Về cực trị hàm lồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN ĐÌNH THỌ VỀ CỰC TRỊ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN ĐÌNH THỌ VỀ CỰC TRỊ HÀM LỒI Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - Năm 2014 MỤC LỤC Lời nói đầu ii Chương Các kiến thức giải tích lồi 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Dưới vi phân 11 1.3.1 Khái niệm 11 1.3.2 Phép tính với vi phân 14 1.4 Đạo hàm theo hướng tính khả vi hàm lồi Chương Cực tiểu hàm lồi tập lồi 17 19 2.1 Phát biểu toán 19 2.2 Sự tồn nghiệm tối ưu 23 2.3 Điều kiện tối ưu 26 2.3.1 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 27 2.3.2 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức 29 2.4 Đối ngẫu Lagrange 32 2.5 Các phương pháp giải 35 2.5.1 Phương pháp chiếu đạo hàm 35 2.5.2 Thuật toán Frank-Wolfe 38 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi 44 3.1 Phát biểu tốn 44 3.2 Tính chất 44 3.3 Các phương pháp giải 46 3.3.1 Phương pháp xấp xỉ 46 3.3.2 Phân hoạch khơng gian thuật tốn nhánh cận 52 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 i LỜI NÓI ĐẦU Cực trị hàm lồi tập lồi lớp tốn tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi có tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng cho phép lý thuyết có tính địa phương giới hạn, vi phân, áp dụng trực tiếp vào quy hoạch lồi Lý thuyết toán quy hoạch lồi nghiên cứu nhiều thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa Cực đại hàm lồi tập lồi có tính chất khác hẳn cực tiểu hàm lồi tập lồi, cụ thể ta thấy cực đại địa phương hàm lồi không thiết cực đại tuyệt đối Mục đích luận văn để trình bày tốn cực đại, cực tiểu hàm lồi tập lồi số phương pháp giải tốn Luận văn gồm có ba chương: Chương Các kiến thức giải tích lồi Trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Chương Cực tiểu hàm lồi tập lồi Trình bày tốn cực tiểu hàm lồi tập lồi, tồn nghiệm tối ưu điều kiện tối ưu toán Đối ngẫu Lagrange Trình bày hai phương pháp giải tốn quy hoạch lồi phương pháp chiếu đạo hàm thuật toán Frank-Wolfe Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Trình bày tốn cực đại hàm lồi tập lồi số tính chất Trình bày hai phương pháp giải toán cực đại hàm lồi tập lồi phương pháp xấp xỉ ngồi thuật tốn nhánh cận Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn ii Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em hoàn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Ân Thi, gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điệu kiện cho em mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! iii Chương Các kiến thức giải tích lồi Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [9] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm a, b   n (i) Đường thẳng qua hai điểm a b tập hợp có dạng x   n  x  αa  βb, α, β  , α  β  (ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a b tập hợp có dạng x   n  x  αa  βb, α  0, β  0, α  β  Định nghĩa 1.2 Một tập C   n gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C tập lồi  x, y  C , λ   0,1 λx  1  λ  y  C Định nghĩa 1.3 (i) Ta nói x tổ hợp lồi điểm (vectơ) x1, x , , x