Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 Trường THCS Đông Xuân

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường c[r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS ĐÔNG XUÂN ĐỀ THI HSG LỚP

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

2 100

1 1

3 3

A = + + + +

Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho:

3

a b = ;

12 21

b

c = ;

6 11

c d =

Câu 3: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50

a) Tìm hai số thuộc dãy cho ƯCLN chúng đạt giá trị lớn b) Tìm hai số thuộc dãy cho BCNN chúng đạt giá trị lớn

Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm chung

Tính số đo mổi góc biết rằng: BOC = AOB ; COD = AOB ; DOA = AOB

ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta có 3A = + 1/3 + 1/32 + + 1/399

Vậy: 3A – A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399) - (1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 Suy ra: A= (3100-1)/ 2.3100

Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giản nên tồn số tự nhiên k, l, m cho a = 3k, b = 5k, b = 4n, c = 7n, c = 6m, d = 11m

Từ đẳng thức 5k = 4n, 7k = 6m ta có 4n 7n mà (4,5) = 1; (7,6) = Nên n 5, n mặt khác (5,6) =1 n 30

để số tự nhiên a, b, c, d nhỏ phải khác 0, ta chọn n nhỏ 30 suy ra: k = 24, m = 35 Vậy a = 72, b = 120, c = 210, d = 385

Câu 3: Gọi a b hai số thuộc dãy 1, 2, 3, , 50 Giả sử a > b

a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) a – b d ta chứng minh d ≤ 25 giả sử d > 25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b >25 nên 0< a – b < 25, xảy

a – b d ; d = 25 xảy a = 50; b = 25

vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25 a) BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Ta thấy : AOB + BOC + AOD >180

vì trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB = α ta có: AOB + BOC + AOD + COD = 360  α +3α+5α+6α=3600  α = 240

Vậy:AOB = 24 ; BOC =72 ; COD = 120 ; DOA = 144 0 0

Đề số Câu (3đ):

a) So sánh: 222333 333222

b) Tìm chữ số x y để số 1x8y2 chia hết cho 36

c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28

Câu (2đ):

Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S

b) Chứng minh S 

Câu (2đ):

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28

Câu (3đ):

Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC

b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD

ĐÁP ÁN Bài (3đ):

a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ)

Suy ra: 222333 > 333222

b) Để số 1x8y2  36 ( x, y  , x, y  N )

 

 + + + + 

4

9 )

1 (



 y

y x

(0,5đ) 1;3;5;7;9

4

2  y=

y 

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 )  a => 42  a (0,5đ)

=> a = 42 (0,5đ)

Bài (2đ):

a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ)

Suy ra: 8S = 32004 - => S =

8 32004−

(0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 )

= (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 )

= 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S  (0,25đ)

Bài (2đ): Gọi số cần tìm là: a

Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) <=> 29(q - p) = 2p + 23

Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p  (0,75đ) Vì a nhỏ hay q - p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm 121 (0,25đ)

Bài (3đ):

a) theo giả thiết C nằm góc AOB nên tia OC nằm hai tia OB OA

=> góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450

b) OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù)

=> góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350

Đề số Bài 1(2đ)

a)Tính tổng S =

18 16 14

2 550 135 4500 27

+ + +

+ +

+ + +

b) So sánh: A =

1 2007

1 2006

2007 2006

+ +

và B =

1 2006

1 2006

2006 2005

+ +

Bài (2đ)

a Chứng minh rằng: C = + 22 + + +… + 299 + 2100 chia hết cho 31 b Tính tổng C Tìm x để 22x – 1 - = C

Bài (2đ)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Bài 4: Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn từ điểm 10 trở lên, 39 bạn điểm 10 trở lên, 14

bạn từ điểm 10 trở lên, bạn điểm 10, khơng có điểm 10 Tính xem đợt thi đua lớp 6A điểm 10

Bài (2đ)

Cho 25 điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng?

Nếu thay 25 điểm n điểm số đường thẳng

ĐÁP ÁN Bài

a S = 270.450 270.550 270(450 550) 270000 3000

(2 18).9 90 90

2

+ +

= = =

+

b Ta có a

b 

*

( )

a a n

n N

b b n

+

 

+

2006 2006

2007 2007

2006 2006 2005

2006 2006 2005

A= +  + +

+ + +

2006 2005 2005

2007 2006 2006

2006 2006 2006(2006 1) 2006 2006 2006 2006(2006 1) 2006 B

+ + +

= = = =

+ + + Vậy A <

B

Bài

a C = + 22 + 23 + …… + 299 + 2100

= 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + + 22+ 23+ 24)+…+ (1 + + 22+ 23+ 24).296 = 31 + 26 31 + … + 296 31 = 31(2 + 26 +…+296) Vậy C chia hết cho 31 b C = + 22 + 23 + …… + 299 + 2100 → 2C = 22 + 23 + 24+ …+ 2100 + 2101

Ta có 2C – C = 2101 – → 2101 = 22x-1 →2x – = 101 → 2x = 102 → x = 51

Bài 3:

Gọi số cần tìm A:

A = 4q1 + = 17q2 + = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuộc N)

→ A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2)

→ A + 25 chia hết cho 4; 17; 19 → A + 25 =1292k → A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267

khi chia A cho 1292 dư 1267

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Tổng số điểm 10 lớp 6A

(42 - 39) + (39 - 14) + (14 - 5) + = 100(điểm 10)

Bài 5: Có 24 25 300

 =

đường thẳng Với n điểm có ( 1)

2

n n −

đường thẳng

Đề số

Câu : (2 điểm) Cho biểu thức

1 2 2 3 + + + − + = a a a a a A a, Rút gọn biểu thức

b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản

Câu 2: (1 điểm)

Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc= n2−1

) ( − = n

cba

Câu 3: (2 điểm)

a Tìm n để n2 + 2006 số phương

b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số

Câu 4: (2 điểm)

a Cho a, b, n  N* Hãy so sánh n b n a + + b a

b Cho A =

1 10 10 12 11 − −

; B =

1 10 10 11 10 + +

So sánh A B

Câu 5: (2 điểm)

Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng số

các số liên tiếp dãy chia hết cho 10

Câu 6: (1 điểm)

Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng

ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có: 2 2 3 + + + − + = a a a a a

A =

1 ) )( ( ) )( ( 2 2 + + − + = + + + − + + a a a a a a a a a a

Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm

b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 (0,25đ) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố (0,5đ)

Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm)

Câu 2:

abc = 100a + 10 b + c = n2 - (1)

cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (0,25đ) Từ (1) (2)  99(a – c) = n –  4n –  99 (3) (0,25đ)

Mặt khác: 100  n2-1 999  101  n2 1000  11  n  31  39  4n –  119 (4) ( 0,25đ) Từ (3) (4)  4n – = 99  n = 26

Vậy: abc = 675 ( 0,25đ)

Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)  a2 – n2 = 2006 (a-n)

(a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm)

+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên khơng thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n) (a+n)  nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm)

Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm)

b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho

Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm)

Bài 4: Mỗi câu cho điểm

Ta xét trường hợp a

b= ;

a b ;

a

b  (0,5đ)

TH 1: a

b =  a = b

a n a

1

b n b

+ = =

+ (0,5đ)

TH 2: a

b  a > b a + n > b+ n

Mà a n

b n

+

+ có phần thừa so với

a b a

;

b n b

−

+ có phần thừa so với

a b

b −

,

vì a b a b

b n b

−  −

+ nên

a n a

b n b

+ 

+ (0,25đ)

TH3: a

b  a < b a + n < b + n

Khi a n

b n

+

+ có phần bù tới

b a

b n

−

+ ,

a

b có phần bù tới b a

b −

,

vì b a b a

b n b

− −



+ nên

a a n

b b n

+ 

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) Cho A =

1 10 10 12 11 − − ;

rõ ràng A < nên theoa, ba <1 b n n a

++ > ba  A<

10 10 10 10 11 ) 10 ( 11 ) 10 ( 12 11 12 11 + + = + − + − (0,5đ)

Do A<

10 10 10 10 12 11 + + = = + + ) 10 ( 10 ) 10 ( 10 11 10 10 10 11 10 + + (0,5điểm) Vây A<B

Bài 5: Lập dãy số

Đặt B1 = a1

B2 = a1 + a2

B3 = a1 + a2 + a3

B10 = a1 + a2 + + a10

Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh ( 0,25 điểm)

Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau:

Ta đen Bi chia cho 10 10 số dư ( số dư  { 1,2.3 9}) Theo ngun tắc Diriclê, phải có

2 số dư Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)  ĐPCM

Bài 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng

 có : 2005x 2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần  số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm

Đề số

Câu : Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S

b) Chứng minh S 

Câu 2: (2đ)

a Cho A = + 52 + … + 596. Tìm chữ số tận A

b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + chia hết cho 3n +

Câu 3: (3đ)

a Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư cho 10 dư b Chứng minh rằng: 11n + + 122n + Chia hết cho 133

Câu 4: (2đ) Cho n điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng

Biết có tất 105 đường thẳng Tính n?

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10

ĐÁP ÁN Câu 1:

a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 Suy ra: 8S = 32004 - => S =

8 32004−

b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 )

= (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 )

= 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S 

Câu 2:

a)  A = + 52 + …… + 596  5A =52 + 53 + …… + 596 + 597

 5A – A = 597 -  A = 97

5 -

Tacó: 597 có chữ số tận → 597 – có chữ số tận

Vậy: Chữ số tận A b (1đ)

Có: 6n + = 2(3n + 6) –  6n + chia hết 3n +

 2(3n + 6) – chia hết 3n +  chia hết 3n + 6 3n + = 1 ;  ; 9 3n + - - - 1

n - - - 7/3 - 5/3 - 1 Vậy; Với n = 6n + chia hết cho 3n +

Câu

a (1đ)

Gọi số tự nhiên cần tìm a (a > 0, a  N) Theo ta có:

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | - a chia cho 10 dư  a – chia hết cho 10

 a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 b.(1,5đ)

11n + + 122n + = 121 11n + 12 144n

=(133 – 12) 11n + 12 144n = 133 11n + (144n – 11n) 12 Tacó: 133 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11)

 144n – 11n chia hết 133  11n + + 122n +

Câu

Số đường thẳng vẽ qua n điểm: ( 1) 105

n n −

=

 n (n – 1) = 210 = = 10 14

 n (n – 1) = 35 = 15 14

Vì n n – số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14

Câu 5: Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ , ,2, …., nên ln tìm

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành

cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: