Baøi 3 : Cho hình bình haønh ABCD coù taâm laø O.. Goïi A’ la ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua A, B’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi C qua B, C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua C.. Chöùng minh b[r]
(1)Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Vectơ đoạn thẳng có dịnh hướng Ký hiệu : AB
;CD
a
;b
Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối : Ký hiệu 0
Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Hai vectơ phương hướng ngược hướng Hai vectơ chúng hướng độ dài
B NOÄI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK : 1, 2, 3, 4, trang SGK naâng cao
Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) vectơ AB
; OB
b) Có độ dài OB
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN=QP;NP=MQ
Bài 5 : Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH=B ' C
Bài : Cho hình bình hành ABCD Dựng AM=BA,MN=DA,NP=DC,PQ=BC Chứng
(2)§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A: Tóm tắt lý thuyết :
Định nghóa: Cho AB a
; BC b
Khi AC a b
Tính chất : * Giao hoán : a b
= b a
* Kết hợp (a b) +c = a(b
+c) * Tín h chất vectơ –không a
+0
=a
Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB
+BC
=AC
Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB
+AD
=AC
Quy tắc hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có : OB−OC=CB
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1:
TRẮC NGHIỆM
Câu1: Phát biểu sau đúng:
a) Hai vectơ khơng có độ dài khơng b) Hiệu vectơ có độ dài vectơ – khơng
c) Tổng hai vectơ khác vectơ –không vectơ khác vectơ -không
d) Hai vectơ phương với vec tơ khác 0 vec tơ phương với
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD, goi O giao điểm AC BD, phát biểu đúng
a) OA = OB = OC = OD b) AC = BD
c) OA + OB + OC + OD = 0 d) AC - AD = AB
Câu 3: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB = AC b) GA = GB = GC
c) AB + AC = 2a d) AB + AC = √3
2 AB -AC
Câu 4: Cho AB khác 0 cho điểm C Có điểm D thỏa AB = CD
a) vô số b) điểm
(3)Câu 5: Cho a b khác 0 thỏa a = b Phát biểu sau đúng:
a) a b nàm đường thằng b) a + b = a + b
c) a - b = a - b d) a - b =
Câu 6: Cho tam giác ABC , trọng tâm G Phát biểu
a) AB +BC =
AC
b) GA + GB + GC =
c) AB + BC = AC d) GA + GB + GC =
B2:
TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK ; Bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a b Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính BC
+ AB ; AB - AC theo a
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) AO
- AD = MO
b) AC
- AD = NB
Bài 5: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh : a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài : Cho tam giác OAB Giả sử OA+OB=OM,OA−OB=ON Khi điểm M nằm
đường phân giác góc AOB? Khi N nằm đường phân giác ngồi góc AOB ?
Bài : Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh :
OA+OB+OC+OD+OE=O
Bài 8 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có:
(4)Bài 9: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR : a) OA +OB +OC +OD +OE +OF =0
b) OA +OC +OE = 0
c) AB +AO +AF =AD
d) MA +MC +ME = MB +MD +MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngồi hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS Chứng minh : RF + IQ
+ PS =0
Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh HB + HC = HD
b) Gọi H’ đối xứng H qua O Chứng minh HA + HB + HC = HH ' Bài 12: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA
(5)§3: TÍCH CUẢ VECTƠ VỚI MỘT SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Cho kR , k a vectơ xác định:
