Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn I.. Kh¸i niÖm vÒ ph¬ng tr×nh.[r]
(1)Phơng trình bậc ẩn I Khái niệm phơng trình Phơng trình bậc Èn.
1 VÝ dơ
VÝ dơ 1: Gi¶i phơng trình: a2x + b = a(x + b) Giải:
a2x + b = a(x + b)
a2x + b = ax + ab
a2x – ax = ab -b
ax(a – 1) = b(a -1) (1)
NÕu a ≠ , a ≠1 th× phơng trình có nghiệm
Nu a = (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm với x
Nếu a = (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm với x b = 0, phơng trình vơ nghiệm b ≠ 0
VÝ dụ 2: Giải phơng trình:
Giải:
Phng trình có hệ số chữ mẫu thức Điều kiện để phơng trình có nghĩa a ≠ ±1 Với điều kiện này, phơng trình cho tơng với
(a+x)(a+1) – (a-x)(a – 1) = 3a Sau biến đổi ta đợc: 2ax = a (1)
Nếu a 0, phơng trrình có nghiệm nhÊt
Nếu a = 0, phơng trrình (1) trở thành 0x = 0, nghiệm với x Kết luận: Nếu a ≠ , a ≠± 1 , phơng trình có nghiệm
Nếu a = 0, phơng trình nghiệm với x Nếu a = ±1 , phơng trình vơ nghim
Bài tập vân dụng Bài 1: Tìm giá trị m cho phơng trình:
a) 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80 cã nghiÖm x = b) 3(2x + m)(3x + 2) – 2(3x + 1)2 = 43 cã nghiÖm x = 1.
Bài 2: Giải phơng trình sau: a) 315 − x
101 +
313 − x 103 +
311− x 105 +
309 − x
107 +4=0 b) x − a
a− 4+
x +a −1
a+4 +
x − a
16 −a2=0 c) x −b − c
a +
x − c − a
b +
x − a −b
c =3
d) x −1 a −1+
1 − x 1+a −
2 x −1 1 −a4=
2 a2(x 1)
a41 II Phơng trình chứa Èn ë mÉu thøc. 1 VÝ dô
VÝ dô 3: Giải phơng trình: 1 x=
2 4 x+1−
8+6 x 16 x2− 1
x=b a
a+x a− 1−
a − x
a+1=
3 a
a2−1
x=1
2
x=1
(2)Gi¶i: NghiƯm cđa phơng trình có, phải thoả mÃn điều kiện x ≠ ±
4 Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(4x + 1) = 2(1 - 4x) + (8 + 6x) 14x =
x =
Giá trị thoả mÃn điều kiện Vậy phơng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = VÝ dụ 4: Giải phơng trình:
3 5 x 1+
2 3 −5 x=
4
(1− x)(5 x 3)
Giải: Điều kiện nghiệm sè, nÕu cã, lµ x ≠1
5; x ≠ Với điều kiện đó, phơng trình tơng đơng với:
3(3 – 5x) + 2(5x – 1) =
Giải phơng trình này, ta đợc x =
5 Giái trị không thảo mãn điều kiện Vậy phơng trình cho vơ nghim
Bài tập vận dụng Bài 3: Giải phơng trình sau:
a) x+1
x2
+x+1
x − 1 x2− x +1=
3
x(x4
+x2+1) b) 5 − x
4 x2− x+
7 8 x=
x −1
2 x (x −2)+ 8 x −16 c) a
2 a+2b+
a −b
2 bx =
a+b
4 b −
b
ax +bx d) x +a+1x+a −x +11x+10=10
(x+a)(x+10) e) x+a
x −3− x +3 x − 4=2
Bµi 4: Với giá trị a phơng trình sau cã mét nghiÖm nhÊt? x − a2x −
1− x2+a=
x2 x2−1
III Phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối
Khi giải phơng trình mà ẩn nằm dấu giái trị tuyệt đối, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta xét khoảng giá trị biến Cần nhớ năm vững lý thuyết sau:
1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối: |A|={ AA
2 Định lý dấu nhị thøc bËc nhÊt ax + b (a ≠ 0) : NhÞ thøc cïng dÊu víi a x > b
a , nhị thức trá dấu với a x < − b
a
Chøng minh: XÐt ax+b
a = x + b a
NÕu x > − b
a th× x + b
a > 0,
ax+b
a > 0, tøc lµ ax + b cïng dÊu víi a
NÕu x < − b
a th× x + b
a < 0,
ax+b
a < 0, tøc ax + b trái dấu với a
=> §PCM
Víi A
(3)Chó ý r»ng − b
a nghiệm nhị thức Do định lý đợc phát biểu nh sau:
“ NhÞ thøc ax + b (a ≠ 0) cïng dÊu víi a víi c¸c giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với trí trị x nhỏ nghiệm nhị thức
3 Ví dụ
Ví dụ 5: Giải phơng trình: |x − 3|+|x +2|=7
Giải: Lập bảng xét dấu ta đợc
x − ∞ -2 +∞
x – - ¿ - +
x + - + ¿ +
Nhìn bảng xét dấu ta có:
+ Nếu x < -2, x – < => |x − 3| = – x x + < => |x +2| = -(x + 2), phơng trình có dạng – x – x – =7 <=> x = -3, thuộc khoảng xét
+ Nếu −2 ≤ x ≤3 , x – < => |x − 3| = – x x + > => |x +2| = x + 2, phơng trình có dạng – x + x + = <=> 0x = 2, phơng trình vơ nghiệm
+ Nếu x > 3, x – > => |x − 3| = x – x + > => |x +2| = x + 2, phơng trình có dạng x – + x + = <=> x = 4, thuộc khoảng xét
VËy phơng trình có nghiệm x1 = -3; x2 =
Ví dụ 6: Giải phơng trình: |x 4|+|x 9|=5
Giải:
Cách 1: Lập b¶ng xÐt dÊu
x − ∞ +∞
x – - + ¿ +
x – - ¿ -
+
Nhì bang xét dấu ta có:
+ Nếu x < 4, x – < => |x − 4| = – x x - < => |x − 9| = – x, phơng trình có dạng – x + – x = <=> x = 4, không thuộc khoảng xét
+ Nếu 4 ≤ x ≤ 9 , x – > => |x − 4| = x – x - < => |x − 9| = - x, phơng trình có dạng x – + - x = <=> 0x = 0, nghiệm với x thuộc khoảng xét, tức
4 ≤ x ≤ 9
+ Nếu x > 9, x – > => |x − 4| = x – x - > => |x − 9| = x - 9, phơng trình có dạng x – + x - = <=> x = 9, không thuộc khoảng xét
Vậy phơng trình có nghiệm 4 x 9
Cách 2: Viết phơng trình có dạng |x − 4|+|9 − x|=5
Chu ý tổng x – – x Nh tổng giá trị tuyệt đối hai biểu thức giá trị tuyệt đối tổng hai biểu thức ấy, điều xẩy (x – 4)(9 – x)
Giải bất phơng trình ta đợc 4 ≤ x ≤ 9
Bài tập vận dụng Bài 5: Giải phơng trình sau:
a) |x 3|x=7 b) |x +3|=|5 − x| c) |x|−|2 x+3|=x −1
d) x −|x+1|+2|x −1|=0 e) |x|+|1 − x|=x +|x −3| f) |x − 1|− 2|x −2|+3|x −3|=4
(4)Để giải phơng trình bậc cao dạng f(x) = 0, ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử để đa giải phơng trình bậc ẩn
1 VÝ dơ
VÝ dơ 7: Gi¶i phơng trình:
(x 1)3 + x3 + (x + 1)3 = (x + 2)3 Gi¶i:
Sau biến đổi phơng trình ta đợc x3 – 3x2 – 3x – = 0
<=> x3 – – 3x2 -3x – = 0
<=> (x – 1)(x2 + x + 1) -3(x2 + x + 1) = 0
<=> (x2 + x + 1)(x – 4) = 0
V× x2 + x + 0, nên phơng trình cã mét nghiƯm x = 4.
VÝ dơ 8: Giải phơng trình:
(x + 2)(x 2)(x2 – 10) = 72 Gi¶i: (x2 – 4) (x2 10) = 72
Đặt x2 = y, phơng trình trở thành
(y + 3)(y - 3) = 72 <=> y2 = 81
<=> y = ± 9
+ Víi y = ta cã x2 – = <=> x = ± 4
+ Víi y = -9 ta cã x2 – = - <=> x2 = -2, v« nghiƯm.
VËy phơng trình có nghiệm x = 4 * Chó ý:
Trong cách giải ta đặt ẩn phụ Khi giải phơng trình bậc bốn dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thờng đặt ẩn phụ y = x + a+b
2 Khi giải phơng trình đối xứng bậc chẵn, chẳng hạn ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = ta thờng đặt ẩn phụ y = x +
x .
VÝ dụ 9: Giải phơng trình: (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2. Giải:
Đặt x + = y, phơng trình trở thành: (y - 1)4 + (y + 1)4 = 2.
Sau biến đổi ta đợc y2(y2 + 6) = 0, y = Vậy x = -4.
VÝ dô 10: Giải phơng trình sau: a) 2x3 + 7x2 + 7x + = 0
b) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = 0.
* NhËn xÐt:
Hai phơng trình phơng trình đối xứng(Chú ý hệ số có tính đối xứng) Trong phơng trình đối xứng, a nghiệm
a cịng lµ nghiƯm.
Phơng trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x = -1 Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa phơng trình bậc n cách đặt ẩn phụ y = x +
x .
Gi¶i:
a) Biến đổi phơng trình thành (x + 1)(x + 2)(2x + 1) =
Phơng trình có ba nghiÖm: x1 = -1; x2 = -2; x3 = 1
2
b) Cách 1: Đa phơng trinh vỊ d¹ng (x – 1)2(x2 – x + 1) = Phơng trình có nghiệm x = 1.
Cách2: Chia hai vế phơng trình cho x2 (Vì x 0)ta đợc:
(x2 +
x2 ) – 3(x +
1
x ) + =
Đặt y = x +
x th× x2 +
1
x2 = y
2 – 2, ta đợc: y2 – 3y + = nên y
1 = 1; y2 =
Víi y = 1, ta cã x2 – x + = 0, vô nghiệm
(5)Vậy phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 11: Giải phơng trình:
x4 + x3 + x2 + x + = 0
Giải: Ta thấy x – x = khơng nghiệm phơng trình
Nhân hai phơng trình với x – ta đợc x5 – = hay x = 1, không thoả mãn iu kin
trên
Vậy phơng trình vô nghiệm
Bài tập vận dụng Bài 6:Giải phơng tr×nh sau:
a) x3 – 5x2 + 8x – = 0
b) 9ax3 -18x2 – 4ax + = (a lµ tham sè)
c) x3 + x2 + = 0
d) (x – 1)3 + (x +2)3 = (2x + 1)3
Bµi 7: Giải phơng trình bậc bốn: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b) x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 24
c) (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72 d) (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 e) (6x + 7)2 (3x + 4)(x + 1) = 6
Bài 8: Giải phơng tr×nh sau: a) (x2 – 4)2 = 8x + 1
b) (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43
c) (x – 2)4 + (x – 6)4 = 82
d) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + = 0
e) 2x4 + x3 – 6x2 + x + 2=
Bài 9: Cho phơng trình x3 (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0
a) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình b) Giải phơng trình ứng với giá trị ú ca m
Phần II
Phơng trình bậc hai phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc hai mét Èn.
phần xin đa số tập đơn giản mà khơng nói sâu, tơi xin tập chung sâu phơng trình có liên quan tới bậc hai trở lên (phơng trình bậc cao) với số ph-ơng pháp giải
A/ Lý thuyÕt:
1/ Công thức nghiệm:
Cho phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0 ) (1)
Ta cã Δ = b2 – 4ac ( Δ' = b’2 – ac)
(1) v« nghiƯm <=> Δ < ( Δ' < 0)
(1) cã nghiÖm kÐp <=> Δ = ( Δ' = 0) x1 = x2 = − b
2 a (x1= x2 = − b '
a )
(1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt <=> Δ > ( Δ' > 0) x1 = − b+√Δ
2a ( x1 =
− b+√Δ'
a ) ; x2 =
− b −√Δ
2 a ( x2 =
− b −√Δ'
a )
(1) cã nghiÖm <=> Δ ( Δ' 0) 2/ HÖ thøc Vi – Ðt:
Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x
1, x2 th×:
S = x1 + x2 = − b
a vµ P = x1.x2 = c a
3/ Hệ (nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai): Phơng trình ax2 + bx + c = (a 0 )
- Nếu a + b + c = phơng tr×nh cã nghiƯm x1 = 1; x2 = c
(6)- NÕu a – b + c = phơng trình có nghiệm x1 = -1; x2 = − c
a
4/ Hệ thức Vi – ét đảo:
NÕu hai sè x, y thoả mÃn x + y = S x.y = P hai số x, y nghiệm phơng tr×nh: X2 – SX + P =
0
( áp dụng: để tìm hai số biết tổng tích chúng dùng để lập phơng trình bậc hai khi biết trớc hai nghiệm )
5/ Chú ý (Điều kiện cần đủ ):
Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < §Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu <=> {P>0Δ ≥0
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng d¬ng <=>
S >0
¿Δ≥ 0
P>0
¿❑
{¿
§Ĩ PT (1) cã hai nghiƯm cïng ©m <=>
S <0
¿Δ≥ 0
P>0
¿❑
{¿
B/ Bài tập
Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + mx – = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm 1.Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm -1.Tìm nghiệm cịn lại Bài 2: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: - x1
x2
+x2
x1
=
- x1 + x2 + 2x1x2
Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2x + m + 2.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu? Trái dấu? b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn:
- x1 + x2 + 2x1x2
- x1 + x2 + 4x1x2 = 10
Bài 4: Cho phơng trình: x2 8x + m + = 0.
a) Giải phơng tr×nh víi m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu dơng
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm gấp lần nghiệm Tìm nghiệm trng hp ny
Bài 5: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0.
a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình có nghiệm với m
b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình CTR: A = x1 + x2 x1x2 không phơ thc vµo m
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x12 + x22 - 3x1x2 =
Bµi 6: Cho phơng trình: x2 (2m 1)x + m2 – m – = 0.
a) CTR: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2
Bµi 7: Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m + = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt? b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tính A = x12 + x22 theo m
c) Tìm m để A = 10
d) Lập phơng trình bậc hai Èn y cã hai nghiƯm lµ y1 =
1
x2 , y2 =
1
x1
(7)a) Giải phơng trình với m =
b) CTR: Phơng trình có nghiệm với mäi m
c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m để x12x2 + x1x22 = 10
Bài 9: Cho phơng trình: x2 2x + m – = 0.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x1 x2
+x2
x1
=10 Bài 10: Cho phơng trình: 3x2 4x + m = 0.
a) Giải phơng tr×nh víi m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu? Trái dấu? c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2
Bµi 1 :
Cho phơng trình: x2 4x + m = 0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Với giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12
c) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài 12 : Cho phơng tr×nh: x2 – 3x - m + = (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x12 + x22 =
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đơi nghiệm phơng trình (1) Bài 13 :
Cho phơng trình: x2 2(a 1)x + 2a - = 0.
a) CMR: Ph¬ng trình có nghiệm với a
b)Tỡm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < < x1
Bµi 4:
Cho phơng trình: x2 + (m +1)x + m - = 0.
a) CMR: Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt
b) Tìm m để A = x12x2 + x1x22 – 4x1x2 đạt giá trị lớn
Bµi 5: Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm phơng trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1)
Tìm giá trị lớn biểu thức: A=|x1x22 x1 x2| II/ Phơng trình tam thức.
1) Định nghĩa:
Phơng trình tam thức phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = (a 0) (1)
trong a, b, c số thực, n nguyên dơng, n 2) Ph ơng pháp giải:
- Nếu a, b, c số thực đồng thời khác n = (1) phơng trình trùng phơng ma ta biết cách giải
- Nếu trờng hợp n > Đặt xn = y, phơng trình (1) đa đợc dạng
{ay2
+by+c=0x
n
=y
3) VÝ dô
Ví dụ 1: Giải phơng trrình x6 + 9x3 = 0. Giải:
Cách 1: Đặt x3 = y, ta có phơng trình y2 9y + = Phơng trình có nghiÖm y
1 = 1; y2 = 8, từ
ta tìm đợc x3 = x3 = 8, suy x = 1; x = 2.
