100 câu hỏi về các loại hình học

Trong hình chiếu do một nguồn điểm gây ra, kích cỡ của các góc, các diện tích và các đoạn thẳng bị biến dạng, nhưng có một số tính chất không bị thay đổi sao cho cấu trúc của hình gốc t[r]

(1)

100 CÂU HỎI VỀ CÁC LOẠI HÌNH HỌC

Tài liệu dịch lại sách Mathematics: Marvels and Milestones (Queries and Answers) A L Audichya - xuất năm 2008(Phần hình học) Mục đích của sách đưa người đọc các kiến thức toán học từ thấp đến cao làm quen với thành tựu tốn học thơng qua các câu hỏi vấn đáp

1 Hình học gì? Hinh học phát triển thé ?

Hình học phát triển người Ai Cập, kết đo đạc đất đai họ Vào kỉ thứ trước Cơng ngun, hình học lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi phát triển thành lí thuyết tốn học

Như vậy, hình học lí thuyết tốn học có nguồn gốc Hi Lạp Người Hi Lạp gắn giá trị lớn cho chứng minh phát triển hình học theo hướng tiên đề

Toán học số có nguồn gốc thuộc toán học người Hindu, người Arab người Babylon

Họ không quan tâm đến việc đưa chứng minh nên toán học số truyền lại cho đơn dạng tập hợp quy tắc tính tốn không liên quan với

Xu hướng đại trình bày tất nghiên cứu tốn học dạng tiên đề 2 Có loại hình học?

Chủ yếu gồm ba loại (Nhưng có nhiều hơn) Ba loại Hình học Euclid,

hình học Lobachewski, hình học Riemann

3 Có đặc biệt khiến chúng khác à?

Vâng Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc tam giác ln 180o, hình học Lobachewski ln nhỏ 180o, cịn hình học Riemann ln lớn 180o 4 Vậy ba loại liên tục mâu thuẫn với rồi!

Không, chúng đồng thời tồn khơng khí hịa bình 5 Hinh học Euclid gì?

Hình học dạy nhà trường hình vẽ sơ đồ vẽ tờ giấy bảng đen bình thường gọi hình học Euclid để tơn vinh nhà toán học Euclid

(2)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 6 Euclid có đóng góp cho Hình học?

Ơng tổng hợp tồn kiến thức hình học tích lũy thời đại ơng thành dạng có hệ thống logic biên soạn thành 13 tập sách đặt tên “Các ngun tố”

Ơng phát triển hình học cấu trúc logic 7 Một cấu trúc logic gì?

Trong cấu trúc logic, vài thuật ngữ vài tiền đề không chứng minh giả định, tồn phần cịn lại phát triển dựa logic

Những thuật ngữ không định nghĩa gọi khái niệm bản, tiền đề không chứng minh gọi “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản giả thiết 8 Làm thuật ngữ không định nghĩa tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng cấu trúc logic?

Trong nghiên cứu có hệ thống nào, tự nhiên trông đợi định nghĩa tỉ mỉ toàn thuật ngữ cho biết nói Nhưng thuật ngữ phải định nghĩa định nghĩa trước đó, thuật ngữ lại phải định nghĩa, thế; hành trình ngược dịng phải dừng lại Vì thế, có vài thuật ngữ khơng định nghĩa xem hiển nhiên với chúng định nghĩa không cần thiết

Tương tự, để chứng minh định lí đúng, ta cần tuân theo tiền đề chứng minh trước đó, tiền đề hóa lại cần phải chứng minh, Hành trình lần ngược lần phải dừng lại nên có số tiền đề chấp nhận chúng chứng minh không cần thiết

9 Phải tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc cả?

Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng Thứ giả thuyết phải quán Điều có nghĩa phát biểu mâu thuẫn không gợi đến giả thuyết Chúng phải không dẫn tới “A B” “A B”

Thứ hai giả thuyết phải hồn chỉnh Điều có nghĩa định lí hệ thống logic phải suy từ giả thuyết

10 Có ràng buộc khác không?

Cái hợp lí giả thuyết độc lập Nghĩa khơng có giả thuyết suy luận từ giả thuyết khác

Đây đáng khao khát cho lí giải kinh tế học đẹp nội hàm giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống Việc phát giả thuyết đơi chẳng dễ dàng

Và, tất nhiên, giả thuyết phải đơn giản không chứa nhiều số; không hệ thống logic phát triển khơng có lợi nhiều

(3)

Các giả thuyết không thiết phù hợp với kinh nghiệm ngày, phát triển cấu trúc tảng giả định chắn đưa đến khám phá tinh tiến quan trọng

Những giả định chắn đưa đến khám phá hình học khác ngồi hình học Euclid trường hợp thấy

12 Các giả thuyết sử dụng dẫn tới gì?

Một vài giả định quy tắc nêu lúc bắt đầu bình thường khơng thể tránh khỏi nên khơng thể dự đốn hết hệ chúng Từ đây, quy tắc vạch phải ăn khớp từ xâu chuỗi, tới kết cuối cùng, thường bất ngờ Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng khẳng định lại kết cuối mà thôi!

13 Những khái niệm hình học Euclid gì?

Trong hình học Euclid, điểm đường khái niệm Một điểm nói khơng có độ lớn, đường khơng có bề rộng

Nhưng mô tả gợi mở định nghĩa toán học

14 Các điểm đường hình học khác với đối tác vật chất chúng? Khái niệm điểm đối tượng nhỏ có thân vật chất chấm bút chì Một đường thẳng tự thân sợi bị kéo căng tia sáng

Điểm đường hình học trừu tượng từ chấm bút chì đường kẻ bút chì kinh nghiệm ngày

15 Cơng dụng trừu tượng gì?

Ưu điểm từ trừu tượng điểm đường hình học có tính chất đơn giản nhiều so với chấm đường vật chất Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to nối lại nhiều đường kẻ bút chì, hai chấm có kích cỡ lúc nhỏ, tồn đường kẻ trông giống hệt chẳng gặp khó khăn việc nhận thức tiên đề hình học có đường thẳng vẽ hai điểm

16 Các giả thiết hình học Euclid gì? Các giả thiết Euclid sau:

1 Qua hai điểm bất kì, ln ln vẽ đường thẳng Đường thẳng kéo dài vơ hạn

3 Với tâm bán kính bất kì, ln ln vẽ đường trịn Mọi góc vng

5 Nếu hai đường thẳng tạo thành với đường thẳng thứ ba hai góc phía có tổng nhỏ 180 độ chúng cắt phía

(4)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Hai thứ ba

2 Thêm vào Bớt từ Trùng

5 Toàn thể lớn phần

18 Tiên đề khác với giả thiết nào?

Các tác giả đại thường không nhớ phân biệt Euclid tiên đề giả thiết, họ sử dụng tên gọi nhầm lẫn gọi chúng giả thiết

19 Euclid thu từ tập hợp nhỏ gồm giả thiết thế?

Chỉ sử dụng vài giả thiết này, Euclid chứng minh hàng trăm định lí, nhiều số chúng tiếng, đến xếp thứ tự định lí

Khái niệm chứng minh, cấu thành tinh thần toán học, Euclid nêu

Vì chứng minh phải thực hồn tồn khuôn khổ giả thiết, chọn lựa giả thiết Euclid thật đáng nể thành tựu thiên tài

20 Định đề hai đường song song gì?

Giả thiết thứ năm Euclid nói gọi định đề hai đường song song Một dạng tương đương định đề sau:

Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho

(5)

21 Hình học Lobachewsky gì?

Định đề vừa nói hiển nhiên nên người ta chưa nghĩ có lẽ nên thay đổi Nhưng vài nhà toán học, Lobachewsky số đó, nghĩ tới xảy định đề thay định đề sau đây:

Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, vẽ hai đường thẳng khác nhau song song với đường thẳng cho

Chúng ta vẽ sau, hai đường thẳng tách biệt vẽ qua điểm P, hướng sang trái hướng sang phải

Các nhà tốn học tìm thấy giả thiết lạ lẫm không mang lại sai lầm mà hệ logic giả thiết đưa họ đến với mơn hình học tổng số đo ba góc tam giác nhỏ 180 độ

22 Nó giả thiết lạ hay sao?

Nói cho hợp lí chẳng có sai giả sử người ta có quyền tự lựa chọn giả thiết miễn chúng không mâu thuẫn

23 Nhưng hai đường thẳng hình vẽ trơng khơng song song với đường thẳng cho!

Nguyên nhân hai đường thẳng hình vẽ trên, hướng sang phải hướng sang trái, khơng song song với đường thẳng cho hình vẽ mặt phẳng bình thường, nơi có hình học Euclid cịn hình học khơng!

24 Cịn có khác tới quan điểm trên?

Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary Lobachewsky người Nga khám phá mơn hình học phù hợp logic độc lập nhau, gần đồng thời, khoảng năm 1826

25 Vậy lại gọi hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà toán học tiếng thời ấy, không dám mạo hiểm với quan niệm sợ ảnh hưởng đến danh tiếng ông

Bolyai dũng cảm xông pha, ông không phát triển khái niệm sâu sắc trọn vẹn Lobachewsky

Lobachewsky người giới thiệu khái niệm cách rộng rãi, cịn phát triển chúng sau số báo Vì thế, mơn hình học gọi hình học

Lobachewsky

26 Hình học Riemann gì?

Riemann, nhà tốn học người Đức, vào khoảng năm 1854, nghĩ tới việc thay định đề hai đường song song định đề sau đây:

Qua điểm cho trước không thuộc đường thẳng cho trước, không vẽ đường thẳng nào song song với đường thẳng cho

Một hệ logic giả thiết đưa ơng đến với mơn hình học tổng ba góc tam giác lớn 180 độ

Bộ mơn hình học gọi hình học Riemann

27 Những định lí ba mơn hình học?

(6)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc thay đổi Ví dụ, định lí sau ba mơn hình học:

(i) Hai góc đối đỉnh

(ii) Hai góc đáy tam giác cân 28 Đâu chỗ khác ba mơn hình học? So sánh nêu rõ chỗ khác biệt

Trong hình học Euclid:

(i) Tổng ba góc tam giác 180 độ

(ii) Hai đường thẳng song song khơng gặp nhau, cho dù có kéo dài bao xa, ln ln cách khoảng không đổi

(iii) Hai tam giác có ba góc diện tích khác Hai tam giác gọi tam giác đồng dạng, tam giác hình phóng to tam giác

(iv) Qua điểm nằm đường thẳng, vẽ đường vng góc với đường thẳng

(v) Tỉ số chu vi đường tròn đường kính p Trong hình học Lobachewsky:

(i) Tổng ba góc tam giác ln nhỏ 180o, lượng nhỏ tỉ lệ với diện tích tam giác

(ii) Hai đường thẳng song song khơng gặp nhau, khoảng cách chúng nhỏ dần kéo dài chúng xa

(iii) Chỉ hai tam giác diện tích có ba góc nhau, hai tam giác có diện tích khác khơng đồng dạng Trong mơn hình học này, tam giác tăng diện tích, tổng số đo ba góc giảm

(iv) Qua điểm nằm đường thẳng, vẽ đường vng góc với đường thẳng giống hình học Euclid

(v) Tỉ số chu vi đường trịn đường kính ln lớn p, tỉ số lớn diện tích vịng trịn lớn

Trong hình học Riemann:

(i) Tổng ba góc tam giác lớn 180o

(ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm mặt phẳng phải cắt (iii) Tam giác lớn góc lớn

(iv) Có thể vẽ vơ số đường vng góc từ điểm đến đường thẳng cho trước

(v) Tỉ số chu vi đường tròn đường kính ln nhỏ p, giảm diện tích vịng trịn tăng

29 Bộ mơn hình học đúng?

Mỗi mơn hình học mặt mà có nghĩa thơi

Hình học Euclid áp dụng cho hình vẽ tờ giấy mặt phẳng

(7)

Mặt giả cầu mặt tròn xoay thu cách quay đường cong gọi tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy

Các tam giác vẽ mặt khác thể hình bên dưới:

Mỗi mơn hình học hoạt động tốt mặt tương ứng

30 Vì mơn hình học sáng tạo dựa hệ thống tiên đề nó, đâu khả năng phụ thuộc vào giới vật chất?

Đặc điểm khơng gian vật lí xác định xác hình học Euclid nên 2000 năm áp dụng ln xem chân lí tuyệt đối khơng gian vật lí

Chỉ đến khám phá mơn hình học phi Euclid người ta nhận hình học khơng phải chân lí khơng gian vật lí Nó nghiên cứu khơng gian có Những mơn hình học khác nhau, xác định hệ tiên đề khác nhau, đó, mô tả thực

Chúng đơn mơ hình mà thơi

(8)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 31 Vậy định lí tốn học có ý nghĩa gì?

