Bài giảng HSG TOÁN-HUYỆN PHONG ĐIỀN 2008-2009

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN HỌ VÀ TÊN: . SBD:……………… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian:120 phút(không kể thời gian phát đề) ------------ Câu 1: (2,0điểm) Rút gọn biểu thức: 1. 5 3 29 12 5A = − − − (1,0 điểm) 2. ( ) 2 3 2 3 3 , 0, 0, x x y y y xy y x B x y x y x y x x y y − + + − = + > > ≠ − + (1,0 điểm) Câu 2: (2,0điểm) 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1,0 điểm) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + 4. ( 1)( 3)( 4)( 6) 10 0;a a a a a− − − − + > ∀ (1,0 điểm) Câu 3 : (2,0điểm) 5. Cho biểu thức 2 1 2 1P x x x x= + − + − − xác định x để P đạt giá trị nhỏ nhất. (1,0 điểm) 6. Giải phương trình: 2 7 6 5 30x x x− = + − (0,5 điểm) 7. Giải hệ phương trình: 2 1 1 2 x y y y x  − = −  + =  (0,5 điểm) Câu 4: ( 2,0điểm) 8. Cho đường thẳng (d m ) : 2mx + (3m – 1)y – 6 = 0 a. Tìm đường thẳng ( d ) đi qua điểm A( - 1 ; - 3 ) và xác định hệ số góc của đường thẳng đó (1,0 điểm) b. Tìm điểm cố định B của (d m ) với mọi m (1,0 điểm) Câu 5: (2,0điểm) 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ). Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm) b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. (1,0 điểm) --HẾT-- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN ------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu 1: (2,0điểm) Rút gọn biểu thức: 1. (1,0điểm) ( ) 2 2 2 2 5 3 29 12 5 5 3 2 5 2.2 5.3 3 5 3 (2 5 3) 5 3 (2 5 3) 5 6 2 5 5 ( 5 1) 5 ( 5 1) 1 A = − − − = − − − + = − − − = − − − = − − = − − = − − = (1,0 điểm) Đáp số: A = 1 2. (1,0 điểm) Xét: ( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 ( ) 3 3 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3( ) 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y y x x y xy y x y x x x y y x y x x x y y x x y x y x x y x y x y x x y y − + + − + − + + = + +   − + − +   = = =   + + + − +   (0,5điểm) Xét: 3 3 3 ( ) 3 ( )( ) xy y y x y y x y x y x y x y − − = = − + − + 3 3( ) 3 3 y x y x B x y x y x y + = + = = + + + (0,5điểm) Đáp số : B = 3 Câu 2: (2,0điểm) 3. Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1,0 điểm) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + Ta có: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 0; 0 : ( )( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b a ab b ab a b a ab b ab a b a b ab a b a b a b a b ab a b ab   > > + − ≥ ⇔ + − + − ≥   ⇔ + − + − + ≥ ⇔ + − + ≥ + + ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ (0,5điểm) Tương tự ta có: 3 3 3 3 ( ) ( ) ; 2 2 2 2 b c b c c a c a bc ca + + + + ≥ ≥ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a ab bc ca a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + + ≥ + + + + + ⇔ + + ≥ + + (0,5điểm) Đáp số: Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 4. ( 1)( 3)( 4)( 6) 10 0;a a a a a− − − − + > ∀ (1,0 điểm) Ta có: [ ] [ ] ( 1)( 3)( 4)( 6) 10 ( 1)( 6) ( 3)( 4) 10a a a a a a a a− − − − + = − − − − + 2 2 ( 7 6)( 7 12) 10a a a a= − + − + + ; Đặt t = a 2 – 7a + 9 (0,5 điểm) 2 2 ( 3)( 3) 10 9) 10 1 0;t t t t t= − + + = − + = + > ∀ (0,5 điểm) Đáp số: Bất đẳng thức đã được chứng minh Câu 3 : (2,0điểm) 5. Cho biểu thức 2 1 2 1P x x x x= + − + − − xác định x để P đạt giá trị nhỏ nhất. (1,0 điểm) 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1; 1(*)P x x x x x= − + − + + − − − + ≥ 1 1 1 1x x= − + + − − Nếu 1 1 0 1 1 1 1 2x x x x− − ≤ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ (0,5 điểm) 1 1 1 1 2 1P x x x= − + + − − = − đối chiếu điều kiện (*); 2x ≥ ; ta có: 2 1P x= − Nếu 1 1 0 1 1 1 1 2x x x x− − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ Ta có: 1 1 1 1 2P x x= − + + − − = ; đối chiếu (*) ta có 1 2 2x P≤ ≤ ⇒ = Vậy ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 2 min 2 1 2P x x x x P x= − + + − − ≥ + − + − − = ⇒ = ⇔ ≤ ≤ (0,5 điểm) Đáp số: [ ] 1;2x∈ thì giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 6. Giải phương trình: 2 7 6 5 30x x x− = + − (0,5 điểm) 2 2 2 2 2 2 2 7 6 5 30 7 6 5 30 0 ( 8 16) ( 5 6 5 9) 0 4 0 4 ( 4) 0 ( 4) ( 5 3) 0 4 5 3 0 5 3 ( 5 3) 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = + − ⇔ − − + + = ⇔ − + + + − + + =   − = = − =     ⇔ − + + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    + − = + = + − =       Đáp số: Vậy tập nghiệm của phương trình { } 4S = 7. Giải hệ phương trình: 2 1 1 2 x y y y x  − = −  + =  (0,5 điểm) 4 5 3 1 3 2 1 2 1 5 1 2 1 2 1 2 3 2 1 1 3 x x y x y y y x y x y y x y x y x x y y   =       − = −     − = −   =   − =       ⇔ ⇔ ⇔ − = −     + =     =  + =      − =        =     Đáp số: Tập nghiệm của hệ phương trình: 4 3 2 1 ; , ; 5 5 3 3 S       =    ÷  ÷       Câu 4: ( 2,0điểm) 8. Cho đường thẳng (d m ) : 2mx + (3m – 1)y – 6 = 0 a. Tìm đường thẳng ( d ) đi qua điểm A( - 1 ; - 3 ) và xác định hệ số góc của đường thẳng đó (1,0 điểm) ( ) 2 ( 1) (3 1)( 3) 6 0 11 3 0 3 11 m A d m m m m ∈ ⇔ − + − − − = ⇔ − − = ⇔ = − (0,5 điểm) Khi 3 11 m = − đường thẳng 3 33 ( ) : 3 10 33 0 10 10 d x y y x+ + = ⇔ = − − (0,25 điểm) Hệ số góc của đường thẳng (d) là 3 10 k = − (0,25 điểm) Đáp số: Đường thẳng (d) cần tìm là: 3 33 10 10 y x= − − và hệ số góc 3 10 k = − b. Tìm điểm cố định B của (d m ) với mọi m (1,0 điểm) Giả sử B(x;y) là điểm cố định của họ (d m ) với mọi m 2 (3 1) 6 0, (2 3 ) 6 0, 2 3 0 9 6 0 6 mx m y m x y m y m x y x y y ⇔ + − − = ∀ ⇔ + − − = ∀  + = =  ⇔ ⇔   − − = = −   Đáp số: M(9; -6) Câu 5: (2,0điểm) 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ), Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT T D O B C A H E a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm) Ta có: ( , )DCE TCE EC chung CT CD BC∆ = ∆ = = ET ED x ⇒ = = Mà 2 2 a OA AE a x a OE OT TE x ⇒ = = − = + = + Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOE: OE 2 = OA 2 + AE 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 ( 0) 3 a a x a x a a x ax a x ax ax a a x a     ⇔ + = + −  ÷  ÷     ⇔ + + = + + − ⇔ = ⇔ = ≠ Đáp số: 3 a x = b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. (1,0 điểm) 2 2 . ( 2 ) 5 2 3 ( ) 2 2 4 4 12 3 OCE a a a x a a CT OE a a x a a S khi x ∆     + +  ÷  ÷ +     = = = = = = Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông BOC: OC 2 = OB 2 + BC 2 = 2 2 2 5 5 4 4 2 a a a a OC+ = ⇔ = 2 2 . 5 5 5 2. : 2 12 2 3 OCE OCE S EH OC a a a S EH OC ∆ ∆ = ⇔ = = = Đáp số: 2 5 5 ; 12 3 OCE a a S EH ∆ = = . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN HỌ VÀ TÊN: . SBD:……………… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN. --HẾT-- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHONG ĐIỀN ------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu 1: