TaiLieu.VN giới thiệu đến bạn Đề thi môn Toán vào lớp 10 năm 2020 có đáp án trường PT Năng khiếu ĐHQG TP.HCM nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập Toán một cách thuận lợi. Chúc các em thi tốt!
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU Năm học 2020 -2021 Mơn thi: TỐN (chun) HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x ax x bx với a, b tham số a) Chứng minh ab 16 thi hai phương trình có phương có nghiệm b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 Tìm a, b cho a b có giá trị nhỏ Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x y 3n với n số tự nhiên a) Chứng minh n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm nguyên x; y b) Chứng minh n lẽ phương trình cho có nghiệm ngun x; y Câu (3,5 điểm) Lấy điểm E Cho đường tròn O , dây cung BC không chứa O điểm A thay đổi cung lớn BC CAE 900 ACF BAF F thỏa mãn ABE a) Chứng minh AE AB AF AC b) Hạ AD vng góc với EF D EF Chứng minh tam giác DAB DAC đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định c) Gọi G giao điểm AD với đường tròn O , G A Chứng minh AD qua điểm cố định GB AC GC AB d) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) Cho số tự nhiên a 313 57 20 a) Gọi A tập hợp số nguyên dương k cho k ước a k chia hết cho 105 Hỏi tập hợp A có phần tử? b) Giả sử B tập A có phần tử Chứng minh ta ln tìm phần tử B tích chúng số phương Câu (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k tham số: x x x k y z yz y y y k z x zx z z z k x y xy a) Giải hệ với k b) Chứng minh hệ vô nghiệm với k k - HẾT - LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Điều kiện xác định M : x Với điều kiện này, ta có: ( x) −8 = x+2 x +4 M = ( )( ) x −2 x+2 x +4 = x+2 x +4 x − Do phương trình M x tương đương: x 2 x4 x x 2 x 2 x x x thỏa x Vậy x giá trị cần tìm b) Điều kiện để ba biểu thức M , N , P xác định x x Ta có: N x 1 x 43x 1 Do đó, ta có: Q x 1 x 2 3 x 1 x 43x 1 x x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 Vậy Q Câu a) Điều kiện: x x Phương trình tương đương x x 1 x x Ta có: 1 x 1 x 5 Do x x nên phương trình vô nghiệm x x Lại có 2 x x x Nhưng x x nên x 3 x x 1 x 6 phương trình vơ nghiệm Tóm lại phương trình cho vơ nghiệm b) Điều kiện để d d1 cắt m Ta lại có I thuộc d d1 , nên ta có hệ: 4m m 3m 2n mn n 27 m n c) Độ dài đường chéo AC đường kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD nên AC 10 (cm) Do mn Đặt AB a (cm) BC b (cm) với a, b Khi diện tích hình chữ nhật ABCD ab cm Theo giả thiết ta có: a b 28 a b 14 Lại có a b AC 100 a b a b 142 100 Suy ra: ab 48 Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD 48 cm Câu a) Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x 2mx Ta thấy ac 1 3 3 nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 trái dấu Do P ln cắt d hai điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x2 ; y 2 với m Áp dụng định lý Viete, ta có: x1 x2 2m x1 x2 Do y1 y2 2mx1 3 2mx2 3 2m x1 x2 4m Vậy y1 y2 4m b) Ta có: y1 x12 y2 x22 nên phương trình tương đương: x12 x22 x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Nếu x1 x2 x1 x2 x22 3 vơ lý Nếu x1 x2 2m hay m Vậy m giá trị cần tìm Câu Gọi x (tấn) lượng gạo nhập vào ngày thứ với x Khi lượng gạo nhập vào kho 36 216 36 ngày thứ hai, thứ ba, thứ tư 120% x x, 120% x x 120% x x 25 125 25 36 91 a) Tổng lượng gạo nhập vào kho sau ngày thứ ba x x x x (tấn) 25 25 91 Theo giả thiết ta có: x 91 x 25 25 Vậy ngày thứ kho hàng nhập 25 gạo 36 216 671 b) Sau ngày thứ tư, tổng lượng gạo nhập vào kho x x x x x (tấn) 25 125 125 Do đó, lượng gạo kho xuất ngày thứ năm thứ sau 671 671 x x Theo giả thiết ta có: 10 10 125 100 125 671 671 x x 50,996 x 50 10 125 100 125 Vậy ngày thứ kho hàng nhập 50 gạo Câu 671 x 10 125 900 a) Do M trung điểm AC nên OM AC OMC 900 Lại có AB AC OB OC nên AO trung trực BC AO BC ONC Từ suy tứ giác OCMN nội tiếp nên BDC 2 Ta có: AB AC nên ADC 1 AB AC suy DA tia phân giác BDC Mặt khác OM trung trực AC D OM nên DM trung trực AC 2 Suy DM phân giác ADC ADC 2ODC 4ODC Từ 1 2 suy BDC sd sd sd BD AC sd BD AB sd AD b) Ta có APC ACD 2 nên APC PAC ACD DAC Mà Suy tam giác APC cân CA CP APC DAC DBP nên tam giác BDP cân D Mặt khác ta có BPD nên DE BC Mà DE phân giác BDP DMC 900 nên tứ giác nội tiếp Suy ra: MEC MDC MDA Tứ giác DEMC có DEC BEF DAC MDA 900 Do EF BD hay ME BD Từ DBE MOC 1 c) Do tứ giác OCMN nội tiếp nên MNC AOC ADC MDC MEC NME MEC MEC MDC (câu b) nên NME Mặt khác ta lại có MNC Suy tam giác MNE cân N BCD EMD FMD Chú ý tứ giác ABDC EMCD nội tiếp nên ta có: FAD MDA MDC MEN BEF Do tứ giác FAMD nội tiếp Suy EFB Vậy tam giác BEF cân B Mà BD EF nên BD trung trực EF DF Suy DE DF , hay DE - HẾT - ... xuất ngày thứ năm thứ sau 671 671 x x Theo giả thi? ??t ta có: 10 ? ?10 125 100 125 671 671 x x 50,996 x 50 10 125 100 125 ... Khi diện tích hình chữ nhật ABCD ab cm Theo giả thi? ??t ta có: a b 28 a b 14 Lại có a b AC 100 a b a b 142 ? ?100 Suy ra: ab 48 Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD... gạo nhập vào kho sau ngày thứ ba x x x x (tấn) 25 25 91 Theo giả thi? ??t ta có: x 91 x 25 25 Vậy ngày thứ kho hàng nhập 25 gạo 36 216 671 b) Sau ngày thứ tư, tổng lượng gạo nhập vào kho