- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]
(1)CHƢƠNG 4: GIỚI HẠN
VẤN ĐỀ : GIỚI HẠN DÃY SỐ A- LÝ THUYẾT
Một số giới hạn thường gặp:
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1.Giới hạn đặc biệt:
lim
nn ;
1
lim ( )
k
n n k
lim n ( 1) nq q
; lim
nCC 2.Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b
lim n
n
u a
v b (nếu b 0) b) Nếu un 0, n lim un= a
a lim un a
c) Nếu un vn,n lim =
thì lim un =
d) Nếu lim un = a limun a
3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + … =
1 u
q
q1
1 Giới hạn đặc biệt:
lim n ,limnk (k ) limqn (q1)
2 Định lí:
a) Nếu limun lim n u b) Nếu lim un = a, lim = lim n
n u v = c) Nếu lim un = a 0, lim =
lim n n u v =
n n neáu a v neáu a v
d) Nếu lim un = +, lim = a
lim(un.vn) =
0 neáu a neáu a
* Khi tính giới hạn có dạng vơ định:
0,
, – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định
B- BÀI TẬP Bài 1: Tính giới hạn sau:
a) b) n n
n n
2
3
lim
7
c)
3
4
2 lim
3 2
n
n n d)
n n
n n
3
2
lim
2
e)
2
2 lim
4
n n
f)
n n
n
1 lim
3
g)
2
3
lim
4 n n
h)
3
6
lim
7
n n
n n
i)
2
2
lim
7
n n
n n
j)
2
4
1 lim
1
n n
n n
k)
3
8
lim
2
n n
l)
2
lim
1
n n n
n n
Bài 2: Tính giới hạn sau:
a) lim1 n n
b)
1 4.3 lim
2.5 n n n n
c)
1
4
lim
5
n n
n n
d)
1 lim
1 n n
n
2
lim n n
(2)e)lim1 2.3 2.7
n n
n n
f)
1 2.3 lim
2 (3 5) n n n n
e)
n n 5
2
lim
3
f)
n n n n ( 1) 4.3 lim
( 1) 2.3
Bài 3:Tìm giới hạn sau:
a)lim4n3 3n 1 b) lim 2 n6n63c) lim 2 n4n2nd) lim 2 n8n2
Bài 4: Tính giới hạn sau:
a) lim n22n 3 n b) lim n 1 n c) lim n2 1 n22 d)
2
3 1
lim n n
n
e) 3
lim n 2n n f) lim n2 2 3n32n
Bài 5:Tổng cấp số nhân vô hạn
n n 1 1
, , , , , 18 2.3 Bài 6: Tính giới hạn sau: a)
2
2
n 4n 4n
lim
3n n
b)
3 n
2n 2 lim
5
c)
2
1 n lim
2n n Bài 7: Cho dãy số (un) với
2 n
n
u 2 Tính giới hạncủa (un)
Bài 8:Hãy biễu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,271414…dưới dạng số hữu tỉ
VẤN ĐỀ : GIỚI HẠN HÀM SỐ
A- LÝ THUYẾT
1-Một số dạng thường gặp Dạng 1:Tính giới hạn hàm phép thế :
0
0 lim ( )
x x
f x f x
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
2
3
4
0 1
2
2 3
) lim ) lim ) lim ) lim
4 1
x x x x
x x
x x x x
a x x b c d
x x x x
Dạng 2: Dạng vơ định 0
0: Tìm
( ) lim
( ) x x
f x g x
(với 0
lim ( ) lim ( ) xx f x xx g x )
Phƣơng pháp: Khử dạng vô định
Chia tử mẫu cho xx0:
0 0
0 1
0 1
( ) ( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x f x f x
f x
g x x x g x g x
Nếu
1
( ) lim
( ) x x
f x g x
có dạng
(3)hợp, trước chia tử mẫu cho xx0
Bài 2: Tìm giới hạn sau:
2 15 ) lim x x x a x 2 ) lim x x b x x 2 ) lim x x x c x x 2
6
) lim
2
x x x d x x 2
2 ) lim x x x e x 2
2 ) lim
4 18 10 x x x f x x
2 2
3
) lim
3
x g
x x x x
Bài 3: Tìm giới hạn sau:
0 ) lim x x a
x
3 ) lim 2 x x b
x 2
2 ) lim x x x c
x x
2 ) lim 49 x x d x 5 ) lim 25 x x e x
1 ) lim x x f x 1 )lim x x x g
x
8 15
)lim x x x h x x
DẠNG 3: DẠNG VÔ ĐỊNH
[ ( ) lim ( ) x f x g x ]
Đặt nhân tử chung n
x tử mẫu sau rút gọn (với n số mũ bậc cao nhất biến x)
Nếu f x( ) hay g x( ) có chứa biến x dấu đưa xk ngồi dấu (với k số mũ cao x dấu căn)
Chú ý:
0 x x x x x x , 3
x x
Bài 4: Tìm giới hạn sau:
2
2
2 3 1
) lim
2 3 4
x x x a x x 2 2 3 ) lim
4 1 3
x
x x x b
x x
3 ) lim x x c x 4 1 ) lim 2 x x d x
DẠNG 4:
Khử dạng vô định : Nhân chia biểu thức liên hợp có biểu thức chứa biến dấu thức
Bài 5: Tìm giới hạn sau:
) lim
x
a x x x ) lim 3
x
b x x x ) lim 2 2 3 1
x
c x x x
) lim
x
d x x ) lim 2
x
e x x x 3
) lim
x
(4)3
) lim
x
g x x x 2
x
h) lim x x x x
3
x
k) lim x x
2- Giới hạn vô cực Bài 6: Tìm giới hạn sau:
2
1 ) lim ) lim
4
x x
x
a x x x b
x
2
) lim x
c x x x
2
3 ) lim
3
x
x x
d
x 3- Giới hạn bên
Bài 7: Tìm giới hạn sau:
2
1 )lim
1
x
x a
x
2
1 )lim
1
x
x b
x 2 2
3 6
) lim ) lim
2
x x
x x
c d
x x
2
1
3 ) lim
1
x
x x e
x
2
5 10 )lim
25
x
x x
f
x
Bài 8: Cho hàm số
2
3
, 1
( )
,
x x
x x
f x
x
x
Tìm
1
lim ( ) ; lim ( )
x f x x f x ;lim ( )x1 f x (nếu có)
Bài 9: Cho hàm số
2
4
,
( )
1 ,
x
x
f x x x
m x x
Với giá trị m hàm số y f x( )có giới hạn x2 Tính giới hạn
Bài 10: Cho hàm số
,
( ) 9
,
x x x
f x x
m x x
(5)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
- - - - -