* Nếu k k a hướng với a ; k < k a ngược hướng với a
* Độ dài vectơ k a k . a Tính chất :
a) k(m a ) = (km) a
b) (k + m) a = k a + m a
c) k( a + b ) = k a + k b
d) k a = 0 k =
a
= 0
b
phương a(a 0
) có số k thỏa b =ka
Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho AB
=kAC
Cho b
không cùngphương a, x
biểu diễn x= ma + nb ( m, n )
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1: trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm AC BD Tìm câu sai
a) AB + AD = AC b) OA =
2 ( BA + CB )
c) OA + OB = OC + OD d ) OB + OA = DA
Câu 2: Phát biểu sai
a) Nếu AB = AC AB = AC b) AB = CD A, B,C, D
thẳng hàng
c) AB +7 AC = 0 A,B,C thẳng hàng d) AB - CD = DC - BA Câu 3: Cho tứ giác ABCD có M,N trung điểm AB CD
Tìm giá trị x thỏa AC + BD = xMN
(6)Câu 4: Cho tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Đặt P = AA'BB'CC'
Khi ta có a) P = GG'
b) P = 2GG'
c) P = 3GG'
d) P = -GG'
Câu 5: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu a)
AB
=
AC
b) AB
+
AC
= 2a c) GB
+GC = 3 3 a d)AB
+ AC
= 3AG
Câu 6: Cho tam giác ABC ,có điểm M thỏa MA + MB + MC =
a) b) c) vô số d) Không có điểm
Câu 7: Cho tam giác ABC cạnh a có I,J, K trung điểm BC , CA AB Tính giá trị AI BJ CK
a) b)
3 3 2 a c) 3 2 a d) 3a
Câu 8: Cho tam giác ABC , I trung điểm BC ,trọng tâm G Phát biểu
a) GA = GI b) IB + IC =
c) AB + IC = AI d) GB + GC = 2GI
B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK : Bài 4, trang 17 SGK ; 21 đến 28 trang 23, 24 SGK nâng cao
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = 13 AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức
BC+MA=O ;AB−NA−3AC=O Chứng minh MN // AC Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , điểm M điểm :
a) Tính MS = MA + MB + MC + MD theo MO
Từ suy đường thẳng MS quay quanh điểm cố định b) Tìm tập hợp điểm M thỏa MA
+ MB + MC + MD = a ( a > cho trước )
c) Tìm tập hợp điểm N thỏa NA
+ NB = NC + ND
(7)Chứng minh điểm I ; S ; A thẳng hàng
Bài 6 :Cho tam giác ABC Điểm I nằm cạnh AC cho CI = 14 CA, J điểm mà
BJ=1
2AC−
3AB
a) Chứng minh : BI=3
4AC−AB
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng
c) Hãy dựng điểm J thỏa điều kiện đề
Bài 7 : Cho tam giác ABC
a) Tìm điểm K cho KA+2KB=CB
B) Tìm điểm M cho MA+MB+2MC=O Bài 8: Cho tam giaùc ABC BI =
3 BC ; CJ =
3 CA ; AK =
3 AB
a) Chứng minh rằng: IC + JA + KB = 0
AI + BJ + CK = 0 Suy ABC vaø IJK trọng tâm
b) Tìm tập hợp M thỏa: MA + MB + MC = 32 MB + MC
2 MB + MC =2 MA + MB
c) Tính IK ; IJ theo AB vaø AC
Bài 9: Cho tam giacù ABC có I, J , K trung điểm BC , CA , AB G trọng tâm tam giác ABC
1) Chứng minh AI + BJ + CK = 0 Suy tam giác ABC IJK trọng
tâm
2) Tìm tập hợp điểm M thỏa :
a) MA + MB + MC = 32 MB + MC
b) MB + MC = MB - MC
3) D, E xác định : AD = 2 AB và AE =
5 AC Tính DE DG theo
AB và AC
Suy điểm D,G,E thẳng hàng
Bài 10 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G , M điểm nằm tam giác Vẽ MD ; ME ; MF vng góc với cạnh tam giác
(8)§4 :TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ : A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
Trục đường thẳng xác định điểm O vectơ i
có độ dài Ký hiệu trục (O; i
) hoaéc x’Ox
A,B nằm trục (O; i
) AB =AB i
Khi AB gọi độ dài đại số AB
Hệ trục tọa độ vng góc gồm trục Ox Oy Ký hiệu Oxy (O; i
; j
)
Đối với hệ trục (O; i
; j
), neáu a=xi +y j
(x;y) toạ độ a Ký hiệu a = (x;y)
Cho a
= (x;y) ;b = (x’;y’) ta coù
a b = (x x’;y y’)
ka=(kx ; ky) ; k R
b phương a(a 0) có số k thỏa x’=kx y’= ky Cho M(xM ; yM) N(xN ; yN) ta có
P trung điểm MN xp = 2
M N
x x
vaø yP = 2
M N
y y MN
= (xM – xN ; yM – yN)