Một định lí tốn học xác nhận có điều kiện Nó tập hợp giả thiết từ suy

Nhưng cịn chuyện tập hợp giả thiết hay sai định lí khơng xác nhận 32 Tại sao? Nguyên nhân gì?

Nguyên nhân giả thiết lập theo khái niệm, nói đại khái chúng khơng có ý nghĩa đặc biệt nào, giả thiết hay sai khơng thể xác nhận

33 Phải hình học Euclid khơng mâu thuẫn với hình học phi Euclid?

Đúng Vì mặt phẳng có độ cong không, nên thay số không vào giá trị độ cong công thức hình học phi Euclid, cơng thức thu giống hệt với cơng thức hình học Euclid

Vì vậy, hình học Euclid xem trường hợp đặc biệt hình học phi Euclid, chúng vốn khái quát

34 Một đường thẳng có ý nghĩa gì?

Một đầu đường thẳng mặt cầu hay mặt giả cầu thật bị cong khơng thích hợp gọi chúng thẳng

Nhưng tất tùy thuộc vào cách định nghĩa đường thẳng

Một cách định nghĩa đường thẳng nhận khoảng cách ngắn hai điểm 35 Định nghĩa làm đơn giản vấn đề nào?

Bây khoảng cách ngắn hai điểm bề mặt hình cầu khơng phải đường thẳng mà đoạn đường tròn nằm bề mặt hình cầu

Một đường tròn gọi “đường tròn lớn” tâm nằm tâm hình cầu.* *

Nếu hai điểm nằm bề mặt hình cầu nối lại với hỗ trợ thước đâm xuyên qua hình cầu, đường thẳng thu khơng cịn nằm bề mặt hình cầu Nhưng đường thẳng phải nằm bề mặt, nên phải theo “đường trịn lớn”

Một đường trịn lớn chia hình cầu thành hai phần Đường xích đạo đường trịn lớn, đường vĩ tuyến khơng phải Một đường kinh tuyến nửa đường trịn lớn Khái quát hóa khái niệm này, đường cong nằm bề mặt khoảng cách ngắn hai điểm bề mặt gọi “đường trắc địa” bề mặt

Trên mặt phẳng đường trắc đạc đường thẳng

36 Đường trắc địa mặt khác có khác không? Vâng, đường trắc địa khác tùy theo mặt định

Đường trắc địa mặt phẳng hướng theo đường thẳng Hai đường trắc địa mặt phẳng cắt điểm, chúng song song chúng khơng cắt Đường trắc địa mặt cầu hướng theo đường tròn lớn Trên mặt cầu, hai đường trắc địa, cho dù chúng song song nhau, luôn cắt hai điểm

Trong trường hợp Trái đất chúng ta, toàn đường kinh tuyến đường trắc đạc Tại xích đạo, tất kinh tuyến trông song song nhau, chúng cắt hai cực Các đường trắc đạc mặt giả cầu tiến đến sát tốt, chúng không cắt

37 Cái xác định chất đường trắc địa?

Bản chất đường trắc đụa mặt phụ thuộc vào độ cong mặt Một mặt phẳng có độ cong khơng

Một mặt cầu có độ cong dương khơng đổi điểm mặt

Bề mặt trứng có độ cong dương biến thiên từ điểm sang điểm khác Một mặt giả cầu có độ cong âm khơng đổi

Một mặt giống mặt yên ngựa có độ cong âm

38 Một “đường thẳng” có phải kéo dài đến vơ tận hai phía hay khơng?

(9)

cả hai phía xa đến đâu khoảng cách chúng không thay đổi Một đường thẳng giả định vươn dài đến vơ tận hai phía

Riemann đề nghị logic khơng cần phải có khái niệm đường thẳng kéo dài đủ xa trở lại quay với có độ dài đường kinh tuyến bề mặt Trái Đất

Trong trường hợp mặt cầu Trái Đất kinh tuyến cắt kinh tuyến khác hai điểm, cực Bắc Nam cho cặp “đường thẳng” giao khép kín diện tích, khơng có hai “đường thẳng” song song

39 Nhưng làm đường thẳng tuân theo Euclid lẫn Riemann?

Giả định ngầm Euclid ám đường thẳng kéo dài đến vô tận Theo Riemann đường thẳng, kéo dài đủ xa, quay trở với

Xung đột hiển nhiên Riemann giải phân biệt quan trọng vô tận bị chặn

Đường thẳng khơng bị chặn khơng vơ tận mặt cầu khơng bị chặn khơng vô tận Một đường thẳng không cần phải hi sinh yêu cầu tính quán phục tùng Euclid lẫn Riemann hoàn toàn thỏa đáng

40 Cịn hình học Trái Đất?

Đối với mục đích thơng thường bề mặt Trái Đất xử mặt phẳng Chẳng hạn để xây dựng tòa nhà, cầu cống, đường hầm, đường xá, sân thể thao, khoảng cách ngắn hai điểm đoạn thẳng tổng ba góc tam giác hai vng, hình học Euclid áp dụng

41 Còn xét khoảng cách lớn Trái đất sao?

Xét tam giác lớn bề mặt Trái đất tạo cung xích đạo hai đoạn kinh tuyến, tức hai đường tròn lớn vẽ từ cực Bắc kết thúc cung Xem hình dưới:

Hai góc đáy góc $90^{o}$ nên tổng ba góc tam giác cộng lại lớn $180^{o}$

Khoảng cách ngắn hai điểm khơng đường thẳng mà đoạn cung kinh tuyến, hình học Euclid khơng cịn áp dụng

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc 42 Trái đất phẳng hay cong bao nhiêu?

