Đang tải... (xem toàn văn)
Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H lấy một điểm S khác với H. Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC. Chứng minh SH= SK, OH = OK, và HK song song với BD.. c) Chứ[r]
(1)QUAN HỆ VNG GĨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I Hai đường thẳng vng góc
Định nghĩa 1: (a, b) = (1, 2) 1 2 = O, 1 // a, 2 // b Định nghĩa 2: a b (a, b) = 900.
II Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa 1: a () a ().
Định lý 1:
¿ d ⊥ a ⊂(α)
d ⊥ b ⊂(α)
a ∩ b = O ⇒ d ⊥(α)
¿{ { ¿ Các tính chất:
1 ! mp()O (), a () với điểm O đường thẳng a cho trước ! Đường thẳng O , () với điểm O mp() cho trước + () a, a // b () b
+ a ≠ b, a (), b () a // b + a (), () // () a ()
+ () ≠ (), () a, () a () // () + a // (), () a
+ a , () , a () a // ()
Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương l mp(P) gọi phép chiếu vng góc lên mp(P)
Định lý ba đường vng góc:
¿
a ⊥ (α), b ⊂(α ) a' h/c cua a (α) b ⊥ a ⇔ b ⊥ a'
¿{
¿
Định nghĩa 3:
+ a () (a, ()) = 900.
+ a () (a, ()) = (a, a’) với a’ hình chiếu a () B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG. 1 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
+/ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng b, c cắt nằm ( )
+/ Cách 2: Chứng minh
// '
( ) ' ( )
d d
d
d
+/ Cách 3: Chứng minh
( ')
( ) ( ') //( )
d
d
2 Chứng minh đường thẳng vng góc với nhau. +/ Cách 1: Chứng minh ( , ) 90a b
+/ Cách 2: Tìm hai vec tơ phương u
v
(2)VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; SA (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD
a) Cm: BC (SAB); CD (SAD); BD (SAC)
b) Cm: AH SC; AK SC T suy AH, AI, AK chứa mp c) Cm: HK (SAC) Từ suy HK AI
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có Δ ABC vng B, SA (ABC)
a) Cm: BC (SAB) b) Gọi AH đường cao Δ SAB Cm : AH SC Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết : SA = SC SB = SD.
a) CM: SO (ABCD)
b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC Chứng minh : IJ (SBD)
Bài 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H điểm thuộc mp (ABC) cho OH vng góc với mp (ABC) Chứng minh rằng:
a) BC vng góc với mp (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC c)
OH2=
1 OA2+
1 OB2+
1 OC2
Bài 4: Cho hình vng ABCD, H trung điểm AB, K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với mp (ABCD) H lấy điểm S khác với H Chứng minh:
a) AC vng góc với (SHK) b) CK vng góc với DH Ck vng góc với SD
Bài 5: Tứ diện SABC có SA vng góc với (ABC) Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC. Chứng minh :
a) AH, SK BC đồng quy b) SC vng góc với (BHK) c) HK vng góc với (SBC)
Bài 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SB = SD a) Chứng minh (SAC) mặt trung trực đoạn BD
b) Gọi H K hình chiếu vng góc A SB SD Chứng minh SH= SK, OH = OK, HK song song với BD
c) Chứng minh (SAC) mặt trung trực đoạn HK
DẠNG 2: TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1 PHƯƠNG PHÁP :
Cho đường thẳng d cắt mp ( ) điểm O d,( ) 900 Để tính góc d,( ) ta thực bước sau:
+/ Lấy A d A O ( )
+/ Chiếu vng góc A xuống ( ) ta điểm H
+/ Ta có d,( ) =AOH
Chú ý: +/ Nếu d ( ) d,( ) =900
+/ Nếu d khơng vng góc với ( ) d,( ) =d d, ' với d’ hình chiếu d ( )
2 BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC Tam giác ABC vuông cân B có BA=a, SA(ABC), SA=a, AK đường cao của
tam giác SAB
a) Tính sin góc SC (SAB) b) Tính góc AH (SBC)
Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a điểm S mp (ABC) cho SA = SB = SC= 2 a√3
3
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC)
(3)DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VỚI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a; SA vng góc với mp (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB; α mp qua M, vng góc với AB Đặt x = AM (0<x<a)
a) Tìm thiết diện hình chop SABCD với α Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh = a, SA vng góc với (ABC) SA = 2a Gọi
α mp qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC vói α diện tích thiết diện
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B AB = a SA vng góc với mp (ABC) SA = a√3 Gọi M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM = x (0<x<a) Gọi α mp qua M vuông góc với AB
a) Tìm thiết diện tứ diện SABC với α
b Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm giá trị x đểdiện tích thiết diện có giá trị lớn Bài 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mp (ABC) tai O Lấy điểm S cho Ó = 2a Gọi I điểm OH, đặt AI =x, (a<x<2a), α mp qua I vng góc với OH
a) Xác định α
b) Dựng thiết diện α với tứ diện SABC Thiết diện hình gì? c) Tính theo a x diện tích thiết diện
Bài 3: Tứ diện SABC có mặt ABC SBC tam giác cạnh a SA = a√3
2 M điểm
đoạn AB, Đặt AM = x (0 < x < a) Gọi α mp qua M vng góc với BC a) D trung điểm BC, chứng minh α song song với (SAD) b) Xác định thiết diện α với tứ diện SABC