Nếu G trọng tâm tam giác ABC xG = 3
A B C
x x x
vaø yG = 2
A B C
y y y
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1 : BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a=(1 ; 2) b= (3 ; 4) Vec tơ m = 2a+3b có toạ độ
a) m =( 10 ; 12) b) m
=( 11 ; 16) c) m
=( 12 ; 15) d) m
(9)Câu 2: Cho tam giác ABC với A( -3 ; 6) ; B ( ; -10) G(
1
3 ; 0) trọng tâm Tọa độ C :
a) C( ; -4) b) C( ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4)
Câu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = b) m = c) m = -2 d) m =
Câu 4: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Caâu 5 :Cho a=3i -4 j
vaø b=i - j
Tìm phát biểu sai : a) a
= b) b
= c) a
- b=( ; -3) d) b
= 2
Caâu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) vaø C(
1
3 ; 0) Ta coù AB = xAC giá trị x
a) x = b) x = -3 c) x = d) x = -4
Câu 7: Cho a=(4 ; -m) ; b=(2m+6 ; 1) Tìm tất giá trị m để vectơ phương
a) m=1 m = -1 b) m=2 m = -1 c) m=-2 m = -1 d) m=1 m = -2
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1 ; 2) ; B( ; 2) C(1 ; -3) có tâm đường trịn ngoại tiếp I a) I = (3 ;
1
) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ;
1
) d) I = (3 ;
1 2) Câu 9:Cho a=( ; 2) b= (3 ; 4) ; cho c = 4a- b tọa độ c :
a) c=( -1 ; 4) b) c=( ; 1) c) c=(1 ; 4) d) c=( -1 ; -4)
Câu 10:Cho tam giác ABC với A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) C(4 ; 3) Tìm D để ABCD hình bình hành
a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10)
B2 :TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :29 đến 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao
Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) trung điểm cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác
(10)Bài 4 : Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), O trung
điểm BC, i hướng với OC , j hướng OA .
a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC
c) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5 : Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), O tâm lục giác
đều ,
i hướng với OD , j hướng EC
Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác
Bài 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D biết: a) AD – 2BD + 3CD = 0
b) AD – 2AB = 2BD + BC
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD
Bài :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ A, B
b) Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Baøi 8: Cho a=(2; 1) ;b=( ; 4) c=(7; 2)
a) Tìm tọa độ vectơ u= 2a - 3b + c
b) Tìm tọa độ vectơ x thỏa x + a =b - c
c) Tìm số m ; n thỏa c = ma+ nb
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC tam giác thỏa mãn điều kiện sau ? a) AB+AC=AB−AC
b) Vectơ AB+AC vng góc với vectơ AB+CA
Bài :Tứ giác ABCD hình thỏa mãn điều kiện sau ? a) AC−BC=DC
(11)Bài 3:Cho tam giác ABC , với số thực k ta xác định điểm A’ , B’ cho
AA'=kBC,BB'=kCA Tìm q tích trọng tâm G’ trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,, N, P Q trung điểm AB, BC, CD DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ v=MA+MB−2MC khơng
phụ thuộc vào vị trí điểm M Hãy dựng điểm D cho CD=v
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H trực tâm tam giác , D điểm đối xứng A qua O
a) Chứng minh tứ giác HCDB hình bình hành b) Chứng minh :
HA+HD=2HO HA+HB+HC=2HO
OA+OB+OC=OH
c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH=3OG Từ kết luận
điểm G, H, O
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh : a) BB'+C ' C+DD'=0
(12)Chương II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦAHAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 00 đến 1800) A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = M( x ; y) * sin góc y; ký hiệu sin = y
* cos goùc x0; ký hiệu cos = y0 * tang góc
y x ( x
0); ký hiệu tan =
y x
* cotang góc
x
y( y 0); ký hiệu cot = x y
Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt
Hai góc bù nhau:
Sin( 1800-
) = sin
00 300 450 600 900
Sin
2 √22 √
3
1
Cos √3
2
√2
1
2
tan √3
3
1 ❑
√3
Cot ❑
√3 √3
(13)Cos ( 1800
-) = - cos
Tan (1800
-) = - Tan ( 900)
Cot ( 1800
-) = - Cot ( << 1800)
B.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác góc
a 45
b 1200
Giaûi:
a Sin 450 = √2
2 , cos 45
0 = √2
2 , tan 45
0=1, cot 450 = 1
b Sin 1200 = √3
2 , cos 120
0 = -
2 , tan1200 = - ❑√3 , cot1200= - √ 3
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
Giaûi:
A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) = 0
C : BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a A=( 2sin 300 + cos 135 0 – tan 1500)( cos 1800 -cot 600) b B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350
Bài 2: Đơn gianû biểu thức:
a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= Sin (1800-
) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) (Với 00< <900)
Bài 3 : a) Chứng minh sin2x +cos2x = ( 00
x 1800)
b)Tính sinx cosx =
(14)c) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx =
2
d) Chứng minh + tan2 x =
1
cos x ( Với x 900 ) e) Chứng minh + cot2 x =
1
sin x ( Với 00 < x < 18000 )
Bài 4 : Tính giá trị biểu thức:
A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350
Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B =
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) =
Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính góc
a) AB vaø AC b) AB
vaø BC
c) AG
vaø BC
d) GB
vaø GC
c) GA
AC
(15)§2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÉCTƠ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT :
Cho OA
= a vaø OB
=b Khi góc AOB góc giũa vectơ a b Ký hiệu (a ;b) Nếu a=0hoặc b=0 góc (a ;b) tùy ý
Nếu (a ;b) = 900 ta ký hiệu a
b
a.b=abcos(a ,b)
Bình phương vơ hướng a2 =
a
2
Caùc quy taéc: Cho a b c ; k R
a b = b . a ( Tính giao hốn)
a b = <=> a b
(k a , b = k ( a b )
a ( b c ) = a b a c (Tính chất phân phối phép cộng
trừ )
Phương tích điểm đường tròn
Cho đường tròn (O,R) điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, ln qua điểm M cắt đường trịn (O,R) A, B
Phương tích điểm M, đường trịn (O,R): kí hiệu: PM/(O)
PM/(O) = MO2 – R2 =MA MB.
Nếu M ngồi đường trịn (O,R), MT tiếp tuyến PM/(O) = MT2
Biểu thức toạ độ tích vô hướng
Cho →a = (x, y) , b→ = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta coù
a →
b→ = x.x' + y.y' | →a | = √x2
+y2
Cos ( →a , b→ ) = xx'+yy'
√x2+y2.√x '2+y '2 a
→
(16)MN = | MN→ | =
x y y❑N¿2
¿ ¿ x❑N¿
2 +¿ ¿ √¿
B :
CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho →a = (1, 2), b→ = (-1, m) a) Tìm m để →a , b→ vng góc
b) Tính độ dài →a , b→ ; tìm m để | →a | = | b→ |
Giaûi
a) →a b→ -1 + 2m = 0 m = 12
b) | →a | = √1+4=√5
| b→ | = √1+m2
| →a | = | b→ | √5=√1+m2 m = ±2
Ví dụ2: cho ABC cạnh a trọng tâm G; tính
AB . AC ; AC . CB ; AG . AB ; GB . GC ; BG . GA ; GA . BC
Giaûi AB . AC = a.a cos 600 =
2 a2 AC . CB = a.a cos 1200 = -
2 a2 AG . AB = a√3
3 acos30
=1 2a
2
GB GC = a√3
a√3
3 cos 120
=¿ −a BG GA = a√3
3 a√3
3 cos 60
(17)GA BC =0 GA BC
Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trục ox điểm P cách điểm M,N b)Tính cos góc MON
Giaûi
a) p ox => P( xp,0)
MP = NP <=> MP2 = NP2
<=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12 Vaäy P ( 34 ,0)
b) OM=(−2,2),ON=(4,1)
Cos MON = cos( OM , ON )= −2 4+2
√8 √17 = -
√34 C.
BÀI TẬP:
A Trắc nghiệm :
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; BC = 2a * Tính tích vô hướng CA CB
a) a2 b) 3a2 c) a2 d)
1 2 a2 * Tính tích vơ hướng BA
.BC
a) a2 b) a2 c) - a2 d)
1 2 a2
Câu 2: Cho a=(3; -1) b=(-1; 2) Khi góc a b là
a) 300 b) 450 c) 1350 d) 900
Câu 3:Cho a=( ; 5) b= (3 ; -7) Khi góc a b
(18)Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = b) m = c) m = -2 d) m =
Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4) Tam giác ABC tam giác
a) Cân b)Vng cân c) Vuông d)Đều
Câu 7: Cho AB =(2x - ; 2) ; AC =(3 – x; -2) Định x để A , B , C thẳng hàng
a) x = b) x = -2 c) x = d) x = -1
Câu 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Phát biểu đúng
a) AB = AC b) AG =
3 AC c) AG AB = AG AC d) GA +
GB + GC = 0
Câu 9:Cho (O,5), điểm I (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16
a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
C aâu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4) Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC:
a) I(2;5) b) I( 32 ; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4)
Câu 11:Đường tròn qua điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I :
a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5)
Câu 12: Phát biểu sai
a) Nếu AB = AC AB = AC b) Nếu a b = a c
b = c
c) AB AC = BA CA d) AB - CD = DC - BA
Câu 13: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB = AC b) AB + AC = 2a c) AB AC = a2 d) AG
BC = 0
Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh a Kết
a) AB AC = a2 b) AB AD = a2 c) AC BD = 2a2
d) AB . CD = 0
Câu 15:Cho (O,30), điểm I (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96
(19)Câu 16:Chỉ công thức
a) √a2 = a b) √a2 = a c) √a2 = a d )
√a2 = a
Câu 17 : Cho tam giác ABC cạnh a.Tích vơ hướng AB . BC nhận kết
a) a2 √23 b) - a2
2 c)
a2
2 d) a
2
Câu 18:Cho AB . CD = AB CD phát biểu sau đúng:
a) AB ngược hướng CD b) A, B, C, D thằng hàng
c) AB hướng CD d) AB = CD
Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vng C giá trị m :
a) m = hay m = b) m = hay m = c) m = hay m = -7 d) m = hay m =
Câu 20: Cho a=(m2 -2m+2 ; 3m-5), b=(2;1) Tìm giá trị m để a
b
a) m = b)m =
-1
2 c)m = m =
-1
2 d) Cả a ; b ; c đúng
Câu 21: Cho a=(4;3) b=(1;7) Khi góc vec tơ (a,b) :
a) 300 b) 450 c) 600 d) Kết khác
Câu 22: Cho tam giác ABC cạnh a có G trọng tâm: * Phương tích G với đường trịn đường kính BC a) - a 6 b) a
4 c) -
2
a
3 d)
-2
a 2
* Phương tích A với đường trịn đường kính BC a) a 2 b) a
4 c) a2 d)
2
3a 4 Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:
* Phương tích A với đường trịn đường kính CD
a) a b)a2 c)2a2 d)
a 2
* Phương tích A với đường trịn tâm C có bán kính = a a) a 2 b) a
4 c) a2 d) 2a2
(20)Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1) a) Chứng minh tam giác vuông
b) Xác định tâm đương trịn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác
Baøi 2: Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân M
b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông N
c) Xác định H,K để ABHK hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm d) Xác định C thỏa 3AC - 4BC = 2AB
e) Tìm G cho O trọng tâm tam giác ABG f) Xác định I x’Ox để IA
+IB +IN đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho A(-2;1) B(4;5)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vng M
b) Tìm C để OACB hình bình hành
Bài 4: Cho a=(
2; -5) b=( k ; -4) Tìm k để:
a) a phương b
b) a vuông góc b
c) a
= b
Baøi 5: Cho a=(-2; 3) ;b=( ; 1)
a) Tính cosin góc hợp a b ; avà i ; a j; a+b a-b
b) Tìm số m n cho ma+nb vuông góc a+b
c) Tìm d biết a.d= b.d= -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2) a) Tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác
b) Gọi G , H , I trọng tâm , trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính G, H , I CMR GH +2GI = 0
Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh A ; B ; C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành
c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vng B
d) Tam giác ABC tam giác ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC
(21)a) Tính AB . AC , AB . BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M trung điểm BC)
Bài 9: Cho điểm A,B,C.D: chứng minh rằng:
DA BC + DB CA + DC AB =0
Từ suy cách chứng minh định lý “3 đường cao tam giác đồng quy”
Baøi 10: Cho ABC có trung tuyến AD, BE,CF; CMR:
BC AD + CA BE + AB CF =0
Bài 11 : Cho ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = AD phân giác
của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thị AD qua AB , AC
b) Tính độ dài đoạn AD
5) Cho điểm M,N nằm đường tròn đường kính AB= R, AM BN =I
a) Chứng minh: AM AI = AB AI
BN BI = BA BI
b) Tính AM AI + BN BI theo R
Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M cho:
a) MA MB = k
b) MA2 - MB2 = k2
Bài 12: Từ điển M đt (0) vẽ tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; tiếp tuyến A,B
đường tròn (0) cắt I, IO AB D; đường thẳng qua I vng góc với MO H lần
lượt cắt AB C; cắt đường tròn (0) E, F Chứng minh :
a MA MB=MC.MD
(22)d PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2
( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH)
Bài 13: Cho hai đường thẳng AB CD cắt M chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường tròn MA MB=MC.MD
Bài 14: Trong mặt phẳng toạ độ cho u→=1 i
→ - 5→j
và →v=k i→-4→j Tìm giá trị k để :
a u→⊥→v b →u=→v
Baøi 15: Cho →a = (-2, 3), b→ = (4,1)
a Tim cơsin góc cặp vectơ sau :
* →a vaø b→ , →a vaø →i , →a + b→ vaø →a - b→
b Tìm số k l cho →c = k →a + l b→ Vuông góc với →a + b→
c Tìm vectơ
d
bieát
a d
b.d
Bài 16: Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ a Điểm M ox cho MAB vng M
b Điểm N oy cho NA = NB
c Điểm K oy cho3 điểm A,K,B thẳng hàng
d Điểm C cho ABC vuông cân C Bài 17: Cho điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)
a Tính chu vi diện tích ABC
b Gọi A’ hình chiếu vng góc A BC; tìm toạ độ A’
c Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ
chứng minh điểm I,H,G thẳng hàng
(23)Bài 19: Biết A(1,-1), B (3,0) hai đỉnh hình vng ABCD; tìm toạ độ đỉnh C D
Bài 20: Cho M cố định ngồi dường trịn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến CT CT’ Gọi D giao điểm TT’ AB H I trung điểm của TT’ AB
a) CMR : MA MB = MO MH = MI MD
b) Cho AB = cm Gọi (C1) đường tròn tâm A, bán kính = cm, (C2) đường trịn tâm B, bán kính = 3cm Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + PN/(C2) = 15
Baøi 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11 Qua I vẽ cát tuyến IAB ICD Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm (O;R), qua I vẽ dây AB CD Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
3
IC ID
Baøi 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB Cho AB = a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường trịn ngoại tiếp AOB cắt MO E Tính OE
Bài 24: Cho (O;30); I ngồi đường trịn , vẽ cát tuyến IAB ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt đường tròn E F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Bài 25: Cho tam giác ABC có đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy H CMR : HA HA. '=HB HB. '=HC HC. '
Bài 26:Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B M điểm cạnh AB kéo dài Qua M vẽ tiếp tuyến MT, MT’, cát tuyến MCD, MC’D’ (O) (O’)
CMR MT = MT’ CDD’C’ nội tiếp
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Trên đường trịn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không đường BC kéo dài) CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 28: tam giác ABC nội tiếp (O), M trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC điểm thứ E cắt (O) D AD cắt BC F.Chứng minh rằng:
a) FB FC. =FE FM.
(24)c) EA tiếp xúc với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 29: Cho P nằm (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A B cắt M Vẽ MH vng góc với OP
a) CMR : điểm O , A , B, M , H đường trịn b) Tìm tập hợp M PAB quay quanh P
c)Gọi I trung điểm AB, N giao điểm PAB MH CMR PA PB. =PI PN.
Bài 30: Cho đường trịn tâm O đường kính AB=2R Trên đường thẳng AB lấy điểm M (O) cho MA =
3
R
Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R
b) Gọi TH đường cao TMO Chứng minh : MH MO. =MA MB.
c) Tính H/(O)
d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD BC cắt N CMR : AN AD. +BN BC. = 4R2
Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) (B,3) Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB M, N điểm phía tiếp tuyến kẻ từ B AM AN cắt (O) M1 N1
a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp
b) Giả sử AB = BN = 10; BM = Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1
Bài 32: M diểm nửa đường trịn đường kính AB H hình chiếu M xuống AB Đường trịn đườg kính MH cắt MA ; MB P,Q cắt nửa đường tròn E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp
b) CMR đường AB ; PQ ; ME đồng quy
Bài 33: Cho điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự AB = ; BC = Đường tròn di động qua A , B có tâm O Vẽ tiếp tuyến CT ; CT’ Gọi D giao điểm TT’ với AB Gọi H; I trung điểm đọan TT’, AB
a) Tìm tập hợp T; T’
b) CMR : CA CB. =CO CH. =CI CD.
c) CMR : Điểm D cố định Suy tập hợp H
Bài 34 : Cho đường trịn tâm O đường kính BC = 4; A (O), AB = ; AC = AC , AB cắt (O) D E
a) Tính AO , AE , AD
b) Qua A vẽ AH BC cắt (O) F ; K Lấy M (O) Gọi BMAH = I ; CMAH = J
(25)Bài 35: Cho đường trịn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngồi A Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ I cắt tiếp tuyến chung qua A M
a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’
b) CMR: IA2 = IB.IB’ Suy OO’ tiếp xúc đường trịn đường kính BB’ c) CMR : IM2 = IO.IO’ Suy BB’ tiếp xúc đường trịn đường kính OO’
§3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
Các ký hieäu ABC
Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C ha, hb, hc : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C P = a+b2+c : chu vi ABC
S : diện tích tam giác
R,r : bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp Định lý Côsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Định lý sin : sinaA =sinbB=sincc=2R Công thức trung tuyến : ma
2 =2b
2
+2c2-a2 Công thức tính diện tích
a S = 2 a.ha =
1
2 b.hb = 2 c.hc
b S =
2 b.c sinA =
2 c.a sinB =
2 a.b sinC
B a
A
C
c b
(26)c S = abc4R d S = p.r
e S = √p(p-a)(p-h)(p-c) ( Công thức Hê – rông)
B VÍ DỤ :
Cho ABC có a = 7, b = 8, c = 5; tính : Â, S, ha, R, r, ma
Giải :
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ
Cos A = ½ Â = 600
S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5 √
3
2 =10√3
S = ½ a.ha =
2S a =
20√3
S =
abc
4R R =
abc 4S=
7√3
S = p.r r =
S p=√3
ma2 = 2b
2+2c2-a2
4 =
129
4 ma =
√129 C: BÀI TẬP
C 1: TRẮC NGHIỆM
Câu1 : Cho tam giác ABC có a= 6 cm ; b= 2cm ; c= ( 3 + 1) cm ; * Khi số góc A
a) 600 b) 450 c) 1200 d) 300
* Khi số góc B
a) 600 b) 450 c) 900 d) 300
(27)a) cm b) 3 cm c) 2cm d) cm * Chiều cao :
a)
(1 3)
b)
(1 3) 2
c)
(1 2)
d)
3 Câu2 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; goùc A = 1200 diện tích là
a) S = 10 √3 b) S = √3 c) S =5 d)S = 20 √3
Câu3 : Cho tam giác ABC coù b= ; c = ; a = √19 giá trị góc A :
a) 450 b) 600 c) 900 d)1200
Câu 4: Cho tam giác ABC có a= ; c= ; góc B = 600 Độ dài cạnh b
a) b = 49 b) b= 61 c) b = d)b= 97
Caâu 5: Cho tam giác ABC có a= ; b= ; c= ; góc B
a) 600 b) 300 c) 450 d) 720
Câu 6: Cho tam giác ABC vng A có a= 10 cm ; c= 6cm ; bán kính đường trịn nội tiếp r
a) cm b) cm c) 2cm d) cm
Câu 7: Cho tam giác ABC có a= 10 cm ; b= 6cm ; c= cm ; đường trung tuyến AM có độ dài
a) cm b) cm c) 6cm d) cm
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD coù AB = a ; BC = a góc BAC = 450 Diện tích hình bình haønh laø
a) 2a2 b) a2 c) a2
2
2 d) a2 2
Caâu 9: Cho tam giác ABC có b= cm ; c= 5cm góc A = 600 * Cạnh BC
a) 14cm b) 7cm c) 12cm d) 10cm
* Diện tích tam giác :
a) S = 10 b) S = c) S = 10 d) S = 10
* Bán kính đường tròn ngoại tiếp R : a) R=
2 7
3 b) R =
7 3
3 c)R =
2 7
2 d) R = 7
(28)a) ha=
20
7 b) ha=
20
3 c) =
10
7 d) =
10 3 C2 : TỰ LUẬN
Bài 1: Cho tam giác ABC
1) a=5 ; b = ; c = Tính S, ha, hb , hc R, r 2) a= ; b= 2; c= 6- 2 Tính góc
3) b=8; c=5; góc A = 600 Tính S , R , r , , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , , ma 5) A = 600; hc = 3; R = tính a , b, c 6) A=1200;B =450 ;R =2 tính caïnh
7) a = , b = , c = Tính SABC, suy SAIC ( I trung điểm AB) 8) Cho góc A nhọn, b = 2m 2,c = m , S = m2 Tính a la 9) C = , b = ; S = 3 Tính a
10) Neáu A = 900 CMR:
* la =
sin ( )sin
bc A
A b c
*.r =
2
1
2(b c b c ) *
1 1
a b c
r h h h
* M BC; goùc BAM = CMR: AM =
bc b.cosα + c.sinα
11) Cho A=1200 CMR :
1 1 a b c
l
12) CMR : * cotA + cotB + cotC =
2 2
a b c R
abc
*
2 2
2 2
tan tan
A a c b
B b c a
13)
3 3
2
2 .cos
b c a
a
b c a
a b C
Tam giác ABC tam giác gì
(29)15) S =
1
4(a + b – c)(a + c - b) Tam giác ABC tam giác gì
16) acosB = bcosA Tam giác ABC tam giác 17) mb2 +mc2 = 5ma2 Tam giác ABC tam giác gì
18)
sin
.cos sin
A
C
B Tam giác ABC tam giác gì
19) Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 =
2
5
k
20) Gọi G trọng tâm tam giác Chứng minh *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2)
* ma2 +mb2 +mc2 =
3
4(a2 +b2 +c2) * 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA
21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC
S=Rr(sinA + sinB + sinC) a =b.cosC + c.cosB = 2RsinBsinC
sinB.cosC +sinC.cosB = sinA 22) Chứng minh
2 2
2
a b c p
b c a Nếu dấu “=” xảy ABC tam giác ?
2
1 b c a a b c
h h h
r h h h
23) Cho b + c = 2a Chứng minh
2 1
a b c
h h h
24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 cạnh tam giác Khi CMR tam giác có góc = 1200 25) Đường trịn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam gíac A1;B1;C1 CMR : SA1B1C1 =
2
2
pr R
26) trung tuyến BM = 6, CN = hợp với góc 1200 tính cạnh
(30)Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi góc hợp đường chéo AC BD
a) CMR SABCD =
1
2AC.BD.sin
b) Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh : SABCD = SACC’
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + IJ2
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG: