Xaùc ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu vaø vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò ñoù6. a..[r]
(1)Bài Tóan Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số Điều kiện để hàm số đơn điệu khỏang cho trước
Bài Tóan Tìm m để y = f(x,m) tăng ( giảm) khỏang I cho trước + Tính y’ = f’(x,m)
+ Định m để f’(x,m) ≥ (≤ 0) x I
+ Lưu ý Các định lý dấu tam thức bậc II có so sánh số , với nghiệm tam thức bậc II
Chaúng haïn: cho f(x) = ax2 + bx + c (a# )
f(x) ≥ 0, x R {
a>0 Δ≤ 0
f(x) ≤ 0, x R {
a<0 Δ≤ 0
f(x) ≥ 0, x < {
a>0
Δ≤ 0 { a ≠ 0 Δ>0 af(α )>0
S
2−α <0
…
Lưu ý: Nếu miền xác định y D = R \ {x0} thì
y đồng biến ( ; +∞) {
y ' ≥ 0∀ x >α x0<α
y nghịch biến ( ; +∞) …
Ví Dụ Minh Họa
VD1: Tìm m để hàm số y = - x3 + mx2 - m tăng khoảng (1;2)
Giải: Miền xác ñònh: D = R y’ = -3x2 + 2mx
Để hàm số đồng biến khoảng (1;2) y’ ≥ x (1;2)
-3x2 + 2mx ≥ x (1;2)
Ta coù Δ ’ = m2
TH1: Nếu Δ ’≤ m2 ≤ m = y’≤ x Suy hàm số ln giảm: không thỏa yêu cầu đề
TH2: Nếu Δ ’ > m ≠ phương trình y’ = có nghiệm x1<x2
x - ∞ x1 x2 + ∞
y’ - 0 + 0
-y
Dựa BBT ta thấy: Hàm số tăng (1;2) x1 ≤ < ≤ x2
{af(1)≤ 0af(2)≤ 0 {− 3(− 12+4 m)≤ 0−3(−3+2 m)≤ 0 m ≥ 3
Vậy hàm số tăng khoảng (2;3) m ≥ 3
Cách 2: phương pháp miền giá trị Ta có y’ = -3x2 + 2mx
Để hàm số đồng biến khoảng (1;2) y’ ≥ x (1;2) -3x2 + 2mx ≥ x (1;2)
m ≥ 3 x
2
2 x x (1;2) suy m ≥ giá trị haøm g(x) = 3 x2
2 x =
3
2x x (1;2)
(2) g(1) = 3/2 g(2)= (max)
Suy miền giá trị hàm g(x) là: T[3/2; 3]
Vì m phải ≥ giá trị hàm g nên phải ≥ giá trị lớn nhất Vậy m ≥ thỏa YC đề
VD2: Xác định m để hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m +5)x + đồng biến khỏang (2; +∞ )
Ta coù y’ = 3x2 – 6(2m+1)x + 12m +5
Để hàm số đồng biến (2; +∞ ) y’ ≥ x (2; +∞ ) 3x2 – 6(2m+1)x + 12m +5 ≥ x (2; +∞ )
3x2 – 12mx -6x + 12m + ≥ x (2; +∞ ) 3x2 – 6x + ≥ 12m(x – 1) x (2; +∞ ) 12m ≤ 3x
2- 6x + 5
x-1 x (2; +∞ )
12m ≤ giá trị hàm g(x) x (2; +∞ ) Ta coù g’(x) =……
… … … …
m ≤ 5/12 thỏa yc đề.
Cách 1: Ta có y’ = 3x2 – 6(2m+1)x + 12m +5
Để hàm số đồng biến (2; +∞ ) y’ ≥ x (2; +∞ ) 3x2 – 6(2m+1)x + 12m +5 ≥ x (2; +∞ )
Ta coù Δ=6(6 m2−1)
TH1: Neáu ∆ ≤ 6m2 – ≤ 0
−
√6≤ m≤
√6 (1)
y ≥ suy hàm số đồng biến x nên đồng biến (2; +∞ ) ( thỏa YCĐ) TH2: Nếu ∆ > 0
6m2 – > m < -
√6 v
√6 < m
(3)m < -
√6 v
√6 < m ≤
12 (2)
từ (1) (2) ta suy YCĐ m ≤ 5/12 Một số tập:
Bài 1: Xác định m để hàm số sau đồng biến khoảng xác định nó: a y = x3 – 3(2m+1) x2 + (12m +5)x +2
b y = x3 + (m-1)x2 + (m2 – 4) x + 9
c y = x −mx+m d y = 2 x2− x +m
x −2
Bài 2: Xác định m để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó: a y = -x3 + (3-m)x2 – 2mx + 2
b y = mx −1x +2
c y = -x + msinx ÑS: m [-1;1]
Bài 3:
a Tìm m để hàm số y = 2 x2− x +m
x −1 đồng biến khoảng (3; +∞ )
b Tìm m để hàm số y = x2−2 mx+m+2
x −m đồng biến >1.
c Tìm m để hàm số y = mx2+6 x − 2
x +2 nghịch biến ( 1; + ∞ )
d Tìm m để hàm số y = x3 – 3(2m+1)x2 + (12m+5)x + đồng biến (-∞ ; -1), (2; +∞)
ÑS: a m ≤ 9; b m ≤ 3 −4√17 c m ≤ -14/5 d m [− 12;
5 12 ]
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – (m-1)x2 – (m+3)x + 2m định m để hàm số :
a tăng R
b nghịch biến (-1;0) c Tăng (0; +∞ )
Bài 5: Cho hàm soá y = x2+mx −5
3 − x định m để hàm số:
a Giảm khoảng xác định b Giảm (-1;0)
c Tăng (-2;2)
(4)Vấn Đề 2 Cực Trị Của Hàm Số
Phương Pháp:
Dấu Hiệu 1: ( Qui tắc dấu đạo hàm)
- Tìm miền xác định hàm số - Tính đạo hàm y’
- Lập bảng biến thiên Ví dụ: Tìm điêm cực trị hàm số:
a y = x + 1x
miền xác định D = R \ {0} y’ =
x2−1
x2
y’ = x
2 – = x=1( y=2) x=−1( y=−2)
¿
BBT:
Ví dụ 2: y = xe-x
Miền xác định D = R
Dấu Hiệu 2: ( Qui tắc đạo hàm cấp II)
Mieàn xác định Tíng y’, y”
Giải phương trình y’ = để tìm nghiệm, giả sử x1, x2…,xn Tính y”(xi)
o Nếu y”(xi) < => y đạt cực trị xi o Nếu y”(xi) < => y đạc cực tiểu xi
Lưu ý: Dấu hiệu dùng tính đạo hàm cấp dễ dàng hay có nhiều cực trị Ví Dụ: Tìm Cực Trị hàm số
a y = x2ex
Miền xác định D = R y’ = e
x(x2 + 2x)
y’ = (x
2 + 2x) = 0 ( ex
> 0)
x=0 x=2
¿
y” = ex(x2 + 4x + 2)
(5)b y = x2lnx
Miền xác định D = ( 0; + ∞ ) y’ =
c y = x – lnx
(6)Tìm Điều Kiện Để Hàm Số Có Cực Trị Phương Pháp:
Tìm miền xác định tính y’
y có cực trị hay khơng có cực trị tùy thuộc vào y’ có nghiệm hay khơng (có bao
nhiêu nghiệm) nghiệm y’ có đổi dấu hay khơng?
Đặc biệt:
o y’ tam thức bậc hai: y’= ax2 + bx + c (a # 0) y có cực trị ∆ >0 lúc y có cực
đại cực tiểu
o Nếu tóan nói rõ cực trị cực đại hay cực tiểu ta phải kiểm lại với m vừa tìm
được đạt cực đại hay cực tiểu cách Cách 1: xét dấu y’ lập bảng biến thiên Cách 2: dùng dấu hiệu đạo hàm cấp hai Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y = x2+mx+1
x +m đạt cực đại x = 2
Miền xác định D = y’ =
x +m¿2 ¿
x2+2 mx+m2− 1
¿
Hàm số đạt cực đại x = => y’(2) = => m= -1 m = -3 Với m = -1
o y’ =
x − 1¿2 ¿
x2−2 x
¿
; y’ = x=0x=2
¿
o BBT
với m = -3 y’=
BBT cho thấy hàm số đạt cực đại x = m =
Ví dụ 2: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – (m2 – 1) Định m để hàm số đạt CĐ x= 1
Bài Tập:
1 Xác định m để hàm số đạt cực đại cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó
a y = 13 x + 2mx2 + (m+6)x -1
b y = mx3 – 2x2 + x
c y = − x2+mx− m2
x − m
(7)a Định m để hàm số có cực tiểu khơng có cực đại b Đinh m để hàm số có cực tiểu cực đại 3 y = x3- 3x2 + 3mx + – m
a với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu ?
b Giả sử đồ thị hàm số có cực đại M1(x1,y1) có cực tiểu M2(x2; y2) CMR y1− y2
(x1− x2)(x1x2−1)=2
4 y = (m+1) x2− mx−(m3− m2− 2)
x −m
với giá trị m hàm số đạt CĐ CT khoảng ( 0; 2)? 5 Cho hàm số y = x3 – 2x2 – mx + 2
a Xác định m để hàm số đồng biến x > 3
b Xác định m để hàm số nghịch biến ( -1; 2)
c Xác định m để hàm số có cực tiểu với hòanh độ nhỏ 2
6 Cho hàm số y = x24 - ax2 + b Định a b để hàm số đạt cực trị -2 x 0 = 1
7 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m-2)x – m – Định m để đồ thị hàm số:
a Cắt trục hòanh điểm
b Cắt trục hòanh điểm phân biệt 8 Cho hàm số y = x2+(2m+3)x +m2+4 m
x+m Định m để hàm số có hai cực trị giá trị trái dấu
nhau.
9 Cho hàm số y = x2−3 x+m
x − m Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện | yCĐ –