HIỆN TƯỢNG NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN CỦA KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Họ tên: Vũ Thị Kim Liên TÊN ĐỀ TÀI: HIỆN TƢỢNG NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN CỦA KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ Hà Nội 04- 2019 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Họ tên: Vũ Thị Kim Liên TÊN ĐỀ TÀI:HIỆN TƢỢNG NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 8440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : GS TS NGUYỄN TOÀN THẮNG Hà Nội 04- 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hƣớng dẫn giáo viên hƣớng dẫn Luận văn khơng có chép tài liệu, cơng trình nghiên cứu ngƣời khác mà khơng rõ mục tài liệu tham khảo Những kết số liệu khóa luận chƣa đƣợc cơng bố dƣới hình thức Tơi hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc nhà trƣờng cam đoan Hà Nội, 04- 2019 Học viên Vũ Thị Kim Liên Lời cảm ơn Trong trình học tập làm việc Viện Vật lý, dƣới hƣớng dẫn GS TS Nguyễn Tồn Thắng, tơi học hỏi đƣợc nhiều kiến thức Vật lý, Toán học Để hoàn thành đƣợc Luận văn Thạc sĩ để trở thành ngƣời có khả độc lập nghiên cứu Khoa học, xin gửi đến ngƣời thầy hƣớng dẫn trực tiếp lời cảm ơn sâu sắc với tất tình cảm u q nhƣ lịng kính trọng Một lần xin cảm ơn thầy GS TS Nguyễn Tồn Thắng giúp đỡ tơi hồn thành nội dung luận văn Thạc Sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Vật lý tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Viện, phịng sau đại học hỗ trợ tơi hoàn thành thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin đƣợc dành tất thành học tập dâng tặng ngƣời thân gia đình mà ngày dõi theo bƣớc chân Hà Nội, 04- 2019 Học viên Vũ Thị Kim Liên Danh mục hình vẽ, đồ thị Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC……………3 Hình 1.2: Thang nhiệt độ………………………………………………… .6 Hình 1.3: Làm lạnh bốc hơi……………………………………………17 Hình 2.1: Hình tứ diện chứa điểm có lƣợng nhỏ …….…… .28 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài 2.Đối tƣợng nghiên cứu 3.Mục đích phƣơng pháp nghiên cứu đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA 1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH KHÍ NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM 1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG LASER[6, 7] 1.3.BẪY TỪ[6] 1.4 BẪY QUANG HỌC [8] 1.5 MẠNG QUANG HỌC [8, 9, 10] 15 1.6 LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI 16 CHƢƠNG 2: NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY 18 2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY 18 2.2.NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG HỆ BOSON LÝ TƢỞNG 21 2.3.NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA NGUN TỬ TRUNG HỊA KHƠNG TƢƠNG TÁC TRONG BẪY DẠNG THẾ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA [12, 13, 15, 16] 25 2.4 BEC TRONG CÁC BẪY THẤP CHIỀU [19] 29 2.5 GẦN ĐÚNG BÁN CỔ ĐIỂN THOMAS- FERMI [12, 13] 31 CHƢƠNG 3: NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA CÁC NGUYÊN TỬ TRONG MẠNG QUANG HỌC 36 3.1.MƠ HÌNH BOSE – HUBBARD 36 3.2.DỊCH CHUYỂN BOGOLIUBOV [12, 13, 18,19] 37 3.3.GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV 39 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Việc phát tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) khí lỗng ngun tử siêu lạnh vào năm 1995 nhà khoa học E.A Corvell, C.E.Wieman, W.Keterle (giải thƣởng Nobel vật lý năm 2001)[1, 2] mở kỉ nguyên vật lý hệ nhiều hạt, vật lý quang học, nguyên tử phân tử Tuy hiệu ứng BEC đƣợc S Bose A Einstein tiên đoán lý thuyết từ năm 1924 [3, 4, 5] Nhƣng phải sau 70 năm điều đƣợc khẳng định thực nghiệm Nguyên nhân phải đạt đƣợc nhiệt độ siêu thấp ( cỡ nK ) cho hệ nguyên tử trung hòa Chỉ sau kĩ thuật bẫy nguyên tử chùm laser từ trƣờng đƣợc hoàn thiện, nhƣ kĩ thuật làm lạnh nhƣ làm lạnh chùm laser, làm lạnh bốc nhiều bƣớc tập hợp nguyên tử đƣợc phát [6, 7, 8] điều kiện cần thiết để xảy BEC đƣợc bảo đảm hiệu ứng BEC đƣợc phát thực nghiệm Hơn nữa, nhà khoa học tạo nên mạng quang học, đồng thời nghiên cứu BEC tƣợng vật lý thú vị khác xảy mạng quang học [9, 10, 11] Về mặt lý thuyết tính tốn BEC áp dụng cho hệ boson lý tƣởng đƣợc thực từ lâu đƣợc trình bày giáo trình tài liệu tổng quan, sách chuyên khảo [3, 5, 12, 13] Đó kết giải tích, cho phụ thuộc tƣờng minh nhiệt độ chuyển pha vào nồng độ khối lƣợng nguyên tử, nhƣ mối liên hệ số hạt ngƣng tụ, đại lƣợng nhiệt động học phụ thuộc nhiệt độ Khi ý đến tƣơng tác hạt khơng thể nhận đƣợc kết giải tích xác trƣờng hợp tổng quát mà phải dùng gần khác [12, 13, 14] Khi nguyên tử bẫy vấn đề lại phức tạp có mặt giam cầm nguyên tử [15], có nhiều cách tiếp cận khác mặt lý thuyết hiệu ứng BEC bẫy [16, 17] Với mong muốn tìm hiểu, cập nhập số vấn đề hƣớng nghiên cứu thú vị thời này, chọn đề tài luận văn cao học là: “ Hiện tượng ngưng tụ Bose –Einstein khí nguyên tử bẫy ” 2.Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng tìm hiểu luận văn hiệu ứng BEC bẫy, cụ thể tìm hiểu nguyên lý hoạt động hai loại bẫy thông dụng nhất: bẫy từ bẫy quang nhƣ hai chế làm lạnh:bằng chùm laser bốc 3.Mục đích phƣơng pháp nghiên cứu đề tài Mục đích luận văn tổng quan số vấn đề lý thuyết BEC hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh bẫy Phƣơng pháp nghiên cứu tìm, đọc tài liệu, sử dụng kiến thức đƣợc thầy trang bị, cụ thể phƣơng pháp lý thuyếttrƣờng lƣợng tử để thu lại số kết tác giả khác cơng bố Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu,kết luận tài liệu tham khảo,cấu trúc luận văn nhƣ sau: Chƣơng 1:Bẫy làm lạnh nguyên tử trung hòa Chƣơng 2: Ngƣng tụ Bose -Einstein bẫy Chƣơng 3: Ngƣng tụ Bose -Einstein nguyên tử mạng quang học CHƢƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA Sự phát triển công nghệ laser mở giai đoạn với phƣơng pháp hiệu tiên tiến