Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Hồng Quyền CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2013 Mục lục Mở đầu Kiến thức tích phân 1.1 Định nghĩa tính chất nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất nguyên hàm 1.2 Định nghĩa tính chất liên quan tích 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất tích phân 1.2.3 Công thức Newton-Leibniz 1.3 Các lớp hàm khả tích 1.4 Các định lý giá trị trung bình phân Các phương pháp tính tích phân 2.1 Phương pháp đổi biến tích phân phần 2.2 Một số phương pháp tính tích phân dạng hiển 2.2.1 Tích phân hàm hữu tỉ 2.2.2 Tích phân hàm vô tỉ 2.2.3 Tích phân hàm lượng giác 2.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt 2.3.1 Tích phân hàm chẵn lẻ 2.3.2 Tích phân hàm đặc trưng đặc biệt 2.3.3 Tích phân hàm tuần hồn 2.3.4 Sử dụng hệ thức truy hồi Một số ứng dụng tích phân 3.1 Một số ứng dụng tích phân đại số giải tích 3.1.1 Ứng dụng tích phân vào chứng minh đẳng thức 3.1.2 Ứng dụng tích phân vào chứng minh bất đẳng thức 3.1.3 Ứng dụng tích phân tốn cực trị 3.1.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình, bất phương trình 3.1.5 Ứng dụng tích phân tính giới hạn dãy số 3.1.6 Ứng dụng tích phân xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số 3.2 Một số ứng dụng tích phân hình học 3.2.1 Tính độ dài cung 3.2.2 Tính diện tích hình phẳng 6 7 10 11 13 13 15 15 22 27 35 35 40 44 48 53 53 53 56 60 63 70 71 74 74 77 3.3 3.2.3 Tính thể tích vật thể Một số ứng dụng tích phân đời 3.3.1 Tính cơng nhiệt lương 3.3.2 Tính mơ men quay khối tâm Kết luận sống 82 90 90 93 99 Tài liệu tham khảo 100 MỞ ĐẦU Phép tính tích phân phần quan trọng giải tích tốn học Các học sinh năm cuối bậc trung học phổ thông sinh viên năm thứ bậc đại học thường gặp số khó khăn việc học ứng dụng chuyên đề Những người làm quen với tích phân thường chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết đặc biệt khâu vận dụng kiến thức vào giải tốn thực tế Ngồi kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên tồn quốc tốn liên quan đến tích phân hay đề cập đến xem dạng khó Chính mà tích phân có vị trí đặc biệt tốn học Để em học sinh, sinh viên bạn đọc giải tốn tích phân khơng phải lúng túng đưa phương pháp giải tơi chọn cho luận văn với đề tài "các phương pháp tính tích phân ứng dụng" nhằm phần giúp đỡ người học định hình cách giải số toán cách nhanh Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương đề cập đến vấn đề sau: Chương I Kiến thức tích phân Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Luận văn nhắc lại định nghĩa nguyên hàm, tích phân, số định lý đặc biệt khai thác số tính chất lớp hàm cần tính tích phân, cơng thức Newton-Leibniz, lớp hàm khả tích, định lý giá trị trung bình Chương II Các phương pháp tính tích phân Ở chương luận văn đề cập đến phương pháp tính tích phân, từ phương pháp vận dụng vào giải số ví dụ minh họa Ngồi chương khai thác triệt để lớp hàm đặc biệt để đưa tích phân tính tốn phức tạp, cồng kềnh tích phân tính tốn đơn giản Chương III Ứng dụng tích phân Chương chia thành ba phần: ứng dụng tích phân đại số giải tích, ứng dụng tích phân hình học, ứng dụng tích phân đời sống Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ phương pháp tốn sơ cấp; Ban chủ nhiệm khoa Tốn-tin; Phịng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thái Học, thành phố Vĩnh Yên, tỉnh Vĩnh Phúc tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn Phạm Thị Hồng Quyền Chương Kiến thức tích phân 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất nguyên hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (xem [5]) Cho hàm f xác định khoảng U (một đoạn, môt khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn tập số thực) Hàm khả vi F U gọi nguyên hàm f khoảng F (x) = f (x) với x ∈ U Định lý 1.1 (xem [5]) Nếu khoảng U hàm f có nguyên hàm có vơ số ngun hàm ngun hàm f U xác định sai khác số cộng Chứng minh Giả sử F nguyên hàm f U C số tùy ý Khi (F (x) + C) = f (x) F + C nguyên hàm f Nếu F G hai nguyên hàm hàm f U đặt H = F − G, H (x) = F (x) − G (x) = f (x) − f (x) = với x ∈ U , ta suy H số C hay F = G + C Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Tập hợp tất nguyên hàm hàm f khoảng U gọi tích phân khơng xác định hàm f U ký hiệu f (x)dx Giả sử F nguyên hàm hàm f U theo định lý (1.1), ta có f (x)dx = F (x) + C, C số tùy ý 1.1.2 Các tính chất nguyên hàm Từ định nghĩa nguyên hàm ta trực tiếp suy tính chất sau f (x)dx = f (x)dx Tính chất 1.1 d Tính chất 1.2 df (x) = f (x) + C, C số tùy ý Tính chất 1.3 Với α, β hai số thực bất kỳ, αf (x) + βg(x) dx = α Tính chất 1.4 Nếu f (x)dx + β g(x)dx f (t)dt = F (t) + C f (ax + b)dx = F (ax + b) + C với a = a 1.2 1.2.1 Định nghĩa tính chất liên quan tích phân Định nghĩa Định nghĩa 1.3 (xem [5]) Giả sử hàm y = f (x) xác định đoạn [a, b] Ta chia đoạn [a, b] thành n phần điểm chia xo = a < x1 < x2 < · · · < xn = b Ta gọi phép phân hoạch P Trên đoạn [xi , xi+1 ]; i = 0, 1, 2, , n − ta lấy điểm ξi tùy ý Ta nói phép chọn điểm ξi nói phép chọn C Kí hiệu ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, n − lập tổng n Sn = ∆xi f (ξi ) (1.1) n=1 n Khi ấy, tồn lim max ∆xi →0 n=1 ∆xi f (ξi ) không phụ thuộc vào phép phân hoạch P phép chọn C giá trị giới hạn gọi tích b phân xác định hàm số f (x) [a, b] kí hiệu f (x)dx a Hàm số f (x) gọi khả tích [a, b] theo Riemann Xuất phát trực tiếp từ định nghĩa tích phân xác định, dễ dàng suy số tính chất 1.2.2 Các tính chất tích phân Ta xét các đẳng thức sinh tích phân Tính chất 1.5 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] số b b cf (x)dx = c c ta có a f (x)dx a Tính chất 1.6 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ta có a b f (x)dx = − a f (x)dx b Tính chất 1.7 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ta có a f (x)dx = a Tính chất 1.8 Giả sử f (x) g(x) khả tích đoạn [a, b], với ∀α, β ∈ R ta có b b [α.f (x) + β.g(x)]dx = α a b f (x)dx + β a f (x)dx a Tính chất 1.9 Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] ∀c ∈ [a, b] ta có b c f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c Nhận xét 1.1 Với giả thiết f (x) khả tích [a, b] ta có b b f (x)dx = a f (t)dt a Tiếp theo, ta xét số dạng bất đẳng thức tích phân Tính chất 1.10 Giả sử hàmf (x) khả tích đoạn [a, b] b Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] f (x)dx ≥ a b Hơn f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] a < b f (x)dx > a Tính chất 1.11 Nếu f (x) g(x) hàm khả tích [a, b] b f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] (a ≤ b) b f (x)dx ≤ a g(x)dx a b Hơn f (x) < g(x) ∀x ∈ [a, b] (a < b) b f (x)dx < a g(x)dx a Tính chất 1.12 Nếu f (x) hàm khả tích đoạn [a, b] (a ≤ b) b |f (x)| khả tích đoạn b |f (x)|dx f (x)dx ≤ a a Việc nghiên cứu tích phân hàm số đoạn trước tiên ta cần kiểm tra điều kiện khả tích 1.2.3 Cơng thức Newton-Leibniz Việc tính tích phân xác định theo định nghĩa gặp khó khăn nhiều khơng vượt tích phân hàm số cồng kềnh không dễ biến đổi để đưa dạng thuận tiện cho việc tìm giới hạn Cống hiến vĩ đại Newton - Leibniz vấn đề đề phương pháp tính tích phân hàm số dựa vào nguyên hàm Định lý 1.2 (Định lý Newton-Leibniz- xem [5]) Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] Giả sử F (x) ngun hàm b f (x)dx = F (b) − F (a) (1.2) a Chứng minh Ta chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ điểm a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Trên đoạn [xi−1 , xi ] với i = 1, 2, n theo định lý Lagrange tồn ξi cho F (xi ) − F (xi−1 ) = F (ξi )(xi − xi−1 ) = ∆xi F (ξi ) = ∆xi f (ξi ) ... Một số ứng dụng tích phân 3.1 Một số ứng dụng tích phân đại số giải tích 3.1.1 Ứng dụng tích phân vào chứng minh đẳng thức 3.1.2 Ứng dụng tích phân vào chứng minh bất đẳng... 3.1.3 Ứng dụng tích phân tốn cực trị 3.1.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình, bất phương trình 3.1.5 Ứng dụng tích phân tính giới hạn dãy số 3.1.6 Ứng dụng tích phân xét hội tụ, phân. .. tích phân tính tốn phức tạp, cồng kềnh tích phân tính tốn đơn giản Chương III Ứng dụng tích phân Chương chia thành ba phần: ứng dụng tích phân đại số giải tích, ứng dụng tích phân hình học, ứng