Một đường thẳng mặt phẳng nói thẳng khơng có độ cong, cịn trường hợp đường trịn đường trịn nhỏ độ cong lớn

Nếu lấy đường tròn bán kính $1$ foot có độ cong đơn vị, độ cong đường trịn bán kính $1$ yard phần ba đơn vị; với tỉ lệ độ cong đường trịn lớn bề mặt Trái đất vào khoảng phần $21$ triệu Độ cong nhỏ nên cung đường trịn thực tế khơng thể phân biệt với đoạn thẳng

Vì thế, hình học Trái đất hình học Euclid chiều dài hay khoảng cách nhỏ, hình học phi Euclid khoảng cách lớn

43 Hình học khơng gian mà sống hình học nào?

Gauss, “ơng hồng tốn học”, chọn ba đỉnh núi xa tạo nên tam giác tìm thấy tổng số đo ba góc tam giác tạo $180^{o}$ giới hạn sai số thực nghiệm

Thí nghiệm tỏ khơng thuyết phục tam giác mà ơng sử dụng đủ lớn so với hình vẽ giấy, nhỏ so với kích cỡ vũ trụ

Nếu thay cho ba núi xa, chọn ba ngơi xa, thí nghiệm khơng thuyết phục, lần lí hồn tồn khác

44 Những lí gì?

Vì trường hợp này, phép đo góc phải theo phương tiện tia sáng, hành trình xun khơng gian chúng, tia sáng bị bẻ cong theo độ lớn trường hấp dẫn mà chúng qua, kết phép đo cho biết định luật truyền ánh sáng nhiều chất không gian, dù Euclid hay không

45 Khơng gian có ý nghĩa xác gì?

Một quan điểm khơng gian hồn tồn trống rỗng, khoảng khơng khơng có vết tích vật chất, khơng gian khơng có để phân biệt vị trí hay phương hướng, khơng có vị trí, khơng có phương hướng và, thế, khơng gian hồn tồn trống rỗng chẳng trừu tượng

46 Quan điểm khác sao?

Quan điểm khác cho “khơng gian hình thức tồn vật chất”, tính chất khơng gian thật tính chất liên hệ định vật thể, ví dụ, kích cỡ chúng, vị trí tương hỗ, vân vân

Theo quan điểm này, không gian thật chia tách với vật chất Vật chất xác định hình học hình học giải thích cho tượng trước quy cho lực hấp dẫn

Không vậy, Einstein chứng minh, không gian tách rời với thời gian, chúng tạo nên hình thức tồn vật chất, không-thời gian

47 Nếu không gian thời gian xem thực thể riêng biệt sao?

(11)

dưới giả thiết định, trường hợp khơng gian hóa Euclid vùng nhỏ so với kích cỡ vũ trụ, vùng lớn có chứa khối lượng lớn vật chất, sai lệch khỏi hình học Euclid trở nên rõ nét

48 Hình học gần vũ trụ hình học nào?

Nhiều giả thuyết đặt cấu trúc vũ trụ xem tổng thể, giả sử phân bố khối lượng đồng vũ trụ không tĩnh

Những giả thuyết làm đơn giản hóa vấn đề cho phép có khái niệm gần khn khổ thật vạn vật

Dưới giả thuyết vậy, lí thuyết đề xuất nhà vật lí Liên Xơ Friedmann cho thấy hình học vũ trụ tổng thể hình học Lobachewsky

49 Hình học áp dụng cho hạt sơ cấp?

Giống trường hợp hình học Euclid không áp dụng cho khoảng cách lớn vũ trụ, khơng áp dụng cho khoảng cách cực nhỏ

Hình học phi Euclid áp dụng cho khoảng cách bên nguyên tử, phân tử, hạt sơ cấp, vân vân

50 Chỉ có ba mơn hình học thơi sao?

Rõ ràng có vơ số mơn hình học, bắt đầu với tiên đề người ta xây dựng nên mơn hình học mới, tiên đề khơng dẫn tới mâu thuẫn

Một bề mặt tìm thấy nơi áp dụng cho lí thuyết hình học

Tuy nhiên, bề mặt phức tạp, mơn hình học xây dựng thích hợp cho thật kì cục

51 Hình học xạ ảnh gì?

Xét người họa sĩ đứng trước quang cảnh mà muốn vẽ lại Ta hình dung khung vẽ kính suốt xen quang cảnh mắt Hình vẽ khung vẽ hóa hình chiếu quang cảnh kính với tâm chiếu nằm mắt người họa sĩ

Vì khung vẽ thật khơng suốt quang cảnh mà người họa sĩ muốn vẽ nằm trí tưởng tượng anh ta, nên người họa sĩ cần khn khổ tốn học phép miêu tả giới thực ba chiều khung vẽ hai chiều

Hình học xạ ảnh cung cấp khn khổ Nó nghiên cứu tính chất hình học hình vẽ bất biến phép chiếu

52 Đó phép chiếu nào?

(12)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Bóng hình vng hình bình hành, tứ giác Bóng tam giác vng khơng phải lúc tam giác vuông

Những viên gạch lát hình vng sàn nhà tranh khơng vẽ hình vng Nhưng ấn tượng để lại mắt người nhìn giống viên gạch thật

53 Hình chiếu khác với hình gốc chỗ nào?

Trong hình chiếu nguồn điểm gây ra, kích cỡ góc, diện tích đoạn thẳng bị biến dạng, có số tính chất khơng bị thay đổi cho cấu trúc hình gốc thường nhận khung vẽ

54 Đó tính chất nào? Đó tính chất đơn giản:

Hình chiếu điểm điểm hình chiếu đoạn thẳng đoạn thẳng, tức đoạn thẳng khơng bị cong Như vậy, hình chiếu tam giác ln ln tam giác, hình chiếu tứ giác tứ giác

Ba tính chất quan trọng rút từ tính chất đơn giản này:

(i) Nếu điểm nằm đoạn thẳng sau phép chiếu điểm tương ứng nằm đoạn thẳng tương ứng Tính chất gọi tính rơi

(ii) Nếu ba điểm trở lên nằm đoạn thẳng, hình chiếu tương ứng chúng nằm đoạn thẳng Tính chất gọi cộng tuyến

(iii) Nếu ba đoạn thẳng trở lên cắt qua điểm, hình chiếu chúng cắt qua điểm Tính chất gọi đồng quy

55 Hình học xạ ảnh áp dụng đâu?

Hình học xạ ảnh có ứng dụng lĩnh vực nhiếp ảnh không, kiến trúc tập phối cảnh mà họa sĩ thường nghiên cứu

56 Hình học xạ ảnh khác với hình học Euclid chỗ nào?

Các định lí hình học Euclid xét độ lớn chiều dài, góc diện tích theo khái niệm liên quan tương đẳng đồng dạng

Đây tính chất đo đạc Chúng xử lí độ lớn bất biến chuyển động

Hình học xạ ảnh xét tính chất chiếu hay tính chất bất biến phép chiếu, tức tính tính rơi, cộng tuyến đồng quy

57 Có cần thiết phân biệt tính chất chiếu tính chất đo đạc hay khơng?

Sự phân biệt tính chất đo đạc tính chất chiếu hình nghiên cứu nhà toán học người Anh Cayley Ông xét toàn vấn đề phương diện đại số thống hai

(13)

Hình học tọa độ lĩnh vực nghiên cứu hình học phương pháp đại số

Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế có tương ứng tự nhiên số thực điểm không gian

Lấy điểm O nằm đường thẳng Gọi gốc tọa độ, tức điểm xuất phát cho phép đo dọc theo đường thẳng Khi ấy, số thực tương ứng với điểm đường thẳng đó, ngược lại Số thực

gọi tọa độ điểm tương ứng

Xét hai đường thẳng vng góc nhau, gọi hai trục tọa độ, Ox Oy, qua gốc tọa độ O Khi ấy, vị trí điểm P mặt phẳng xác định khoảng cách x1 đến đường thẳng đứng Oy khoảng cách y1 đến đường nằm ngang Ox Cặp số thực theo trật

tự (x1,y1) xác định điểm Ptrong mặt phẳng, gọi tọa độ

Hình học tọa độ cịn gọi hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tơn vinh người phát minh nó, Rene Descartes

59 Phải hình học tọa độ cơng cụ mạnh hình học bình thường?

Sức mạnh hình học tọa độ nằm thực tế nghiên cứu đối tượng hình học phương pháp đại số

Khái niệm tọa độ biến tốn hình học thành tính tốn theo đại lượng đại số

Và phép tính đại số dễ làm chứng minh hình học liên quan nhiều đến trực giác kinh nghiệm với hình vẽ sơ đồ!

Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng tơn vinh “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ”

60 Làm giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ? Bằng phương pháp tọa độ, phương trình đại số đơn giản bậc theo hai biến x y có ý nghĩa trực quan chúng biểu diễn cho đường thẳng cho việc nghiên cứu đối tượng hình học gọi đường thẳng thực thơng qua việc nghiên cứu phương trình Phương pháp dễ làm đáng làm hơn!

(14)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc diễn trực quan đường thẳng AB

Tương tự, phương trình khái quát cho đường thẳng có dạng sau ax+by+c=0

Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x y biểu diễn đường cong mặt phẳng

61 Đó đường cong nào?

Quen thuộc đường cong đường tròn, đường parabol, đường elip đường hyperbol Một biểu diễn hình học đường cong với phương trình cho bên

62 Các đường conic gì?

(15)

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón vng góc với trục giao tuyến đường trịn

Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón giao tuyến thu đường elip

Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh hình nón giao tuyến đường parabol Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần ta thu đường hyperbol

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần đồng thời qua đỉnh nón, ta thu cặp đường thẳng xuyên đỉnh

63 Tính phản xạ parabol có ý nghĩa gì?

Parabol có tính chất bật đặt nguồn sáng tiêu điểm S nó, tồn tia sáng từ S, sau phản xạ parabol, truyền song song với trục

Tính chất gọi tính phản xạ parabol

Chính tính chất mà gương lắp phía sau đèn trước xe chế tạo có hình paraboloid, tức hình dạng tạo cách quay parabol xung quanh trục

Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa phía trước 64 Tính chất âm học parabol gì?

Các tia sáng từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục parabol

Ngược lại, tia sáng tới song song với trục parabol sau bị phản xạ qua tiêu điểm

Vì sóng âm hành xử theo kiểu giống vậy, nên

(16)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Đây nguyên số phòng trưng bày nghệ thuật, tiếng thầm lại nghe rõ bạn đứng chỗ định, cịn chỗ khác khơng nghe Chỗ định đó, S, thật tiêu điểm cấu trúc parabol

65 Tính chất phản xạ elip gì?

Elip có tính chất tia sáng từ hai tiêu điểm, ví dụ S1, sau bị phản xạ elip qua tiêu điểm kia, S2

Tính chất gọi tính chất phản xạ elip

Như vậy, elip làm từ dải kim loại sáng bóng, tia sáng từ tiêu điểm hội tụ đến tiêu điểm

Một vật đặt S2 rọi sáng nhờ nguồn sáng đặt S1, cho dù S1 S2ở xa 66 Tính chất âm học elip gì?

Sự phản xạ âm từ tiêu điểm qua tiêu điểm elip gọi tính chất âm học elip

Đây nguyên số phòng trưng bày nghệ thuật, người xem đứng hai chỗ định nghe tiếng thầm nhau, cho dù họ có nhiều người

67 Động thúc đẩy người ta nghiên cứu đường cong này?

Đó chuỗi kiện khám phá nhu cầu cấp thiết, quan trọng số chúng là:

Kepler khám phá hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip Galileo khám phá đá bị ném khơng khí vạch quỹ đạo parabol Tương tự, viên đạn bay từ nòng súng vạch parabol

Vì thế, có nhu cầu tính tốn elip parabol mơ tả quỹ đạo viên đạn 68 Cịn nhu cầu khác nữa?

Nền thiên văn học lấy Trái đất tĩnh làm trung tâm khơng cịn nữa, học Hi Lạp cổ đại Những lí thuyết cần đánh giá lại xét lại

(17)

Những lĩnh vực khoa học tự nhiên khác có tốn tương tự chờ giải tính tốn xác

69 Tại tính chất đường conic không khai thác mà người Hi Lạp xưa biết rõ chúng?

Tính chất đường conic người Hi Lạp xưa biết rõ từ trước Descartes đến 2000 năm, chúng cấu thành nên phận hình học Người ta chưa biết có phương pháp sử dụng chúng lĩnh vực khác Công cụ hệ tọa độ thay đường cong phương trình, chúng tương đối dễ xử lí Và kĩ thuật tọa độ mở rộng cửa cho ngơi nhà đầy châu báu trước chưa dám mơ tới!

70 Kĩ thuật đại số có đủ để làm việc với đường cong hay không?

Không, người ta sớm nhận kĩ thuật khơng thể xử lí độ dốc độ cong, chúng tính chất đường cong

71 Độ dốc độ cong định nghĩa nào?

- Độ dốc tốc độ mà đường cong tăng giảm tính đơn vị hồnh độ

- Độ cong tốc độ mà chiều đường cong biến thiên đơn vị chiều dài đường cong Độ dốc đường thẳng khơng đổi tồn chiều dài nó, độ cong khơng

Độ cong đường trịn giữ ngun khơng đổi tồn chiều dài

Độ dốc độ cong biến thiên từ điểm sang điểm khác đường cong khác 72 Độ dốc độ cong tính nào?

Giải tích cung cấp phương pháp tính đại lượng cho đường cong khác 73 Hình học Vi phân?

Việc nghiên cứu đường cong mặt với giúp đỡ phép tính vi phân gọi Hình học Vi phân

Mơn xử lý dạng tốn khác ngồi việc tính độ dốc độ cong

Mơn xử lý toán quan trọng đường trắc địa, tức toán giải khoảng cách ngắn hai điểm mặt

74 Cịn hình học toạ độ khơng gian gì?

Nếu ta thêm trục Oz vng góc với Ox lẫn Oy, tức vng góc với mặt phẳng tờ giấy đo khoảng cách theo phương Ox, Oy Oz theo thứ tự đó, điểm P khơng gian xác định ba (x1, y1, z1) số thực,

(18)

Hình học toạ độ ba kích thước xử lý với điểm không gian, hay ba thứ tự 75 Cịn hình học n chiều?

Cayley nhà toán học Đức Grassmann tổng qt hóa hình học toạ độ hai chiều cách độc lập

Trong hình học chiều, điểm xác định hai toạ độ khoảng cách hai điểm có toạ độ (x1, y1) (x2, y2) cho cơng thức

76 Hình học toạ độ bốn chiều có ích lợi gì?

Hình học toạ độ bốn chiều vơ hữu ích nhà vật lý

Cũng điểm mặt phẳng hoàn toàn xác định hai số gọi tọa độ

(19)

Khoảng cách hai biến cố, nói cách khác khoảng cách khơng-thời gian, cho bởi:

Hình học sử dụng công cụ thiết yếu phát triển thuyết tương đối việc nghiên cứu không gian, thời gian trọng lực

77 Khái niệm khơng gian Tốn học gì? Thuật ngữ khơng gian bao gồm hai ý nghĩa

Nghĩa thứ không gian thực bình thường, tức khơng gian ta sống

Theo nghĩa thứ hai, “khơng gian trừu tượng”, tập hợp vật thể đồng mối liên hệ thuộc khơng gian cịn bảo tồn Chẳng hạn, “khoảng cách” hai vật thể xác định khơng gian

Trong tốn học ln ln nghĩa thứ hai thích đáng 78 Điểm gì?

Khái niệm điểm hình học toạ độ hai kích thước khái niệm phần tử khơng gian mà vị trí xác định hai độ dài

Tương tự, khơng gian ba kích thước coi tập hợp tất phần tử mà vị trí xác định ba độ dài

Với ba toạ độ đến giới hạn biểu thị với bốn toạ độ hay ta hiểu vị trí điểm khơng gian thực

79 Thế giải bết tắc sao?

Thay gán cho ba độ dài để định vị điểm khơng gian ba chiều, ta nói gán ba số thực để xác định điểm Điểm hóa ba có thứ tự, ta khơng cần thiết thắc mắc phải định vị mắt nhìn khơng gian

Một mà bẳn phải nhìn rõ điểm khơng cịn thơi thúc điểm đồng với ba số, ta khơng cịn dự thay số số tổng qt n Và ta có khơng gian n chiều, n lớn

Khi “điểm” định nghĩa “phần tử” tốt “khơng gian” “đa tạp”

80 Có phải đa tạp khái niệm tổng quát hơn?

Tên gọi đa tạp mang tính khái quát xác thuật ngữ “khơng gian” Một đa tạp đại khái giống lớp

Một mặt phẳng lớp gồm tất điểm xác định hai tọa độ, đa tạp hai chiều

Tương tự, khơng gian hình học tọa độ ba chiều xem đa tạp ba chiều ba tọa độ cần thiết để cố định điểm nằm

Nếu cần $n$ số hay tọa độ để cố định nguyên tố đa tạp, dù khơng gian hay lớp khác, gọi đa tạp $n$ chiều

Đa tạp cho khơng có thuộc tính, ngoại trừ việc lớp 81 Chúng ta có đa tạp khác không?

(20)

chiều lớp nguyên tố, nguyên tố cần ba số để xác định Một nhóm người xem đa tạp – đa tạp ba chiều, với ba số $x_{1}, x_{2}, x_{3}$biểu diễn tuổi tác, chiều cao cân nặng, cần đủ để phân biệt họ

Cũng nhóm người xem đa tạp bốn chiều, bốn số $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ biểu diễn tuổi tác, chiều cao, cân nặng, số nhà sử dụng Nhóm người trở thành đa tạp năm chiều bổ sung thêm số $x_{5}$ biểu diễn thu nhập

Chúng ta nghĩ tới đa tạp bốn chiều gồm hạt chất khí, sử dụng ba chiều để cố định vị trí chúng chiều cố định mật độ chúng

82 Ưu điểm biểu diễn gì?

Giả sử muốn minh họa phụ thuộc áp suất chất khí vào thể tích

Ta làm việc cách dựng hai trục mặt phẳng, dùng trục biểu diễn thể tích, cịn trục áp suất Đường cong thu hyperbol cho chất khí lí tưởng nhiệt độ không đổi

Nếu có hệ phức tạp có trạng thái cho khơng phải hai thuộc tính mà nói ví dụ năm thuộc tính, đồ thị biểu diễn hành trạng liên quan đến khơng gian năm chiều, tức trạng thái hệ xem điểm không gian năm chiều

Tương tự, trạng thái hệ cho n thuộc tính, hay n biến, trạng thái xem điểm không gian n chiều

Ưu điểm cách biểu diễn việc nghiên cứu hệ thực cách áp dụng mở rộng tương đương hình học khái niệm quen thuộc

83 Có phải không gian thực tế nằm không gian bốn chiều?

Khái niệm chiều thứ tư khái niệm trừu tượng sáng tạo để mơ tả theo ngơn ngữ hình học ý tưởng mô tả biểu diễn hình học bình thường Nó phát triển để đáp ứng yêu cầu hệ phụ thuộc vào vài ba biến số Nhưng dự tính phương pháp tốn học mơ hình hóa tượng vật lí khơng liên quan với chất khơng gian thực tế, có tiểu thuyết khoa học thường mơ tả chiều không gian thứ tư

Quan điểm cho khơng gian ba chiều dìm không gian bốn chiều thực chất liệu tư thần bí xuyên tạc khái niệm khoa học

84 Có thể áp dụng khái niệm hình học cho đại số hay khơng?

(21)

Một ví dụ làm sáng tỏ vấn đề

Giả sử muốn biết nghiệm nguyên bất đẳng thức

2

x y N

Về mặt hình học, bất đẳng thức x2 y2 N biểu diễn phần bên vịng trịn có tâm gốc tọa độ bán kính N , tốn đơn giản thành sau:

Có điểm với tọa độ nguyên nằm bên vịng trịn bán kính N

Những điểm đỉnh hình vng có cạnh đơn vị chiều dài bên hình trịn Số lượng điểm nằm bên vòng tròn xấp xỉ số lượng hình vng nằm bên hình trịn, tạp tích hình trịn bán kính

Do đó, số lượng nghiệm nguyên bất đẳng thức khoảng N Sai số kết tiến giá trị lớn N

Rõ ràng đáp số hiển nhiên mặt hình học khơng hiển nhiên từ phương tạp đại số 85 Kết có tương đương không gian cao chiều hay không?

Bài tốn tương ứng theo ba biến giải tương tự, số lượng biến tăng vượt ba, phương pháp khơng cịn áp dụng

Tuy nhiên, kết khái qt hóa cho số lượng biến để tốn tương ứng theo n biến có nghiệm đại số, cách hiểu hình học khơng cịn khả dụng khơng gian thực có ba chiều

86 Hình học khơng gian màu gì?

Khơng gian xem tập hợp điểm Nhưng “điểm” vật, kiện hay trạng thái, tập hợp xem “khơng gian” thuộc loại riêng Khi đó, khái niệm điểm, đường thẳng, khoảng cách, sử dụng với ý nghĩa biến cải nhiều

Một ví dụ khơng gian không gian màu

87 Không gian tương ứng với hình học nào?

Thị giác bình thường người có ngun ba màu Sự cảm nhận màu $C$ kết hợp ba cảm nhận bản: đỏ R, lục G lam B với cường độ khác nhau, ta có

CxRyGzB x, y, z kí hiệu cường độ, tính theo đơn vị định

(22)

Tập hợp gồm tất màu có, đó, xem khơng gian màu ba chiều

Vì cường độ âm, nên $x, y$ $z$ luôn dương Khi $x = 0, y = 0, z = 0$, ta khơng có màu hết (màu sắc vắng mặt hoàn toàn)

88 Điểm, đoạn khoảng cách định nghĩa không gian này?

Ở đây, “điểm” màu, “đoạn” $AB$ tập hợp thu cách trộn màu $A$ $B$ “Khoảng cách” hai màu định nghĩa độ dài đường ngắn nối chúng Phép đo chiều dài khoảng cách khơng gian màu, đó, định nghĩa hình học phi Euclid định

89 Hình học khơng gian màu có ứng dụng hay khơng?

Hình học khơng gian màu cung cấp sở tốn học xác để giải tốn chất nhuộm ngành cơng nghiệp dệt, giúp phân biệt tín hiệu màu, lĩnh vực có liên quan

90 Hình học hữu hạn gì?

Khái niệm khơng gian tập hợp gồm điểm hay phần tử, chúng có số lượng vơ hạn Nhưng cịn có hình học số hữu hạn điểm, ví dụ 25 chẳng hạn

Các tên gọi điểm, đường thẳng, khoảng cách, song song, sử dụng với ý nghĩa thích hợp cho hệ nghiên cứu

Một hình học hữu hạn áp dụng cho toán định, đại số lí thuyết số; cịn có ích lí thuyết mật mã xây dựng thiết kế thực nghiệm

91 Tô-pô học gì?

Đó phát triển hình học, sản phẩm độc đáo kỷ hai mươi ngành toán học đại tinh tế đầy sức sống

Đó loại hình học nghiên cứu tính chất hình mặt bất biến q trình kéo căng, bẻ cong, co rút vặn vẹo

92 Nó khác điều với hình học khác?

Khơng giống hình học khác, khơng giải vấn đề độ lớn đoạn góc, mơn hình học khơng định lượng Nó giải

(23)

93 Những tính chất tơ-pơ hình mặt gì?

Đó tính chất khơng thay đổi hình chịu phép biến dạng mạnh liệt đến tính chất xạ ảnh đo lường hết Xét đường tròn vẽ miếng cao su Bằng cách kéo căng, co rút, bẻ cong, vặn vẹo, không xé rách, nối kết hay chồng chéo, ta biến đường trịn thành đường elip, tam giác , hình vng, hay hình khác hay khơng Mỗi phép biến đổi gọi phép biến đổi tộ-pơ Tính chất bật phận hình tiếp xúc bảo tồn tiếp xúc Và phần khơng tiếp xúc khơng thể thành tiếp xúc Tóm lại, phép biến đổi tơ-pơ khơng thể có rạn nứt hay nối kết xảy Dưới tác động thế, tính chất khoảng cách, góc diện tích chịu biến đổi khơng phải tính chất tơ-pơ 94 Bên Bên ngồi! Đó có phải tính chất tơ-pơ hay khơng?

Sự kiện đường trịn có phần “bên trong” phần “bên ngồi”là tính chất tơ-pơ Hình số có hai vịng có hai phần “bên trong” tơ-pơ khơng tương đương với đường trịn hay tam giác, hình có phần “bên trong” Hình nhẩn bao bọc hai đường trịn đồng tâm có hai phần “Bên trong” phần “bên ngồi” 95 Cịn tính chất tơ-pơ mặt gì?

Xét mặt cầu Nó có hai tính chất bảo tồn phép biến đổi tơ-pơ Thứ nhất, bề mặt cầu khép kín Khơng hình trụ (khơng đáy) mặt cầu khơng có bờ-một hình trụ giới hạn hai bờ Thứ hai,mỗi đường cong khép kín mặt cầu chia mặt cầu thành hai phần đứt đoạn Một hình xuyến (hình ruột xe bơm căng) khơng có tính chất Nếu ta cắt hình xuyến theo phương với chiều dài nó, khơng bị đứt thành hai phần thành ống tuýt bị vẻ cong, mà ta kéo thẳng để thành hình trụ (khơng đáy) phép biến đổi tơ-pơ Do đường cong khép kín hình xuyến khơng tách thành hai phần

Mặt cầu hình xuyến mặt khác biệt tơ-pơ, hay theo nhà tơ-pơ học nói, chúng khơng đồng phơi

96 Điều xảy loại bỏ hai điểm mặt cầu

Mặt cầu bị loại bỏ hai điểm đồng hình với mặt cầu bị khoét hai đường cong khép kín hai trường hợp mặt đồng hình với hình trụ (khơng đáy) Các mặt cầu hình lập phương thuộc chung dạng tơ-pơ, nghĩa chúng đồng hình

97 Cịn đơi găng tay sao?

Xét đôi găng tay Một chiêc cho tay trái cho tay phải Nếu lộn găng tay phải từ ngồi, trở thành tay trái Chiếc găng tay trái trở thành tay phải bị lộn ngồi Lý luận tơ-pơ giúp ta dự đốn thay đổi hình dạng

98 Đâu khái niệm tảng tô-pô? Khái niện liền kề, lân cận, gần gũi vô hạn khái niệm chia cắt hình thể thành nhiều phần khái niệm tảng tô-pô Một vài khái niệm gắn liền bên bên ngoài, bên trái bên phải, liên thông bất liên thơng, tính liên tục gián đoạn

99 Có phải tơ-pơ hoạt động với bề mặt mà hay không?

(24)

nói cho vấn đề tiện ích lơgic Vì ngành chồng chéo lên khơng 100 Tơ-pơ tổ hợp gì?

Đó ngành nghiên cứu khía cạnh thực chất dạng hình bất biến phép biến đổi tơ-pơ Ngành nghiên cứu hình xem tổ hợp hình đơn giản phối hợp theo cách chuẩn mực đối lập với ngành tơ-pơ điểm-tập hợp xem hình tập hợp điểm

101 Cịn tơ-pơ đại số gì?

Lúc đầu, tơ-pơ phát triển ngành nghiên cứu bề mặt Nhưng sau người ta thấy khái niệm liên hệ mật thiết với số tốn có tầm quan trọng tảng lãnh vực khác toán học Những phương pháp đại số, lý thuyết nhóm, chứng tỏ có nhiều ứng dụng sâu rộng nghiên cứu

Cơ chế đại số gọi tô-pô đại số công cụ đầy sức mạnh để chứng minh kết tơ-pơ Nó cho ta nhiều kết khơng gian kích thước lớn hơn, nơi ta khơng thể nhìn mà lý luận

102 Cịn tơ-pơ điểm-tập hợp gì?

Trong tô-pô phát triển theo hướng nghiên cứu bề mặt, người ta sớm nhận tơ- pơ mặt đơn giản khơng thơi khơng đủ việc giải tốn tơ-pơ một, hai, ba n kích thước cần thiết Người ta thấy nghiên cứu liên quan đến nhận định lý thuyết tập hợp phát triển thành ngành pô điểm-tập hợp hay tô-pô tổng quát

103 Tại tô-pô gọi hình học chất dẻo?

Một lãnh vực tô-pô giải biến dạng hình mà khơng bị xé rách chồng lẫn điểm Vì phép biến dạng thực hình vẽ miếng dẽo, nên tơ-pơ đơi cịn mệnh danh hình học chất dẽo Nhưng tơ-pơ đại vượt xa lãnh vực hạn hẹp

104 Tộ-pô đại có phải ngành nghiên cứu hình học?

Trong thời kỳ phôi thai, tô-pô coi “khoa học vị tướng” chất nó, kể từ vượt khỏi tầm vóc ban đầu Xét chất người ta nhận xét thấy “tô-pô khởi đầu với nhiều chất hình học chất đại số, lại nhiều chứa nhiều chất đại số chất hình ” Về lịch sử, tơ-pơ phát triển theo hai hướng phân biệt Hướng thứ cảm hứng thiên hình học, hướng khác giải tích tạo ảnh hưởng chủ yếu

105 Có phải Tơ-pơ ngành nghiên cứu tính liên tục?

Lúc phần lớn công nhận tô-pô ngành nghiên cứu liên tục Nhưng quan trọng nhất, trở thành mơn học nhằm thống hầu hết tồn ngành tốn học phần tương

tự vai trò triết lý tìm cách phối hợp kiến thức nhân loại Ngày nay, tơ-pơ thâm nhập đến ngành tốn học đến trở thành cơng cụ khơng thể thiếu cho nhà tốn học đại, lý thuyết hay ứng dụng

106 Nói tơ-pơ ngành tốn học có nghĩa gì?

(25)

Chẳng hạn, tơ-pơ cho biết nghiệm tốn có tồn hay khơng thơng thường khơng cho biết cách tìm nghiệm

Tương tự, cho ta biết điều kiện hay khơng thể 107 Có ví dụ cụ thể khơng?

Lấy ví dụ đại số Chúng ta biết Định lí Đại số phát biểu đa thức bạc n với hệ số phức có nghiệm trường số phức

Đây tình đại số túy, tức phương trình có nghiệm hay không không tồn lời giải túy đại số cho toán quan trọng Tất chứng minh yêu cầu kiến thức giải tích hàm nhiều biến giải tích phức

(26)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia