−1)x +m

x − m (m khác 0) có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C2)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C2), tiệm cận ngang đường thẳng x = 3, x =

Bài 5: Cho hàm số y=− x2+x x+1

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết PTTT (C) giao điểm (C) với trục hồnh c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh Bài 6: Cho hàm số y=x

2

− mx+4 mx− 4 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C2)

b) Dùng đồ thị (C2) giải biện luận phương trình : x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) =

c) Tính diện tích hình phẳng hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, đường thẳng x =

d)* Tính thể tích hình trịn xoay (H) quay vòng xung quanh Ox tạo

Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh Ox

Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay phần mặt phẳng bị giới hạn đường: y = x2 y =

√x quay quanh Ox

Dạng 3: Biện luận số giao điểm đường (C): y = f(x) (C’): y = g(x)

PP: Ta tìm Số giao diểm hai đường cong (C1) y= f(x) (C2) y=g(x) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1)



Biện luận số giao điểm ( C) d 

 (d): y = k(x – xA) + yA = g(x)

 Ptrình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)  Nếu (*) phương trình bậc 2 :

1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm (C) và(d) 2) Xét a  : + Lập  = b2 – 4ac

+ Xét dấu  kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔{a≠ 0

Δ>0

 Nếu (*) phương trình bậc 3 :

1) Đưa dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) =

x=x0

Ax2+Bx+C=0=g (x) (2)

¿

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0

3) Tính  (2), xét dấu  kết luận

(Chú ý: (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (2) có no pb x1 , x2 khác x0)

⇔{ A ≠ 0 Δ(2)>0 g(x0)≠ 0

Ví dụ Cho hàm số y=x +1

x − 1 đường thẳng y= mx - biện luận số giao điểm hai đường cong Giải : Số giao điểm hai đường cong số nghiệm phương trình x+1

x −1=mx −1 (điều kiện x khác 1) ⇔ mx2−(m+2)x=0 ⇔ x(mx−(m+2))=0

+Nếu m = hay m = -2: Phương trình có nghiệm x = nên đường thẳng cắt đường cong điểm +Nếu m  m  -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m

x = 2 m

m 

Đường thẳng cắt đường cong hai điểm phân biệt (chú ý hai nghiệm khác 1) Kết luận: + m = hay m = - có giao điểm.

+ m  m  - có hai giao điểm.

B

ÀI TÂP:

Bài 1: Biện luận số giao điểm đồ thị (C):

3

2

3 2

x x

y   x

đường thẳng (T):

13 1

( )

12 2

y m x KQ: giao điểm ( m 

27 12 

), giao điểm ( m > 27 12 

)

Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + không cắt đồ thị hàm số

3 4

1 x y

x  

 KQ: -28 < a  0 Dạng 4: Cực trị hàm số

 Yêu cầu học sinh :

 Biết số lượng cực trị dạng hàm số học chương trình:

 Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)  khơng có cực trị có cực trị.

 Hàm số biến dạng:

ax+b cx+d 

y

 tăng giảm khơng có cực trị.

 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:

2

ax bx c

y

a 'x b '

 



  khơng có cực trị có cưc trị.  Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) x0 (a;b)

 Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu x qua x0 hàm số có cực trị x = x0

 Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu từ +  – x qua x0 hàm số có cực tiểu x = x0

 Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu từ –  + x qua x0 hàm số có cực đại x = x0

(Điều hsố khơng có đạo hàm x0 hàm số có xác định đó)

 Hoặc:

 Nếu f’(x0) = f’’(x)  hàm số có cực trị x = x0  Nếu f’(x0) = f’’(x) > hàm số có cực tiểu x = x0

 Nếu f’(x0) = f’’(x) < hàm số có cực đại x = x0

Bài tập:1 Định tham số m để: i) Hàm số y =

3

1

( 6)

3x mx  m x có cực đại cực tiểu.Kết quả: m < - hay m > 3

2i)Hsố y =

2 2

1

x mx

mx

 

 có cực trị. Kết quả: - < m < 1

3i) Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có cực đại cực tiểu x

1, x2 x2 – x1 không phụ

thuộc tham số m Kết : m x2 – x1 =

Bài 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + – m có cực đại cực tiểu Giả sử M

1(x1;y1), M2(x2;y2) điểm cực trị

đồ thị hàm số Chứng minh :

1 2

( )( 1)

y y

x x x x



  = 2. Kết : m < 1

Dạng 4: Viết PTTT đồ thị hàm số?

Yêu cầu học sinh nắm bước trình bày giải dạng tốn sau: Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) M0(x0;y0)  (C)

 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)x x 0 hay y – y0 = k(x – x0) (*)

 Bước 2: Tìm thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*) Rút gọn ta có kết

Bài tốn 2: Viết pttt (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua hay xuất phát từ A(xA;yA)

 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1)

 Bước 2: (d) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:

( ) ( )

'( )

A A

f x k x x y

f x k

  

 

 

 Bước 3: Giải tìm k thay vào (1) Ta có kết

Bài toán 3: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vng góc với đường thẳng (D) ) C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k   x = x0 ( hồnh độ tiếp điểm)

 Bước 2: Tìm y0 thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết

C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong m tham số chưa biết)

 Bước 2: Lập giải hệ pt: ( )

'( )

f x kx m

f x k

 

 



  k = ? thay vào (**) Ta có kết quả Bài tập PTTT đồ thị (C ):

Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + có đồ thị (C)và (d): 8x – 4y + = 0

a) CMR (C) (d) cắt điểm A B

b) CMR tiếp tuyến (C) A,B vng góc Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C)

b) Lập pttt điểm cố định

Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + Tìm m để tiếp tuyến đồ thị

hàm số A(1;0), B(-1;0) vuông góc Bài 4: Cho hàm số y =

2 2 x x



 Lập PTTT đồ thị (C) hàm số giao điểm với trục tung trục hoành

Bài 5: Cho hàm số y =

2 ax - 2 2 x

x 

 Lập PTTT đồ thị (C) hàm số giao điểm với trục tung trục hoành

Bài 6: Cho hàm số y =

2

x x



 Viết PTTT Của (C) qua A(-6;5)

Bài 7: Viết PTTT đồ thị hàm số y =

2 2 2

1

x x

x

 

 qua B(1;0)

Bài 8: Cho hàm số y = x3 – 3x Lập PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số

Bài 9: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + Lập PTTT kẻ từ A( 19 12;4)

Bài 10: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – Tìm M  đồ thị (C) hàm số cho

cho tiếp tuyến M qua gốc tọa độ O

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP

Bài 1) Cho hàm số x

m x ) m ( x

y   2 

2

, m tham số, có đồ thị (Cm)G 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m =

2) Với giá trị k (C) đường thẳng (D): y = k có giao điểm phân biệt A B Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2

Bài 2) Cho hàm số 2 5 4

  

 x

m mx x

y

, có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua O B

ài ) Cho đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + y =

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

B

ài 4) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2(x 1)

3 x x 2

  

2 Định m để ptrình : 2x2 – 4x – + 2mx - 1 = có nghiêm phân biệt.

Bài : Cho hàm số y=x+3

x+1 gọi (C) đồ thị hàm số cho a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm điểm (C ) có tọa độ số nguyên

c) Chứng minh đường thẳng D:y=2x+m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ

d) Tìm điểm trục hồnh từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ hai tiếp tuyến có tiếp điểm P;Q viết phương trình đường thẳng PQ

e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách giửa chúng bé

f) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai đường tiệm cận hai điểm I;J chứng minh S trung điểm IJ

g) Với giá trị m đường thẳng y=-x+m tiếp tuyến đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số x −1¿

2

(4 − x ) y=¿

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng tỏ đồ thị có tâm đối xứng

d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn

e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 6x29x 4 m0 Bài 7: Cho hàm số y=2 x3− 3(m+1) x2

+6 mx− m

a)Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=1 chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

c) Định m để hàm số tăng khoảng (1;) Bài : Cho hàm số

3 5

- 2

3

  

y x x x

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.

c) Tiếp tuyến với (C) gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) điểm M tìm tọa độ M d) Biện luận theo k vị trí tương đối (C) đường thẳng d có phương trình y=kx e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành

f) Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

§1. NGUYÊN HÀM: Nguyên hàm hàm số cần nhớ a,b R a 0  :

dx x C 

 dx 1 lnax b C

ax b a   



 

1

1

1 ,

x

x dx  C

 



  





x x

e dx e C



sinxdx  cosx C

 e dxax 1eax C

a

 

 cosxdx sinx C

 sinaxdx 1cosax C

a

 



2 2

 

   

cosdxx tanx C x, k cosaxdx1asinax C

2    

sindxx cotx C x k,

1

2 



   

cosdxax atanx C x, k

 0

ln ,

dx x C x

x   



1



  

sindxax acotax C x k, Bài tập:

Ghi nhớ:

 Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu) nguyên hàm hàm số thành phần

 Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số khơng tích (thương) các nguyên hàm hàm số thành phần

 Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu của hàm số tìm nguyên hàm

1

4 x dx

 (3x1)dx

2

(3x 6x1)dx



4 (x  x  5)dx



2 2

(3x 1)dx

x

 

 6.

2

(x  x 3 x1)dx



2

(3x 6x e dxx)

 

 ( 5.3 )

x x

e  dx

 9.(3sinx-5cosx1)dx

10 7 (3sinx+2cos ) os x dx c x 

 11 (2 os2 )

x x e e dx c x  

 12  2x5dx

13

3 8x e  dx  14

1 1 5 xdx  15 2 7 x x dx

 16 7x 1 5dx17 sin 5xdx

18 cos(4 ) x dx 19

2 sin 3xdx 

20

2

cos (1 ) x dx

 21 sinx sin 5xdx 22 sinxcos3xdx 23 cos2xcos3xdx

24

7

sin cosx xdx

 25 tan 5xdx 26

2 tan xdx

 27

1 ( 1)dx x x  

28 1

4dx x   29

1

5 4dx x  x

 30

1

3x 7x10dx

 31

1

9 7 x 2x dx

 32 1 5cossinx xdx 33 esinxcosxdx 

Bài Tìm nguyên hàm sau phương pháp đổi biến số:

7

(2 )

x  x dx

 (đặt t= 2-x) x 3 4 xdx (đặt t 3 4 x )

1 1

sin dx

x x

 (đặt t 1x ) ln x dx x

 (đặt t lnx) 5 x2 33x dx3

 ( đặt t= 3+x3) 6

1 x xdx e  e

 (đặt t ex

 )

7 (1 2) x

dx x  

(đặt t=1+x2)

3 2 x x dx

 (đặt t=2+x2) 9

sin(ln )x dx x

 (đặt t=lnx) Bài Tìm nguyên hàm sau phương pháp nguyên hàm phần:

i)(3x1)sinxdx 2i)(2x3) cosxdx 3i) (3 ) cos2 x

x dx



 4i) (1 x)sin2xdx 

 5i) (2 3)

x x e dx

 6i)(x2 4x1)e dxx

7i) (2 1) x x e dx



 8i)exsinxdx (2x 3)e dxx 9i)

2

(x 4x 1)e dxx

 

 10i)(2x1)e dxx

11i) sin x

e xdx

 12i)

ln x dx x  13i)xln(1 x dx) 14i)

2 ln

x xdx

 15i)

1 sin x dx x   Bài 4: Cho hai hàm số  

1 1

2

2 4sin

F x  x x

;  

2 cos

f x  x

a Chứng minh F x là nguyên hàm f x  b Tìm nguyên hàm G x biết

0 G  

  .

Bài 5: Cho hàm số   4

2

cos cos cos

cos sin

x x x

f x

x x

 





Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F    Bài 6: Cho hàm số f x  8sin cos cos cosx x 2x 4x

a Giải phương trình f x   f x  0

b Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  biết đồ thị hàm số F x  qua điểm

0 8; M  

 .

Bài 7: Biết hàm số  

sin cos x F x x 

 nguyên hàm f x  Hãy tìm giá trị x cho

    0

Bài 8: Cho hàm số y xe x a Tính yvà y 2

b Tìm nguyên hàm hàm số f x   x2007ex

Bài 9: Cho hàm số f x exsinx Chứng minh hàm số f x  f x  nguyên hàm hàm số 2f x 

Bài 10: Tìm nguyên hàm F x  hàm số 

32 331 21 xxxfx xx  

,biết   1 1

3

F 

(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm

2003)

§2 TÍCH PHÂN :

1) Định nghĩa :         b

b a a

f x dx F x F b  F a



2) Bài tập :  Ghi nhớ:

 Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số biết nguyên hàm

 Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu.

 Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Bài 1: Tính tích phân sau đây:

a

4

2

cos cosx xdx 



b

cosx sinx dx     c 1 x x dx x      d 2 ln x x e dx x  

Bài 2: Cho hàm số   x f x

x 

 hàm số F x ln x21.

a Chứng minh F x là nguyên hàm f x  b Áp dụng câu a tính

1 1 xdx x  

Bài 3: Cho hàm số  

2 2

ln ln

f x x x x x

a Tính f x  b Áp dụng câu a tính

2 ln e xdx 

Bài 4: Biết hàm số  

cos sin cos sin x x F x x x  

 nguyên hàm f x  Hãy tính :

 

4

0

f x dx

 



Bài 5: Tính tích phân sau:

1 1

1

❑

√xdx 1

2 x2+2

3 x dx − π π

(2 sin x −3 cos x ) dx  π 4 π 2

1

sin2x dx

4

0

(cos x sin )x dx 

 

6 0 π 6

sin x sin x dx

0 π

sin x cos x dx

0

6

cos3 cos5x xdx     π

sin2x dx 10 cot xdx   11 tan xdx   12 1 3x 7dx 

13

2

1 1 ( 4)dx x x   14 1

15

0

4 3

6 5

x

dx

x x





 



16

2

1

3 1

1 x

dx x

  

17

2

0

2 5 1

3

x x

dx x

 

 

18 sin

6 x

dx 



19

3

0 2 x dx 

20

4

4 3

x  x dx 

21

2

0

1 sin 2xdx 

 

22

2 sin

3 x

dx 

 

§3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1) Công thức tổng quát :

     

b a

f x x dx f t dt





  

 

 

 

Cơng thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích của  

f  x 

(hàm số theo biến  x ) với đạo hàm hàm  x Áp dụng công thức vào trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau:

a) TH1:

sin cos

f x xdx





 Đặt tsinx

 t p sinx q  p q, 

 sin

n

t p x q biểu thức psinx q nằm n .

b). TH2:

cos sin

f x xdx





 Đặt tcosx

 t p cosx q  p q, 

 cos

n

t p x q nếu biểu thức pcosx q nằm n .

c). TH3:

ln 

f x dx

x





 Đặt tlnx

 t p x q ln   p q, 

 ln

n

t p x q nếu biểu thức p x qln  nằm dấu n .

d) TH4:

 

1





tan cos

f x dx

x

 Đặt ttanx

 t p tanx q  p q,    tan 

n

t p x qnếu biểu thức ptgx q nằm dấu n .

e) TH5:

 

1 



f cotx .sin xdx  Đặt t cotx

 t pcotx q   p q, 

  

n

t pcotx q biểu thức pcotgx q nằm n .

Bài 1: Tính tích phân sau đây:

a  

6

3

0 2 1

cos sin xdx x    b

6cosx 1sinxdx 



 

c 3ln 2

e dx

x x 

 d 19 8 xdx x  

Bài 2: Tính tích phân sau đây:

a   2 4 5 x dx x x     b cos tgx e dx x  

c  

2

2

3cot 1 sin

dx gx x     d 1 x dx e  x



Bài 3: Tính tích phân sau đây:

a 3 cos tgxdx x   b 2

sin cosx xdx

  c 4 2 sin cos sin xdx x x   

d  

4 2 cos sin cos xdx x x    Bài 4: Tính tích phân sau đây:

a 3 sin cos xdx x   b 3

x  x dx  c 2 sin sin xdx x    d dx tgx tg x



 



Bài 5: Tính tích phân sau đây: ( Tổng hợp) 

0

√3

1 1+ x2dx

(HD: x=tant) 

√3

1

9+x2dx (HD: x=3tant)  −1 − 12

√1− x2dx (HD:

x=sint)

4

4

2

16 x dx 

( HD: x=4sint) 1

x2√4 − x2dx

(HD: x=2sint) − 1

1

2+2 x +x2dx

(HD:đặt

x+1=tant)

3 2 1 ( 0) a dx a

a  x 



(HD: x=asint) sin 4 1 sin x dx x   

(x  t) Bài 6: Tính tích phân sau đây: ( Tổng hợp)

1

1− x¿2009dx

x¿



0

¿ (t=1-x)



0

x√2 x+3 dx

(t 2x3)   1dx x x (t  x 1)



0

x3√1 − x2dx

2 (t 1 x )

5 

0 π 6

cos x√1+3 sin x dx (t 1 3sin ) x 

1 e

1+ln x

x dx (t=lnx) 1 e

√2+3 ln x

x dx (t  2 3ln ) x 1 e

√1+3 ln x

x ln x dx (t 1 3ln ) x

9 0

x

√5 x +1dx (t 5x1) 10 0

x +1

√3 x +1dx

3

(t 3x1)

11   1 dx e e x x (t ex 1)

  12 ln8 ln 1 x e  dx

 (t ex 1)

  ` 13 

1 π 4

etan x+2

cos2x dx (t=tanx+2)

1) Công thức tổng quát :   b b b a a a

uv dx  uv  vu dx

  hay   b b b a a a

udv uv  vdu

 

(1) 2) Các bước thực hiện:

 Bước 1:

( ) ( ) ( )

Đặt

( ) ( ) (nguyên hàm)

u u x du u x dx Đạohàm

dv v x dx v v x

            

 Bước 2: Thế vào cơng thức (1)

 Bước 3: Tính  

b a

uv

và suy nghĩ tìm cách tính tiếp b a

vdu



(tích phân tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy toán cụ thể mà ta phải xem xét)

3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần:

Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau:

a) Dạng 1:

   

b a

p x q x dx



Trong p x  là hàm số đa thức, q x  hàm sin ( ) x cos ( ) x  Trong trường hợp ta đặt:

   

u p x dv q x dx

 

    Ghi nhớ :

Trong trường hợp đặt ngược lại vào công thức ta

b

a

vdu



phức tạp

b

a

udv



ban đầu

b). Dạng 2:

   .

b

a

p x q x dx



Trong p x là hàm số đa thức, q x là hàm logarit.  Trong trường hợp ta đặt:

   

u q x dv p x dx

 

  

Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó khăn suy v từ dv 4) Bài tập:

Bài 1: Tính tích phân sau đây:

a

 

0

2x 1 sinxdx







b  

2

2 cos

x x xdx

   c cos x xdx   d 0cos xdx x   e   2 1 x

x e dx  f x x dx e   g (x ) xdx





h  

1

2

x x e dx 

Bài 2: Tính tích phân sau đây:

a

 

3

3x 1 lnxdx  b   1 ln

x x dx  c ln e xdx 

d  

1

2

1 ln

x x  dx





0 π

(x+2)sin xdx 

0 π

(1− x)cos xdx 

0 π

x sin3 xdx  − π π

(x+1)cosx

2dx



0

x e2 xdx



0

(x2−3 x +1)e2dx  π

❑excosxdx 

0 π

sin x e2 xdx



1 e

ln xdx 10.



0

ln(x+3)dx

11 1 e

ln xdx

12 − 1

ln(1 −3 x )dx

13

ln x¿2dx ¿



1 e

¿ 14 1 e

x (2 −ln x)dx

15  π x +1 cos2x dx

16  π π

❑esin

2

x

sin xdx

17

ln x¿2dx

x3

¿



1 e

¿ 18



0

❑cos√x dx

19

x+1¿2 ¿ ¿ ln x ¿  e e

¿ 20



0

exdx

§5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính tích phân sau đây:

a   2 1 cos sin x dx x     b

 

2

1

lnx x e dxx

x 



c

 

2 cot sin sin

g x x dx

x     d 2

3cosx x sinxdx

          e 1 sin cos cos x xdx x    f 1

2 x xdx

x e         

g

2 2 cos cos sin x xdx x           h ln

x x  dx



§6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:

1) Diện tích hình phẳng giới hạn : C1 :y f x   ; C2:y g x x a x b  ;  ; 

(trong hai đường thẳng x a x b ;  thiếu hai). a). Công thức:    

b a

Sf x g x dx

(2) b). Các bước thực hiện:

 Bước1: Nếu hai đường x a x b ,  đề cho thiếu hai giải phương trình

   

f x g x (PTHĐGĐ  C1 và C2 để tìm.

 Bước 2: Áp dụng công thức (2)

 Bước 3: Rút gọn biểu thức f x  g x , sau xét dấu hiệu

 Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

c). Chú ý: Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ,  C1 nằm C2thì hiệu

   

f x  g x  ,  C1 nằm C2thì hiệu f x  g x 0.

 Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích cơng thức (2)

 Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng diện tích tất hình nhỏ 3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox:

 C y f x Ox x a x b:   ; ;  ;  (trong hai đường thẳng x a x b ;  thiếu hai). a) Công thức:

 

b a

Vf x  dx

(3) b) Các bước thực hiện:

 Bước 1: Nếu hai đường x a x b ,  đề cho thiếu hai giải phương trình

 

f x  (PTHĐGĐ  C trục Ox) để tìm.

 Bước 2: Áp dụng công thức (3) 4) Bài tập:

ÁP Dụng 01:

Bài i Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:

1 y x 1,y0,x0,x3 2.y x 23x 4,y0,x1,x3

3 5 4 , 0, 1, 3

y x  x  x y x x 4

3

sin , 0, 0,

2 y x y x x 

5

x

os , 0, ,

2 2

y c y x  x

6 y e 2x1,y0,x0,x1

7

2 2

, 0, 0,

x

y xe  y x x

8

1

ln , 0, ,

y x y x x e

e

   

9

2

sin cos , 0, 0,

2

y x x y x x

10 y x 2ln ,x y0,x1,x e Bài 2i Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:

1.y x 2 x y,  4 ,x x0,x3 yx x y2,   2 0

3 y x 2 x 5,yx23x7 y(x1)(x2)(x 3),y0 y e y x, 1,x2 (C): y x 2 2x2 tiếp tuyến (C) qua

3 ( , 1)

2

A 

7 (C):y x 33x2 6x2 tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ 1; ysin ,x ycos ,x x0,x 

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  

2 6 5

2 1

: x x

C y

x

 



 trục Ox. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong    

2

3 :

C y x x 

trục Ox Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  

4

:

C y x  x trục Ox.

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  C y x:   3x1 đường thẳng d y : 3

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  

2 2 2

1

: x x

C y

x

 



Bài 6: Cho đường cong  

3 3 4 :

C y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến d  C tại gốc tọa độ O Từ tính diện tích hình phẳng giới hạn  C d

Bài 7: Cho parabol  P y x:  2 6x5

a Viết phương trình tiếp tuyến  P giao điểm  P với trục Ox b Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P tiếp tuyến nói câu a

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  C y:  x ; d y:  2 x trục Ox Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol  

2 4 :

P y  x đường thẳng d y: 2x 4.

Bài 10: Cho parabol  

2 4

:

P y  x

a Viết phương trình tiếp tuyến  P điểm tung độ

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  P , trục Ox tiếp tuyến nói câu a Bài 11: Cho đường cong  

2

1

: x

C y x

 

 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường:  C Ox Oy; ; Tính thể

tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox Bài 12: Cho đường cong  

4

:

C y x  x Gọi (H) hình phẳng giới hạn bởi C và trục Ox Tính thể tích

của hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 13 Tính thể tich vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D tạo đường sau quay xung quanh trục Ox. y3x x y 2, 0 y x y 2, 3x y x 31,y0,x0,x1

4

5 ,

y x y

x

  

5.y sin ,x y 0,x 0,x 2 

   

6.y xe y x, 0,x0,x1 y xln ,x y0,x1,x e

4

cos sin , 0, 0,

2

y x x y x x

A

HỆ THỐNG LÝ THUYẾT : LŨY THỪA

an=a a a ( n thừa số)

a0=1 a− n

= 1 an am+n=am an am −n

=a m an

a b¿n=an bn

¿

(a b)

n =a

n bn

¿

an¿m=am n ¿

a m n

=√nam

¿

¿ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

af (x)=ag (x)⇔{f (x )=g(x )0<a ≠1 ∨{D a=1 f (x )∩ Dg(x ) af (x)>ag(x )⇔{ a>0

a>1 af (x)>ag(x)⇔ f (x )>g (x) 0<a<1 af (x)>ag( x)⇔ f (x)<g (x) LOGARIT

logaN =M⇔ a M

=N ( a, N > , a ≠ ) logaaN=N

loga1=0 logaa=1 alogaN

=N logaN1 N2=logaN1+logaN2

loga N1 N2

=logaN1−logaN2 logaN =logbN

logba ⋅ logba logaN =logbN logaN = 1

logNa logakN =

1

k logaN ⋅ logaN k

=k logaN

a>1 logaf (x)>logag(x )⇔ f ( x)>g(x )>0 0<a<1 logaf (x)>logag(x )⇔0<f (x)<g (x)

logaf (x)=logag (x)⇔{

0<a ≠ 1 f (x)>0 ( g(x )>0 )

f (x)=g (x)

logaf (x)>logag(x )⇔{

0<a ≠1 f (x)>0 g(x )>0 (a-1)[ f (x)-g(x)]>0 BÀI TẬP CƠ BẢN:

Bài Lũy thừa với số hữu tỉ

1.Tính

a)

1

3

-0,25 1 1

A = 625

27 32

 

   

    

    b)

2

1 3

6

4 1

0, 0001 64

125 B           

2.Rút gọn biểu thức

 

3 1

2 2

1

2

( ) 2

x y x y x y y

A

x y

x y x y

              1 1 2 4

3 1 1

4 4

: ( )

a b a b

B a b

a a b a b

                

3 3

4 4

1

2

a b a b

C ab a b                 

3 1

2 2

1

2

.

a b a b

D ab a b a b                          

3.Rút gọn biểu thức

4 4 1 . 1 1

a a a

A a a a a       1 3 2 3 3 :

a b a b

B ab

a b a b

1

3 3

1

3 3

a a a a

C

a a a a

       

1 1 1

3 3 3

6

3

. . . .

a b a b a b b a

D a b a a                   

1+ a2

¿−1 ¿

¿ a

− 3 1− a− 2 a√2

¿

E=¿

4.Tính giá trị biểu thức

7 3 7 3

A     B 310 3 310 3 39 80 39 80

C     D  3 2 37 2

Bài Lũy thừa với số mũ thực

1.Tính giá trị biểu thức

a)A23 1 .8 2 b)

2 2 1

2 .0, 25 .

16

B    

 

  c)  

18

3

0, 2 .125 5 .(0,04)

C   

 2.Rút gọn biểu thức

5 2 23 : 2

5 5 5

A  

 

3 3 3 . 1 . a a B a a                2

3

3

6 . 1 a a a C b b                        

3.Giải phương trình

a)x8 8x4 9 0 b)x10 3x5 4 0

c) x x 2 d) x144 x 1 0 e) x 36 x 2 0 4.Giải bất phương trình

a)x 4 5 b)x 5 6 c) x 10 3 d) x 9 3 Bài lôgarit

1.Tính lơgarít

a)log 273 b)

log 3

c)

1

1 log

81

d)16log2 e) log 1 25      

2.Tính lơgarít

a)loga2 a

b) log a a

c)

1 1 log

a a d)aloga 5 e)

1 log 1 a a       3.Rút gọn

a) 3 27

1 log log 3log

16 81

A   b) 5 2008

1

log 2log 3log 5

B   c)

11

log log 3log 16

1 a a

a C a         

4.Cho a log 52 , b log 32 .Tính log 452

5.Cho a log 53 , b log 32 .Tính log 1003

6.Cho 12 log 3 a 

, b log 52 .Tính log2 0,3

7.Chứng minh đẳng thức

a) a x

log log

log ( )

1 log a a a b x bx x  

 b) log 1 log log a a ab c b

c)

log .log .log

log .log log .log log .log

log

a b c

a b b c c a

abc

d d d

d d d d d d

d

  

d)

2

1 1 1 ( 1)

loga loga logak 2loga

k k

x x x x



   

Bài lôgarit thập phân logarit tự nhiên

1.Tính

a)e2ln 3 b) 1 ln

e c)log1000 d)log 0,01 e)log e3ln

f)

2

log ln10 e

Bài hàm số mũ logarit

1.Xét đồng biến nghịch biến hàm số sau tập xác định nó

a) 2 3

x y  

  b)

1 4

x y  

  c)y e x d)ylog2x e)

1 log

e

y x

f) ylogx 2.Tính đạo hàm hàm số

a)y3x2.32x3 b)y  2x1 c)

3 1

2 5 x

x y  

d)    

5

2 3 2

x x

y    

3.Tính đạo hàm hàm số

a)y e x3e2x ex1 b)

x x x x e e y e e      4.Tính đạo hàm hàm số

a)ylog2x2log (2 ) log3 x  5x b)y log 2x c)y l ogx-3log(2x-3) 5.Tính đạo hàm hàm số

a)ylnxlnx2 2ln2x 2 b)

1 ln 2 x y x  

 c)y(2 )x x d)y x x2 6.Xét biến thiên tìm cực trị hàm số

a)  

2 4 x

y x  x e

b)  

2

ln 1

y x 

7.Chứng minh ex x1

Bài Phương trình mũ logarit

1.Giải phương trình

a)

3 1

.4 0, 25 64 x x   b) 1

.0, 2 25

0,04 x x x   c) 2 1 1 . x x x x e e e    

  d)   

1

2

10 3 10 3

x x x x       

e)   

2

1

7 3 2 3

x x

x x

  

f)

1

5 8 500

x x x

 g)3 8 36 x x x

 h)5 8 100 x

x x  2.Giải phương trình

a)32x 2.3x15 0 b)5x153x 26 0 c) 33.4x 2.10x 25x 0 d)

 2 3 x 2 3x 4

e)5 6 49 20 6 2

x x

   

f)

 7 3 cosx 7 3 cosx 4 3.Giải phương trình

a)

3

3( 1)

1 12

2 6.2 1

2 2

x x

x x

   

b)  

2 7

6 0,7 7

100 x

x

x  

c)

2

sin cos

9 x 9 x 10

  d)2.4x22x6x22x 9x22x e)

2 3 3 2 6 2.25x  x 10x x 2 x x

a)4x23x2 4x26x5 42x23x7 1 b)2x25x621x2 27 5 x1 c)x 2 6log2x 2.9log2x d)

5

log log 2.15 x 3.9 x

x  

5.Giải phương trình

a)5x12x 13x b)x23log2x xlog 52

c)log (3 x1) lg (2 x1)

d)log (2 x1) lg (2 x5) e)2log5x3 x

6.Giải phương trình a) 

3

2 x 1

x 

 

b)  

1

2 4 x 1

x   

c)9x2.(x 2).3x2x 5 0 d)3.4x(3x10).2x 3 x0 7.Giải phương trình logarit

a)log 2log log (1 3log )4 3   x  1 b)log3 xlog4xlog12 x c)log xlog xlog x d) log (x x 6) 3 e)log (3x1 x5) 3

8.Giải phương trình logarit a)

1

log 10 1 log 3 log( 1)

2 x x      b) 2 log (x 1) log ( x1)

c)logcosx4.logcos2x2 1 c)

2 3

1 1

4 4

3

log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)

2 x    x  x d)log (4 x1)2 2 log 4 xlog (8 x4)3 e)

3 1

log( 8) log( 4 4) log(58 )

2

x   x  x  x

f)log (2 x23x2) log ( x27x12) log 3 

g) 

 

 

2

log

1 x

x    x

  

9.Giải phương trình logarit

a)

8

4 16

log (4 ) log

log (2 ) log (8 ) x x

x  x b) log22 x log2 x 1 1 c)log (52 1).log (2.52 2) 2

x x

   d)

1

2

log (4x  4) log (2  x 1) e)

1

6

2log (4 ) 1

1

log (3 ) log (3 )

x

x x



 

  f)x log (9 ) 32  x  g) xlog(1 ) x xlog 6 h) 3log2xxlog 23 6

i)log log4 2xlog log2 x2

10.Giải phương trình logarit

a)     

2

3

3 log log ( 2) 16

x x  x x  

b)log22 x 2(x1)log2x2x2 6x 5 0

c)  

2

9 3

2 log x log log ( 2x x 1 1)

d)(2 2)log2xx(2 2)log2x  1 x2 11.Giải phương trình logarit

a)log (3 x1) log (2 x1) 2 b)  

log 6 4 log( 2)

x x  x   x

Bài Hệ phương trình mũ logarit

A/ Giải hệ phương trình

a)

3 2 65

2 3 36

118 x y x y

xy x y

                   

 b)

2 7 12 1 6 0 x x y x y y          

 c)

2

5 2(1 )

2 2 2

3 3.3 x x y y x y y y       

 d)

1 2x 2y 1 x y  



 

 B/ Giải hệ phương trình

a)

3

2

2 2 3.2

3 1 1

x y y x

x xy x

            

 b)

5( ) 3 x y y x x y x y         

 c) 2

2 2 ( )( 2)

2

x y y x xy

x y          

 d)

2 sin sin

9 3

9 81 2

tgx y y tgx          e)

 

3 log

log ( )

2

4 2

3 3 12

xy xy

x y x y

3.Giải hệ phương trình a)

8

log log

3 16

yx x y xy       

 b)

log 2,5

4 .

log .log ( 3 ) 1

yx

y

y x x

y y x

 

 

 



 c)

2log 3 3log 1 x y x y        

 d)

2

4 4

2

4 4

log ( ) log (2 ) log ( 3 )

log ( 1) log (4 2 2 4) log 1

x y x x y

x

xy y y x

y                

 e)

32

3

4

log ( ) log ( )

x y y x

x y x y

           f) 2 2

(log log )( 1)

1 x y

e e y x xy

x y           

Bài Bất phương trình mũ logarit

1.Giải bất phương trình a) 25x 0, 22x1.625x b)

2

4 2

0,1x  x 0,1x

c)3.72x37.140x 26.202x d)107x16.101 7 x 5 0 e)

2 2

2 3

2 x  x 6x  x 3 x x

  f) 6 13 0x  x x  x  2.Giải bất phương trình

a)  6 8

2 x x 1

x  

 

b)

5

5

1log log

5 x 5.5 x c)   

3

1

10 3 10 3

x x x x        d)

2 4

3 x 8.3x x 9.9 x 0

   e)2.2x3.3x 6x1 f)

3 3 2

0 4 2 x x x     

3.Giải bất phương trình

a) 2 log 0 3 x x  

 b)  

2

.log 1 0

x x  x 

c)

2

3

3

log ( 2) log 1

2 x x     

  d)

2 0,5

log log 0

4 x x x    e)log2 xlog3x 1 log log2x 3x f)

4.Giải bất phương trình

a)

2

log 3l ogx+3 1 log 1 x x  

 b) 14

3 1 3

log (3 1).log

16 4

x

x 

 

c)log 64 log 16 32x  x2  d)

 

4 2

2 2

2

8 32

log ( ) log 9.log 4log

3 x x x             

5.Giải bất phương trình

a)log (x2 x 2) 1

b) 2 2 5 log 0 5 5 x x x  

 c)log x+1 x2 log x+12

*Một số đề thi đại học phương trình, bất phương trình,hệ phương trình mũ logarit thời gian gần đây

1.(Đề dự bị khối D năm 2007) Giải bất phương trình:

 2

2

1

2

1 1

log 2x 3x 1 log x 1

2 2

    

2.(Đề dự bị khối A năm 2007) Giải bất phương trình:

2

x

(log log x )log 2x 0 ĐS : x<1 ¿ x >2 ¿ ¿ ¿ ¿

3.(Đề dự bị khối A năm 2007) Giải phương trình : 2x

1 1

log (x 1) log x 2

log  4 2

4.(Đề dự bị khối D năm 2007) Giải phương trình: 23 x+1

−7 22 x+7 2x− 2=0 5.(Đề dự bị khối B năm 2007) Giải phương trình : log3( x −1 )2+log√3(2 x −1)=2

6 (Đề dự bị khối B năm 2007) Giải phương trình: (2 −log3x)log9 x3− 4

1 − log3x=1

7.(Đề thức khối A năm 2007) Giải bất phương trình :

   

3

3

2log 4x 3 log 2x3 2

ĐS :

8

3

3 x

  

8.(Đề thức khối B năm 2007) Giải phương trình : 2 1  2 1 2 0

x x

    

ĐS :

1 x 

9.(Đề thức khối D năm 2007)

Giải phương trình 2 

1

log 4 15.2 27 2log 0

4.2 3

x x

x

   

 ĐS :x log 32

10.(Đề dự bị khối A năm 2006) Giải bất phương trình : logx 1 2x 2 Đs : 2 3x0

11.(Đề dự bị khối A năm 2006) Giải phương trình: log 2logx  2x log 2x8 Đs :x 2

12.(Đề dự bị khối B năm 2006) Giải phương trình:

   3

1

2

2

log x log  3 x  log x 1 0

Đs :

1 17

2 x 

13.(Đề dự bị khối B năm 2006) Giải phương trình:

2

x x x x

9   10.3   1 0

   Đs :

0, 1, 2

x x x

14.(Đề dự bị khối D năm 2006)

Giải phương trình: log (33 x1) log (33 x 1  3) 6 Đs : 3

28 log 10, log

27

x x

15(Đề dự bị khối D năm 2006) Giải phương trình:

1

2(log x 1) log x log 0

4

  

Đs :

1 2,

4 x x

16.( Khối A năm 2008) Giải bất phương trình    

2

2 1

log x 2x  x logx 2x1 4

ĐS :

5

, 2

4 x x

17.(Đề khối B năm 2008) Giải bất phương trình :

2 0,7

log log 0

4

x x

x

  



 



  ĐS :

4 3

8 x x

    

  

18.(Đề thức khối D năm 2008) Giải phương trình

2

3 2

log x x 0

x

 



ĐS :

2 2 1

2 2 2

x x

   



  



Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN SỐ PHỨC * i2=−1

* 1z= z z2 *

z=a+b i=√a2+b2 *

z=a+b i⇒ z=a − b i * z=z=√a2+b2

a+b i=c +d i⇔{a=c b=d *

c+d i a+b i=

(c+d i)(a −b i) (a+b i)(a −b i) * z1+z2=z1+z2

* z1− z2=z1− z2 * z1 z2=z1 z2;(z1

z2)= z1 z2 1). α=a+b i Gọi β

căn bậc α , ta có: b ≥ : β=±(√a+√a2+b2

2 +i.√

− a+√a2+b2

2 )

b < : β=±(√a+√a2+b2

2 −i.√

− a+√a2 +b2

2 )

2).

z=r (cos ϕ+i sin ϕ)¿{

r =√a2+b2 cos ϕ=a

r sin ϕ=b r 3).

z1 z2=r1r2[cos(ϕ1+ϕ2)+i sin(ϕ1+ϕ2)]

4). z1 z2

=r1 r2

[cos (ϕ1− ϕ2)+i sin(ϕ1− ϕ2)] 5).