k k x   λ j x j với λ j  0, j  1, 2, , k j 1 k  λj  j 1 (ii) Ta nói x tổ hợp affine điểm (vectơ) x1, x , , x k k x   λ j x j với j 1 k  λj  j 1 Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi  k  , λ1 , , λk  cho k k  λ j  x1, , xk  C  λj x j C j 1 j 1 Chương Các kiến thức giải tích lồi Định nghĩa 1.4 Một tập C gọi tập affine chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức C tập affine  x, y  C , λ   λx  1  λ  y  C Định nghĩa 1.5 Siêu phẳng không gian  n tập hợp điểm có dạng x   n  aT x  α , a   n vectơ khác α   Định nghĩa 1.6 Nửa khơng gian tập hợp có dạng x   n  aT x  α , a   n vectơ khác α   , nửa khơng gian đóng   Tập x   n aT x  α nửa không gian mở Mệnh đề 1.2 Tập M   tập affine có dạng M  L  a với L không gian a  M Không gian L xác định Không gian L mệnh đề gọi không gian song song với M (hoặc không gian M ) Định nghĩa 1.7 Thứ nguyên (hay chiều) tập affine M thứ nguyên không gian song song với M ký hiệu dim M Mệnh đề 1.3 Bất kỳ tập affine M   n có số chiều r có dạng   M  x   n Ax  b , (1.1) A ma trận cấp m  n , b   m rankA  n  r Ngược lại, tập hợp có dạng (1.1) với rankA  n  r tập affine có số chiều r Định nghĩa 1.8 Các điểm x , x1, , x k  n gọi độc lập affine bao affine chúng có thứ nguyên k Định nghĩa 1.9 Một tập hợp S   n gọi đơn hình có thứ ngun k (hoặc k  đơn hình), S tổ hợp lồi k  vectơ độc lập affine Các vectơ gọi đỉnh đơn hình Chương Các kiến thức giải tích lồi Định nghĩa 1.10 Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau:   D : x   n a j , x  b j , j  1, 2, , m ,  a j   n b j   , j  1, 2, , m Nếu ta kí hiệu A ma trận có m hàng vectơ a j  j  1, 2, , m  vectơ bT   b1, b2 , , bm  hệ viết là:   D  x   n Ax  b Định nghĩa 1.11 Một tập C gọi nón λ  0, x  C  λx  C (i) Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi (ii) Một nón lồi gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng, ta nói O đỉnh nón Nếu nón lồi tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Định nghĩa 1.12 Cho C   n tập lồi x  C (i) Tập  N C  x  : w w, y  x  0, y  C  gọi nón pháp tuyến (ngoài) C x (ii) Tập   NC  x  : w w, y  x  0, y  C  gọi nón pháp tuyến (trong) C x Định nghĩa 1.13 Một điểm a  C gọi điểm tương đối C điểm C theo tô-pô cảm sinh affC Ký hiệu tập điểm tương đối C riC Vậy   riC : a  C B :  a  B   affC  C , Chương Các kiến thức giải tích lồi B lân cận mở gốc Hiển nhiên   riC  a  affC B :  a  B   affC  C Mệnh đề 1.4 Cho C   n tập lồi Giả sử x  riC Khi với y  C , tất điểm đoạn thẳng nối x y , trừ y , thuộc riC Nói cách khác, với  λ  1  λ  riC  λC  riC Định nghĩa 1.14 Bao lồi tập E giao tất tập lồi chứa E Ký hiệu coE Định nghĩa 1.15 Một điểm x  C gọi điểm cực biên C không tồn a, b  C , a   λ  cho x  λa  1  λ  b Trong trường hợp C tập lồi đa diện điểm cực biên cịn gọi đỉnh Ta kí hiệu V  C  tập điểm cực biên C Bao lồi số hữu hạn điểm tập đa diện lồi, compact Nếu v , v1 , , v m độc lập affine bao lồi chúng đơn hình Đơn hình có thứ ngun m Các điểm v , v1 , , v m gọi đỉnh (điểm cực biên) đơn hình Định nghĩa 1.16 Một tập F  C gọi diện tập lồi C F tập lồi có tính chất x, y  C : tx  1  t  y  F ,  t   x, y   F Điểm cực biên diện có thứ nguyên Cạnh diện có thứ nguyên Tia cực biên diện nửa đường thẳng Như tia cực biên cạnh vô hạn Hướng cực biên hướng tia cực biên Định nghĩa 1.17 Cho x  C Ta nói aT x  α siêu phẳng tựa C x , aT x  α , aT x  α , x  C Định nghĩa 1.18 Cho C   (không thiết lồi) y vectơ bất kỳ, đặt dC  y  : inf x  y xC Chương Các kiến thức giải tích lồi Ta nói dC  y  khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π  C cho dC  y   π  y , ta nói π hình chiếu (vng góc) y C ký hiệu π  PC  y  Theo định nghĩa, ta thấy hình chiếu PC  y  y C nghiệm toán tối ưu 1  x  y 2  xC  Nói cách khác việc tìm hình chiếu y C đưa việc tìm cực tiểu hàm tồn phương x  y C Nếu C   dC  y  hữu hạn,  dC  y   x  y , x  C Mệnh đề 1.5 Cho C tập lồi đóng khác rỗng Khi đó: (i) Với y   n , π  C hai tính chất sau tương đương: a) π  PC  y  , b) y  π  NC  π  (ii) Với y   n , hình chiếu PC  y  y C tồn (iii) Nếu y  C , PC  y   y, x  PC  y   siêu phẳng tựa C PC  y  tách hẳn y khỏi C , tức PC  y   y, x  PC  y   0, x  C PC  y   y, y  PC  y   (iv) Ánh xạ y  PC  y  có tính chất sau: a) PC  x   PC  y   x  y , x, y   n (tính khơng giãn) b) PC  x   PC  y  , x  y  PC  x   PC  y  (tính đồng bức) Chứng minh (i) Giả sử có a) Lấy x  C λ   0,1 Đặt Chương Cực đại hàm lồi tập lồi b) Xây dựng siêu phẳng H k tách chặt x k từ D , tức hk  x   phương trình   hk x k  0, hk  x   0, x  D (3.3) Tạo đa diện   Sk 1 : Sk  x   n hk  x   Thay k : k  quay trở a) Để thực thi thuật toán ta phải xác định làm để xây dựng siêu phẳng H k Nhưng trước bàn vấn đề này, cần điều kiện   đảm bảo hội tụ thuật toán, tức điều kiện đảm bảo dãy x k có điểm x cho  x  D, f x  max  f  x  x  D  (3.4)  Một siêu phẳng H k  x   n hk  x   hk  x   p k , x  ηk có giới hạn   H  x   n h  x   k   , kí hiệu H k  H  k    , h  x   p, x  η , với pk p k  p, ηk  η pk Định lý 3.1 Giả sử có điều kiện (a) sau đây:   hội tụ đến x  D , siêu phẳng H (a) Khi dãy x kv kv hội tụ đến H H tách chặt x từ D Khi thuật tốn kết thúc sau hữu hạn bước với nghiệm tối ưu  P   tạo dãy vô hạn giảm S k  Trong trường hợp sau, dãy x k có điểm hội tụ điểm hội tụ nghiệm tối ưu  P  49 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi   (Điểm ln tồn từ tính bị chặn dãy  x   S ) Đặt Chứng minh Giả sử q trình vơ hạn, x điểm dãy x k , cho x  lim x kv v   k l  H k  x hk  x   với hk  x   p k , x  ηk Chúng ta giả sử p k  1, k Do giả thiết    hk x k  p k , x k  ηk , nên ηk   p k , x k (3.5) Hơn hk  x   p k , x  ηk  0, x  D , nên điểm x  D : ηk   p k , x (3.6) Từ (3.5) (3.6) dãy ηk  bị chặn Vì vậy, cách lấy dãy  p  , η  kv kv cần thiết, giả sử p kv  p, ηkv  η ,   tức H kv tiến tới H  h  x   với h  x   p, x  η Chúng ta thấy x  D Thật vậy, không vậy, từ điều kiện (a) có  h x  (3.7)   Nhưng với l  kv , xl  Sl  Skv , suy hkv xl  Do cố định v cho  l  k μ , μ   , có hkv x  Từ điều này, cách cho v   , có  h x  0, mâu thuẫn (3.7) Vì x  D , có 50 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi  f x  max  f  x  x  D   f  x   f  x   max  f  x  x  D Nhưng, từ Sk  D , f x k  max  f  x  x  D , k Thuật tốn (Ràng buộc tuyến tính) Xét tốn  P  , D tập lồi đa diện xác định sau:   D : x   n gi  x   , x  αi  0, i  1, , m Chọn tập lồi đa diện S1 chứa D cho tập đỉnh tập hướng cực biên S1 dễ tính Tìm tập đỉnh V11 tập hướng cực biên V10 S1 Đặt k  a) Với hướng cực biên u  Vk0 kiểm tra f  x  không bị chặn trên nửa đường xuất phát từ x1 theo hướng u (trong x1 điểm tùy ý Sk ) Nếu hướng cực biên u k tồn tại, đến b) Nếu không, đến c) b) Nếu a i , u k  0, i  1, , m , kết thúc: tốn khơng có lời giải tối ưu hữu hạn u k hướng tăng vô hạn D mà f  x  không bị chặn Trái lại, tính ik  arg , u k i c) Tìm   x k  argmax f  x  x  Vk1 Nếu a i , x k  αi  với i  i1, , ik 1 , kết thúc: x k nghiệm tối ưu toán Trái lại, tính   ik  arg max , x k  αi Đi đến d) d) Tạo tập lồi đa diện 51 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi   Sk 1 : Sk  x   n a ik , x  αik  Tìm tập đỉnh Vk11 tập hướng cực biên Vk01 Sk 1 Thay k : k  quay lại a) Định lý 3.2 Thuật toán kết thúc sau tối đa m bước lặp Chứng minh Chúng ta có   Sk  x   n giv  x   , v  1, , k  Nhưng hàm gi1 , , giv , khác nhau,  Qv  có nghiệm tối ưu x v i aiv , x v  αv  0, a μ , x v  α μ  với v  μ ,  Q  có hướng tối ưu u i aiv , u v  0, a μ , u v  với v  μ (bất đẳng thức sau đơn giản thể u v hướng cực biên Sv , hướng tăng vơ hạn S μ v  μ ) Vì thuật tốn phải kết thúc sau tối đa m bước lặp 3.3.2 Phân hoạch khơng gian thuật tốn nhánh cận Trong tốn tối ưu tồn cục, phải tìm kiếm toàn miền ràng buộc nên thường phải dùng tổ hợp hai phép toán: (i) Phân hoạch (chia nhỏ) không gian loại bỏ dần phần chắn khơng chứa nghiệm tồn cục (ii) Trong bước có số lượng lớn miền nhỏ (tập phân hoạch) cần khảo sát, cần phải có cách ước lượng nhanh để xác định miền chắn không chứa nghiệm tồn cục cần loại bỏ miền có chứa nghiệm toàn cục, cần chia nhỏ để khảo sát Sau ta xét hai phương pháp phân hoạch không gian chia hộp vét kiệt chia đơn hình vét kiệt, xét phương pháp ước lượng phương pháp nhánh cận 52 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Phép chia hộp vét kiệt Một hộp (hay hộp hình chữ nhật)  n tập có dạng  a, b   x   n a j  x j  b j , j  1, , n , a, b   n a  b (nghĩa a j  b j , j  1, , n ) Khi có hộp M   a, b  ta chia thành hai hộp siêu phẳng trực giao với cạnh  a j , b j   j  1, , n qua điểm v M Vì số j điểm v hoàn toàn xác định siêu phẳng chia, nên phép chia gọi chia theo  v, j  Hai hộp sinh phép chia    M  x  M xj  vj ,  M  x  M xj  vj Ta nói phép chia  v, j  phép chia chuẩn theo tỉ lệ   cạnh  a j , b j  cạnh dài M     v j  a j , b j  v j   b j  a j v aj bj Hình 3.2 Minh họa phép chia chuẩn (v, j )   Định nghĩa 3.1 Phép chia hộp gọi vét kiệt dãy vô hạn M k j siêu hộp sinh từ phép chia chuẩn theo tỉ lệ  M k j 1  M k j , j hội tụ điểm, có nghĩa 53 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi M k j  x* j   , điều tương đương với    diamM kq   q    ,  M kq  x* , q 1 (ở đây, diamM độ dài cạnh dài hộp M )   Dãy M kq thỏa mãn điều kiện gọi lọc hộp Định lý 3.3 Một trình chia hộp phép chia chuẩn theo tỉ lệ khơng đổi   phải vét kiệt Chứng minh Xuất phát từ hộp M , sau nhiều n phép chia, cạnh dài hộp có độ dài không  diamM Như vậy, q trình chia vơ hạn diamM kq   q    Phép chia đơn hình vét kiệt Một p  đơn hình M (đơn hình thứ nguyên p ) bao lồi p  điểm u1, , u p 1 độc lập affine  n Ký hiệu M  u1, , u p 1  Các điểm u i , i  1, , p  gọi đỉnh đơn hình Nếu điểm v thuộc cạnh u i , u k  v  u i , v  u k v xác định phép chia đơn hình M thành hai đơn     hình con: M i , M k mà tập đỉnh thu từ tập u1, , u p 1 cách thay u i ( u k , tương ứng) v Nếu cạnh u i , u k  dài M  v  u i , v  u k   u u i k ,   phép chia gọi phép chia chuẩn theo tỉ lệ  54 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi M uj uk v Hình 3.3 Minh họa phép chia đơn hình   Định nghĩa 3.2 Phép chia đơn hình gọi vét kiệt dãy vô hạn M k j đơn hình sinh từ phép chia chuẩn theo tỉ lệ  M k j 1  M k j , j hội tụ điểm, có nghĩa M k j  x* j   , điều tương đương với    diamM kq   q    ,  M kq  x* , q 1 (ở đây, diamM độ dài cạnh dài đơn hình M )   Dãy M kq thỏa mãn điều kiện gọi lọc đơn hình Định lý 3.4 Phép chia chuẩn theo tỉ lệ vét kiệt   Chứng minh Giả sử M q dãy giảm n  đơn hình sinh phép chia chuẩn theo tỉ lệ Đặt  q độ dài cạnh dài đơn hình M q Ta  n q   q , q 55 (3.8) Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Thật vậy, ta cần chứng minh (3.8) với q  Tô màu đỉnh M1 màu đen, tô màu trắng đỉnh M r với r  mà đỉnh màu đen Ký hiệu d r cạnh dài M r , cạnh chia Đặt p số nhỏ cho d p có điểm đầu mút màu trắng Vì đỉnh màu đen thay đỉnh màu trắng bước chia trước p , ta có p  n  Đặt d p  u , v  với u màu trắng Khi u trung điểm d k với k  p Đặt d k   a, b  Nếu a b trùng với v rõ ràng  p   k  1 (3.8) Ngược lại, xét tam giác co a, b, v (bao lồi điểm a, b, v ) Vì v  M p  k  d k nên ta có v  a   k , v  b   k Vì u trung điểm  a, b  , ta suy từ quy tắc hình bình hành 2 2 bu  u v  va  vb từ b u  a b 2 2 u v  va  vb   p  1 a  b  2 k2   k2   k2 , 2  k Vì  n1   p k  nên ta có (3.8) Từ (3.8) suy  q   q    Do phép chia chuẩn tỉ lệ vét kiệt Thuật toán nhánh cận Xét toán  P  , D tập lồi đóng, bị chặn Ý tưởng phương pháp nhánh cận thay việc giải tốn, ta tìm cận cận cho giá trị tối ưu toán Để làm cho cận xác người ta chia nhỏ dần miền tìm kiếm (tập chấp nhận) 56 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Khởi tạo Chọn hộp (hoặc đơn hình) P0 , tùy theo phương pháp phân hoạch không gian cho D  P0 Tính tập hợp đỉnh V  P0  Đặt  : P0    Tính  : max f  x  x  V  P0  Giả sử Q tập hợp điểm chấp nhận biết (nếu có) Tìm x  arg max  f  x  x  Q , Q     Đặt  : f x0 , Q    :  , Q   Bước lặp k Tại thời điểm bắt đầu Bước lặp k  k  0,1,  , ta có họ  k với hộp (hoặc đơn hình) Pk   k có cận  k Đồng thời, qua việc tính  k hay cách khác biết số điểm chấp nhận   tốt x k cho cận  k : f x k Bước Nếu  k   k dừng: x k nghiệm tối ưu  k giá trị tối ưu toán (P) Nếu trái lại, chuyển sang Bước Bước Chia Pk theo cách chọn (chia hộp chia đơn hình vét kiệt) Đặt Pk : Pk1  Pk2   Bước Tìm cận  Pki f D  Pki thỏa mãn    Pki    Pk  (i  1, 2)   Bổ sung điểm chấp nhận tìm thấy tính cận  Pki (i  1, 2) vào tập Q   Bước Tính  k  max  f  x  x  Q , x k  Q cho f x k   k   Bước Đặt  k 1 :   k \ Pk   Pk1 , Pk2 Xóa tất Pk   k 1 thỏa mãn 57 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi   Pk    k Pk  D   Đặt k tập lại k   (khi thuật toán dừng), k t k :   max   Pk  Pk  k  k   Chọn Pk  k cho α  Pk   αk Bước Đặt Γk 1 : k  chuyển sang Bước Bước lặp k  Sự hội tụ thuật toán Nếu thuật toán dừng lại Bước lặp k αk  βk Do đó, ta có βk  αk ,   mà βk  f x k nên x k nghiệm tối ưu βk giá trị tối ưu toán  P  Định lý sau cho ta thấy hội tụ thuật toán thuật tốn kéo dài vơ hạn: Định lý 3.5 (i) Nếu thuật tốn kéo dài vơ hạn khơng tìm điểm chấp nhận (tức βk   với k  1, 2, ) αk  f * :  (ii) Nếu thuật toán kéo dài vô hạn tồn điểm chấp nhận x k điểm   tụ dãy x k nghiệm tối ưu toàn cục toán  P  Hơn nữa, αk  f * βk  f * Chứng minh Khi thuật tốn kéo dài vơ hạn, tạo dãy vô hạn tập   chia giảm dần (lồng nhau) Pk j thỏa mãn Pk j  D   , j  1, 2, Để đơn giản ký hiệu, thay viết k j ta viết k Do tính vét kiệt, nên Pk  x* k   Vì Pk  D  , k  1, 2, nên ta có x*  D (i) Ta có     αk  α  Pk   max f  x  x  V  Pk   f v k Mặt khác, với x k  Pk ta suy x k  x* Do hàm f liên tục nên 58 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi     αk  f v k  f x*  f *   Theo định nghĩa cận αk , ta có αk  f * Do f x*  f * Vậy αk  f * k (ii) Giả sử x điểm chấp nhận Pk  D Ta có   k lim  αk  f x   k      hàm k Vì βk  f x f liên tục nên ta có lim  αk  βk   Mặt khác, theo k  cách tính cận αk  α  Pk  nên ta có lim  αk  βk   lim  α  Pk   βk   k  (3.9) k      Do D bị chặn nên x k có điểm tụ Giả sử x* điểm tụ x k   dãy x  , x Không giảm tổng quát ta giả sử dãy x kj k kj  x* (để đơn     giản ký hiệu, ta viết x k  x* ) Do hàm f liên tục nên suy lim f x k  f x* k  Dãy αk  dãy không tăng bị chặn f * nên tồn α  lim αk Hơn k  nữa, dãy  βk  dãy số thực không giảm bị chặn f * nên tồn β  lim βk Do đó, ta có β  f *  α Từ (3.9), ta có k      β  lim βk  lim f x k  f x*  f *  lim αk  α k  k  Vậy điểm tụ x* dãy x  k k  nghiệm tối ưu toán αk  f * βk  f * Ví dụ 3.1 Xét toán   max f  x   f  x1, x2   x12  x2 x  D ,  2  D  x    x1     x2  1  Lời giải Ta thấy f  x   x12  x2 hàm lồi  59  P Hơn nữa, Chương Cực đại hàm lồi tập lồi    Lấy hình hộp P0  D với tập đỉnh V  P0   1,0 T , 1, T ,  3,0 T ,  3, T Ta có   max  f  x  x  V  P0   f  3,   11 T 5 3 5 3 Lấy  ,  điểm chấp nhận D Ta có   f  ,    4 2 4 Suy    Do đó, ta thực chia hộp P0 thành hai hộp P11 P12 thỏa mãn P0  P11  P12 int P11  int P12      Hình hộp P11 với tập đỉnh V  P11   1,0 T , 1, T ,  2,0 T ,  2, T Ta có 11  max  f  x  x  V  P11   f  2,     (loại)    Hình hộp P12 với tập đỉnh V  P12    2,0 T ,  2, T ,  3,0 T ,  3, T Ta có 12  max  f  x  x  V  P12   f  3,   11   Do đó, ta thực chia hộp P12 thành hai hộp P21 P22 thỏa mãn P12  P21  P22 int P21  int P22      Hình hộp P21 với tập đỉnh V  P21    2, T ,  2,1T ,  3,0 T ,  3,1T Ta có  21  max  f  x  x  V  P21   f  3,1  10   Do đó, ta thực chia hộp P21 thành hai hộp P31 P32 thỏa mãn P21  P31  P32 int P31  int P32   T T Mặt khác, ta nhận thấy  3,1  D mà f  3,1  10   nên  3,1 điểm chấp nhận ta đặt  5 3     1 : max  f  ,  , f  3,1   f  3,1  10 4     Hình hộp P22 với tập đỉnh V  P22    2,1T ,  2, T ,  3,1T ,  3, T Ta có  22  max  f  x  x  V  P22   f  3,   11   60 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Do đó, ta thực chia hộp P22 thành hai hộp P33 P34 thỏa mãn P22  P33  P34 int P33  int P34   Tiếp tục, ta thực tính cận trên hình hộp P31 , P32 , P33 , P34 T T  T T 5     V  P31    2,0  ,  2,1 ,  ,0  ,  ,1  ;        T  T  T T V  P32    ,0  ,  ,1 ,  3,0  ,  3,1  ;      T T  T T 5     V  P33    2,1 ,  2,  ,  ,1 ,  ,   ;        T  T  T T V  P34    ,1 ,  ,  ,  3,1 ,  3,        Ta có 5   31  max  f  x  x  V  P31   f  ,1  7, 25  1 (loại); 2   32  max  f  x  x  V  P32   f  3,1  10  1 ; 5   33  max  f  x  x  V  P33   f  ,   8, 25  1 (loại); 2   34  max  f  x  x  V  P34   f  3,   11  1 T Do nghiệm toán x*   3,1 61 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô trực tiếp giảng dạy hướng dẫn, đặc biệt GS TSKH Lê Dũng Mưu, tơi hồn thành luận văn với đề tài “Về cực trị hàm lồi” Luận văn đạt số kết sau: Giới thiệu toán cực tiểu hàm lồi tập lồi, tồn nghiệm toán Điều kiện tối ưu cho toán cho toán với ràng buộc đẳng thức toán với ràng buộc bất đẳng thức Đối ngẫu Lagrange Trình bày hai phương pháp giải toán cực tiểu hàm lồi tập lồi phương pháp chiếu đạo hàm thuật toán Frank-Wolfe Giới thiệu tốn cực đại hàm lồi tập lồi, tính chất Giới thiệu phép chia hộp phép chia đơn hình vét kiệt Trình bày hai phương pháp để giải toán cực đại hàm lồi tập lồi phương pháp xấp xỉ ngồi thuật tốn nhánh cận Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu tốn cực đại, cực tiểu hàm lồi tập lồi Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu lớp toán quan trọng tối ưu toàn cục 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, NXB Bách khoa - Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2011), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [4] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Hữu Điển (sẽ ra), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Nhập môn tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu, Bài giảng lớp cao học, Viện Toán học Tài liệu Tiếng Anh [7] Stephn Boyd and Lieven Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press [8] P.M Pardalos and J.B Rosen (1987), Constrained Global Optimization: Algorithms and Applications, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [9] Hoang Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers [10] Hoang Tuy (1983), “On outer approximation methods for solving concave minimization problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 8, pp 3-34 63 ... hoạch lồi phương pháp chiếu đạo hàm thuật toán Frank-Wolfe Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Trình bày tốn cực đại hàm lồi tập lồi số tính chất Trình bày hai phương pháp giải toán cực đại hàm lồi. .. kiến thức giải tích lồi Trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Chương Cực tiểu hàm lồi tập lồi Trình bày toán cực tiểu hàm lồi tập lồi, tồn nghiệm tối... Tài liệu tham khảo 63 i LỜI NÓI ĐẦU Cực trị hàm lồi tập lồi lớp toán tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi có tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan