CMR: AE SD vµ tÝnh thÓ tÝch cña c¸c khèi tø diÖn SBCD, IEFP.. Gi¶i sö A lµ gãc lín nhÊt trong ba gãc cña tam gi¸c ABC.[r]
(1)Đề kiểm tra kiến thức
Môn : To¸n
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thi gian phỏt .
Phần chung cho tất thí sinh
(7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hµm sè y =
1
2
1
x
(C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng
(
): x – 4y + = có giá trị nhỏ nhất.
C©u II (2,0 điểm)
Giải phơng trình
2
4
8
x
2 2
x
4
5
x
2 10
x
4
Giải phơng tr×nh
2
1
2sin
sin
2sin
4
cos
x
x
x
x
C©u III (1,0 ®iĨm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác AB = BC = CD = a, AD = 2a,
SA = a, SA
(ABCD) Gọi I giao điểm AC BD, E, F P lần lợt trung điểm
cạnh SB, SD CD CMR: AE
SD tính thể tích khối tứ diện SBCD, IEFP
Câu IV (2,0 điểm)
TÝnh giíi h¹n I =
3
lim
3
1
x
x
x
x
Giải sử A gãc lín nhÊt ba gãc cđa tam gi¸c ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức
F =
1
3
1
1
2 cos
A
3 cos
B
cos
C
Phần riêng
(3,0 điểm): Thí sinh đợc làm hai phần(phần A phần B)
A Theo chơng trình chuẩn
C©u V.a (2,0 ®iĨm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(-2; 1), C(-1; 0) trực tâm H(- 4; 1) Viết
ph-ơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
2 Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C): x
2+ y
2+ 2x – 4y = đờng thẳng (d):
2x – y + = Lập phơng trình đờng thẳng (
), biết (
) tạo với đờng thẳng (d)
góc 45
0(
) cắt đờng tròn (C) hai điểm M, N cho MN = 4.
Câu VI.a (1,0 điểm)
Tìm hệ số số hạng chứa x
10 khai triển nhị thức Niu- tơn2
2
3
n
x
x
,
biÕt
1
2
3
n n n
C
C
C
n
.
B Theo chơng trình nâng cao
Câu V.b (2,0 ®iĨm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác cân ABC , cạnh đáy BC có phơng trình (d1) x + 3y +1= 0,
cạnh AB có phơng trình (d2): x +2y - = 0, đờng thẳng AC qua điểm M(-2; 1) Tìm tọa
độ đỉnh A.
2 Trong mặt phẳng Oxy lập phơng trình tắc hypebol (H), biết góc hai tiệm cận
(H) 90
0chu vi hình thoi có đỉnh trung điểm hình chữ nhật sở
(H) 8.
Câu VI.b (1,0 điểm)
Cú bao nhiờu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác ln có mặt hai số 0; có 2
chữ số lẻ.
HÕt
Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm.
Họ tên thí sinh : Số báo danh
Đáp án - Thang điểm Đề Kiểm tra kiến thức
Môn: Toán
Câu Đáp án Điểm
(2)(2,0 điểm)
- TXĐ: D = Ă \
1 - Sự biến thiên:
+ Giới hạn vµ tiƯm cËn: x
lim
y
xlim
y
2
; TiƯm cËn ngang: y=2x
lim
1y
; lim
x 1y
; Tiệm cận đứng: x= -1 + Bảng biến thiên
Ta cã: y’ =
1
1
x
> 0, x D
BBT: x - -1 + y’ + +
+
y
-
Do đó: Hàm số đồng biến khoảng (- ; -1) (-1; +) Hm s khụng cú cc tr
- Đồ thị:
10
-2 -4 -6 -8 -10
-15 -10 -5 10 15
0,25
0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M
Giả sử điểm M
1 ;
1 m
m
(C),
m
1
Khi đó: d(M,
) =1
4
1 17
m
m
=
4
1 17
m m
=
4
1 17
m m
4
17
DÊu “ =”
4
1
1
m
m
m 1
m = m = -3 + Víi m = th× M3
1;
2
+ Víi m = -3 th× M
5
3;
2
VËy cã hai ®iĨm M tháa m·n bµi lµ: M
3
1;
2
, M5
3;
2
0,25
0,25
0,25
0,25
II
(2,0 điểm) (1,0 điểm) Giải phơng trình - §K:
x
2
- Khi phơng trình cho tơng đơng với x 16 4x2 5 x 2 104x2 0
0,25
I
x O
(3)
8 x 6 4x2 5 x2 0
4
2
8
2
x x
x x
Đặt t =
4
2
2
x
x
, t
0, Khi phơng trình trở thành: 8t2 + 6t – = 0
t =1
2
(t/m), t =5
4
(lo¹i)
Víi t =
1
2
suy ra:4
2
2
x
x
=1
2
x =34
15
Vậy: Phơng trình cho có nghiệm x =
34
15
.0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm) Giải phơng trình
- §K:
,
2
x
k k
¢
- Khi đó: 1- cos
sin
2
sin 2
1
2
cos
x
x
x
x
1- sin2x + (1 – sin2x)tanx =
(1- sin2x)(tanx + 1) =
x =,
4
k k
¢
Vậy: Phơng trình có hai họ nghiệm x =
,
4
k k
¢
0,25
0,25
0,25
0,25
III
(1,0 ®iĨm) Chøng minh vuông góc tính thể tích - C/m: AE
SDTa cã: AE
SB (1)Mµ:
BD
AB
BD
SA
nªn AE
BD (2) Tõ (1) vµ (2) suy AE
(SBD) Suy ra: AE
SD (®pcm) - TÝnh VSBCD:Ta cã: VSBCD =
1
3
SA SBCD=
1
3
a1
2
CB.CD.sin1200=
3
12
a
(®vtt) - TÝnh VIEFP: Ta cã VIEFP = VPIEF
Mµ: SIEF = SDEF =
1
4
SSBDd(P,(IEF)) =
1
2
d(C,(SBD))Suy ra: VIEFP = VPIEF =
1
3
SIEF. d(P,(IEF)) =1
8
VSBCD =3
96
a
(®vtt)
0,25
0,25 0,25
0,25
IV (1,0 điểm) Tính giới hạn
B C
S
A
D E
F
P I
(4)(2,0 ®iÓm)
I =
3
lim
x x x x =
3
lim lim
x x x x x x x
=
2 3
3
3
3
lim lim
1
3
x x
x
x x x
x x x x
=
0,5
0,5
2 (1,0 điểm) Tìm GTNN
Do A góc lớn nên B,C < 900, suy cosB > 0, cosC > 0
Khi đó: F =
1 1
2 cos A cosB cosC
9
2 cos A cosBcosC Đặt P = cos A cos
BcosC
= – 2sin2
2
A
+
3
sin2
A
cos
2
B C
= -2
2 3
sin sin cos cos cos
2 2 2
A A B C B C B C
= -2
2
2
3
sin cos cos
2 2 2
A B C B C
9 Do đó: F
DÊu “ = “
A= 1200, B = C = 300VËy: MinP = tam gi¸c ABC cã: A= 1200, B = C = 300
0,25
0,25
0,25 0,25
V.a
(2,0 điểm) (1,0 điểm) Lập phơng trình đờng trịn ngoại tiếp
- Phơng trình AB:
n HC
(3;1)
r uuur
Do phơng trình AB: 3x – y + = - Tơng tự AC: x + =
- Mà A =
AB
AC
nên tọa độ AnghiƯm cđa hƯ
1 0
3
7 0
x
x y
suy A(-1;4)
- Gọi phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng x2 + y2+ 2ax + 2by + c = (a2 + b2 – c > 0)
Khi A, B, C thuộc đờng trịn nêm ta có hệ:
2
8
17
4
2
5
2
1
a
b c
a
b c
a c
0
2
1
a
b
c
Do phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: x2 + y2 - 4y – = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm) Lập phơng trình đờng thẳng
- Gọi I tâm đờng trịn (C) đó: I(-1; 2), R= 14 - Gọi hệ số góc
là k đó:
· ,d 450
2
1
1 2
k
k
3
1
3
k
k
- Với k = -3,
: 3x + y + a = Để MN =
HN =
IH =10
3 2
10
10
a
9
11
a
a
0,25
0,25
0,25
A
B(-2;1)
B(-1;0) H(-4;1)
.
IM H N
(5)+ Víi a= th×
: 3x + y - = + Víi a = 11 th×
: 3x + y +11 =- Víi k =
1
3
làm tơng tự nh ta có
: x - 3y +17 = 0
: x - 3y -3 = Vậy có bốn đờng thẳng thỏa mãn điều kiện ra: 3x + y - =3x + y +11 = x - 3y +17 = x - 3y -3 =
0,25
VI.a (1,0 điểm)
Tìm hệ sè -T×m n
+ ĐK:
n
Ơ
,
n
3
+ Khi đó:1
2
3
n n n
C
C
C
n
!
!
2.
3.
2!.(
2)!
3!.(
3)!
n
n
n
n
n
n
n =- Khi :
5 5
3
5
2
0
2
2
3
3
k k
k
k
x
C
x
x
x
=
5
5 15
5
3
2
kk k k
k
C
x
§Ĩ 15 – 5k = 10
k = VËy hƯ sè cđa x10 lµ :1 5
3 ( 2)
C
= -810
0,25 0,25
0,25
0,25
V.b
(2,0 điểm) 1.(1,0 điểm) Tìm tọa độ nh A
- Lập phơng trình
1 qua M vµ song song víi BCKhi
1: x+3y -1 =- Gọi N =
d
2
1 suy tọa độ N(4; -1). - Gọi I trung điểm MN, I(1;0) - Gọi
2 đờng thẳng qua I vng Góc với d1,
: 3x –y -3 =0
Do A =
d
2
2 suy ra: A8 3
;
7 7
0,25 0,25 0,25
0,25
2.(1,0 điểm) Lập phơng trình (H)
- Gọi phơng trình tắc (H) d¹ng
2 2
x y
a b (a>0, b>0) - Do gãc gi÷a hai tiƯm cËn b»ng 900 nªn ·AON450
Suy ra: b
a hay a = b (1)
- Mặt khác chu vi hình thoi ABAB Nªn ta cã: 4AB =
a2b2= (2) Thế (1) vào (2) ta đợc a = b = Do phơng trình (H) là:2
1
2
x y
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.b (1,0 ®iĨm)
Tìm số số
- Mi b số gồm hai số 0; hai số lẻ , hai số chẵn khác 0; ta lập đợc 5.5! số - Số nh là:
2 5
.
C C
bộ Do đó: Số số lập đợc2 5
.
C C
5.5! = 18.000 sè
0,5 0,5
A
B C
M(-2;1) N
I
d
1
d
2
1
O
y
x
M N
P Q
A A’
B