1 z=

1

r[cos (− ϕ)+i sin(− ϕ)] 6).

[r (cos ϕ+i sin ϕ)]n=rn(cos nϕ+i sin nϕ) [(cos ϕ+i sin ϕ)]n=(cosnϕ+i sin nϕ)

CÁC BÀI TẬP PHẦN SỐ PHỨC

Bài 1: Biểu diễn số phức sau số phức chúng mặt phẳng phức 2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i

Bài 2: Tìm số phức liên hợp với số phức biểu diễn chúng mặt phẳng phức Bài 3: Cho số phức : z = a+bi ; z' = a'+b'i Với điều kiện a,b,a',b' thì

a/ Tổng , hiệu z z' số thực ; số ảo b/ Tích , thương z z' số thực ; số ảo c/ z2 , z3 số thực ; số ảo

 

( ') '

' '

' '

( ' 0)

' '

z z z z

z z z z

z z z z

z z

z

z z

  

  



 

 

 

 

Bài 5: Thực phép tính (m,a,b >0)

a/ m

i m b/

a i a a i a



 c/

a i b i a 

Bài 6: Cho số phức z = a+bi Hỏi a,b phải thoả mãn điều kiện để a/Điểm biểu diễn cúng nằm dải đường thẳng x = -2 x = b/Điểm biểu diễn cúng nằm dải đường thẳng y = -3i y = 3i c/Điểm biểu diễn cúng nằm hình trịn tâm O, bán kính

Bài7: Phân tích thừa số phức

a/ a2 + b/ 2a2 + c/ 4a2 + 9b2 d/ 3a2 + 5b2

Bài 8: Viết dạng lượng giác số phức sau

a/ 1i 3 b/ 2i 2 c/ 3 i d/3 0i Bài 9: Viết dạng đại số số phức sau

a/ cos45oisin 45o b/ 2(cos6 isin )6

 



c/ 3 cos120 sin120 

o i o

 Bài 10: Thực phép tính

a/3 cos120 sin120 

o i o

 (cos 45oisin 45 )o

b/ 2 cos18 sin18 

o i o

 (cos72o isin 72 )o

c/5(cos 6 isin )3(cos6 4 isin )4

   

 

d/

cos85 sin85

cos40 sin 40 i i  

 

 

e/

2 2

2(cos sin )

3 3

2(cos sin )

2 2

i i

 

 





f/

2(cos45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 )

i i  

 

 

g/

5

(cos sin ) (1 3 )

3 i 3 i i

 

 

h/

2008 2008

1 z

z 

biết 1

1 z

z

 

Bài 11: Tìm vị trí điểm biểu diễn số phức a/ Có module ;

b/ Có acgumen 30o , 60o , 135o , -4

 Bài 12: Áp dụng công thức Moivre để tính

a/(cos15oisin15 )o b/  

7 2 cos30oisin 30o

c/(1i)16 d/

12

1 3

2 i 2

 



 

 

Bài 13: Tìm bậc 1.CMR: Tổng giá trị 0 Bài 14:

a/Hãy tìm bậc số phức : 3+4i ; - i ; -2 + 3i b/Hãy tìm bậc số phức : 1 i 3

c/Hãy tìm bậc số phức : -1 ; 3 i Bài 15: Hãy giải phương trình sau tập C

a/

2 1 3

1 2 i i z i i    

  b/ z  2z 1 8i c/2 z  3z 1 12i

d/

1

((2 ) 3 )( ) 0

2 i z i iz

i

    

e/

2 0

z  z 

f/ z2 z

g/

2

2 0

z  z 

h/z2z 2 4i k/

4 1 z i z i         

l/z2.sin(Re ) 0z  m/z.cos (Im ) 02 z  n/(z21)(e Rez 1) 0 o/(z2 1) tan(Im ) 0z  (Trong Rez Im z phần thực phần ảo số phức z)

Bài 17:Giải hệ phương trình sau

a/ 12 5 8 3 4 1 8 z z i z z            

 b/ 1 z z i z i z i            

 c/

1

1

1

1 1

. 1

z z z

z z z

z z z

            d/ 2 2

. 5 5

5 2

z z i

z z i

  



  

 e/

1 2 2

4 5 2

z z i

z z i

  

 

  

 g/

3

2

1 0

.( ) 1

z z z z        

Bài 18:Hãy xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thoả mãn điều kiện sau:

a/z  1 b/1 z i 2 c/2i 2z 2z1 d/ 2iz1 2 z3

Bài 19*:Cho biết 1

z a

z

 

.Tìm số phức có module lớn , module nhỏ Đáp số : Các số phức cần tìm :

2

( 4)

2 i

z a a 

2

( 4)

2 i

z a a  Bài 20:

a/Trong số z thoả mãn :2z 2 i 1 tìm số z có moidule nhỏ b/Trong số z thoả mãn : z 5i 3 tìm số z có acgumen dương nhỏ Bài 21: Hãy tính tổng S  1 z z2z3 zn1 biết

2 2 cos sin z i n n    

Bài 22: Giải phương trình sau :

a/ z z n1(n N ) b/(z a )n z n N a R an(  ,  , 0) Dạng 1: Các phép toán số phức

Câu1: Thực phép toán sau: a (2 - i) +

1 2i     

  b  

2

2 3i i

3

 

    

 

c

1

3 i 2i i

3 2

   

    

   

    d

3 1 5 3 4

i i 3 i

4 5 4 5 5

     

      

     



Câu2: Thực phÐp tÝnh sau:

a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2 c

3 3i       

C©u3: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

a i i   b 3i 5i   c

5 i d    

2 3i 4 i 2i

Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn z) tập số phức a 4 5i z i    b    

2

b

1 1

z 3 i 3 i

2 2

 

  

 

  d

3 5i

2 4i z



 

C©u5: Cho hai sè phøc z, w chøng minh: z.w =  z w

 

 



Câu6: Chứng minh số phức có mơđun viết dới dạng

x i x i 

 với x số thực mà ta phi xỏc nh

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biĨu diƠn sè phøc tháa m·n ®iỊu kiƯn cho tríc Câu1: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn sè phøc z tháa m·n:

a z 1  b z i  z 3i

C©u2: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z tháa m·n: a z + 2i lµ sè thùc b z - + i số ảo

c z z 9  d

z 3i z i

 

 lµ số thực

căn bậc hai Số phức ph ơng trình bậc hai Dạng 1: tính bậc hai số

Câu1: Tính bậc hai c¸c sè phøc sau:

a -5 b 2i c -18i d

4 i

Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai

Câu1: Giải phơng trình sau tập sè phøc

a x2 + = 0 b x2 - 3x + = 0 c x2 + 2(1 + i)x + + 2i = 0

d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e ix2 + 4x + - i = 0

g x2 + (2 - 3i)x =

Câu2: Giải phơng trình sau tËp sè phøc a 

2

z3iz2z50

b    

2

z 9 z  z 1 0

c 2z3 3z25z 3i 0

Câu3: Tìm hai số phức biết tổng tích chúng lần lợt là: a + 3i vµ -1 + 3i b 2i -4 + 4i

Câu4: Tìm phơng trình bậc hai víi hƯ sè thùc nhËn  lµm nghiƯm: a  = + 4i b  = 7 i 3

Câu5: Tìm tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện ra:

a z2 - mz + m + = ®iỊu kiƯn:

2

1 2

z z z z 1 b z2 - 3mz + 5i = 0 ®iỊu kiƯn:

3

1

z z 18 Bài tập: Câu1: Tính bậc hai cđa c¸c sè phøc sau:

a - 24i b -40 + 42i c 11 + 3i d

1

i

4

C©u2: Chøng minh r»ng:

1) NÕu x + iy bậc hai hai số phức a + bi x - yi bậc hai sè phøc a - bi

2) NÕu x + iy bậc hai số phức a + bi th×

x y

i

kk bậc hia số phức

2

a b

i

k k (k 0)

Câu3: Giải phơng trình sau tập sè phøc:

a z2 + = 0 b z2 + 2z + = 0 c z2 + 4z + 10 = 0

d z2 - 5z + = 0 e -2z2 + 3z - = 0 g 3z2 - 2z + = 0

Câu4: Giải phơng trình sau tập số phức:

a (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0

c (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0

a (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - = 0 b

2

4z i 4z i

5 6 0

z i z i

 

 

  

   

Câu6: Tìm đa thức bậc hai hệ sè thùc nhËn  lµm nghiƯm biÕt:

a)  = - 5i b  = -2 - i 3 c  = 3 i 2

C©u7: Chøng minh phơng trình az2 + bz + c = (a, b, c  R) cã nghiÖm phøc R là

nghim ca phng trỡnh ú

Câu8: Cho phơng trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0

Hãy xác định điều kiện tham số m cho phơng trình I/ Chỉ có nghiệm phức

II/ Chỉ có nghiệm thực III/ Có ba nghim phc

Câu9: Giải phơng trình sau tËp sè phøc:

a z2 + z + = 0 b z2 = z + 2

c (z + z)(z - z) = d 2z + 3z = + 3i

Câu10: Giải phơng trình sau biết chúng có nghiệm ảo z3 - iz2 - 2iz - = 0

 z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - + 4i = 0

Câu11: Giải hệ phơng trình sau tập số phức:

a

x 2y 2i x y i

  

 

  

 b 2

1 1

i

x y 2

x y 2i



   



   



c

2

x y i

x y 8 8i

  

  

  



 d

x y 4 xy 4i

 

 

  

e

2

x y i

x y 1 2i

  

  

  



 f 3

x y 1

x y 2 3i

 

  

  

 

g

2

x y 6

1 1 2

x y 5

  

 

 



 h

x y 2i

1 17

i

x y 26 26

  

  

  

 

1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

a) Tích có hướng hai vectơ ứng dụng:

1) Nếu a (a ;a ;a )



b (b ;b ;b )



2 3 1 2 3 1

a a a a a a

a, b ; ;

b b b b b b

 

   

   

 

 

2) Vectơ tích có hướng ca, b

  

vng góc vơi hai vectơ a 

b  3). a,b  a b sin(a, b)

     

4). ABC 1

S [AB,AC]

2                

5) VHộpABCDA’B’C’D’ =

6) VTứdiện ABCD =

1

[AB, AC].AD 6

  

b) Điều kiện khác:

a) a 

b 

phương

1

2

3

a kb

a, b 0 k R : a kb a kb

a kb

  

 

          

 



    

b) a 

b 

vuông góc  a.b 0  a b1 1a b2 2a b3 0  

c) Ba vectơ a, b, c   

đồng phẳng a, b c 0    

(tích hỗn tạp chúng 0) d) A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện  AB, AC, AD

                                         

không đồng phẳng e) Cho hai vectơ không phương a

 b



vectơ c 

đồng phẳng với a 

b 

 k,l R cho c ka lb 

  

f) G trọng tâm tam giác ABC

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

3

y y y

y

3

z z z

z

3

 

   

 



  



 

  



g) G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0   

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác  A,B,C ba đỉnh tam giác  [

 

AC ,

AB ] ≠ 0

 SABC =

1  

AC] , [AB

 Đường cao AH = 2 SΔ ABC BC  Shbh =

 

AC] , [AB

Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành  Chứng minh A,B,C không thẳng hàng  ABCD hbh  AB=DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện:  [ AB→ , AC→ ] AD→ ≠

 Vtd = 1

6 ¿[AB →

, AC] →

AD→ ∨¿ Đường cao AH tứ diện ABCD

V =1

3SBCD AH  AH= 3 V SBCD  Thể tích hình hoäp :

VABCD A❑B❑C❑D❑=[AB;AD].AA

❑

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc mp : ta có ad=nα  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()

H hình chiếu M đường thẳng (d)

 Viết phương trình mp qua M vng góc với (d): ta có nα=ad  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()

Dạng : Điểm đối xứng

1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp 

 Tìm hình chiếu H M mp (dạng 4.1)

 H trung điểm MM/

2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:  Tìm hình chiếu H M (d) ( dạng 4.2) H trung điểm MM’

B/.BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) a) Tính FAB,AC (OA 3CB) 

   

                       

   

   

   

   

   

   

   

b) Chứng tỏ OABC hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ S.OABC hình chóp.Tính thể tích hình chóp Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)

a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD

c) Tính góc tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác BCD

e) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A

Bài 3: Cho a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)   

   

a) Chứng tỏ ba vectơ a, b, c   

không đồng phẳng b) Chứng tỏ ba vectơ a, b, d

  

đồng phẳng, phân tích vectơ d 

theo hai vectơ a, b   c) Phân tích vectơ u 2;4;11



theo ba vectơ a, b, c   

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3). a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp

b) Tính thể tích hình hộp

c) Chứng tỏ AC’ qua trọng tâm hai tam giác A’BD B’CD’ d) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc D lên đoạn A’C

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 hình chiếu A lên ba

trục tọa độ Ox;Oy,Oz N1, N2, N3 hình chiếu A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx

a) Tìm tọa độ điểm M1, M2, M3 N1, N2, N3

b) Chứng minh N1N2  AN3

c) Gọi P,Q điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình mặt phẳng :

1). Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2≠0 phương trình tổng

qt mặt phẳng, n (A;B;C) 

là vectơ pháp tuyến

2). Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n (A;B;C)



làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =

3). Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) nhận a (a ;a ;a )



b (b ;b ;b )



làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :

2 3 1

2 3 1

a a a a a a

n a,b ; ;

b b b b b b

 

 

   

 

  

II/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng

 Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 (P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A’: B’: C’

2 (P) // (Q)  A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ (P) ≡ (Q)  A : B : C : D = A’: B’: C’: D’

Chú ý : (nói Thêm) Cho hai mặt phẳng cắt : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) là:

m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = (trong m2 + n2 ≠ 0)

III/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công thức :

0 0

0 2 2 2

Ax By Cz D

d(M , )

A B C

  

 

 

IV/ Góc gữa hai mặt phẳng

Gọi φ góc hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’=

Ta có :

P Q

P Q 2 2 2 2 2 2

P Q

n n A.A' B.B' C.C '

cos cos(n , n )

n n A B C A ' B' C'

 

   

   

                             

 

(00≤φ≤900)

1).

0

P Q

90 n n

    

 hai mặt phẳng vng góc

2) Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y song song Oy, khơng có biến z song song Oz

CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm A,B,C : ° Cặp vtcp:AB ,AC °

α

¿⟨ qua A(hay B hay C)

⟨ vtpt n=[AB→ , AC→ ]

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : °

α

¿

¿⟨ qua M trung điểm AB

⟨ vtpt ❑n =AB

→

Dạng 3: Mặt phẳng  qua M  d (hoặc AB)

°

α

¿

¿ ⟨ qua M

⟨ Vì α ⊥(d ) nên vtpt ❑n=a

→

d (AB) Daïng 4: Mp qua M vaø //  : Ax + By + Cz + D = 0

°

α

¿ ⟨ qua M

⟨ Vì α // β nên vtpt nα=nβ Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/ )

Mp song song (d/) neân a

d❑=bα

■ Vtpt n=[ad, ad❑]

Dạng Mp  qua M,N  : ■ Mp qua M,N neân MN=a

α ■ Mp  mp neân nβ=bα

°

α

¿ ⟨ qua M(hay N)

⟨ vtpt n=[MN→ , nβ]

Dạng Mp  chứa (d) qua ■ Mp chứa d nên ad=aα

■ Mp ñi qua M∈(d ) và A nên AM=bα

°

α

¿ ⟨ qua A

⟨ vtpt n=[a→d,AM]

(Cách 2: sử dụng chùm mp)

B/ BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC

c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB song song với CD

d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)

Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x – 2y – 2z + = 0. a) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc

b) Viết phương trình tham số đường thẳng () giao tuyến hai mặt phẳng c) Chứng minh đường thẳng () cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm

d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC e) Chứng tỏ điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ tính thể tích tứ diện OABC Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = 0.

a) Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ song song với mp (P)

b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với mặt mp(P)

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993)

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + = (Q): 2x – z = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc chúng

b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) qua A(-1;2;3) c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Oy d) Lập phương trình mặt phẳng () qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q) Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = điểm M(2;1;-1)

a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P)

c) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song Ox hợp với mặt phẳng (P) góc 450.

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – = (Q): mx – 6y – z + = 0.

A Xác định giá trị k m để hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau,lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng

B Trong trường hợp k = m = gọi (d) giao tuyến (P) (Q) tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)

3 ĐƯỜNG THẲNG A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

a) Phương trình đường thẳng :

a Phương trình tổng quát đường thẳng :

Ax By Cz D A 'x B' y C'z D'

   

 

   

b Phương trình ttham số đường thẳng :

0

0

0

x x a t

y y a t (t R)

z z a t

           

Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a )



là vectơ phương đường thẳng

c Phương trình tắc đuờng thẳng :

0 0

1

x x y y z z

a a a

  

 

Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a )



vectơ phương đường thẳng b) Vị Trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:

a) Vị trí tương đối hai đường thẳng : Cho hai đ.thẳng () qua M có VTCP a



và (’) qua M’ có VTCP a '



a () chéo (’)  a,a ' MM ' 0 

                           

b () cắt (’)  a,a ' MM ' 0                             

với a,a '                              

c () // (’) 

[a,a ']=0 M '                                    

d () ≡ (’) 

[a,a ']=0 M '          

b) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:

Cho đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a )



và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = có VTPT n (A;B;C)



a () cắt (α)  a.n 0  

b () // (α) 

a.n 0 M ( )

         

c () nằm mp(α) 

a.n 0 M ( )

         

c) Khoảng cách :

1 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a

                                 

[M M,a] S

d(M, )

c.đáy a

2 Khoảng cách hai đường chéo :() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a



, (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '

                                

  hoäp

đáy

[a,a'].MM' V d( , ')

S [a,a']

d) Góc :

() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a )



Và (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a (a ' ;a ' ;a ' )



1 2 3

2 2 2

1 3

a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos(a,a ')

a a ' a a a a ' a ' a '

 

   

   

    

  II/. Góc đường thẳng mặt phẳng :

() qua M0có VTCP a (a ;a ;a )



, mp(α) có VTPT n (A;B;C) 

.Gọi φ góc hợp () mp(α)

1

2 2 2

1

Aa +Ba +Ca sin cos(a,n)

A B C a a a

  

   

 

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: : Đường thẳng (d) qua A,B (d ){quaA¿(hayB)

Vtcp ad=AB

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A song song ( )

(d )

¿ ⟨ qua A

⟨ Vì (d ) // ( Δ) nên vtcp ad=aΔ Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vng góc mp



(d )

¿

¿ ⟨ qua A

⟨ Vì (d )⊥(α) nên vtcp ad=nα

Dạng4: PT d’ hình chiếu d lên  : d / =  

 Viết pt mp chứa (d) vuông góc mp

(β){

quaM∈(d ) (β)⊃(d )⇒ ad=aβ

(β)⊥(α)⇒ nα=bβ ⇒ nβ=[ad; nα]

ª

(d❑

){(α) (β )

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A vng góc (d1),

(d2)

(d)

¿ ¿

⟨ qua A  ad1, \{ a ⟨ vtcp a=[¿¿d2]

¿ ¿

Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 : + Tìm ad = [ a d1, a d2]

+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)  d =   

Dạng 7: PT qua A d cắt d1,d2 : d =    với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Dạng 8: PT d //  cắt d1,d2 : d = 1   2 với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

Dạng 9: PT d qua A  d 1, cắt d2 : d = AB với mp qua A,  d1 ; B = d2  

Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =   với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

B/ BÀI TẬP: Bài 1:

a) Viết phương trình tham số tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) B(4;1;2)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)

c) Viết phương trình tham số tắc đuờng thẳng có phương trình

2 4 0

2 2 0

x y z

x y z

   

 

   



Bài : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) đường thẳng () có phương trình

4

3

x y z

x z

   

 

  



a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A,B,C

c) Chứng tỏ điểm M đường thẳng () thỏa mãn AM  BC, BM  AC, CM  AB

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) D là đỉnh đối diện với O

a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D) b) Viết phương trình đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (A,B,D) c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D) (TNPT năm 1999)

Bài 4: Cho hai đường thẳng:

x t x 2z

( ) : ( ') : y t

y

z 2t   

  

 

     

 

  



a) Chứng minh hai đường thẳng () (’) khơng cắt vng góc b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ()và (’)

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua () vng góc với (’) d) Viết phương trình đường vng góc chung ()và (’)

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3). a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB

b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB

c) Lập phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6). a) Tính góc tạo cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)

e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB

Bài 7: Cho đường thẳng

2x y z 0 ( ) :

2x z 0

   



 

  

 mp (P) : x + y + z – = 0 a) Tính góc đường thẳng mặt phẳng

b) Tìm tọa độ giao điểm () (P)

c) Viết phương trình hình chiếu vng góc () mp(P)

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () (’) có phương trình:

2x y 3x y z

;

x y z 2x y

      

 

 

      

  .

a) Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm

b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua hai đường thẳng () (’) c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc cắt hai đường () (’)

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) đường thẳng

x t

y 2t

z 3t

   

 



  



a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C Chứng minh (α) () vng góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H chúng

b) Chuyển phương trình () dạng tổng quát Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến () c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (), biết (d) () cắt

(Đề HK2 2005)

4 MẶT CẦU A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1). Phương trình mặt cầu:

2) Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2–D>0 phương trình mặt cầu tâm

I(-A;-B;-C), bán kính R  A2B2C2 D

2). Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R mặt phẳng (P):

Ax+By+Cz+D=0

 Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung  Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc

 Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình :

x a2 x a2 x a2 R2

Ax By Cz D 0

      

 

   

 

o Bán kính đường tròn

2

r R  d(I,(P)) .

o Tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P)

CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Mặt cầu tâm I qua A

ª S (I,R ):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB  Tâm I trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp 

Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Duøng (2) S (I,R ): x2

+y2+z2−2ax −2by − 2cz+d =0 A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d

Dạng 6:Mặt cầu qua A,B,C tâm I € (α) S (I,R ): x2

+y2+z2−2ax −2by − 2cz+d =0 (2) A,B,C  mc(S): tọa tọa A,B,C vào (2)

I(a,b,c) (α): a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A Dạng 9: Mặt phẳng  tiếp xúc (S) // đt a,b :

α ⟨ n=[a , \{ b]

¿⟨ pt: Ax+By +Cz+D=0⟨ từ d (I,α )=R ⇒ D Dạng 10: Mp chứa  tiếp xúc mc(S )

α

¿⟨ thuộc chùm mp chứa Δ

⟨ R = d (I,α)⇒ m,n B/ BÀI TẬP:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = hai điểm M(1;1;1)

N(2;-1;5)

a) Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình đường thẳng MN

c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = tiếp xúc mặt cầu(S)

d) Tìm tọa độ giao điểm mặt cầu (S) đường thẳng MN Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao điểm

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện

b) Tính thể tích tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tọa độ tâm bán kính e) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A,B,C Hãy tìm tâm bán kính đường trịn (S)

¿

⟨ Pt mặt cầu tâm I

⟨ R = d(I,α)=A xI+B yI+C zI+D √A2+B2+C2

Daïng 4: Mặt cầu tâm I tiếp xúc (  )

(S )

¿ ⟨ taâm I

⟨ R = d(I, Δ)

Tiếp diện  mc(S) A :  qua A, vtpt \{ n=IA→

Dạng 8: Mặt phẳng  tiếp xúc (S)  

+ Viết pt mp vuông góc  :



Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z

+ =

a) Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S)

b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác định bán kính R tọa độ tâm H đường tròn (C)

Bài 4: Trong không gian cho (P): x + 2y – z + = điểm I(1;2;-2) đường thẳng

x 2y 0 (d) :

y z 0

  

 

  

 .

a) Tìm giao điểm (d) (P) Tính góc (d) (P)

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) I

d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm (P) cắt (d) vng góc (d) (Thi HK2, 2002-2003)

Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2). a)_Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng

b)_Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Tìm phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’, B, C, D

c)_Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A’

(TN THPT 2003-2004)

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) C(1/3; 1/3;1/3)

a)_Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính R  2 với mặt phẳng(P)

b)_Viết phương trình tổng quát đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng(P) Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – = mp(P) cắt trục tọa độ A, B, C

a)_Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với mặt tọa độ Tìm tọa độ giao điểm D

(d):

2

2

x y x y z

  

 

   

 với mp(Oxy) Tính thể tích tứ diện ABCD.

b)_Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ACD Xác định tâm bán kính đường trịn

(TN THPT 2001-2002)

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm A, B, C, D có tọa độ xác định : A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k            . a)_ Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b)_Viết phương trình tham số đường (d) vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc (d) mặt phẳng (ABD)

c)_Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) (S) song song với mặt phẳng (ABD)

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x + y + z – = a)_Viết pt mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P)

b)_Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC

d)_Cho D(0;3;0).Chứng tỏ DC song song với mp(P) từ tính khoảng cách đường thẳng DC mặt phẳng (P)

Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).

a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC)

c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I vng góc mặt phẳng(ABC) d) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0

b)-Gọi A, B, C giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) mặt cầu (S) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tính tọa độ A, B, C viết phương trình mặt phẳng (ABC)

5 GIẢI TỐN BẰNG HHGT

GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ_ DÙNG TRONG LUYỆN THI ĐH I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan

(có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :

 Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)  Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương , thẳng

hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

 Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng  Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán

Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng

 Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện

 Chứng minh quan hệ song song , vuông góc  Bài tốn cực trị, quỹ tích

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin góc ϕ

giữa mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S'=S cos ϕ

2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S

Ta có:

VS A'B'C'

VS ABC = SA' SA .

SB' SB .

SC' SC Ta thường gặp dạng sau

1 Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng

Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] = Þ zM =

Tương tự Þ M(1; 2; 3) pt(ABC):

x y z 1

a+ + =b c

1 2 3

M (ABC) 1

a b c

ẻ ị + + =

(1)

O.ABC 1

V abc

6 =

(2)

3

1 2 3 1 3

(1) 1 3 .

a b c a b c

Þ = + + ³

1

abc 27

6

Þ ³

(2)

1 2 3 1

V 27

a b c 3

Þ = Û = = =

Ví dụ:

1) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c

Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S abc a b c   

(Dự bị – Đại học khối D – 2003) Giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

       

    

 

 

     

     

     



   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

2 2 2 BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc

1 1

S BC,BD a b a c b c

2 2

ñpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c)

Theo BĐT Cauchy ta : a b +b c 2ab c

b c +c a

 

      



  

2 2 2 2

2 2 2

2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)

c a a b 2ca b

b Dạng khác

Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy DABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M

Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]

z

y

x

A

B

C

Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0)

mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy

[H, SB, C] = ( IH, IK) uur uur

(1) SBuur = - -( 1; 3; 4), SCuur =(0; 3; 4)- suy ra:

ptts SB:

x 1 t

y 3 3t

z 4t

ìï = -ïï

ïï = -íï

ïï =

ïïỵ , SC:

x 0

y 3 3t

z 4t

ìï = ïï

ïï = -íï

ïï = ïïỵ

và (P): x + 3y – 4z – =

( 5 15 3) ( 51 32)

I ; ; , K 0; ;

8 8 2 25 25

Þ

IH.IK cos[H, SB, C]

IH.IK

Þ =

uur uur = …

Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K.

Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vng góc với (SBC)

Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O

trọng tâm DABC Gọi I trung điểm BC, ta có:

3 a 3

AI BC

2 2

= =

a 3 a 3

OA , OI

3 6

Þ = =

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h),

a 3

A ; 0; 0

3

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

a 3

I ; 0; 0

6

ỉ ư÷

ỗ

ị ỗỗố- ữữứ

,

a a

B ; ; 0

6 2

ổ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗố ø,

a 3 a

C ; ; 0

6 2

ổ ửữ

ỗ- - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ,

a a h

M ; ;

12 4 2

ổ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

v

a 3 a h

N ; ;

12 4 2

ổ ửữ

ỗ- - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ.

2

(AMN) ah 5a 3

n AM, AN ; 0;

4 24

ổ ử

ộ ự ỗ ữ

ị = ờở ỳỷ ố=ỗỗ ữữ

ứ uuur uuur

r

,

2

(SBC) a 3

n SB, SC ah; 0;

6

ỉ ư÷

ộ ự ỗ

= ờở ỳỷ ỗố= -ỗ ÷÷

ø uur uur

r

2

2

(AMN) (SBC) 5a AMN 1 a 10

(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN

12 D 2 é ù 16

^ Þ r r = Þ = Þ = êëuuur uuurúû=

2 Hình chóp tứ giác

b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b DSAD cạnh a vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:

H(0; 0; 0), ( ) ( )

a a

A ; 0; , B ; b; 0

2 2 ( ) ( )

a a a 3

, C ; b; , D ; 0; , S 0; 0; .

2 2 2

ổ ửữ

ỗ

- - ỗỗố ÷÷ø

3 Hình lăng trụ đứng

Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dng trờn

Vớ d: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD)

B O'

O A

B'

A'

C C'

D D' z

x

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

sao cho O º A; B  Ox; D  Oy A'  Oz Giả sử hình lập phơng ABCD A'B'C'D' có cạnh a đơn vị

 A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn mặt ph¼ng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a =

Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vuông góc (A'BC)

2 Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

D

A C

B

z

x

y

Nhấn mạnh cho học sinh:

II Phơng pháp giải:

gii mt tốn hình học khơng gian phơng pháp sử dụng tọa độ Đề không gian ta làm nh sau:

* B

ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết. * B

ớc 2: Chuyển hẳn tốn sang hình học giải tích khơng gian Bằng cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định

Lêi gi¶i:

+ Chän hƯ trơc Oxyz cho A º O D Ox; C  Oy vµ B  Oz

A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Phơng trình đoạn chắn (BCD) là:

1 4 43

x y z

+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết cần chứng minh

+ Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm cực trị + Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích

v.v… III Lun tËp

Bài 1: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm SO.

1 Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC H chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH qua trọng tâm G SAC

Lêi gi¶i:

Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy

Tọa độ điểm:

3 ( ;0;0) 3 A ; 3 1

( ; ;0)

6 2

 

B

;

3 1

( ; ;0)

6 2  C ; 6 (0;0 ) 3 S ; 6 (0;0; ) 6 I

Ta có: (0;1;0)



BC ;

3 1 6

( ; ; )

6 2 6

  

 IC

;

6 3

, ( ;0; )

6 6

 

    

  BC IC

Phơng trình mặt phẳng (IBC) là:

6 3 6

( 0) 0( 0) ( ) 0

6 6 6

 x  y  z 

Hay:

6

2 0

6

  z 

mà ta lại có:

3 6

( ;0; ) // (1;0; 2)

3 3                                               SA

SA SA u

Phư¬ng trình đờng thẳng SA:

3 ; 3



x t 0; 2

 

y z t.

+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:

3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 6 2 0(4) 6                   x t y y t x z

Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:

3 6 3 6

; 0; ( ;0; )

12 4 12 4

 x y z  M

;

3 6

( ;0; ) 4

12 12

    

  

SM SA SM

 M nằm đoạn SA

1 4 SM

SA

( ) 1

( ) 4

 SBCM 

SABC V

V .

2 Do G trọng tâm ASC

 SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC

 GI è (SNB)  GI SB đồng phẳng (1)

Ta lại có tọa độ G

3 1 6

( ; ; )

18 9

3 1 6

( ; ; )

18 6 18

   

 GI

3 1 6

( ; ; )

18 6 18

   

 GI

. 0 (2)

   

 

GI SB GI SB

Tõ (1) vµ (2)  GI SBH

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích MC1D

Lêi gi¶i:

1 3

( ; ; )

2 2

a a

C a

vµ D(0;a;a)

Do M di động AA1, tọa độ M (0;0;t)với t  [0;2a]

Ta cã :

1 1

, 2

   

  DC M

S DC DM

Ta có:

1 ( 3; ; )

2 2

(0; ; )

 

  





a a

DC a

DM a t a   ,  

 

DG DM 2a(t 3 ; 3(a t a a ); 3)

2 2

, ( 3 ) 3( ) 3

2

 

     

 

                         

  a

DG DM t a t a a

1

2

2

4 12 15

2

1

4 12 15

2 2 

  

  

DC M a

t at a

a

S t at a

Giá trị lớn hay nhỏ DC M1

S

tùy thuộc vào giá trị hàm số Xét f(t) = 4t2 12at + 15a2

f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a]) f'(t) = 8t – 12a

3 '( ) 0

2

   a

f t t

Lp BBT giá trị lớn cña

2 15 4  DC M

a S

khi t =0 hay Mº A

Chú ý

+ Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy

+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy

+ Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật II CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC

Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD)

Bài Cho DABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF

1 Chứng minh H trung điểm SD

2 Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE

Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB)

1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’

2 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi a b g, , góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC)

1 Chứng minh H trực tâm DABC

2 Chứng minh 2 2

1 1 1 1

.

OH = OA +OB +OC

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB

1 Tính góc j (OMN) (OAB)

2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm DANP

3 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông 2

1 1 1.

a = b +c

Bài Cho hình chóp S.ABC có DABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2,

·

(ABC),(SBC)=60 . Tính độ dài SA

2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C]

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi một. Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp

2 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC

1 Tính diện tích DMAB theo a

2 Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]

Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có DABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K

1 Chứng minh HK vng góc với CS

2 Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK)

4 Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có DABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB

1 Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD

3 Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]

Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA =a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)

2 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( )a qua AB vuông góc với SC

1 Tìm điều kiện h theo a để ( )a cắt cạnh SC K Tính diện tích DABK

3 Tính h theo a để ( )a chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng

2 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC

Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD. Tính diện tích DSBE

2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)

3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần

Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA =a 3 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA =3 2 cm Mp( )a qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K

1 Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với ( )a

3 Chứng minh HK qua trọng tâm G DSAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH

Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD

1 Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN

3 Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) Tìm điều kiện a b để

· 3

cosCMN 3 =

Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a DSAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD

1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD)

2 Mặt phẳng ( )a qua H vng góc với SC I Chứng tỏ ( )a cắt cạnh SB, SD Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO =2a 3, AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng ( )a qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B ', C', D'

1 Chứng minh DB 'C 'D'

2 Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD

Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0£ m£ a)

1 Tìm vị trí điểm M để diện tích DSBM lớn nhất, nhỏ Cho

a m

3 =

, gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B] 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG

Bài 21

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

2 Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM

Bài 22 (Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ

Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’)

3 Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0< <k a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC)

b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa

AMuuur =mAD, BNuuur uuur =mBB' (0uuur £ m£ 1). Gọi I, K trung điểm AB, C’D’. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD)

2 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

3 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp DA 'BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ

Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’

1 Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N

3 Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương

Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a,

·

BAD=60 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’

1 Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng

Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng ( )a qua B vng góc với B’C

1 Tìm điều kiện a, b, c để ( )a cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C C’) Cho ( )a cắt CC’ I

a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA= a√3 vng góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vng ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600

1) Tính MN SO

2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD)

Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH (ABCD) với SH=a

1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C

1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c

2) Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn

Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc α , β , γ Chứng minh rằng:

1) cos2α +cos2β+cos2γ=2 2) S2ΔOAB+S2ΔOBC+S2ΔOCA=SΔ ABC2

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, sa vng góc với đáy Gọi M,N hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC cho BM=a

2, DN= 3 a

4 CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với

Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD=a√6

2 , CMR hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với

Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi cho OA=a , OB= a√2 OC=c (a,c>0) Gọi D điểm đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vng góc với AM

a) Gọi E giao điểm (P) với OC , tính độ dài đọan OE

b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P)

c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P)

Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a√2 , SC⊥(ABC) , Δ ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0<t<2a)

2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi có AC=4, BD=2 tâm O.SO=1 vng góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)

Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M,N theo thứ tự trung điểm

cạnh AD,CD Lấy P∈ BB' sao cho BP=3PB' Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập

phương

Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a

1) Tính theo a khoảng cách AD' B'C.

2) Gọi M điểm chia đọan AD theo tỷ số AMMD=3 Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C).

3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C.

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N trung điểm BC DD'

1) CMR AC'⊥( A'

BD) 2) CMR MN //( A'BD)

3) Tính khoảng cách BD nà MN theo a

Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc A=600 B'O

vng góc với đáy ABCD, cho BB'=a

1) Tính góc cạnh bên đáy

2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD').

Bài 15: Cho hình vng ABCD cạnh a tâm I Trên hai tia Ax, By chiều vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y

1) Tính thể tích hình chóp ABCMN

2) CMR điều kiện cần đủ để góc MIN=900 2xy=a2

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 Cạnh bên SC (ABC) SC = Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB 1) Tính góc hai đường thẳng SM CN

2) Tính độ dài đọan vng góc chung SM CN Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh 1

1) Gọi M, N trung điểm AD, BB' Chứng minh A C MN'  .

Tính độ dài đọan MN

2) Gọi P tâm mặt CDD'C' Tính diện tích MNP.

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết

SA= a 6

2

Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đơi vng góc Gọi   ; ; góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC);(OCA) (OAB).Chứng minh :

cos cos cos  3

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a góc

BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông

1 TÓM TẮT KIẾN THỨC:  Các phép dời hình khơng gian:

 Phép tịnh tiến theo vectơ ,v T M v ( )M ' MM '  v



  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến điểm mặt phẳng (P) thành biến điểm M không thuộc (P) thành M’ cho (P) mặt phẳng trung trực MM’  Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến O thành nó, biến điểm khác O thành M’

cho O trung điểm MM’

 Phép đối xứng qua đường thẳng  phép biến hình biến điểm thuộc  thành nó, biến điểm M không thuộc  thành M’ cho  đường trung trực MM’

Chú ý: Hai đa diện gọi chúng ảnh qua phép dời hình

 Khối đa diện

2) Định nghĩa : Là khối đa diện lồi thỏa mãn hai tính chất sau + Mỗi mặt đa giác p cạnh

+ Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt

Khối đa diện gọi khối đa diện loại  p q; 

b) Các loại khối đa diện đều:Chỉ có loại khối đa diện Tứ diện loại 3;3 , Khối lập phương loại

4;3

,

khối bát diện loại 3;4 , khối mười hai mặt 5;3 , khối hai mươi mặt loại 3;5  Thể tích khối đa diện

2 Thể tích khối chóp V  Bh Thể tích khối lăng trụ V Bh

Chú ý: sử dụng cơng thức sau giải toán

' ' '

' ' '

. .

S A B C S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC

 Khối tròn xoay, mặt tròn xoay

C B

A

H A

B C

A Thể tích khối nón trịn xoay

2

1 3

V  r h

B Thể tích khối trụ trịn xoay V r h2 r l2

C Thể tích khối cầu

3

4 3

V  R

D Diện tích xung quanh mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

  

  

non ; trô 2 , m c/ 4

S rl S rl S R

Một số kết cần nhớ

Tam giác ABC: * Độ dài đường cao

AB AH=

2 .

* Diện tích:

2

AB S=

4 .

Tam ABC vuông A:

1 S= AB.AC

2 .

Hình vng ABCD: * Đường chéo AC = AB * S=AB2.

2 BÀI TẬP MẪU

Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Chứng minh trung điểm I cạnh BC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài giải:

HB.1 HB.2

a) Áp dụng công thức

1 3

V  Bh

B = a2, h = SA = a 

3 1 3

V  a

( đvtt)

BC  AB BC  SA  BC  SB   SBC vuông B, IB trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2)

Tương tự ta có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách tất đỉnh hình chóp nên I tâm mặt

cầu ngoại tiếp

Bài tập2 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B, ABa BC, a 3 Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải: Trong mp( SAC), dựng SH  AC H  SH  (ABC)

1

V B h

, B diện tích ABC, h = SH.

2

1

2

a

B AB BC

Trong tam giác SAC có AC = 2a 

2

3

a

SH a

Vậy

3

2

a V 

(đvtt)

Bài tập3 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 45o

a Tính thể tích khối chóp

b Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Giải:

a) Gọi O tâm hình vng ABCD  SO  (ABCD)

2

1 2

, ; tan 45 .

3 2

V B h B a hSOOA a



3 2 6 a V 

(đvtt) b) Áp dụng công thức Sxq  .r l r = OA, l =SA= a.

Thay vào công thức ta được:

2

2 2

.

2 2

xq

a a

S  a 

(đvdt)

Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a.

o Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

o Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ Giải:

a) Ta có V B h. , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên

2 3 4 a B 

h = AA’ = a 

3 3 4 a V 

(đvtt)

r bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC 

2 3 3

.

3 2 3

a a

r  

, l =AA’ =a

nên diện tích cần tìm la:

2

3

2

3

xq

a a

S   a 

(đvdt)

Bài tập5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a SA (ABC) Tam giác ABC vng cân B, ABa a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

c) Gọi I H trung điểm SC SB Tính thể tích khối chóp S.AIH Giải:

a)

3

1 . 3

1 2

. 2. 2 , 2

2 3

V B h

a

B S a a a h SA a V



 #ABC      

b) Gọi I trung điểm SC

SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC

BC  SA BC  Ab nên BC  SB  B thuộc mặt cầu đường kính SC Như tâm mặt cầu trung điểm I SC bán kính mặt cầu 2

SC R 

Ta có

2

2 2

2 2 2

4 4 2 2 2

AC a a a

SC SA AC a a a R a

  

      

c) Áp dụng công thức

3

1 1

. .

4 4 6

S AIH

S AIH S ACB S ACB

V SI SH a

V V

V SC SB    

Bài tập6:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Tính thể tích khối lập phương

b) Tính bán kính mặt cầu qua đỉnh lập phương

c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ D.C’D’B có Giải:

B Bài tập 1

a) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm BC.

a) V = a3 (đvtt)

b) Gọi O điểm đồng quy đường chéo AC’, DB’, A’C, BD’  O tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương

Bán kính mặt cầu

' 3

2 2

AC a

R  

a Chứng minh SA vng góc với BC.

b Tính thể tích khối chóp S.ABC S.ABI theo a ĐS: b

3

1 11

2 24

S ABI S ABC

a

V  V 

b) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết AB=a, BC a 3, SA=3a.

a Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b Gọi I trung điểm SC Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. ĐS: a

3

3

S ABC

a

V 

, b

13 a BI 

c) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính thể

tích khối chóp S.ABC. ĐS:

3

6

S ABC

a

V 

d) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy SA=AC.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS:

3

2

S ABC

a

V 

e) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy cạnh

3 SB a .

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: a

3

2

S ABC

a

V 

f) Cho hình nón trịn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a Tính diện tích xung quanh hình nón

và thể tích khối nón cho theo a. ĐS:

2

3 13

,

4

a a

Sxq  V  

g) Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC=a Tính diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ sinh hình chữ nhật nói quay quanh cạnh BC.

ĐS:

2

2

xq

S  rl a

;

2

2

tp xq

S S  Sđáy  a ; V r h2 a a22 2a3. h) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AA’=a, AB=b, AD=c Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Tính thể tích khối cầu ĐS:  

2 2 2

6

V  a b c a b c

i) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A AC=a, góc ACB 600 Đường chéo BC’ mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300.

a Tính độ dài đoạn AC’.

b Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: a AC’=3a; b V  6a3 1) Cho hình chóp S.ABCD cậnh đáy a, góc SAC 600

a) Tính thể tích khối chóp

b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

2) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA a SA vng góc đáy a) Tính thể tích khối chóp

b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh khối nón tạo

3) Cho hình nón có đường cao 12cm, bán kính đáy 16cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón

b) Tính thể tích khối nón

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

5) Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC =a đơi vng góc Gọi H trực tâm tam giác C a) Chứng minh OH  (ABC)

b) Chứng minh 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC c) Tính thể tích khối tứ diện

MỘT SỐ BÀI KHÁC

Bài 1: Cho hình nón có đường cao h Một mặt phẳng ( α) qua đỉnh S hình nón tạo với mặt đáy hình nón một

góc 600, qua hai đường sinh SA, SB hình nón cắt mặt đáy hình nón theo dây cung AB, cung AB có số

đo 600 Tính diện tích thiết diện SAB.

Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật với, , AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện IB

Bài 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O', bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB

Bài5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, Góc ABC = góc BAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA = a 2, SA  (ABCD).H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Bài 6: Cho hình cóp tam giác S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy a.Gọi M N trung điểm cạnh SB SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN ,biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)

Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD)

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a, góc SAB = α Tính thể tích hình chóp

S.ABCD theo a α

Bài 9: Hình chóp S.ABCcó SA đường cao đáy tam giác ABC vng tạiB Cho góc BSC = 450, Gọi góc

ASB = α; tìm α để góc nhị diện ( SC ) 600.

Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi O1 tâm hình vng A1B1C1D1 Tính thể tích khối

tứ diện A1B1OD

Bài 11: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy 2a, cạnh bên AA' = a 3, Gọi D, E trung điểm AB A'B'

1 Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'

2 Tính khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng (CEB')

Bài 12: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AC = b, góc C = 600.

Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc300.

a Tính độ dài đoạn AC’

b Tính thể tích khối lăng trụ

Bài 13: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB = 600,

BC = a , SA = a 3 Gọi M trung điểm cạnh SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC

Bài 14: Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác ABC vng A , góc ABC = 600, BC = a, SB vng góc với mặt

a Tính thể tích hình chóp S.ABC

b Chứng minh A, B, C, E, F thuộc mặt cầu, xác định tâm bán kính mặt cầu Bài 15 : Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng ( α ) song song với ADvà BC cắt cạnh AB, AC, CD, DB tương ứng điểm M, N, P, Q

1.Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

2.Xác định vị trí diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn

Bài 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SD = a Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABCD theo a

2 Tính cosin góc nhị diện (SAB,SAD)

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N SB, SD cho: 2

SM SN

BM DN  .

1 Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỷ số SP CP.

2 Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V hình chóp S.ABCD Bài 18: Cho hình chóp S.ABC, SA = x, BC = y, cạnh lại

1 Tính thể tích hình chóp theo x,y

2 Với x,y giá trị thể tích hình chóp lớn nhất?

Bài 19: Cho nửa đường thẳng Ax By vng góc với nhận AB = a, ( a > ) đoạn vng góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM = BN = 2a Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách đường thẳng AM BI

Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, cạnh SB vng góc với đáy (ABC) Qua B kẻ BH vng góc với SA, BK vng góc với SC Chứng minh SC vng góc với (BHK) tính diện tích tam giác BHK biết AC = a, BC = a 3vàSB a 2.

Bài 21: Cho tứ diện ABCD Lấy M nằm mặt phẳng (ABD) Các mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) cắt cạnh CA, CB, CD A', B', C' Xác định vị trí điểm M

để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

1 1 1

CMAB CMBD CMAD P

V V V

  

Bài 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = đáy ABC có cạnh 2 6 Điểm M, N trung điểm cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp S.AMN bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp

Bài 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD hình chữ nhật với:AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp

bằng a

a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

b) Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh AB, CD, SC, SD Chứng minh SN vuông góc

với mặt phẳng (MEF)

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 24: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Kí hiệu K, M, N trung điểm cạnh AB, BC, CA Gọi E điểm đối xứng O qua K I giao điểm CE với mặt phẳng (OMN)

a) Chứng minh rằng: CE vng góc với mặt phẳng (OMN) b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a

Bài 25: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD = a 6 Chứng minh mp(SAB) vng góc với mp(SAC)

Bài 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1có đáy ABC tam giác cạnh a , AA1 = a Tính cosin góc

2 mặt phẳng (ABC1) (BCA1)

Bài 28: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân với BA = BC = a , SA = a vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB AC

a) Tính cosingóc mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính cosingóc mặt phẳng (SMN) (SBC)

Bài 29: Cho hình thoi ABCD có tâm O , cạnh a AC = a Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) với SH = a

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 30: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a cạnh 2a Với M điểm cạnh AB Tìm giá trị lớn góc A'MC'

Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB = a ; AD = 2a Tam giác SAB vuông cân A M điểm cạnh AD ( M khác A B ) Mặt phẳng ( α ) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD N; P; Q

a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông

b) Đặt AM = x Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x

Bài 32: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD a) Chứng minh AO vng góc với CD

b) Gọi M trung điểm CD Tính cosingóc AC BM

Bài 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy tam giác cạnh a Cạnh AA1 = a Gọi M,N

trung điểm AB A1C1

a) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng P qua MN vng góc với MP (BCC1B1) Thiết diện hình

b) Tính diện tích thiết diện

Bài 34: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M; N trung điểm SA BC Biết góc MN mặt phẳng (ABCD) 600

a) Tính độ dài đoạn MN

b) Tính cosin góc MN mặt phẳng (SBD)

Bài 35: Trong mặt phẳng (P) , cho hình vng ABCD có cạnh a S điểm nằm đường thẳng At vng góc với mặt phẳng (P) A

Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD SA = 2a

Bài 36: Cho tứ diện ABCD có AC = 2, AB = BC = CD = DA = DB = 1 a Chứng minh tam giác ABC ADC tam giác vng b Tính diện tích tồn phần tứ diện ABCD

Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SC vng góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a Hai

điểm M, N thuộc SB SD cho = = 2

SM SN

SB SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC P Tính thể tích hình

chóp S.MANP theo a

Bài 38: Cho lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính số đo góc phẳng nhị diện [ B, A’C, D]

Bài 39: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M là

trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vng

Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABC), tam giác ABC vuông B, SA = SB = a, BC = 2a Gọi M N hình chiếu vng góc A SB SC Tính diện tích tam giác AMN theo a

Bài 41: Cho hình chóp S.ABC.Đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB = 600, BC

= a, SA = a 3

1 Tính diện tích tam giác ACD' theo a, b, c

2 Giả sử M N trung điểm AB BC Hãy tính thể tích tứ diện D'DMN theo a, b, c Bài 43: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh a Giả sử M, N, P, Q trung điểm các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'

1 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm mặt phẳng Tính chu vi tứ giác MNPQ theo a

2 Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a

Bài 44: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh a. Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng AA' BD'

2 Chứng minh đường chéo BD' vng góc với mặt phẳng (DA'C')

Bài 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ; với AA' = a, AB = b, AC = c Tính thể tích tứ diện ACB'D' theo a, b, c

Bài 46: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c

2 Giả sử A, B, C thay đổi ln có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi Hãy xác định giá trị lớn thể tích tứ diện OABC

Bài 47: Bên hình trụ trịn xoay có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường trịn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ

Bài 48: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a điểm M cạnh AB, AM = x, < x < a Xét mặt phẳng (P) qua điểm M chứa đường chéo A'C' hình vng A'B'C'D'

1 Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (P)

2 Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện tìm x để thể tích hai khối đa diện gấp đơi diện tích khối đa diện

Bài 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp

bằng a

1 Tính thể tích hình chóp S.ABCD

2 Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh AB, CD, SC, SD Chứng minh SN vng góc

với mặt phẳng ( MEF)

3 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 50: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Kí hiệu K, M, N trung điểm cạnh AB, BC, CA Gọi E điểm đối xứng O qua K I giao điểm CE với mặt phẳng (OMN)

1 Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng ( OMN) Tính diện tích tứ giác O.MIN theo a

Bài 51: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD = 600 Biết

' '

AB  BD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tính thể tích lăng trụ theo a

Bài 52: Trong mặt phẳng (P) , cho hình vng ABCD có cạnh a S điểm nằm đường thẳng At vng góc với mặt phẳng (P) A

Gọi M, N hai điểm di động cạnh CB , CD ( M € CB, N € CD ) đặt CM = m, CN = n Tìm biểu thức liên hệ m n để mặt phẳng (SMA) (SAN) tạo với góc

Bài 53: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a : Tính khoảng cách đường thẳng AD' B'C'

2 Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C)

3 Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'

Bài 54: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn C bán kính a, chiều cao 3 =

4

h a

1 Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu bên hình chóp, tiếp xúc với đáy với mặt bên hình chóp )

2 Biết thể tích khối chóp lần thể tích khối nón, tính diện tích tồn phần hình chóp Bài 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật

Lấy M, N cạnh SB, SD cho = = 2

SM SN

BM DN .

1 Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỷ số SP CP.

2 Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V hình chóp S.ABCD

Bài 56: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a góc AOB = góc AOC = 600, góc BOC = 900 Tính độ dài

các cạnh cịn lại tứ diện chứng minh tam giác ABC vng

Bài 57: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB = 600,

BC = a, SA = a 3 Gọi M trung điểm SB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC

Bài 58: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = α ba cạnh bên nghiêng đáy góc nhọn β Hãy tính thể tích hình chóp cho theo a , α, β

Bài 59: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình vng ABCD cạnh bên AA' = h Tính thể tích tứ diện BDD'C'

Bài 60: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), tam giác ABC vng B, SA = AB = a , BC = 2a Gọi M , N hình chiếu vng góc A SB SC Tính diện tích tam giác AMN theo a

Bài 61: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b AD = BC =c ( a, b , c > 0) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại a, b, c

Bài 62: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SC vng góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a Hai điểm M, N thuộc SB SD cho = = 2

SM SN

MB ND Mặt phẳng (AMN) cắt SC P Tính thể tích hình

chóp S.MANP theo a

Bài 63: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Biết góc nhọn tạo hai đường chéo AC BD 600, tam giác SAC SBD có cạnh a Tính thể tích hình chóp theo a.

Bài 64: Tính thể tích khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh 3 thiết diện qua trục tam giác

Bài 65: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Biết góc nhọn tạo hai đường chéo AC BD 600, tam giác SAC SBD có cạnh a Tính thể tích hình chóp theo.

MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP 2009 2010

đề số 1 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số yx33x21 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt x3 3x2 k 0.

Câu II ( 3,0 điểm )

a.Giải phương trình 33 4 92 2



x x

b.Cho hàm số

1 sin 

y

x Tìm nguyên hàm F(x ) hàm số , biết đồ thị hàm số F(x)

qua điểm M(6



; 0)

c.Tìm giá trị nhỏ hàm số

1

  

y x

x với x >

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp tam giác có cạnh đường cao h = Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình 1.Theo chương trình chuẩn :

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :

2

1 2

 

 



x y z

mặt phẳng (P) : 2x y z  5 0 a Chứng minh (d) cắt (P) A Tìm tọa độ điểm A

b Viết phương trình đường thẳng () qua A , nằm (P) vng góc với (d)

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường :

1 ln , ,

  

y x x x e

e trục hoành

2.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

(d ) :

2 3    

      

x t y t

z t mặt phẳng (P) : x y 2z 5

a Chứng minh (d) nằm mặt phẳng (P)

b Viết phương trình đường thẳng () nằm (P), song song với (d) cách (d) khoảng

là 14

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm bậc hai số phức z4i

đề số

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

2

1  

 x

x

y

có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(1;8) Câu II ( 3,0 điểm )

a Giải bất phương trình

2 logsin

3 1

 



b Tính tích phân : I =

0

(3 cos )

 x x dx

c.Giải phương trình x2 4x 7 0 tập số phức

Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình trụ có bán kính đáy R = , chiều cao h = Một hình vng có đỉnh nằm hai đường trịn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Tính cạnh hình vng

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P) :2x y 3z 1 (Q) : x y z   5

a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

b Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng (T) :

3x y  1 0

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x22x trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo

thành quay hình (H) quanh trục hồnh 2.Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

3

2 1

  

 

x y z

mặt phẳng (P) : x2y z  5

a Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) b Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P)

c Viết phương trình đường thẳng () hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Giải hệ phương trình sau :

2 2

4 log

log





 

 

 

 

y

y

x x đề số 3

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số yx4 2x21 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Dùng đồ thị (C ) , biện luận theo m số nghiệm thực phương trìnhx4 2x2 m0

Câu II ( 3,0 điểm )

a.Giải phương trình

log log cos cos

3 log

3 2



  

 

x x

x x

b.Tính tích phân : I =

1

0

(  ) x x e dxx

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2x33x212x2 [ 1; 2]

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với đơi với SA = 1cm,SB = SC = 2cm Xác định tân tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2;1; 1) ,B(0;2; 1) ,C(0;3;0) D(1;0;1)

a Viết phương trình đường thẳng BC

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính giá trị biểu thức P (1 )i 2(1 )i a.Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1;1) , hai đường thẳng

1 ( ) :

1



  



x y z

,

2

( ) :

1    

   

  

x t y t

z mặt phẳng (P) : y2z0

a Tìm điểm N hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng (2)

b Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng ( ) , ( )1 2 nằm mặt phẳng (P) Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm m để đồ thị hàm số

2

( ) :

1   



m

x x m C y

x với m0 cắt trục hoành hai điểm phân biệt A,B cho tuếp

tuyến với đồ thị hai điểm A,B vng góc

đề số 4.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số yx33x1 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(

14

9 ; 1) .

Câu II ( 3,0 điểm ) a.Cho hàm số

2

 

 x x

y e Giải phương trình yy2y 0

b.Tính tìch phân :

2

sin (2 sin ) 

 

 x

I dx

x

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y2sin3xcos2x4sinx1 Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O đáy đến dây cung AB đáy a , SAO 30, SAB 60

Tính độ dài đường sinh theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1

( ) :

2

 

  

 

x y z

,

( ) :

4

 

 

   

  

x t y t z

a Chứng minh đường thẳng ( )1 đường thẳng ( )2 chéo

b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )1 song song với đường thẳng (2) Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Giải phương trình x3 8 0 tập số phức

Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x y 2z 1 mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y6z 8 a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

3  

x

x

y

có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Câu II ( 3,0 điểm ) a.Giải bất phương trình

ln (1 sin )

2

2

log ( )

 

  

e x x

b.Tính tìch phân : I =

0

(1 sin ) cos

2





 x xdx

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  

x x

e y

e e đoạn [ ln ; ln 4]

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

2 ( ) :

   

    

x t d y

z t

2

( ) :

1

 

 



x y z d

a Chứng minh hai đường thẳng ( ),( )d1 d2 vng góc khơng cắt

b Viết phương trình đường vng góc chung ( ),( )d1 d2 Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tìm mơđun số phức z 1 4i(1 ) i Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2x y 2z 0

hai đường thẳng (d1 ) :

4

2

 

 



x y z

, (d2 ) :

3

2

  

 



x y z

a Chứng tỏ đường thẳng (d1) song song mặt phẳng ( ) (d2) cắt mặt phẳng ( ) b Tính khoảng cách đường thẳng (d1) (d2 )

c Viết phương trình đường thẳng () song song với mặt phẳng ( ) , cắt đường thẳng (d1) (d2 ) M N cho MN =

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm nghiệm phương trình z z2, z số phức liên hợp số phức z

đề số

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y = x 42x2 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M ( 2;0) Câu II ( 3,0 điểm )

a.Cho lg 392a , lg112b Tính lg7 lg5 theo a b b.Tính tìch phân : I =

2

1

0

( sin )

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có hàm số

1

 



x y

x

Câu III ( 1,0 điểm )

Tính tỉ số thể tích hình lập phương thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lập phương

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với đỉnh A(0;2;1) ,

B(3;1;2) , C(1;1;4)

a Viết phương trình tắc đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác b Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm C vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O gốc tọa độ

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường (C) :

1

2

 

y

x , hai đường thẳng x = , x = trục hoành Xác

định giá trị a để diện tích hình phẳng (H) lna 1.Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 4; 2) hai mặt phẳng (P1) : 2x y z  6 0 , (P2) :x2y 2z 2

a Chứng tỏ hai mặt phẳng (P1) (P2) cắt Viết phương trình tham số giao tuyến  hai mặt phằng

b Tìm điểm H hình chiếu vng góc điểm M giao tuyến 

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường (C) : y = x2 (G) : y = x Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành

đề số 7.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số yx33x2 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Cho họ đường thẳng (dm) :y mx  2m16 với m tham số Chứng minh (dm) cắt đồ thị (C)

điểm cố định I Câu II ( 3,0 điểm ) a.Giải bất phương trình

1

1

( 1) ( 1)



 

  

x

x x

b.Cho

0

( ) 2

f x dx

với f hàm số lẻ Hãy tính tích phân : I =

1

( )



f x dx

c.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có hàm số

2

4  

x x

y .

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vng góc với mặt phẳng (Q) :

0   

x y z cách điểm M(1;2;1) khoảng 2

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Cho số phức

1  



i z

2.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

1 2

1    

    

x t y t

z mặt phẳng (P) : 2x y  2z1 0

a Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm (d) , bán kính tiếp xúc (P) b Viết phương trình đường thẳng () qua M(0;1;0) , nằm (P) vng góc với

đường thẳng (d) Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai z2Bz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm 4i

đề số 8.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

2

 

x

x

y

có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Chứng minh đường thẳng (d) : y = mx  4 2m qua điểm cố định đường cong (C) m

thay đổi

Câu II ( 3,0 điểm )

a.Giải phương trình 2

1

log (2 1).log (2 2) 12

  

x x

b.Tính tích phân : I =

2 /

sin (2 sin ) 

 

x dx x

c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

2 3 1

( ) :

2

 

 

x x C y

x , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

(d) : 5x 4y 4 Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp S,ABC Gọi M điểm thuộc cạnh SA cho MS = MA Tính tỉ số thể tích hai khối chóp M.SBC M.ABC

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có đỉnh A,B,C nằm trục Ox,Oy,Oz có trọng tâm G(1;2;1) Hãy tính diện tích tam giác ABC

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường ( C ) : y = x2, (d) : y = 6  x trục hồnh Tính diện tích hình phẳng (H)

Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Biết A’(0;0;0) , B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 Gọi M,N trung điểm cạnh AB B’C’

a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với hai đường thẳng AN BD’

b Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN BD’ Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm hệ số a,b cho parabol (P) : y2x2ax b tiếp xúc với hypebol (H)

1 

y

x Tại điểm M(1;1)

đề số 9.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(

14

9 ; 1) .

Câu II ( 3,0 điểm ) a.Cho hàm số

2

 

 x x

y e Giải phương trình yy2y 0

b.Tính tích phân :

2

sin (2 sin ) 

 

 x

I dx

x

c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y2sin3xcos2x4sinx1 Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O đáy đến dây cung AB đáy a , SAO 30

, SAB 60 Tính độ dài đường sinh theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

1.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

1

( ) :

2

 

  

 

x y z

,

( ) :

4

 

 

   

  

x t y t z

a Chứng minh đường thẳng ( )1 đường thẳng ( )2 chéo

b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )1 song song với đường thẳng (2) Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Giải phương trình x3 8 0 tập số phức

2.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :x y 2z 1 mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y 6z 8 a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Biểu diễn số phức z = 1+ i dạng lượng giác

đề số 10.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị ( C m )

1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = – 2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = –

3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vng góc với

đường thẳng có phương trình  6

x y

Câu II ( 3,0 điểm )

1.Giải bất phương trình: log20,2x log0,2x 0

2.Tính tích phân

0

t anx cos 



I dx x

3.Cho hàm số y=

3

1

3x  x có đồ thị ( C ) Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn ( C ) các

đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình vng ABCD cạnh a.SA vng góc với mặt phẳng ABCD,SA= 2a a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

b.Vẽ AH vng góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm mặt cầu

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

30 hình chóp khoảng cách mặt cầu