Cách 2: Phân tích vế trái phơng trình thành nhân tử, vế phải 0:
- x6 + 9x3 – = 0
<=> (– x6 + x3) + (8x3 – 8) = 0
(8)<=> (x3 - 1) (8 - x3) = 0
Từ ta tìm đợc x = x =
Bài tập vận dụng Bài 16: Giải phơng trình sau:
a) x6 7x3 + = 0
b) x8 + x4 + = 0
c) x8 – 17x4 + 16 = 0
d) x12 – 10x6 + 24 = 0
e) x10 + x5 - = 0
f) x6 + x4 + x2 = 0
III/ Phơng trình đối xứng 1) Định Nghĩa:
Một phơng trình đa thức: a0xn + a1xn – 1+ … + an -1x + an = Gọi đối xứng hệ số
của số hạng cách số hạng đầu cuối nhau, nghĩa là: an = a0; an – = a1,…, an – =
a2… Tuỳ theo n số chẵn hay số lẻ mà ta có phơng trình đối xứng bậc chẵn hay bậc lẻ.
2)VÝ dô
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 2x4 + 3x3 16x2 + 3x + = (1)
NhËn xÐt:
Đây phơng trình đối xứng bậc chẵn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a =
Phơng trình khơng có nghiêm x = 0, chia cảc hai phơng trình cho x2 nhóm lại ta đợc: a(x2 +
x2 ) + b(x +
1
x ) + c =
Đặt t = x +
x x2 +
1
x2 = t
2 –
Sẽ dẫn đến phơng trình bậc hai at2 + bt + c – 2a = Từ tính đợc t tính đợc x theo phơng trình:
x2 – tx + = để tìm đợc giá trị x.
Trở lại ví dụ tacó cách giải sau:
Chia hai vế phơng trình cho x2, nhóm l¹i ta cã:
2(x2 +
x2 ) + 3(x +
1
x ) -16 = Đặt t = x +
1
x => x2 +
1
x2 = t2 – 2, ta đợc phơng trình: 2t2 +
3t 20 = Phơng trình có nghiệm t = -4 vµ t =
2 Để tìm x ta giải hai phơng trình x +
x =
-4 vµ x +
x =
5
2 , từ phơng trình có nghiệm x1,2 = -2 ±√3 ; x3 =
2 ; x4 =
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
2x5 + 3x4 – 5x3 – 5x2 + 3x + = (2)
NhËn xÐt:
Đây phơng trình đối xứng bậc lẻ(bậc 5), có dạng: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0.
Phơng trình có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên phơng trình cã nghiÖm x = -1
Hạ bậc phơng trình theo lợc đồ Hc ne
a b c c b a
-1 a b - a a – b –
c b - a a
Ta đợc phơng trình: (x + 1)[ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a] = 0
Giải tiếp phơng trình đối xứng bậc chẵn:
ax4 + (b – a)x3 + (a – b – c)x2 + (b – a)x + a = 0, ta tìm đợc nghiệm ca phng trỡnh. Gii:
áp dụng nhận xét vào ví dụ phơng trình (2) viÕt nh sau: (x + 1)(2x4 + x3 – 6x2 + x + 2) = 0.
(Các bạn thực phép chia hai vế phơng trình (2) cho x + để đợc phơng trình này) Ngồi nghiệm x = -1 để tìm tiếp nghiệm phơng trình (2), ta giải phơng trình 2x4 + x3 – 6x2
+ x + = Đây phơng trình đối xứng bậc chẵn Tiếp tục cách giải nh ví dụ 2, ta đợc x1 = x3 = 1, x2 =
(9)Qua hai vÝ dơ trªn ta thÊy r»ng:
- Nếu hạ bậc phơng trình đối xứng bậc lẻ, ta lại đợc phơng trình đối xứng
- Các nghiệm phơng trình đối xứng đôi nghịch đảo Nh a nghiệm phơng trình đối xứng
a nghiệm phơng trình Vì lẽ phơng trình đối xứng
(bậc chẵn hay bậc lẻ) cịn đợc gọi phơng trình thuận nghịch (bậc chẵn bậc lẻ) Bài tập vận dụng
Bài 17: Giải phơng trình sau: a) x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + = 0.
b) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + = 0.
c) 6x4 + 7x3 – 36x2 - 7x + = 0.
d) 6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + = 0.
e) x7 – 2x6 + 3x5 - x4 - x3 + 3x2 - 2x + = 0.
VI/ Một số cách giải phơng trình bậc cao
ở chơng trình tốn sau có dịp quen với phép giải tổng quát phơng trình bậc cao nghiên cứu số cách giải khác để giải phơng trình bậc cao
1 Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Thực phơng pháp đợc đề cập đến trình bày phơng trình bậc nhât ẩn Song cha sâu mà đa đề cập đến phơng trình đa phơng trình bậc ẩn xin đa mức độ sâu
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
(x2 + x + 2)2 – 12(x2 + x + 2) + 35 = (3) Gi¶i:
Thực chất phơng trình ta rễ tìm cách đặt ẩn phụ Đặt x2 + x + = y, ta đợc phơng trình: y2 – 12y + 35 = 0.
Phơng trình cho ta y = vµ y =
- Víi y = 5, ta cã x2 + x + = phơng trình cho ta hai nghiệm x
1,2=
− 1±√13 - Víi y = 7, ta cã x2 + x + = ph¬ng trình cho ta hai nghiệm x
3,4=
1 21 Vậy phơng trình (3) có nghiÖm x1,2=− 1±√13
2 ; x3,4=
−1 ±√21 Ví dụ 5: Giải phơng trình:
(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x2 (4)
Nh©n xÐt:
Phơng trình có dạng: (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2, ad = bc.
Để giải phơng trình ta đặt ẩn phụ y=x +ad
x
Gi¶i:
Ta biến đổi phơng trình (4) dạng: (x2 + 14x + 24)(x2 + 11x + 24) 4x2.
Phơng trình khơng có nghiệm x = 0; chia hai vế phơng trình cho x2 0, ta đợc: (x + 14 + 24
x )
(x + 11 + 24
x ) = Đặt y = x +
24
x đa phơng trình dạng (y + 14)(y + 11) = hay y2 + 25y +
150 = Suy y1 = -15; y2 = -10 Từ suy x2 + 15x + 24 = x2 + 10x + 24 = Hai phng
trình cho nghiệm: x1=− 15−√129
2 ; x2=
− 15+√129
2 ; x3 = -6; x4 = -4 VÝ dô 6: Giải phơng trình: (6 x)4 + (8 x)4 = 16 (5).
Nhân xét:
Phơng trình có dạng: (x a)4 + (x b)4 = A.
Để giải phơng trình ta dùng phép đặt ẩn phụ Đặt y = x −a+ x −b
2 = x -
a+b
2
(10)DỈt y = 6 − x+8− x
2 = – x, råi đa phơng trình (5) dạng: y4 6y2 = Đây phơng trình trùng phơng, ta rễ ràng tìm nghiệm y1 = 1; y2 = råi suy
x1 = 8; x2 =
Chó ý:
Phơng trình cịn có dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = A, để giải phơng trình dạng ta đặt y =
x +a+ x+b
2 = x +
a+b
2 giải tơng tự nh 2 Phơng pháp đa phơng trình tích
Ví dụ 7: Giải phơng trình:
x4 + 4x3 + 3x2 + 3x – = (6). Gi¶i:
Ta nhóm hạng tử thích hợp vế trái tạo thành bình phơng sử dụng công thức A2 – B2
= (A – B)(A + B) để biến vế trái thành tích x4 + 4x3 + 3x2 + 3x – = 0
<=> (x2 + 2x)2 – (x – 1)2 = 0
<=> (x2 + x + 1)(x2 + 3x 1) = 0.
Phơng trình x2 + x + = vô nghiệm, phơng trình x2 + 3x – = cho nghiÖm: x
1,2=
− ±√13 vµ lµ nghiƯm phơng trình (6)
Ví dụ 8: Giải phơng tr×nh:
x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = (7). Gi¶i:
Vế phải đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai
x2 + px + q x2 + rx + s, p, q, r, s số nguyên cha xác định, đó: x4 – 4x3 – 10x2 +
37x – 14 =( x2 + px + q)( x2 + rx + s).
Khai triển, nhóm hạng tử đồng số hạng bậc hai vế đồng thứ ta có hệ sau:
p + r = -4 vµ s + p + qr = -10 vµ ps + qr = 37 vµ qs = -14
Giải hệ phơng trình ta đợc p = -5; q = 2; s = -7; r = phơng trình (7) trở thành: ( x2 - 5x + 2)
( x2 + x - ) = Gi¶i hai phơng trình bậc hai
x2 - 5x + = x2 + x – = 0, ta đợc nghiệm phơng trình (7) là: x
1,2=
5 ±√17
2 ; x3,4=
−1 ±√29
2
Bµi tËp vËn dụng Bài 18: Giải phơng trình sau:
a) ( x2 + x + 1)( x2 + x + ) = 12.
b) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = d) (x2 + 5x)2 - 2(x2 + 5x) - 24 = 0.
Bài 19: Giải phơng trình: a) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2.
b) (x – 2)6 + (x – 4)6 = 64.
c) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82.
d) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 =
Bài 20: Giải phơng trình:
a) (x2 – 3x + 1)(x2 + 3x + 2)(x2 – 9x + 20) = -30.
b) (x2 – x + 1)4 – 6x2(x2 – x + 1)2 + 5x4 =
Bài 21: Giải phơng tr×nh:
(a – x)5 + (x – b)5 = (a – b)5 víi a ≠ b .
V/ Phơng trình phân thức hữu tỉ
Khỏi nim: Phơng trình phân thức hữu tỉ phơng trình sau biến đổi có dạng: P(x)
Q( x)=0 ,
trong P(x) Q(x) đa thức Q(x) Ph
(11)4 x
x2+x+3+ 5 x
x2− x +3=−
3
2 (8)
Gi¶i:
Phơng trình khơng co nghiệm x = 0, chia phân thức vế phơng trình cho x 0, ta đợc:
4
x +3 x+1
+
x +3 x− 5
=3 Đặt y = x+3
x , ta có phơng trình:
4
y +1+
5
y −5=−
3
2 hay
y2+2 y − 15
(y +1)( y − 5)=0 Giải phơng trình tìm đợc y1 = -5; y2 =
Từ ta có hai phơng trình x+3
x = -5 (1) vµ x+
3
x = (2)
Giải phơng trình (1) ta đợc nghiệm x1 = − 5+√13
2 ; x2 =
− −√13
2 , gi¶i phơng trình (2) vô nghiệm Vậy phơng trình (8) có nghiƯm lµ: x1 = − 5+√13
2 ; x2 =
− −√13
2
NhËn xÐt:
Phơng trình cho có dạng: Ax
ax2+b1x +c
+Bx
ax2+b2x+c
=C . Trong ABC ac 0, đặt ẩn phụ y = ax + c
a đa phơng trình dạng: A y +b1+
B
y +b2=C
Ví dụ 10: Giải phơng trình: x2 +
(x −1x )
= (9)
Giải:
Điều kiện: x Ta có: x2 +
(x −1x )
= <=> x2 + 2x. x
x −1 + ( x x −1)
2
- 2x x
x −1 =
<=> (x + x x −1)
2
−2( x x − 2)=8
<=> ( x2 x −1)
2
−2 x
2
x 1=8 Đặt y = x
2
x 1 , ta có phơng trình y
2 2y = Giải phơng trình có nghiÖm y = -2; y = 4; tõ
đó suy x1 = 2; x2 = -1 + √3 ; x3 = -1 - √3
VËy phơng trình (9) có nghiệm là: x1 = 2; x2 = -1 + √3 ; x3 = -1 - √3
Ví dụ 11: Giải phơng trình: 5(x − 2
x +1)
− 44(x+2 x −1)
2
+12x
2 − 4
x21=0 (10)
Giải:
Điều kiện x 1 Đặt x 2
x+1=u ; x+2
x 1=v , ta có phơng trình 5u2 44v2 +12uv = Phơng trình có nghiệm u = v =
0; u = 2v hc u = −22
(12)Xét trờng hợp phơng tr×nh (10) chØ cã nghiƯm: x1=− 9+√73
2 ;
x2=− −√73
2
VÝ dụ 12: Giải phơng trình:
x(5 − x
x +1)(x+
5 − x
x+1)=6 (11)
Gi¶i:
Điều kiện x ≠ −1 ; đặt u = x − x
x+1 vµ v = x+
5 − x
x+1 ,
uv = u + v = x − x
x+1 + x+
5 − x
x+1 = 5, nh u, v nghiệm phơng trình: t2 – 5t +
= 0, suy t1 = 3; t2 = 2, từ ta tìm đợc u1 = v1 = u2 = v2 =
Xét với cặp giá trị u v ta tìm đợc nghiệm phơng trình (11) là: x = 2; x =
Bài tập vận dụng Bài 22: Giải phơng trình sau:
a) (x2+
x2)+5(x +
1
x)− 12=0 b) 4 x
4 x2− x+7+
5 x
4 x2−10 x+7=1
c) (x −2
x +1)
−5(x+2 x −1)
2
+48(x
2 − 4 x2− 1)=4
d) x
2
−13 x+15 x2−14 x +15−
x2− 15 x +15 x2− 16 x+15=
1 12 Bài 23: Giải phơng trình sau:
a) x+1
x −1+ x −2
x+2+ x − 3
x+3+ x+4 x −4=4
b) x +4
x −1+ x −4
x +1= x+8 x −2+
x −8 x +2 −
8 c)
x +5¿2 ¿ ¿
x2
+25 x
2
¿
d) x3
+
x3=6(x +
1
x)
e) x4
=11 x −6 6 x − 11 f) x5=133 x −78
133 −78 x
Phần III
Phơng trình vô tỉ
Cỏc phơng trình đại số chứa ẩn dấu gọi phơng trình vơ tỉ.
Để giải phơng trình này, phải khử dấu Sau số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vơ t:
(13)Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh:
3+√2 x −3=x (1)
Gi¶i:
Điều kiện xác định phơng trình là: 2x – <=> x (2) Tách riêng thức vế ta đợc: √2 x 3=x 3 (3)
Ta phải có thêm điều kiÖn: x – <=> x (4) Với điều kiện (4)
PT(3) <=> 2x = (x – 3)2 (5)
<=> 2x – = x2 – 6x + 9
<=> x2 – 8x + 12 = 0
<=> (x – 2)(x – 6) = <=> x1 = 2; x2 =
Giái trị x1 = không thoả mÃn ĐK (4) loại
x2 = thoả mÃn ĐK (2) (4), nghiệm phơng trình
Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = NhËn xÐt
a) Nếu không đặt điều kiện x – (3), ta sai lầm nhận x = nghiệm (1) Chú ý từ (3) suy đợc (5) nhng từ (5) suy đợc (3) với điều kiện x –
b) Có thể bình phơng hai vế (1) với điều kiện x (điều kiện có
2x – 0), nhng lời giải không ngắn cách tách riêng thức vế Ví dụ 2: Giải phơng tr×nh:
√x −1 −√5 x −1=√3 x −2
Gi¶i:
Điều kiện xác định phơng trình x (1) Chuyển vế ta có √x −1=√5 x − 1+√3 x −2 (2)
Bình phơng hai vế ta đợc:
x −1=5 x −1+3 x − 2+2√15 x2
− 13 x +2 <=> 2− x=2√15 x2
13 x +2 (3) Đến có hai cách giải
Cách 1: Với điều kiện – 7x <=> x
7 (4) th× PT(3) <=> – 28x +49x2 = 4(15x2 – 13x +2) (5)
<=> 11x2 – 24x + = 0
<=> (11x – 2)(x – 2) = <=> x1 =
11 ; x2 = Gi¸i trị x1 =
11 không thoả mÃn điều kiện (1), loại Giái trị x2 = không thoả mÃn (5), loại
Vậy phơng trình vô nghiệm
Cách 2: Ta phải có 7x <=> x
7 , điều trái với điều kiện (1) x Vậy phơng trình vô nghiệm
Ví dụ 3: giải phơng trình:
√2 x +1+3
√x=1 (1)
Gi¶i:
Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a +b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
ta đợc 2 x +1+x +3√3x (2 x +1)(√32 x+1+√3x )=1 (2) Thay
√2 x +1+3
√x=1 vµo (2) ta cã 3 x+1+33
√x (2 x +1)=1 (3) <=> 3√3x (2 x+ 1)=− x (4) <=> x(2x +1) = -x3 <=> x(2x + + x2) = 0
<=> x(x + 1)2 = <=> x
(14)Thư l¹i: - víi x1 = th¶o m·n (1)
- với x2 = -1 không thoả mÃn (1), loại
Vậy phơng trình (1) có nghiệm nhÊt x = NhËn xÐt:
Các phơng trình (1) (2) hai tơng đơng, nhng phơng trình (2) (3) khơng tơng đơng Từ (2) ruy đợc (3), nhng từ (3) không suy đợc (2) Do sau tìm đợc nghiệm (3) -1, phải thử giái trị vào (1) để chọn nghiệm (1)
II/ Phơng pháp đa phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối. 1 Lý thuyết
Định nghĩa giá trị tuyệt đối: |A|={− AA 2 Ví dụ
VÝ dơ 4: Giải phơng trình:
x+2x 1+x 2x 1=2 (1)
Giải:
Điều kiện x
PT (1) <=> √x −1+2√x −1+1+√x − 1− 2√x − 1+1=2
<=>
√x − 1+1¿2 ¿ √x −1 −1¿2
¿ ¿ ¿
√¿
<=> |√x −1+1|+|√x −1 −1|=2 <=> √x −1+1+|√x − 1− 1|=2
<=> √x −1+|√x −1− 1|=1 (2) - NÕu x>2 , th× PT (2) <=> √x −1+√x − 1− 1=1
<=> √x −1=1 <=> x 1=1
<=> x=2 không thuộc khoảng ®ang xÐt lo¹i
- Nếu 1≤ x ≤ 2 , PT (2) <=> √x −1+1 −√x − 1=1 ln đúng, phơng trình vơ số nghiệm với 1≤ x 2
Vậy phơng trình (1) có nghiệm 1 x 2 Ví dụ 5: Giải phơng tr×nh:
√x+3 − 4√x − 1+√x +8 6x 1=1 (3)
Giải:
Điều kiÖn x
PT (3) <=> √x −1 − 4√x −1+4+√x − 1− 6√x −1+9=1
<=>
√x −1 −2¿2 ¿ √x −1 −3¿2
¿ ¿ ¿
√¿
<=> |√x −1 −2|+|√x −1 −3|=1 (4) - NÕu 1≤ x <5 th× PT (4) <=> 2−√x −1+3 −√x − 1=1
<=> √x −1=2
<=> x=5 không thuộc khoảng xét loại
- Nếu 5 ≤ x ≤10 th× PT (4) <=> √x −1 −2 x 1+3=1 <=> 0x = 0, phơng trình vô sè nghiƯm - NÕu x > 10 th× PT (4) <=> √x −1 −2+√x − 1− 3=1
<=> √x −1=3
<=> x = 10 không thuộc khoảng xét loại Vậy phơng trình (3) cã nghiƯm 5 ≤ x ≤10
Víi A
(15)III/ Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải phơng trình: 2 x2
+3 x+√2 x2+3 x +9=33 (5)
Gi¶i:
2 x2+3 x+
√2 x2
+3 x +9=33 <=> 2 x2
+3 x+9+√2 x2+3 x+9− 42=0 (6) V× 2 x2+3 x+9=2( x2
+3 2x +
9
2)=¿ 2[(x
2
+2 x 3 4+
9 16)+
63 16 ]
x+3
4¿
2
+63 16
¿ ¿2¿
> víi mäi x Đặt y = 2 x2
+3 x+9 (y > 0), PT (6) có dạng: y2 + y – 42 =
=> y = (thoả mÃn) y = -7 (loại)
- Với y = 6, ta cã √2 x2+3 x+9 = <=> 2x2 + 3x – 27 = <=> x
1 = 3; x2 = − 9
2 Vậy phơng trình (5) có nghiệm x1 = 3; x2 = − 9
2 VÝ dô 7: Giải phơng trình:
3 x2
+21 x+18+2√x2+7 x+7=2 (7)
Gi¶i:
3 x2+21 x+18+2
√x2
+7 x+7=2 <=> 3 x2
+21 x+21− 3+2√x2+7 x+7=2
<=> 3(x2+7 x+7)3+2x2+7 x +7=2 (8) Đặt x2+7 x +7 = y (y 0) th× x2+7 x +7 = y2.
PT (8) cã d¹ng: 3y2 + 2y – = <=> y = − 5
3 (loại); y = (thoả mÃn) - Víi y = th× x2
+7 x +7 = <=> x2
+7 x +6=0 <=> x1 = -1; x2 = -6
Vậy phơng trình (7) cã nghiÖm: x1 = -1; x2 = -6
Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ nh hai phơng trình làm cho phơng trình đợc chuyển dạng hữu tỉ. Ví dụ 8: Giải phơng trình:
√2 x +1+√3 x=1 (9)
Gi¶i:
Đặt
2 x +1=a
x=b 2x + = a3 x = b3, nªn ta cã 2b3 + = a3 hay a3 – 2b3 = 1(*).
Mà PT (9) có dạng: a + b = => b = – a thay vào (*) ta đợc a3 – 2(1 – a)3 = 1
<=> a3 – + 2(a – 1)3 = <=> (a – 1)(a2 + a + 1) + 2(a – 1)3 =
<=> (a – 1)[a2 + a + +2(a – 1)2] = 0
Do a2 + a + +2(a – 1)2 > nªn a = Suy b = 0.
Víi a = b = x =
Vy phơng trình (9) có nghiệm x = IV/ phơng pháp bất đẳng thức
Phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vơ tỉ đợc thể dới nhiều dạng: 1 Chứng tỏ phơng trình vơ nghiệm có vế ln nhỏ vế kia.
Ví dụ 9: Giải phơng trình:
x −1 −√5 x −1=√3 x −2 (10)
Bằng cách chứng tỏ với điều kiện xác định phơng trình, có vế phơng trình ln nhỏ vế
Gi¶i:
Điều kiện để xác định (10) x Với điều kiện x < 5x, √x −1<√5 x −1 suy vế trái (10) số âm, vế phải khơng âm Phơng trình vơ nghiệm
2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế. Ví dụ 10: Giải phơng trình: √3 x2
+6 x +7+√5 x2+10 x+14=4 − x − x2 (11)
Giải:
(16)Vế trái (VT): 3 x2
+6 x +7+√5 x2+10 x+ 14
=
x+1¿2+4
¿
x +1¿2+9 5¿
3¿
√¿
√4+√9 =
VÕ ph¶i (VP): 4 − x − x2 = – (x + 1)2 5.
Vậy để VT = VP hai vế (11) 5, x = -1 Vậy phơng trình (11) có nghiệm x = -1
3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số. Ví dụ 11: Giải phơng trình:
√2 x +1+3
√x=1 (12) B»ng c¸ch chøng tá r»ng x = nghiệm phơng trình
Giải:
Ta thấy x = nghiệm phơng trình (12) +) Với x >
√2 x +1>1
x>0 nên vế trái (12) lớn +) Với x <
2 x +1<1
x<0 nên vế trái (12) nhỏ Vậy x = nghiệm phơng trình (12)
4 Sử dụng điều kiện xẩy dấu = bất đẳng thức khơng chặt.“ ” Ví dụ 12: Giải phơng trình:
x
√3 x − 2+
√3 x −2
x =2 (13)
Gi¶i:
Điều kiện x > (*) Ta có bất đẳng thức a
b+ b
a≥2 với a > 0, b > 0, xẩy đẳng thức (dấu “=”) a = b
Víi x >
3 th× PT (13) <=> x=√3 x −2 <=> x2 – 3x + =
<=> (x – 1)(x – 2) = <=> x1 = 1; x2 = (thoả mÃn *)
Vậy phơng trình (13) có nghiƯm x1 = 1; x2 =
Bµi tËp vận dụng Giải phơng trình sau: Bài 1:
a) √x+3 −√x −4=1 d) √4 x +1−√3 x +4=1 b) √15− x+√3 − x=6 e) √x −1 −√x+1=2
c) √x+3+√10 − x=5 f) √2 x +5 −√3 x −5=2 Bµi 2:
a) √x −2√x −1 −√x − 1=1 b) √x+√2 x −1 −√x −√2 x − 1=√2
c) √x+√6 x − 9+√x −√6 x −9=√6 Bµi 3:
a) √x2
− x+ −√x2− x+ 9=1 b) √x+4 − 4√x+√x +9 −6√x=1
c) √x+6 − 4√x +2+√x+11− 6√x +2=1
d) √x+2 − 4√x −2+√x +7 −6√x − 2=1
Bµi 4:
a) √x+√x +√1 − x =1 f) √1+x√x2
+4=x+1
b) √1−√x2
− x=√x −1 g) 3+ x 3 x =√
1 9+
1
x√
4 9+
2
(17)c) √x2
+6=x − 2√x2− 1 h) √2 x+2
x+2 −√ x +2
2 x +2= 12 d) √2 x2
+8 x+6+√x2−1=2 x +2
e) √x −7+√9− x=x2
−16 x +66
Bµi 5:
a) √2 x −1+√x −2=√x +1
b) √3 x +15 −√4 x+17=√x+2
c) √x −1+√x+3+2√(x − 1)(x2− x+5)=4 − x
d) √x+1+√x +10=√x +2+√x +5
Bµi 6:
a) √2 x +3+√x+2+√2 x +2−√x +2=1+2√x +2
b) √x2
−9 x +4 +3√2 x − 1=√2 x2+21 x −11 Bµi 7:
a) √1− x +√x2− x +2+(x −2)
√x − 1 x − 2=3 b) (x − 2)(x +2)+4 (x − 2)√ x+2
x − 2=−3
c) 2+√x
√2+√2+√x+
2 −√x
√2 −√2 −√x=√2
Bµi 8: a)
√x+1+√37 − x=2 c)
√x+3 −√36 − x=1 b)
√25+x+3
√3 − x =4 d) 1+3
√x −16=3
√x+3
Bµi 9: a)
√1− x2+√41+x+4√1 − x=3 b)
√3− x=4
√1 − x +4
√2− x
Híng dẫn 9:
a) Đặt + x = a 0, – x = b Ta cã a + b = vµ
√ab+√4a+4√b=3
Theo bất đẳng thức cô-si √mn ≤m+n
2 , ta cã = √√a.√b+√1 √a+√1 √b ≤√a+√b
2 + 1+√a
2 + 1+√b
2 =¿
√a+√b+1 ≤1+a
2 + 1+b
2 +1=¿
a+b
2 +2=3
Đẳng thức xảy a = b = Do x = b) Đặt
√1− x =a ≥ 0 ,
√2− x=b ≥ 0 DiỊu kiƯn x (*) Ta cã: a + b =
√a4+b4 <=> (a + b)4 = a4 + b4 <=> 2ab(2a2 + 3ab + 2b2) = Nếu a > 0, b > 2a2 + 3ab + 2b2 > Do a = b =
Suy x = x = Loại x = trái với điều kiện (*)
Phần IV
Phơng trình nghiệm nguyên I/ Phơng pháp Đa dạng tÝch.
Biến đổi để đa dạng f(x,y).g(x,y) = a (a Z ) Với f(x,y) g(x,y) đa thức với hệ số nguyên
Từ ta giải hệ
*) Chó ý: Ta ph¶i xét hết trờng hợp xẩy ra
{g (x , y )=a m
f (x , y)=m
(18)Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyªn sau: 2x3 + xy – = 0
Gi¶i:
2x3 + xy – = 0
<=> x(2x2 + y) = = 7.1 = 1.7 = -7.(-1) = -1.(-7)
Vì x, y Z => 2x2 + y Z, có trờng hợp xẩy Giải trờng hợp ta đợc nghiệm phơng
trình là: (1;5); (-1;-9); (7;-97); (-7;-99)
Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: xy = x + y
Gi¶i:
xy = x + y
<=> xy – x – y = <=> xy – x – y + =
<=> (x – 1)(y – 1) = = 1.1 = -1.(-1) Vì x, y Z => x y Z Nên có khả xẩy ra:
+) {y −1=1x− 1=1
+) {y −1=− 1x −1=−1
Giải hai trờng hợp ta đợc nghiệm phơng trình là: (2;2); (0;0) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau:
3xy – = 5x + 2y (1)
Gi¶i: 3xy – = 5x + 2y
<=> 3xy – 5x – 2y – =
<=> 9xy – 15x – 6y – = (nhân hai vế phơng trình với 3) <=> 3x(3y – 5) – 2(3y – 5) = 19
<=> (3y – 5)(3x – 2) = 19 = 1.19 =19.1 =-19.(-1) = -1.(-19)
Có khả xẩy nhng giải trờng hợp xẩy ta đợc nghiệm là: (1;8) (7;2) *) Nhận xét:
Nếu phơng trình có dạng axy + bx + cy + d = với a, b, c, d Z, a Thì để đa phơng trình dạng tích thờng ta nhân hai vế phơng trình với a
VÝ dơ 4: T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: x2(x + 2y) – y2(y + 2x) = 1991
Gi¶i: x2(x + 2y) – y2(y + 2x) = 1991
<=> (x3 – y3) + (2x2y – 2xy2) = 1991
<=> (x – y)(x2 + 3xy + y2) = 1991 (1)
V× x, y Z+ => x2 + 3xy + y2 > vµ x2 + 3xy + y2 > x – y Tõ (1) => x – y > 0
Mµ 1991 = 1.1991 = 11.181 nên có hai trờng hợp xẩy +) {x2+3 xy+ y2=1991x − y=1 +) {x2+3 xy+ y2=181x − y=11
Giải trờng hợp với nghiệm nguyên dơng ta đợc (x = 12; y = 1) Vậy (x = 12; y = 1) nghiệm nguyên dơng ca phng trỡnh
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x2 + x + = xy – y
Gi¶i: x2 + x + = xy – y
<=> (x2 – x) + (2x – 2) + = y(x – 1)
<=> (x – 1)(x – y + 2) = -3
<=> (x – 1)(y – x – 2) = = 1.3 = 3.1
+) {y − x − 2=1x− 1=3 +) {y − x − 2=3x −1=1
Giải hệ phơng trình ta đợc: (x = 4; y = 7) (x = 2; y = 7) * Chú ý: Có thể giải cách sau y=x
2
+x +1
x −1 =x +2+
3
x −1 Råi sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt
Bµi tËp vËn dơng Bµi 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau:
(19)c) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96
d) x3 – y3 = 91
Bµi 2:
Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên dơng số đo diện tÝch b»ng sè ®o chu vi
Híng dÉn: Gäi hai cạnh góc vuông x, y cạnh huyền lµ z.
Theo bµi ta cã: xy = 2x + 2y + 2z <=> 2z = xy – 2x – 2y
<=> 4z2 = x2y2 + 4x2 + 4y2 – 4x2y – 4xy2 + 8xy (*)
Theo Pitago ta cã: z2 = x2 + y2 <=> 4z2 = 4x2 + 4y2 (**)
Tõ (*) vµ (**) => x2y2 – 4x2y – 4xy2 + 8xy = 0
=> xy(xy – 4x – 4y + 8) =0
=> xy -4x – 4y + = (V× xy > 0) => (x – 4)(y – 4) = = 1.8 = 2.4 V× x, y cã vai trò nh nên:
+) {y 4=8x 4=1⇔{y=12x=5=> z=13 (Tho¶ m·n)
+) {y −4=4x −4 =2⇔{y =8x=6=> z =10 (Tho¶ m·n)
Vậy có hai tam giác vng có cạnh số ngun dơng số đo diện tích số đo chu vi II/ Phơng pháp thứ tự ẩn (các ẩn có vai trị bình đẳng).
Nếu ẩn x, y, z,… có vai trị bình đẳng, ta giả sử x y z…, để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện Từ dùng phép hốn vị để suy nghiệm phơng trình cho
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x + y + z = xyz (1)
Gi¶i:
Do vai trị bình đẳng x, y, z phơng trình Giải sử x y z Vì x, y, z Z+ => xyz x y z
=> xyz = x + y + z 3z => xy => xy {1,2,3}
* NÕu xy = => x = y = thay vào (1) ta có + z = z vô lý (lo¹i)
* Nếu xy = 2, x y => x = y = thay vào (1) ta đợc z = (thoả mãn) * Nếu xy = 3, x y => x = y = thay vào (1) ta đợc z = (thoả mãn) Vậy nghiệm nguyên dơng (1) hoán vị (1;2;3) gồm: (1;2;3); (1;3;2); (2;1;3); (2;3;1); (3;1;2); (3;2;1)
VÝ dơ 2: T×m nghiƯm nguyên dơng phơng trình:
x+
1
y+
1
z=2 (2)
Gi¶i:
Do vai trị bình đẳng x, y, z trớc hết ta xét x y z, ta có: 2=1
x+
1
y+
1
z≤ 3.
1
x=> x ≤
3
2=> x=1 Thay x = vào (2) ta đợc
y+
1
z+1=2=> 1=
1
y+
1
z≤
2
y=> y ≤2 => y∈{1;2}
- NÕu y = =>
z=0 => z = (lo¹i)
- NÕu y = =>
z=
1
2=> z=2 (tho¶ m·n)
VËy nghiệm nguyên dơng (2) hoán vị (1;2;2) gåm: (1;2;2); (2;1;2) (2;2;1)
VÝ dơ 3: T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình: x + y + = xyz (3)
Gi¶i:
Do vai trị bình đẳng x, y phơng trình, ta xét x y xyz = x + y + 2y +
=> xz 2 y +1
y = +
1
y
(20)=> xz {1,2,3}
* Nếu xz = => x = z = thay vào (3) ta đợc y + = vô lý (loại) * Nếu xz =
- Với x = 1; z = thay vào (3) ta đợc y = (thoả mãn) - Với x = 2; z = thay vào (3) ta đợc y = (thoả mãn) * Nếu xz =
- Với x = 1; z = thay vào (3) ta đợc y = (thoả mãn)
- Với x = 3; z = thay vào (3) ta đợc y = (khơng thoả mãn x y)
Vậy nghiệm nguyên dơng (3) (1;2;2); (2;3;1); (1;1;3); (3;2;1) hoán vị x, y gồm: (1;2;2); (2;1;2); (2;3;1); (3;2;1); (1;1;3)
VÝ dơ 4: T×m nghệm nguyên dơng phơng trình: y3 + 7x = x3 +7y (4) Gi¶i:
* Víi x = y Ta thấy (4) thoả mÃn với x = y * Víi x y => x – y
x3 – y3 = 7(x – y)
=> x2 +xy + y2 = (4’)
Giải tơng tự nh ta đợc x = Thay x = vào (4’) ta đợc: y(y + 1) = => y =
VËy nghiƯm nguyªn dơng (4) là: (1;2); (2;1) +
Bài tập vận dụng Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau:
a) xy + yz + xz = xyz + b)
x+
1
y+
1
z=
1 c) 2x + 2y + 2z = 2336
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dơng hệ phơng trình sau: {x3+y3+z3=3x + y+ z=3
Bµi 5: Chøng minh phơng trình sau nghiệm nguyên dơng:
x2+
1 xy +
1
y2=1
Híng dÉn: Bµi 3:
a) xy + yz + xz = xyz + =>
x+
1
y+
1
z=
2 xyz+1
Do vai trò x, y, z bình đẳng phơng trình Trớc hết ta xét x y z =>
x≥
2
xyz+1 => x +
yz ≤ 3=> x <3 (Vì yz >0 ) => x∈{1,2} Sau ta xét tơng tự
c) Vì x, y, z có vai trị bình đẳng nên ta giả sử x y z Từ 2x + 2y + 2z = 2336 <=> 2z(2x – z + 2y – z +1) = 25.73
V× 2x – z + 2y z +1 số lẻ.
Nªn 2z = 25 => z =
Vµ 2x – z + 2y – z =73 – = 72 <=> 2y – z (2x – y + 1) = 23.9
V× 2x – y + số lẻ
Nên y z = 23 => y – z = => y = z + = + = 8
Vµ 2x – y = – =8=23 => x – y = = > x = y + = + = 11.
Vậy nghiệm nguyên dơng phơng trình hoán vị (11,8,5) Bài 4:
Ta xét A = (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3)
= (x + y + z)3 – x3 – ( y3 + z3)
= (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
(21)Mµ x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3
=> A = 24
Hay 3(y + z)(x + y)(x + z) = 24
<=> (y + z)(x + y)(x + z) = (1)
V× x + y + z = => (x + y) + (y + z) + (x + z) = (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra:
* NÕu x + y = th× y + z = x + z = -1 <=> x = y = & z = -5 * NÕu x + y = th× y + z = x + z = <=> x = 1, y = 1, z = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là:
(x = y = z = 1) hoán vị (x = y = 4; z = -5) = (4;4;-5) Bµi 5: Chøng minh ph¶n chøng
Giả sử phơng trình có nghiệm ngun dơng Giải phơng trình ta khơng tìm c nghim no
III/ Phơng pháp s dụng dấu hiệu chia hết chia d.
Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vơ nghiệm tìm nghiệm phng trỡnh
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: xy + x 2y =
Gi¶i: xy + x – 2y = 3
<=> y(x – 2) = -x + (1)
Vì x = nghiệm phơng trình Nên PT (1) <=> y= x +3
x −2 =−1+
1
x − 2
y Z => x Ư(1), mà Ư(1) = {±1}
Xét trờng hợp ta đợc nghiệm PT (1) (1; -2) (3; 0) Chỳ ý:
Bài đa dạng tÝch (x – 2)(y + 1) =
VÝ dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:
xy2 + 2xy – 243y + x = (2) Gi¶i:
Tõ (2) ta cã
y +1¿2 ¿
x=243 y¿
V× x, y R+ => 243y ⋮ (y + 1)2
Mà (y; y + 1) = 1, nên => 243 ⋮ (y + 1)2
Mµ 243 = 35 => 243 chia hết cho 32 92 12 (Vì (y + 1)2 > 12)
=> (y + 1)2 = 32 => y = => x = 54.
Hc (y + 1)2 = 92 => y = => x = 24.
VËy nghiƯm nguyªn cđa phơng trình (2) (54;2); (24;8) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: x2 3y2 = 17
Gi¶i: x2 – 3y2 = 17
<=> x2 = 17 + 3y2
V× x2 số phơng nên => x2 chia d (1)
Còn17 + 3y2 chia lu«n d (2)
Từ (1) (2) => phơng trình cho khơng có nghiệm ngun
Ví dụ 4: Chứng minh phơng trình sau nghiệm tự nhiên lớn 5: x! + y! = 10z + (4)
Giải:
Giải sử phơng trình (4) có nghiệm x, y (x, y N) => x! ⋮ 10 vµ y! ⋮ 10 => x! + y! ⋮ 10 (1) Vì 10z 10 (z N) ⋮ 10 => 10z + ⋮ 10 (2) Tõ (1) (2) ta có điều giả sử sai
(22)a) yx + 3x – y = 38 b) 3x2 + 5y2 = 12
c) 19x2 + 28y2 = 729.
IV/ Phơng pháp sử dụng tính chẵn lẻ.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình: y2 2x2 = 1
Gi¶i: y2 – 2x2 = 1
<=> y2 = 2x2 + (1)
Tõ (1) ta thấy y số lẻ nên y có dạng: y = 2k + (k Z*)
=> (2k + 1)2 = 2x2 + => x2 = 2(k2 + k)
=> x số chẵn mà x số nguyên tố => x = Thay x = vào (1) ta đợc y =
VËy x = & y = lµ nghiƯm nguyên tố phơng trình Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình: xy + = z (2) Giải:
Vì nghiệm nguyên tè nªn x, y => xy 4.
Do z 5, mà z số nguyên tố nên z lẻ => xy + lẻ => xy chẵn => x chẵn, mà x số nguyên tố
nªn ta cã x =
Thay x = vào (2) ta đợc 2y + = z (2)
Ta xét hai trờng hợp chẵn, lẻ y
* Nếu y lẻ y cã d¹ng 2k + 1(víi k Z+) => (22k + 1 +1) ⋮ (2+ 1) hay (22k + 1 +1) ⋮ => z ⋮
điều vô lý z số nguyên tố lớn hợn Vậy y không thĨ lỴ
* Nếu y chẵn mà y số nguyên tố => y = 2, thay vào (2’) ta đợc z = Vậy nghiệm phơng trình (x, y, z) = (2, 2, 5)
VÝ dụ 3:Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: 3.2x + = y2 (3) Gi¶i:
Ta thÊy VT số lẻ => y2 lẻ => y lẻ VËy y = 2k + (víi k Z+)
Tõ (3) ta cã: 3.2x + = (2k + 1)2 <=> 3.2x = 4k(k + 1) <=> 3.2x – 2 = k(k + 1) (3’)
Vì k, k + không tính chẵn lẻ, nªn tõ (3’) => 2x – 2 =2 <=> x = => y = 5.
Hc 2x – 2 = <=> x = => y = 7.
Vậy nghiệm phơng trình là: (3;5); (4;7)
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 – 2y2 = (4)
Giải:
Từ (4) => x số lẻ
Thay x = 2k + (k Z) vào (4) ta đợc: 4k2 + 4k + – 2y2 = 5
<=> y2 = 2(k2 + k 1) (4)
=> y2 số chẵn => y số chẵn.
Đặt y = 2t (t Z) thay vµo (4’) ta cã: 2(k2 + k – 1) = 4t2 <=> k(k + 1) = 2t2 + (*)
Ta thÊy k(k + 1) lµ số chẵn, 2t2 + số lẻ => PT (*) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (4) nghiệm nguyên
V/ Phơng pháp loại trừ hay chặn dần nghiệm. Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiƯm nguyªn: 6x2 + 5y2 = 74 (1) Giải:
Vì 5y2 với y Từ (1) => 6x2 74 => x2 12,3…
Mµ x2 N, nªn x2 {0,1,4,9} .
- Với x2 = => x = thay vào (1) khơng tìm đợc giá trị y.
- Với x2 = => x = ± 1 thay vào (1) khơng tìm đợc giá trị y.
- Với x2 = => x = ± 2 thay vào (1) tìm đợc y2 = 10 (loại).
- Với x2 = => x = ± 3 thay vào (1) tìm đợc y2 = => y = ± 2.
VËy nghiệm phơng trình (1) là: (3;2); (3;-2); (-3;2); (-3;-2) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
(23)Gi¶i: y2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)
<=> y2 = (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) (1)
Đặt x2 + 8x = t (t Z), thay vào (1) ta đợc: y2 = t2 + 7t.
* Víi t > ta thÊy t2 + 6t + < t2 + 7t < t2 + 8t + 16 Hay (t + 3)2 < y2 < (t + 4)2 điều vô lý Vậy t >
9 phơng trình nghiệm nguyên
* Với t => x2 + 8x <=> x2 + 8x – <=> -9 x ( xÐt dÊu tam thøc bËc hai) Mµ
x Z => x {−9, − 8,−7, , 0,1}
Thay 11 giá trị x vào (1) ta đợc 11 giá trị tơng ứng y, từ suy nghiệm phơng trình Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun dơng phơng trình:
x2 + x + = y2 (3) Gi¶i:
Ta thÊy x2 + x + > x2 víi x N*
x2 + 2x + > x2 + x + víi x N*
Suy x2 < x2 + x + < x2 + 2x + hay x2 < x2 + x + < (x + 1)2
hay x2 < y2 < (x + 1)2 (vơ lý), nên khơng tìm c giỏ tr no ca x.
Vậy phơng trình (3) nghiệm nguyên dơng Chú ý:
Ta thay đầu chứng minh x2 + x + số phơng.
VI/ Phơng pháp đa phơng trình dạng A2 + B2 + C2 +… … + = 0.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh:
(x – 1)(y + 1) = (x + y)2 (1) Gi¶i: (x – 1)(y + 1) = (x + y)2
<=> (x – 1)(y + 1) = [(x – 1) + (y + 1)]2
<=> (x – 1)2 + (x – 1)(y + 1) + (y + 1)2 = 0
<=> [(x − 1)+y +1 ]
2
+
4 (y + 1)2 = (1’) V× (y + 1)2 víi mäi y vµ
[(x − 1)+y +1 ]
2
víi mäi xy Nªn PT (1’) <=> {x −1+y +1
2 =0
y+ 1=0
<=> {x=1y=1
Vậy phơng trình (1) coa nghiệm là: (1;-1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
x2 + y2 + xy – 3x – 3y + = (2) Giải:
* Cách 1: x2 + y2 + xy – 3x – 3y + = 0
<=> (x – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + (y – 1)2 = 0
<=> [(x − 1)+y − 1 ]
2
+
4 (y – 1)2 =
Lập luận nh ví dụ ta đợc nghiệm phơng trình là: (1;1) * Cách 2: x2 + y2 + xy – 3x – 3y + = 0
<=> (x2+ y
2
4 +
4+xy −3 x+ 3 y
2 )+ 3 y2
4 − 3 y
2 + 4=0 <=>
y − 1¿2=0
(x +y
2 − 2)
2
+3 4¿
Lập luận tơng tự nh ta tìm đợc nghiệm phơng trình là: (1;1) Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phơng trình:
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = (3) Gi¶i: x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = 0
<=> (x2 – xy + y
2
4 ) + (z
2 – 2z + 1) + (
4 y2 – 3y + 3) = <=> (x - y
2 )2 + (z – 1)2 +
(24)Lập luận nh ta đợc phơng trình (3) có nghiệm là: (1;2;1) Bài tập vận dụng Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau:
a) 2x2 + y2 – 2xy + 2y – 6x + = 0.
b) x2 – 4xy + 5y2 = 16.
c) x2 + y2 + xy – 5x – 4y + = 0.
Bµi 8: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau: a) x2y2 + 2x2 – 2x2y – 2x + = 0.
b) x2 + y2 – 4x – 4y + = 0.
c) √x+√y −1+√z − 2=1
2(x + y +z) VII/ Phơng pháp dùng bất đẳng thức
1 Lý thuyÕt
* Dùng bất đẳng thức A2 0.
* Dùng bất đẳng thức Cơsi: Với a, b R+ ta có: a + b 2
√ab , dấu xẩy (<=>) a = b * Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(a1b1 + a2b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22), dÊu b»ng xÈy <=>
a1 b1
=a2
b2
Tỉng qu¸t:
(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 (a12 + a22 + … +an2)(b12 + b22 + … + bn2), dÊu b»ng xÈy <=>
a1 b1
=a2
b2
= =an bn
2 VÝ dô
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: (x2 + 1)(y2 + 1) = 4xy (1) Giải:
Theo Côsi ta có: x2 + 2x, dÊu b»ng xÈy <=> x = 1
y2 + 2y, dÊu b»ng xÈy <=> y = 1
=> (x2 + 1)(y2 + 1) 4xy, dÊu b»ng xÈy <=> x = y = 1
VËy nghiÖm phơng trình (1) là: (x;y) = (1;1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 xy + y2 = (2) Gi¶i: x2 – xy + y2 = 3
<=> (x − y
2)
2
=3 −3 y
2
4 V× (x − y
2)
2
≥ 0 => 3 −3 y
2
4 ≥ 0 => −2 ≤ y ≤ 2
=> y∈{−2 ;−1 ;0 ;1;2} Lần lợt thay y vao (2) để tính x ta đợc nghiệm phơng trình là: (-2;2); (1;2); (-2;1); (2;1); (-1;1); (1;-1)
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh:
(x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) (3) Gi¶i:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(1.x + 1.y + 1.1)2 (12 + 12 + 12)( x2 + y2 + 12).
<=> (x + y + 1)2 3(x2 + y2 + 1) DÊu b»ng xÈy vµ chØ x
1=
y
1= 1=1 VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình (3) là: (1;1)
Bài tập vận dụng Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau:
2x2 + 4x = 19 – 3y2.
(25)(26)