để tạo điều khiển nguyên tử siêu lạnh Một kết rực rỡ hƣớng phát triển phát hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC – Bose Einstein Condensation) khí nguyên tử loãng [3, 4, 5] chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott [11] Trong chƣơng tìm hiểu nguyên lý chung bẫy làm lạnh nguyên tử trung hòa 1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH KHÍ NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC đƣợc cho hình 1.1: Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC [13] Đầu tiên lò tạo nhiệt độ 600K để chùm nguyên tử kim loại kiềm bắn với vận tốc quãng 800 m/s Sau chùm khí ngun tử vào buồng làm chậm Zeeman để vận tốc giảm xuống 30m/s tƣơng ứng với nhiệt độ 1K(trong phần 1.2 ta nói kĩ khái niệm nhiệt độ khí lỗng) Vận tốc nguyên tử giảm buồng Zeeman ngƣời ta chiếu chùm laser ngƣợc với hƣớng chùm nguyên tử Lực xạ hấp thụ photon làm chậm lại chuyển động nguyên tử Sự hấp thụ photon xảy tần số sóng laser trùng với tần số sóng chuyển mức nguyên tử Tuy nhiên, hiệu ứng Doppler nên tần số chuyển mức phụ thuộc vào vận tốc nguyên tử mà vận tốc thay đổi nên tần số thay đổi Để trì tần số chuyển mức không đổi ngƣời ta áp dụng từ trƣờng không đồng để hiệu ứng Zeeman bù trừ hiệu ứng Doppler Sau đó, từ buồng làm chậm Zeeman nguyên tử đƣợc đƣa vào bẫy từ quang (MOT) để làm lạnh tiếp tới 100µK tƣơng tác với ánh sáng laser Sau số lớn nguyên tử bị bẫy vào MOT ( ) ngƣời ta tắt chùm laser dùng từ trƣờng để bẫy Cuối ngƣời ta tiếp tục làm lạnh tới nK cách cho khí nguyên tử bốc để nghiên cứu hiệu ứng BEC Nhƣ có hai dạng bẫy:bẫy từ trƣờng bẫy quang học hai kĩ thuật làm lạnh:làm lạnh laser làm lạnh bốc 1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG LASER[6, 7] Trong nhiệt động học, khái niệm nhiệt độ đƣợc định nghĩa nhƣ tham số hệ kín cân nhiệt với mơi trƣờng Điều mặc định có tiếp xúc nhiệt để thực trao đổi nhiệt Khi bị bẫy làm lạnh laser hệ nguyên tử thƣờng xuyên hấp thụ tán xạ ánh sáng khơng có trao đổi nhiệt (ánh sáng khơng đƣợc coi nhiệt, cho dù có lƣợng) Nhƣ hệ nguyên tử bẫy coi trạng thái dừng (steady state) nhƣng trạng thái cân nhiệt Thông thƣờng, ngƣời ta liên hệ nhiệt độ động trung bình , thí dụ cho chuyển động chiều; (1.1) Tuy nhiên cần cẩn thận áp dụng cơng thức hệ ngun tử trƣờng laser có nhiều cấp độ lƣợng với hàm phân bố lƣợng khác hẳn nhƣng cho giá trị trung bình (3.1) Vì khái niệm nhiệt độ xác định cho cấp độ lƣợng Cấp độ lƣợng cao gắn với lƣợng dịch chuyển Doppler Nếu độ rộng vạch tự nhiên nguyên tử Khối lƣợng nguyên tử M lƣợng gắn với hiệu ứng Doppler [6] 33 Thế tƣơng tác tự hợp gn( thực chất tƣơng tác hai hạt lấy gần tƣơng tác cổ điển tỉ lệ g tự hợp n( – ) U( (2.53) có ý nghĩa trƣờng phải thỏa mãn phƣơng trình tự hợp: = ∑⃗ n( Thế hóa học ⃗ thỏa mãn phƣơng trình tƣơng ứng với hệ có N hạt: ∫ ⃗ ∫ ∑ ⃗ =N Vì số hạt phải dƣơng nên suy Tại nhiệt độ chuyển pha số hạt tiến tới vô ⃗ = điểm không gian pha mà U( )= Vì nhiệt độ chuyển pha thỏa mãn phƣơng trình: ⃗⃗⃗ ∫ ⃗ ∑ ⃗ Thông thƣờng, ngƣời ta thay ∑⃗ ∫ ⃗ tính tốn Gần Thomas – Fermi đƣợc áp dụng tƣơng đối có hiệu tốn BEC bẫy Nhƣ ví dụ ta thu lại nhiệt độ chuyển pha trƣờng dao động tử điều hòa bỏ qua tƣơng tác hạt ta có: 34 V( = ( Thay vào phƣơng trình (2.56) g = 0, ∫ ⃗ ∫ = = , Ta có: ⃗ ħ Đổi biến: = =√ √ x(y, z) (2.59) Từ (2.46) thu đƣợc: ∫ Trong đó:{ (2.61) 35 Tích phân sáu lớp (2.60) lấy đƣợc đƣa tọa độ cầu không gian sáu chiều với độ dài vectơ bán kính là: ∫ f(u, v) = ∫ ∫ Diện tích mặt cầu [19]: ∫ Nên ta có tích phân dạng: ∫ = ∫ Kết ta thu lại đƣợc kết cho nhiệt độ chuyển pha cho nguyên tử trung hòa lý tƣởng bẫy dao động tử điều hòa mà phần (2.3) ta thu từ phổ lƣợng học lƣợng tử 36 CHƢƠNG 3: NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA CÁC NGUYÊN TỬ TRONG MẠNG QUANG HỌC Mạng quang học tập hợp bẫy phân bố tuần hồn khơng gian Mạng quang học chiều, hai chiều ba chiều 3.1.MƠ HÌNH BOSE – HUBBARD Mơ hình đơn giản mơ tả mạng quang học mơ hình Bose – Hubbard tƣơng tự nhƣcho electron H = - t∑ ̂ ̂ + ∑ ̂ ̂ + ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.1) Mơ hình (3.1) thu đƣợc gần vùng với tƣơng tác nhảy nút lân cận gần Các toán tử toán tử sinh hủy nguyên tử nút i mô tả hàm Wannier Kí hiệu số nút lân cận gần Các tham số nhảy nút t, lƣợng nút , tƣơng tác nút U tính đƣợc biết dạng bẫy cấu trúc hình học mạng ngun tử Ngồi tham số trên, mơ hình Bose – Hubbard tƣơng tự nhƣ mơ hình Hubbard điện tử đặc trƣng tham số lấp đầy ν Gọi tổng số nguyên tử mạng N, tổng số nút mạng Số lấp đầy ν đƣợc định nghĩa là: ν= (3.2) Điểm khác biệt so với mơ hình Hubbard điện tử khả ngƣng tụ Bose – Einstein hệ nhiệt độ siêu thấp Tƣơng ứng ngƣời ta đƣa vào tỷ phần ngƣng tụ tỷ phần hạt ngƣng tụ : 37 = Trong ; = (3.3) tƣơng ứng tổng số hạt ngƣng tụ 3.2.DỊCH CHUYỂN BOGOLIUBOV [12, 13, 18,19] Ngƣng tụ Bose – Einstein trạng thái với lƣợng thấp khác biệt hoàn tồn với trạng thái khác Vì ban đầu ngƣời ta thƣờng tách toán tử trƣờng thành tổng hai tốn tử trƣờng: ̂ Trong = + (3.4) tƣơng ứng toán tử tƣơng tác lên vectơ trạng thái , hạt (ngoài ) ngƣng tụ Tuy nhiên điều khơng thuận lợi giao hốn tử : , (r’)] [ )]khơng thỏa mãn cho hạt boson[15] Để vƣợt qua khó khăn này, Bogoliubov đề xuất thay toán tử trƣờng ̂ toán tử khác[15, 20] ̂ ( ) (3.5) Ψ(r) tốn tử cịn η( hàm Trong biểu diễn Wannier: ̂ ∑ ̂ - ) (3.6) 38 Cho nên hàm dịch chuyển η( η( Còn tốn tử √ có dạng: ∑ (3.7) ( - ) viết dƣới dạng: ∑ (3.8) - ) Dịch chuyển Bogoliubov toán tử trƣờng (3.5) tƣơng ứng với dịch chuyển Bogoliubov với toán tử hủy ̂=√ + =√ + (3.1) nhƣ sau: (3.9) Để đảm bảo trung bình tốn tử ̂ tham số trật tự ngƣng tụ Bose – Einstein :〈 ̂ 〉= √ ta suy 〈 〉= tức Hamiltonian không chứa số hạng tuyến tính theo Thay (3.9) vào (3.1) tathu đƣợc Hamiltonian cho tập hợp lớn: H= Trong đó: + (3.10) 39 = -tz N+ ν N – (µ - ) , (3.11) ∑ + (2Uν + ν √ ∑ – + )∑ ), ∑ + (3.12) ), ∑ (3.13) (3.14) Lƣu ý ta đƣa vào hóa học µ 3.3.GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV Sau thực dịch chuyển Bogoliubov Hamiltonian chứa số hạng cặp đơi, cặp ba cặp bốn toán tử Số hạng bậc khơng có ta khơng thể giải thích xác đƣợc Ta áp dụng gần đơn giản nhƣng thơng dụng gần Bogoliubov Nội dung gần bỏ qua số hạng bậc ba bậc bốn , đồng thời bỏ qua trung bình tích hai tốn tử sinh hay hai toán tử hủy Cách làm cụ thể nhƣ sau [ 19, 20]: Đầu tiên ta chuyển sang biểu diễn Bloch cho toán tử biểu diễn Wannier: √ { √ ⃗ ∑ ⃗ (3.15) ⃗ ∑ ⃗ ⃗ ⃗ 40 Véctơ ⃗ chạy vùng Brillouin thứ mạng quang học Từ công thức: ∑ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ (3.16) (3.17) Ta suy công thức cho tổng số nguyên tử : N=∑ Thay vào (3.12) sau bỏ qua H = ( -zt-µ+ + ∑⃗ =∑⃗ ⃗ ⃗ ta thu đƣợc: + ∑⃗ ̅ - µ) +4 + (3.18) Trong , cho mạng d chiều (3.18) gần lân cận gần : ̅ ⃗ = 2t∑ Với a khoảng cách hai nút mạng gần Số hạng bậc có dạng: (3.19) 41 = (- -µ+ )√ ( + (3.20) ) Cho số hạng bậc khơng dẫn tới : µ=U – zt (3.21) Trong z số lân cận gần z = 2d Hamiltonian (3.18) có dạng bậc hai khơng chéo nhƣng đƣa dạng chéo phép biến đổi Bogoliubov[19] Nội dung phép biến đổi nhƣ sau Xét Hamitonian có dạng sau: H=∑ + + ) (3.22) Vì Hamitonian phải tốn tử Hermit nên cần địi hỏi: = Biến đổi tắc Bogoliubov là: ∑ ∑ Biến đổi tắc có nghĩa giữ ngun cơng thức cho giao toán tử , nghĩa nếu: 42 [ { ] [ [ ] ] Thì [ { ] [ [ ] ] Từ (3.23) (3.24) suy : ∑ ∑ { Lúc H có dạng chéo: H=∑ Trong đó: =-∑ | + (3.27) | (3.28) Cịn lƣợng chuẩn hạt Bogolon nghiệm khơng tầm thƣờng: ∑[( ∑ { ) thu từ điều kiện hệ phƣơng trình sau có ] 43 Áp dụng cơng thức cho công thức (3.18) ta thu đƣợc : H=- u + ∑⃗ +∑ ⃗ = zt - ̅ , Trong đó: (3.31) =√ , | | = ( (3.30) (3.32) (3.33) Hàm phân bố nguyên tử ngƣng tụ là: =〈 Biểu diễn 〉 (3.34) theo (3.23) ý rằng: qua 〈 〉 = (3.35) Ta thu đƣợc từ (3.34) (3.35) biểu thức cho số nguyên tử ngƣng tụ phụ thuộc vào nhiệt độ: = ∑⃗ + ) (3.36) 44 Nhiệt độ chuyển pha thu đƣợc số hạt ngƣng tụ tổng số hạt: ) = N (3.37) Phƣơng trình (3.37) khơng giải đƣợc cách giải tích Vì thời gian khả có hạn nên em chƣa thể triển khai tính số để thu lại đƣợc kết tác giả khác công bố [20] 45 KẾT LUẬN Trong luận văn hồn thành cơng việc sau đây: Tôi đọc tổng quan tài liệu nguyên lý hoạt động bẫy nguyên tử trung hịa số phƣơng pháp làm lạnh Tơi tập trung vào phƣơng pháp bẫy: bẫy từ trƣờng, tức lực từ Zeeman từ trƣờng ngồi ⃗ khơng đồng tác dụng lên nguyên tử phƣơng pháp bẫy quang học giam cầm lực tƣơng tác điện trƣờng trƣờng tác dụng lên momen lƣỡng cực cảm ứng ngun tử trung hịa Tơi giới hạn phƣơng pháp làm lạnh laser bốc Tơi thực tính tốn giải tích thu lại phụ thuộc Tc vào nồng độ cho khí boson tự do, boson khơng tƣơng tác bẫy dao động tử điều hòa cho bẫy có tƣơng tác hạt gần Thomas- Fermi Tơi thực tính tốn giải tích nghiên cứu BEC cho hệ nguyên tử trung hòa nhƣng mạng quang học gần Bogliubov Rất tiếc thời gian hạn hẹp khả học viên hạn chế nên chƣa áp dụng kiến thức công cụ học đƣợc cho tốn cụ thể Vấn đề tìm hiểu thêm: Mơ hình Hubbard cho electron đề tài đƣợc nhiều thầy Viện Vật lý Đại học Sƣ phạm Hà Nội nghiên cứu thu đƣợc nhiều kết có giá trị khoa học Các thầy phát triển phƣơng pháp tính tốn mở rộng mơ hình Hubbard vùng cho nhiều trƣờng hợp khác Vì vậy, với giúp đỡ thầy, áp dụng cơng cụ mở rộng mơ hình Hubbard cho electron sang tốn cho mơ hình Bose-Hubbard 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO E.A Cornell and C E Wieman (2002),Nobel Lecture: Bose-Einstein condensation in a dilute gas, the first 70 years and some recent experiments, Rev Mod Phys 74, 875-893 W Ketterle (2002), Nobel lecture: When atoms behave as waves: BoseEinstein condensation and the atom laser, Rev Mod Phys 74, 1131-1151 Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Tồn Thắng, Giáo trình Vật lý hệ nhiều hạt I II (bản thảo) Trần Minh Tiến (2017), “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học Cơng nghệ, VHLKH&CN Việt Nam Nguyễn Tồn Thắng, Bài giảng “ Vật lý hệ nguyên tử siêu lạnh” C.J Foot (2005), Atomic physics, Oxford University Press H.J Metcalf and P van der Straaten (1999),Laser Cooling and Trapping, Springer, New York, 1999 R Grimm, M Weidemu ller, and Y B Ovchinnikov (2000), Optical dipole traps for neutral atoms, Molecular and Optical Physics, 42, 95 P.S Jessen and I H Deutsch (1996), Optical lattices, Adv Atom Mol Opt Phys 37, 95 10 D Jaksch, C Bruder, J Cirac, C Gardiner and P Zoller (1998) Cold bosonic atoms in optical latticesPhys Rev Lett 81, 3108 11 M Greiner, O Mandel, T Esslinger, T W Hăansch, and I Bloch (2002) Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gasof ultracold atoms, Nature 415, 39 12 L.P Pitaevskii, S Stringari (2016), Bose Einstein Condensation and superfluidity, Oxford Science 13 C.J Pethick and H Smith, (2001),Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press 47 14 M Lewenstein, A Sanpera, and V Ahufinger (2012), Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating Quantum Many-body Systems, Oxford University Press 15 A.S Parkins, D.F Walls (1998), The physics of trapped dilute-gas Bose‹Einstein condensates, Physics Reports 303, 16 F Dalfovo, S Giorgini, L P Pitaevskii, and S Stringari (1999), Theory of Bose- Einstein condensation in trapped gases, Rev Mod Phys 71, 463 17 P.W Courteille, V.S Bagnato, and V.I Yukalov (2001), Bose-Einstein condensation of trapped atomic gases,Laser Phys 11, 659 18 V.I Yukalov (2016),Theory of cold atoms: Bose-Einstein statistics, Laser Phys 26, 062001 19 V.I Yukalov (2013), Theory of cold atoms: Basics of quantum statistics,Laser Phys 23, 062001 20 D van Oosten, P van der Stratenand H Stoof Quantum phases in an optical lattice Phys, Rev A 63, 53601 (2001)