Từ giả thiết ta nghĩ đến việc chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra bốn cạnh của tứ giác MNPQ bằng nhau, ta được tứ giác này là hình thoi.. Sau đó chứng minh hai đường chéo bằng [r]
(1)A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa
Hình thoi tứ giác có bốn cạnh (h.6.1)
Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh (h.6.2)
Hình 6.1 Hình 6.2
2 Tính chất
* Trong hình thoi:
Hai đường chéo hình thoi vng góc với nhau;
Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi; * Hình vng có đủ tính chất hình chữ nhật hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết
* Nhận biết hình thoi:
Tứ giác có bốn cạnh hình thoi;
Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi;
Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi;
(2) Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng; Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng;
Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng; Hình thoi có góc vng hình vng;
Hình thoi có hai đường chéo hình vng B BÀI TẬP VẬN DỤNG
I MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD, độ dài cạnh 13cm Gọi O giao điểm hai đường chéo Vẽ OH AD Biết OH = 6cm, tính tỉ số hai đường chéo BD AC
Giải * Tìm cách giải
Vẽ thêm BK AD để dùng định lí đường trung bình tam giác, định lí Py-ta-go tính bình phương độ dài đường chéo
* Trình bày lời giải Vẽ BK AD
Xét BKD có OH // BK (vì vng góc với AD) OB = OD nên KH = HD
Vậy OH đường trung bình BKD
Suy OH 1BK,
BK = 12cm
Xét ABK vng K có AK2 = AB2 – BK2 = 132 – 122 = 25 AK = 5cm KD = 8cm
Xét BKD vng K có BD2 = BK2 + KD2 = 122 + 82 = 208 Xét AOH vng H có OA2 = OH2 + AH2 = 62 + 92 = 117
2
2
AC
117 AC 468
Do BD22 208 BD
468 AC
(3)Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân A, hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D, cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi
Giải * Tìm cách giải
Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh tứ giác DNGM hình bình hành Sau chứng minh hai cạnh kề
* Trình bày lời giải
ABE = ACF (cạnh huyền, góc nhọn) AE = AF BE = CF
Vì H trực tâm ABC nên AH đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ GB = GC DE = DF
Xét EBC có GN // BE (cùng vng góc với AC) GB = GC nên NE = NC Chứng minh tương tự ta MF = MB
Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh DM // GN DM = GN nên tứ giác DNGM hình bình hành
Mặt khác, DM = DN (cùng
2 hai cạnh nhau) nên DNGM hình thoi
Ví dụ 3. Cho hình vng ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Vẽ ME AD, MF CD MH EF Chứng minh điểm M di động AC đường thẳng MH qua điểm cố định
Giải * Tìm cách giải
Vẽ hình xác ta thấy đường thẳng MH qua điểm cố định điểm B Vì ta chứng minh ba điểm H, M, B thẳng hàng cách chứng minh M1M 2
* Trình bày lời giải
Gọi N giao điểm đường thẳng EM với BC
(4)Nối MB ta BMN = EFM (c.g.c) Suy B1E1 M1M 2
Từ ba điểm H, M, B thẳng hàng
Vậy đường thẳng MH qua điểm cố định điểm B
Ví dụ 4. Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho chu vi tam giác CMN 2a Chứng minh góc MAN có số đo khơng đổi
Giải * Tìm cách giải
Vẽ hình xác ta ln thấy MAN45 o Vì ta vẽ hình phụ tạo góc 90o chứng minh MAN nửa góc vng
* Trình bày lời giải
Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho DE = BM BAM = DAE (c.g.c) suy AM = AE BAMDAE
Ta có BAM DAM 90o
o
DAE DAM 90
hay EAM90 o
Theo đề bài, CM + CN + MN = 2a mà CM + CN + MB + ND = 2a nên MN = MB + ND hay MN = DE + ND = EN
MAN = EAN (c.c.c) MAN EAN EAM 45 o
Vậy góc MAN có số đo khơng đổi
Ví dụ 5. Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm M, N, P cho AM = BN = CP Qua N vẽ đường thẳng vng góc với MP cắt AD Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng
Giải * Tìm cách giải
(5)* Trình bày lời giải
Vẽ ME CD, NF AD
Gọi O giao điểm ME NF
Ta có AB = BC = CD = DA mà AM = BN = CP nên BM = CN = DP Dễ thấy tứ giác AMOF hình vng
EMP FNQ có:
o
E F 90 ; ME = NF (bằng cạnh hình vng); EMPFNQ (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) EMP = FNQ (g.c.g) MP = NQ EP = FQ
Ta có DE = AM = AF DP = AQ DQ = CP
Các tam giác BNM, CPN, DQP AMQ suy MN = NP = PQ = QM
Do tứ giác MNPQ hình thoi Hình thoi có hai đường chéo nên hình vng
II LUYỆN TẬP Hình thoi
6.1. Một hình thoi có góc nhọn 30o Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến cạnh h Tính độ dài cạnh hình thoi
6.2. Cho hình thoi ABCD, chu vi 8cm Tìm giá trị lớn tích hai đường chéo
6.3. Cho hình thoi ABCD, A40 o Gọi M trung điểm AB Vẽ DH CM Tính số đo góc MHB
6.4. Cho hình thoi ABCD Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa điểm C, vẽ hình bình hành BDEF có DE = DC Chứng minh C trực tâm tam giác AEF
6.5. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Gọi E, F, G, H giao điểm đường phân giác tam giác AOB, BOC, COD DOA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi
6.6. Dựng hình thoi ABCD biết AC + BD = 8cm ABD25 o Hình vng
(6)cạnh AD lấy điểm G cho AG 1AD
Tính tổng AEG AFG ACG.
6.8. Cho hình vng ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm M Vẽ ME AD, MF CD Chứng minh ba đường thẳng AF, CE BM đồng quy
6.9. Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACFG Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng AH, DE FG đồng quy; b) Ba đường thẳng AH, BF CD đồng quy
6.10. Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E Trên tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF Gọi O trung điểm EF Vẽ điểm M cho O trung điểm DM Chứng minh tứ giác DEMF hình vng
6.11. Cho tam giác ABC, A45 o Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AC, HB HC Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng 6.12. Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành hình vng có cạnh cạnh hình bình hành Gọi E, F, G, H tâm (tức giao điểm hai đường chéo) hình vuông vẽ cạnh AB, BC, CD DA Chứng minh EG = HF EG HF
6.13. Dựng hình vng ABCD biết đỉnh A trung điểm M CD
6.14.Một bàn cờ hình vng có kích thước 66 Có thể dùng mảnh gỗ hình chữ nhật có kích thước 14 để ghép kín bàn cờ khơng?
(7)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia