Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh n[r]
(1)Bài 1: Bài toán đường cao tam giác
Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE,CF cắt H
Yêu cầu bắt buộc : liệt kê đủ tứ giác nội tiếp diện hình ( vd: BCEF, ADEB,BFDH…… ) Tính chất 1: H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Cminh : +) AEDB nội tiếp nên ̂ ̂ ̂ ̂ nên ̂ ̂ nên DH phân giác góc ̂ , tương tự FH phân giác góc DFE
Tính chất 2: H Q đối xứng qua trục AB , tương tự H L đối xứng qua BC , H P đối xứng qua AC
Cminh :
+) H Q đối xứng qua AB ( trường hợp tương tự )
̂ ̂( AQBC nt ) ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ BA đường trung trực QH
(2)Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Tính chất 5: Suy từ phương tích tính chất ta có tính chất mở rộng sau : ARDM tgnt
ARFE tgnt điểm A,R,F,H,E thuộc đường trịn đường kính AH R,H,M,K thẳng hàng ( AR vng góc RK AR vuông RH )
H trực tâm tam giác ATM suy TH vng góc AM Tính chất 6: BLKC hình thang cân
CM: LK //BC nên BLKC hình thang mà BLKC lại tứ giác nội tiếp nên BLKC hình thang cân Tính chất 7: Bán kính OA vng góc đường nối chân đường cao EF ( đường cao từ B C ) CM : Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) , cm Ax// EF ( ̂ ̂ ( ̂)
Một số tính chất nâng cao từ tốn :
Tính chất 8: HP=HQ với P, Q giao điểm AB AC với đường thẳng qua H vuong góc HK ( HM với M trung điểm BC )
HPBK tgnt ̂ ̂ ̂ ̂
BHCK hbh ( cm ) nên góc HBK=góc HCK từ ̂ ̂ Tính chất 9: Từ C kẻ CN vng góc AK có MD=MN
Chứng minh :
+) ADCN tứ giác nội tiếp nên ̂ ̂
+) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ +)Tam giác OAC cân O nên ̂ ̂ ̂ ̂ nên MD=MN ( đpcm )
Bài tốn 2: điểm ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến đến đường tròn Bài 3.1
(3)Một số câu hỏi liên quan
1 MA2=MC.MD MB2=MC.MD ( chứng minh thông qua tam giác đồng dạng ) CHOD tứ giác nội tiếp ( chứng minh MH.MO = MC.MD =MA2)
3 HA tia phân giác góc ̂ ( chứng minh: góc ̂ ̂ ( ) dẫn đến góc phụ góc
4 Nếu gọi K giao điểm OI AB KC KD tiếp tuyến (O)( CM : có OI.OK=OH.OM ( tam giác đồng dạng OHK ) từ có đpcm thơng qua cặp đồng dạng tgOID tgODK)
5 E F giao diểm KC với MA MB , N giao điểm AB OE Khi FN vng góc OE
CM: ̂ ̂ ̂
đường tròn đường kính OF nên ̂ AD.BC = AC.BD ( tích cặp cạnh đối tứ giác
( CM : MAC đồng dạng MDA nên MDB nên
( đpcm )
(4)Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
8 điểm A,B,O,M,I thuộc đường tròn IM tia phân giác góc ̂ ( tự cm ) Bài tốn 3: Tính chất đường thẳng Sim Sơn đường thẳng Steiner
Đường thẳng Sim sơn
Tính chất : ABC nội tiếp đường tròn, M thuộc đường tròn , P,Q,K hình chiếu vng góc M lên cạnh AB,BC,CA Khi P,Q,K thẳng hàng ( đường thẳng qua P,Q,K gọi đường thẳng Sim Sơn tam giác ABC)
(5)Tính chất : M thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi N, P, Q đối xứng với M qua AB,BC,CA gọi H trực tâm tam giác ABC Khi điểm N,P,H,Q thẳng hàng ( nằm đường thẳng Steiner tam giác ABC )
Chứng minh : dựa vào tính chất thẳng hàng toán định lý Sim sơn nên N,P,Q thẳng hàng , +) Chứng minh AHBN tứ giác nội tiếp
CM: Vì M N đối xứng qua AB nên ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂
+) Tương tự tứ giác AHCQ nội tiếp BPHC nội tiếp ( chứng minh tương tự )
Để ý tứ giác AHBN nội tiếp AHCQ nội tiếp từ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ nên N,H,Q thẳng hàng cuối N,P,H,Q thẳng hàng
Bài toán 4: Bài tốn tam giác vng nội tiếp đường trịn Trích đề tuyển sinh 2012 TPHCM
H
O
B
C
A
E
F
Q
(6)Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Bài tốn : Cho đường trịn (O,R) đường kính BC Lấy điểm A đường trịn cho AB>AC Từ A kẻ AH vng góc BC từ H kẻ HE HF vng góc với AB AC
Tính chất : 1) AEHF hình chữ nhật ( tự chứng minh ) 2)BECF tứ giác nội tiếp ( AE.AB = AF.AC =AH2) 3) OA vng góc EF
Chứng minh : ( phương pháp cộng góc)
tam giác OAB cân O nên ̂ ̂ BEFC nội tiếp nên ̂= ̂ ̂ ̂
4)Chứng minh ; AP =AQ AP2=AE.AB AP=AQ=AH OA vuông EF hay OA vuông PQ mà OP=OQ nên AP=AQ
APE ( ) AP2=AE.AB AE.AB =AH2 nên AP=AQ=AH
5) EF cắt BC D, AD cắt (O) K chứng minh : AK vng góc KH
CM : DK.AD = DB.DC ( phương tích ) DE.DF =DB.DC( phương tích ) nên DK.DA=DE.DF suy EFKA tứ giác nội tiếp , kết hợp thêm AEHF nt điểm A,E,H,F,K thuộc đương trịn đường kính AH suy đpcm
6) Cminh : IH2=IF.IK
̂ ̂ ̂ 2=IF.IK
7) CM : KFCD tứ giác nội tiếp ( ̂ ̂ ̂ )
8) IH2=IC.ID (IC.ID =IF.IK theo phương tích IH2=IF.IK cm )
Bài 5: Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC tạo thành đường cao tam giác ABC
(7)1) Tính chất EFDO nội tiếp ( tính chất đường tròn Euler chứng minh )
2) KF.KE = KB.KC = KD.KO = KO2-R2 ( R: bán kính đường trịn đường kính BC )( chứng minh phương tích )
3) ANOD tứ giác nội tiếp AN2=AH.AD( AN2= AE.AC =AH.AD ) 4) OA vng góc HN
Chứng minh : ANH đồng dạng AND( c.g.c) ̂ ̂ ̂ ̂ ( ONAD nt ) Nên ta có ̂ ̂ ̂ ̂
5) KD.DO= R2-OD2=DB.DC =DH.DA ( ý DB.DC = R2-OD2 DB.DC =DH.DA )
Chứng minh : ta có KD.DO+DO2=DO ( KD+DO)= DO.KO =KO(KO – KD)= KO2 -KO.KD = R2 ( theo tính chất 2)
6) K,H, N thẳng hàng ( gợi ý : chứng minh H trực tâm tam giác OKA hệ thức DH.DA = KD.DO
H F
E
O C
A
K B D
N
R I
H F
E
O C
A
K B D
(8)Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
9) R trực tâm tam giác BIC
Chứng minh : DR.DI = DI2- IR.ID =DI2- IE2= DI2- IA2= (DI-IH) ( DI+IA)= DH.DA = DB.DC nên tam giác DBR đồng dạng DIC từ có đpcm
10) Chứng minh :
(9)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh,
nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I
Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS
lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho
học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III
Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn