THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2014 MỞ ĐẦU Toán học mơn khoa học đóng vai trị quan trọng ngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức mảng kiến thức hay thú vị toán học đặc biệt toán sơ cấp Việc nghiên cứu bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả giải vấn đề phát triển tư Lý thuyết tập bất đẳng thức phong phú đa dạng Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi toán, bất đẳng thức đề cập thuộc loại tốn khó khó Nhiều bất đẳng thức trở thành công cụ đắc lực để giải tốn bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… bất đẳng thức Bernoulli thường quan tâm Là người say mê bất đẳng thức sơ cấp tác giả biết không nhiều bất đẳng thức Vì vậy, tác giả lựa chọn đề tài "Xây dựng số bất đẳng thức sơ cấp dựa bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm nhiều vẻ đẹp bất đẳng thức để có nhìn tổng quan đầy đủ bất đẳng thức sơ cấp để cung cấp thêm tài liệu tham khảo bổ ích tốn học trường THPT Với ý nghĩa trình làm luận văn, tác giả xây dựng lựa chọn toán hay nhằm làm bật lên mặt mạnh bất đẳng thức Bernoulli Luận văn chia thành ba chương Chương Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương tác giả trình bày bất đẳng thức Bernoulli dạng phát biểu khác số ví dụ thể kỹ thuật bất đẳng thức Bernoulli Chương Một số bất đẳng thức xây dựng dựa bất đẳng thức Bernoulli Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng tốn từ bất đẳng thức Bernoulli thơng qua ví dụ cụ thể Từ trình bày hệ thống tập Mặc dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận góp ý thầy giáo bạn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo thầy PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em nhận bảo tận tình thầy để có học vấn sau đại học Em xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện đọc góp ý kiến q báu để em hồn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi em công tác, tạo điều kiện cho em học hồn thành chương trình Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất thầy cơ, kính chúc thầy cô luôn mạnh khỏe hạnh phúc Chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Người thực Bùi Trọng Nguyện MỤC LỤC Trang Chƣơng Bất đẳng thức Bernoulli 1.1 Bất đẳng thức Bernoulli 1.2 Một số ví dụ 1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi 18 Chƣơng Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa bất đẳng thức Bernoulli 28 2.1 Xây dựng số hàm đơn điệu dựa bất đẳng thức Bernoulli 28 2.2 Phát triển số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức Bernoulli 40 2.3 Xây dựng số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức 2 2 51 2.3.1 Một số toán tam giác 52 2.3.2 Một số toán lượng giác 59 2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.2 Xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển 64 2.4.3 Một số toán khác 70 Chƣơng Bất đẳng thức Bernoulli 1.1 Bất đẳng thức Bernoulli Jacob Bernoulli (1654-1705) nhà toán học tiếng người Thụy Sĩ Bất đẳng thức Bernoulli dạy trường phổ thông mang tên để vinh danh ông Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần lũy thừa (1+x), phát biểu sau Định lí 1.1 Nếu α số thực thỏa mãn 1 x .x , với x 1 (1.1) Đẳng thức xảy x=0 Nếu α số thực thỏa mãn 1 x .x , với x 1 Đẳng thức xảy x=0 Chứng minh Chỉ cần xét 1, (1.1) trở thành đẳng thức Xét hàm số f (x) 1 x .x khoảng (1; ) Ta có đạo hàm f '(x) 1 x 1 1 x 1 1 Ta suy x Từ đó, ta có bảng biến thiên sau x f ' (x) -1 f(x) f(0) Theo bảng biến thiên hàm số, ta suy f (x) f (0) 0, hay 1 x .x với x 1 Xét Khi Áp dụng kết trên, ta có 1 .x (x) x Ta suy .x 1 x Vậy 1 x .x với x 1 Định lí chứng minh Định lí 1.2 Nếu số thực thỏa mãn a .a , với a (1.2) Đẳng thức xảy a Nếu số thực thỏa mãn a .a , với a Đẳng thức xảy a Chứng minh Từ bất đẳng thức Định lí 1.1, ta cần đặt a x Khi a (0; ) Định lí 1.3 Cho hai số thực , thỏa mãn Khi x x , với x (1.3) Đẳng thức xảy x Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắn đẳng thức xảy x x , với x số dương cho trước, ta cần thay bất đẳng thức định lý sau Định lí 1.4 Giả sử cho trước x >0 cặp số , thỏa mãn điều kiện Khi x x , với x x0 x0 (1.4) Đẳng thức xảy x x 1.2 Một số ví dụ 1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Các dạng toán đặc trưng bất đẳng thức Bernoulli dễ nhận bất đẳng thức với số mũ vô tỉ dương hay chuyển đổi số mũ vơ tỉ Kỹ thuật chủ yếu để xử lí dạng tốn kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Xét ví dụ điển hình sau Ví dụ 1.2.1 Giả sử a, b hai số thực dương Chứng minh a3 b3 21 ab(a b) Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a3 ab(a b) b3 ab(a b) 21 Hay a b(a b) 2 b a(a b) 2 21 Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có a b(a b) 2 a , b(a b) b a(a b) 2 b a(a b) Cộng hai bất đẳng thức theo vế, ta a b(a b) 2 2 b 2 2 a(a b) 2 a b 2. b(a b) a(a b) Tương đương với a b(a b) 2 b a(a b) 2 2 2 a2 b2 2. b(a b) a(a b) Mặt khác a2 b2 a ab b2 1, với a, b b(a b) a(a b) ab Nên a b(a b) 2 b a(a b) 2 Tương đương với a b(a b) 2 b a(a b) 2 21 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b Ví dụ 1.2.2 Giả sử a, b, c ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức 3 a b c bc ca ab Lời giải Ta biết bất đẳng thức Nesbitt sau 23 a b c bc ca ab Ta đánh giá số mũ thông qua số mũ bất đẳng thức (1.2) Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có 2a 2a 3. bc bc Tương tự 2b 2b 3. , ca ca 2c 2c 3. ab ab Cộng ba bất đẳng thức theo vế áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 1.2.3 Giả sử a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a b c bc ca ab Lời giải Áp dụng Định lí 1.2, ta có b c3 1 b c 3 Ta suy bc bc2 Hay a 3a bc bc2 Tài liệu tham khảo 1 Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức 2 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức ứng dụng, NXB Giáo Dục Việt Nam 3 Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục 4 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục 5 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các giảng bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 7 T.Andreescu, R.Gelca, Mathematical Olympial Challenges-2001, Birkhauser Boston, Second printe, United States of America ... , với x x0 x0 (1.4) Đẳng thức xảy x x 1.2 Một số ví dụ 1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Các dạng toán đặc trưng bất đẳng thức Bernoulli dễ nhận bất đẳng thức với. .. ứng dụng, NXB Giáo Dục Việt Nam 3 Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục 4 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục 5 Nguyễn... tác giả biết khơng nhiều bất đẳng thức Vì vậy, tác giả lựa chọn đề tài "Xây dựng số bất đẳng thức sơ cấp dựa bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm nhiều vẻ đẹp bất đẳng thức để có nhìn tổng
Ngày đăng: 16/04/2021, 12:36
Xem thêm: