các bài ôn thi học sinh giỏi §ò «n thi sè 1 1 gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 t×m gi¸ trþ nhá nhêt cña bióu thøc 3 chøng minh r»ng nõu vµ th× ta cã 4 cho c¸c sè thùc x y z t sao cho t×m gi¸ trþ lín nhêt vµ

Chøng minh r»ng:.[r]

Đề ôn thi số

1/ Giải phơng trình:

2

x 3x x x

3

 

2/ Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

2x S x x     .

3/ Chøng minh r»ng nÕu

0 x   

vµ

 

  

th× ta cã:

sin x cos x

tan tan

4sin 4cos                   .

4/ Cho c¸c sè thùc x, y, z, t cho:

2 2

x y z t

x y z t

    



   

 Tìm giá trị lớn nhỏ nhất

cđa biĨu thøc: P = xy +yz + zt + tx

5/ Giải biện luận phơng trình: x x 4    x x 4  a, (x 4)

6/ TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:

6 65

A tan tan tan

18 18 18

  

  

7/ Giả sử a, b, c ba số dơng thoả m·n ®iỊu kiƯn abc = Chøng minh r»ng:

3 3

2 2

3 a (b c) b (c a) c (a b)      .

8/ Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm:

2

2

1 a

x 2xy 7y

a

3x 10xy 5y

             .

9/ Chøng minh r»ng:

1 sin 14 3cos 2sin 14      10/ Cho x số thực thoả mãn đẳng thức:

x x

(3 2) ( 1) 3 Chøng minh r»ng:

x

( 1) 2cos

9 

 

11/ Giải phơng trình:

2 x

2x 4x , (x 1)

2 

  

12/ Cho tam gi¸c ABC vuông A, BC = a, CA = b, AB = c Tìm quỹ tích điểm M thoả m·n: a MA2 b MB2 c MC2 2b c2

13/ Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc:

A B C

T tan tan tan

4 4



, với A, B, C ba góc tam giác ABC

14/ Cho ®a thøc f (x) x 4ax3bx2 cx d với a, b, c, d sè Gi¶ sư

f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30 H·y tÝnh

f (12) f ( 8) 15 10

 



15/ Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 2

52

a b c 2abc

27     .

16/ Cho tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên Hai số số nguyên tố hiệu chúng 50 Hãy tính giá trị nhỏ mà cạnh thứ ba nhận đợc

17/ Cho ®a thøc

5

P(x) 16x ax bx cx dx e Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e

sao cho P(x) 1,   x  1;1

3

x y z x y z

1 1

y z x xyz

 

      

         

   

  

.

2/ Với giá trị không âm tham số a, hÃy giải bất phơng trình: 2

a x 6a x  x 9a 0   .

3/ T×m a, b, c cho

2

f (x) ax bx c thoả mÃn điều kiÖn: f (x) 1,   x  1; 1 vµ

sao cho biĨu thøc

2

8

k a 2b

3

 

đạt giá trị lớn

4/ Giải bất phơng trình: 9x216 2x 4 x

5/ Giải phơng tr×nh: a/

3

1 x

x

 

 b/ 3 7x 1  x2  x 8 3 x2 8x 2 

6/ Gäi A, B, C ba góc tam giác ABC Tìm giá trị lớn sinC, biết

2

2

sin A sin B

m, m

sin C



 

7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G nội tiếp đờng trịn bán kính R Các đờng trung tuyến xuất phát từ A, B, C kéo dài cắt đờng tròn theo thứ tự D, E, F Chứng minh rằng:

3 1 1 1

3( )

R GD GE GF   AB BC CA  .

8/ a) Chøng minh r»ng:

2 2

sin ( ) sin ( ) sin ( )

7 7

  

  

b) Giả sử (x; y; z) nghiệm hệ phơng trình:

x y(4 y) y z(4 z) z x(4 x)

 

 

 



  

 HÃy tìm giá trị mà

tng S = x+y+z nhận đợc 9/ Cho tứ giác ABCD có

0

AD 3, ABDACD 60

, E F tâm đờng tròn

nội tiếp tam giác ABD ACD,

3 EF

2  

10/ Chứng minh bất đẳng thức:

3

cos x cos 2x cos 4x cos8x

2



11/ Giải hệ phơng tr×nh:

3 2

2

(2 x)(3x 2z) z

y 3y x 3x

y z 6z

z

   



    

 

 



 

 .

12/ Xét phơng trình: x2 3x m x  4x2 1, m tham số, x ẩn số

a) T×m nghiệm thực phơng trình cho

3 m

3 

b) Tìm tất tham số thực m để phơng trình có số lẻ nghiệm thực