Nghiên cứu một số lược đồ đối ngẫu trong lý thuyết tối ưu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ ĐỐI NGẪU TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU LÊ KIÊN THÀNH AN GIANG, 10 - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ ĐỐI NGẪU TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU LÊ KIÊN THÀNH AN GIANG, 10 - 2014 Đề tài nghiên cứu khoa học “Nghiên cứu số lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu”, tác giả Lê Kiên Thành, công tác Khoa Sư Phạm thực Tác giả báo cáo kết nghiên cứu Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày 18, tháng 09, năm 2014 Thư ký ThS NGUYỄN THỊ LAN PHƯƠNG Phản biện Phản biện ThS VÕ TIẾN THÀNH ThS VÕ THÀNH TÀI Chủ tịch Hội đồng PGS TS VÕ VĂN THẮNG i LỜI CẢM TẠ Xin chân thành cảm tạ: Quý Thầy, Cô Khoa Sư Phạm, trường Đại học An Giang tạo điều kiện thuận lợi nghiên cứu tiếp cận với nguồn kiến thức, thông tin lý thuyết đối ngẫu Cảm ơn tất người thân, đồng nghiệp bạn bè động viên, giúp đỡ suốt thời gian thực đề tài Tuy nhiên giới hạn thời gian kiến thức cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong thơng cảm, đóng góp q thầy, Xin chân thành cảm ơn! ii PHẦN TÓM TẮT Lý thuyết đối ngẫu vấn đề trung tâm lý thuyết tối ưu Nó giúp phân tích sâu cấu trúc tốn tối ưu, cho phép giải thích hình học, đồng thời công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu xây dựng thuật tốn Nội dung đề tài thể hai chương: Một số kiến thức chuẩn bị; Một số lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu Đề tài cung cấp số kiến thức liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu Tối ưu Giới thiệu hai toán đối ngẫu, xuất phát từ toán tối ưu gốc, lược đồ có tính chất, đặc trưng tương ứng với tốn đối ngẫu Quy hoạch tuyến tính Hơn nữa, toán đối ngẫu Fenchel, định lý đối ngẫu Fenchel tiếng thể hoàn chỉnh Từ đó, đề tài mở rộng định lý đối ngẫu Fenchel cách giảm nhẹ giả thiết lồi giả thiết gần lồi Bên cạnh đó, Đề tài trình bày phần mở rộng định lý đối ngẫu Fenchel cách làm suy yếu tính lồi để đạt tính gần lồi Những giả thiết yếu tự động làm đầy trường hợp lồi Từ khóa: định lý đối ngẫu Fenchel, giảm nhẹ, hàm gần lồi, lý thuyết tối ưu iii ABSTRACT Duality theory is one of the important problems for the theory of optimization This helps to parse deep structure of lesson algorithm optimization , allow interpret geometry , at the same time will be tool powerful for researching look up and building the algorithm In this paper, we consider two chapters: chapter Prepare Knowledge; and chapter: Some dual problems in optimization Provided a number comment formula related fields which look up to priority And giving two lesson algorithm for random , one lesson algorithm maximum priority original , the scheme does also the machine compound , specific corresponding to lesson algorithm for random in Over again , lesson algorithm for random Fenchel , the reasons for random Fenchel much floating not be the current completely change Above those , for extending the reasons for random Fenchel with how to be shrink convexity of sets and functions Besides, to display an extension of the reasons for random Fenchel with how to make nearly essential computed convex functions to set property almost Keywords: Fenchel’s duality, shrink, nearly convex functions, optimization iv LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu tham khảo nghiên cứu có xuất xứ rõ rang, xác, đảm bảo tính khoa học cao Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa cơng bố cơng trình khác An Giang, ngày 09 tháng 10 năm 2014 Người thực Lê Kiên Thành v BẢNG KÝ HIỆU x X x X A\ B A B A B R Rn Rm Tập rỗng x thuộc tập X x không thuộc tập X Hiệu tập A tập B Hợp tập A tập B Giao tập A tập B Đường thẳng thực Không gian Euclid n _chiều Tập vector R m có thành phần khơng âm x x Rn R R , n xi x Tập số thực suy rộng Chuẩn Euclid x i f :X | A R Ánh xạ từ X vào R Hàm tập A B B x, r Hình cầu đơn vị Hình cầu mở tâm x bán kính r int A clA ri A co A Phần tập A Bao đóng tập A Phần tương đối tập A Bao lồi tập A Bao lồi đóng tập A Nón lồi sinh x1 , , xn co A cone x1 , , xn f x xi domf epif Đạo hàm riêng f theo xi x, y Miền hữu hiệu f Trên đồ thị f Tích vơ hướng x y x Giá trị tuyệt đối x vii Chương 1: Giới thiệu 1.1 Tính cấp thiết đề tài Loài người biết chọn “phương án” hành động cơng việc từ thời cổ đại Đầu tiên người ta biết chọn phương án “chấp nhận được” theo tiêu chuẩn từ mức độ cảm tính đến có sở khoa học định lượng Khi có nhiều phương án chấp nhận được, điều mong muốn tự nhiên chọn tốt (hay gọi cách khác tối ưu), theo tiêu chuẩn Dần dần người ta biết “mơ hình hóa tốn học” cơng việc mình, tức diễn đạt cơng việc dạng phương trình tốn học Cùng với hình thành hồn chỉnh phép tính vi tích phân vào kỉ 17, “bài toán cực trị” lý thuyết mơ tả tốn học xác tốn tối ưu Bên cạnh đó, lý thuyết đối ngẫu với điều kiện tối ưu hai mảng nghiên cứu quan trọng nhất, nghiên cứu nhiều Lý thuyết tối ưu Các lược đồ đối ngẫu phải dựa vào giả thiết Lồi Trong ba thập niên vừa qua, nhiều cố gắng dành cho việc mở rộng Lý thuyết đối ngẫu cho trường hợp không lồi Cho đến nay, hầu hết kết có ý nghĩa đáng kể địi hỏi tính lồi giảm nhẹ, tức mở rộng theo nghĩa Trong lý thuyết tối ưu, bên cạnh điều kiện tối ưu, lược đồ đối ngẫu nằm trung tâm quan tâm hàng đầu Tính chất đối ngẫu nằm chất trình, lớp tốn, khơng lý thuyết tối ưu mà cịn từ lớp tốn tối ưu đơn giản quy hoạch tuyến tính Từ lớp tốn tối ưu đơn giản người ta thấy với tốn tìm cực tiểu ln có tốn tìm cực đại kèm với tính chất đối xứng: số biến định toán số rang buộc toán kia, vế phải rang buộc toán hệ số mục tiêu toán kia,…, cuối hai giá trị mục tiêu tối ưu Ta nói quy hoạch tuyến tính có lỗ hổng đối ngẫu khơng hay tính chất đối ngẫu mạnh Kết luận mở rộng quy hoạch lồi, tức tốn cực tiểu có rang buộc mà hàm lồi Với quy hoạch phi tuyến tổng quát, điều không Từ nhiều thập kỷ qua, nghiên cứu tính đối ngẫu cho tốn khơng lồi ln vấn đề nhiều nhà tốn học quan tâm Nhiều mơ hình đối ngẫu phát triển Hướng tiếp cận để giải tốn khơng lồi đưa khái niệm giảm nhẹ, mở rộng tổng quát định nghĩa lồi cổ điển Hơn nữa, lý thuyết đối ngẫu trường hợp không lồi, hầu hết cơng trình nghiên cứu nước ngồi nước, kết có ý nghĩa đáng kể địi hỏi tính lồi giảm nhẹ Vì vậy, đề tài “Nghiên cứu số lược đồ lý thuyết tối ưu” có tính khoa học cập nhật 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Thể tính lồi giảm nhẹ thơng qua số lược đồ đối ngẫu – Đối ngẫu Fenchel; Đối ngẫu Lagrange Nắm vững tính chất, ứng dụng liên quan đến số lược đồ đối ngẫu 1.3 Đối tượng nghiên cứu Tập trung nghiên cứu số lược đồ đối ngẫu – Đối ngẫu Fenchel; Đối ngẫu Lagrange Nêu tính chất: Đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh, lỗ hổng đối ngẫu mở rộng định lý Fenchel ví dụ liên quan 1.4 Nội dung nghiên cứu Nội dung đề tài chia làm nội dung tương ứng với chương 2: Một số kiến thức chuẩn bị; chương 3: Một số lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu 1.5 Những đóng góp đề tài - Đóng góp mặt khoa học: Đề tài tập trung làm rõ đồng thời mở rộng số lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu đối ngẫu Fenchel Lagrange - Đóng góp cơng tác đào tạo: Đề tài góp phần bổ sung mảng kiến thức ngành tốn tối ưu cịn thiếu sách giáo trình nay, góp phần hồn thiện nội dung chương trình tốn bậc cử nhân Đề tài tài liệu tham khảo tốt phục vụ cho việc nghiên cứu, giảng dạy, học tập giáo viên, sinh viên, học sinh tất quan tâm đến vấn đề - Đóng góp phát triển kinh tế xã hội Sau đề tài hoàn thành, phổ biến rộng rãi giúp cho sinh viên giảng viên có điều kiện trao đổi, mở rộng với nhóm nghiên cứu tối ưu ngồi nước Theo định nghĩa , hệ thống khơng có nghiệm Vì vậy, bổ đề 3.1 tồn véctơ khơng rỗng u0 ; u; v với u0 ; u cho u t g ( x) vt h( x) với x u0 f ( x) Trước hết thấy u0 Bằng phản chứng, giả sử u0 (3.3) X 0, tồn x X cho g ( x) h( x) Thay (3.3), u t g ( x) Từ g ( x) u , u t g ( x) u Nhưng từ (3.3), 0; u 0, kéo theo v t h( x) 0, x X Nhưng int h( X ) , ta chọn u0 x, X cho h x x Vì vậy, vt h( x) v2 0 Vì vậy, ta u0 v u0 ; u; v (vô lý) Nên u0 Sự phân chia (3.3) u0 kí hiệu u / u0 v / v0 u v , tương đương, ta t t f ( x) u g ( x) v h( x) t với x t Điều thể (u , v) inf f ( x) u g ( x) v h( x) : x ngẫu yếu, dễ thấy (u, v) (3.4) X Trong định lý đối X , (u, v) nghiệm tốn đối ngẫu Để hồn thành chứng minh, giả sử x phương án tối ưu toán gốc, nghĩa là, x X , g ( x) 0, h( x) 0, f ( x) Từ (2.4), đặt x t x ta u g ( x) Từ t u g ( x) 0; u g ( x) □ Tiếp theo, nghiên cứu Tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa tiếng Để ý điều kiện cần tiêu chuẩn yêu cầu thêm tính lồi ràng buộc xác định, thay điều kiện đủ định lý khơng cần giả định Định lý 3.4 (Định lý điểm yên ngựa) Cho X tập lồi khác rỗng Rn Cho f : Rn h : Rn Rl Giả sử tồn x X Rm X u, v với u , cho x; u; v x R; g : Rn u , v với u , x; u; v x; u; v x; u; v f ( x ) u t g ( x ) v t h( x ) Khi x u, v nghiệm toán gốc ( P) toán đối ngẫu ( D) 33 (3.5) Ngược lại, giả sử X , f g lồi h affine, nghĩa h x giả sử int h X tồn x X với g ( x) Ax b Hơn nữa, h( x) Nếu x nghiệm tối ưu toán gốc ( P) , tồn u, v với u để (3.5) thỏa Chứng minh Giả sử tồn x X u, v với u cho (3.5) thỏa Từ f ( x) u t g ( x) vt h( x) x; u; v x; u; v u v Rl , thấy g ( x) 0, h( x) Vì x nghiệm chấp nhận toán gốc ( P) Theo đặt u bất đẳng thức trên, thấy u t g ( x) Từ u g ( x) , u t g ( x) Chú ý (3.5), x X , ta được: f ( x) t t f ( x ) u g ( x ) v h( x ) x; u; v x; u; v t t (3.6) f ( x) u g ( x) v h( x) Từ (3.6) thỏa với x X , f ( x) u; v Chú ý x nghiệm chấp nhận toán gốc P u , theo hệ 3.2 đến định lý đối ngẫu yếu, thấy x u; v nghiệm tối ưu hai toán tương ứng Ngược lại, giả sử x nghiệm tối ưu toán gốc (P), theo định lý đối ngẫu t mạnh tồn u; v với u cho f ( x) u; v u g ( x) Từ định nghĩa , phải có f ( x) t u; v t t f ( x ) u g ( x ) v h( x ) x; u; v , x X t Nhưng từ u g ( x) v h( x) 0, x; u; v t t f ( x ) u g ( x ) v h( x ) x; u; v , x X bất đẳng thức thứ hai (3.5) Bất đẳng thức thứ (3.5) thỏa t ý u g (x) 0, h( x) 0, g( x) u Định lý chứng minh □ 34 Định lý đối ngẫu mạnh giá trị hàm mục tiêu toán gốc đối ngẫu Do đó, khả nghiệm tốn gốc gián tiếp giải thơng qua tốn đối ngẫu đắn thực Tóm lại: Cho quy hoạch phi tuyến, có tốn quy hoạch phi tuyến khác liên kết chặt chẽ với Bài toán đầu gọi toán gốc tốn liên kết với gọi tốn đối ngẫu Lagrange Khi giả thiết lồi, hai toán giá trị hàm mục tiêu giải tốn gốc gián tiếp qua toán đối ngẫu Mặt khác, nhiều tính chất tốn đối ngẫu trình bày, tính chất cung cấp cho ta chiến lược giải tổng quát hai toán Các tiêu chuẩn điêm yên ngựa không cần giả thiết khả vi sản phẩm định lý đối ngẫu Đây phương pháp gián tiếp dựa phương pháp nhân tử lagrange, phương pháp có ưu điểm cho kết xác, biểu diễn tốn học chặt chẽ phạm vi áp dụng chủ yếu tốn có hàm ràng buộc đẳng thức Với toán tối ưu kết cấu, hàm ràng buộc chủ yếu bất đẳng thức nên phương pháp áp dụng Bài tốn đối ngẫu Lagrange có nhiều cách giải phương pháp gradient, phương pháp điểm trong, phương pháp siêu phẳng cắt, số tính chất quan trọng đối ngẫu Lagrange, đặc biệt, mở rộng toán đối ngẫu Lagrange cách làm nhẹ giả thiết lồi chưa thể đề tài 3.3 Bài tốn đối ngẫu Fenchel Cho X Rn tập khơng rỗng C R k nón lồi đóng nón đối ngẫu C là: C* Xét quan hệ thứ tự C c* R g c 0, c C cảm sinh C R k , nghĩa y , z y Cho f : Rn T R k : c* g1 , , g k T z C : Rn z R k , ta có: y C Rk Triển khai tốn tối ưu nghiên cứu phần đối ngẫu Fenchel sau: inf x P G f x , G x X :g x C Giả sử tập chấp nhận G không rỗng giả định thêm dom f dom f x Rn : f x Bài toán P gọi toán gốc giá trị mục tiêu Định nghĩa 3.5 Hàm F * : Rn R xác định F * p* sup p*T x F x x Rn 35 P X , gọi hàm liên hợp F Với F : R n R Hàm : R n R m R với tính chất không gian biến số nhiễu F x cho x Rn Ở đây, R m x, Mục tiêu cách tiếp cận đến tốn tối ưu ràng buộc P Vì cho F : R n R xác định : f x x G , F x x G Bài tốn gốc P tương đương PG từ hàm nhiễu inf x G F x , R thỏa : Rn Rm F x cho x x, x, F x , x, , R n , ta x G (3.7) x Rn \ G (3.8) Bây ta chọn hàm nhiễu cho toán đối ngẫu Fenchel: 3.3.1 Bài toán đối ngẫu Fenchel Cho hàm nhiễu F : Rn Rm R cho F Với biến số nhiễu p f x x, p x G R n Mối tương quan (3.7) (3.8) làm đầy thỏa * F x* , p * sup n x R ,p R n x R ,p R g x C0 x p n R n , ta có 36 x*T x p*T p F x*T x p*T p f x n sup Đặt biến p x G , x, p p * F x* , p * x*T x sup p*T x f x X , Rn g x C0 sup p*T f Rn x X g x f * p* inf x X g x x* sup p* T p* x C0 x* T inf f * p* x x G p* x* T x C0 Bài toán đối ngẫu P * DF sup p* Rn DF sup p* Rn F 0, p* Có thể viết lại dạng khác inf f * p* x X g x p*T x C0 Ta gọi DF toán đối ngẫu Fenchel giá trị mục tiêu tối ưu ngẫu yếu DF DF Định lý đối P 3.3.2 Định lý đối ngẫu Fenchel Định lý đối ngẫu Fenchel liên quan đến tốn tối thiểu hóa khác f x g x , f hàm lồi thường R n g hàm lõm thường R n Nói chung, f g hàm lồi R n Bài toán đối ngẫu làm giảm nhẹ tốn tìm giá trị nhỏ f g tốn tìm giá trị lớn hàm lõm g * f * , đó, f * hàm (lồi) liên hợp f g * hàm (lõm) liên hợp hàm g Bài toán đối ngẫu trường hợp đặc biệt toán đối ngẫu tổng qt, thể rằng, tính độc lập toán tổng quát làm giảm nhẹ chứng minh phân chia Chú ý tốn nhỏ (tối thiểu hóa) f g có miền xác định tập lồi dom f – g dom f Trong tốn lớn (tối đa hóa) g * dom g * f* domg , f * có miền xác định tập lồi dom g * dom f * Định lý 3.6 (Định lý đối ngẫu Fenchel) Cho f hàm lồi thường Rn, g lõm thường Rn Ta có inf x f ( x) g ( x) supu g * (u ) 37 f *(u ) Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) ri dom f ri dom g (b) f g đóng, ri dom g * ri dom f * Ta thấy (a) cận nhỏ đạt số điểm u , (b) cận lớn đạt số điểm x ; Nếu (a) (b) thỏa, cận nhỏ cận lớn buộc hữu hạn Nếu g hình đa diện, ri dom g ri dom g * đổi chỗ dom g dom g * (a) (b), tương ứng (và giả định đóng (b) khơng cần thiết) Tương tự f hình đa diện.(Vì vậy, f g hai hình đa diện, ri bỏ qua tất trường hợp.) Chứng minh Với giá trị x u R n , ta có f x f* u x, u g* u g x theo bất đẳng thức Fenchel f x –g x g* u – f * u Nên inf f – g sup g * f* Nếu cận lớn , cận nhỏ đạt Rn Giả sử inf f – g khác (a) thỏa Khi hữu hạn β có giá trị lớn cho f g Nó thể điều cận nhỏ g * f * , thể Xét đồ thị tồn giá trị véctơ u cho g * u – f * u C D ( x, ) | x ( x, ) | x Rn , Rn , R, f ( x) R, g ( x) Có tập lồi đặt R n Ta có riC ( x, ) | x ri (domf ), f ( x) Khi f g , ri C điểm chung với tập D Vì tồn siêu phẳng H R n tách C D Nếu H dọc , hình chiếu R n siêu phẳng tách hình chiếu C D hồn tồn Nhưng hình chiếu C D R n domf domg , tương ứng, tập khơng thể tách hồn tồn (a) Vì thế, H khơng thể dọc, nghĩa H chắn đồ thị hàm affine h , h x x, u 38 * , Bởi H tách C D , ta có f x * x, u g x , x Bất đẳng thức bên trái kéo theo * sup x x, u f ( x) f *(u ) Trong đó, bất đẳng thức bên phải kéo theo * Theo inf x x, u g ( x) g *(u ) g * u – f * u thỏa Khi g hình đa diện, nghĩa D tập lồi đa diện, cách tăng lên để tách siêu phẳng H Ta thấy H chọn lựa cho không chứa C Nếu H dọc, phép chiếu R n siêu phẳng tách dom f dom g không chứa tất domf Khi ri dom f dom g có điểm chung (vơ lý) Vì H không dọc chứng minh tương tự trước Tương tự f , thay cho g hình đa diện Khi f g hình đa diện, phần tương đối bỏ qua, int f g hữu hạn để tồn u cho g * u – f * u Trong trường hợp này, từ định nghĩa , bao đóng tập lồi C D R n chứa gốc tọa độ 0; , C D không chứa x; với x Khi C D hình đa diện, C D hình đa diện đóng Cho C D miêu tả giao nửa khơng gian đóng hữu hạn R n Tất nửa không gian chứa gốc R n , chúng phải rời nửa đường thẳng 0; / , ngược lại nửa đường thẳng cắt C D (vơ lý) Ít nửa không gian buộc phải đồ thịlà hàm tuyến tính ,u R n Với u ta có Với x1 ; C x2 ; x2 , u Điều kéo theo g * u 2 x1 x2 ; u D , g x2 x1 , u f x1 , x1 ; x2 f * u thỏa yêu cầu Một phần định lý liên quan đến điều kiện (b) theo tính đối ngẫu, f f g g ** f , g đóng Tất nhiên f * g * hình đa diện f g hình đa diện □ ** Tiếp theo sau định lý đối ngẫu Fenchel ta khảo sát số khái niệm liên quan tập gần lồi Các khái niệm tập gần lồi hàm gần lồi đóng vai trị quan trọng việc làm giảm nhẹ tính lồi Nó giúp cho làm nhẹ tính lồi cách 39 đảm bảo giá trị mục tiêu hai toán gốc đối ngẫu Việc làm giảm nhẹ tính lồi xu hướng nghiên cứu lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu Bổ đề 3.2 Cho tập lồi C ri (C ) ri S Một tập S R n tập S R n thỏa S R n gọi gần lồi có C , ta có ri(C ) S 0;1 cho với x, y S ta x (1 ) y S Mỗi tập lồi tập gần lồi Trong khi, Q gần lồi (với ), Q không lồi Cho hàm lồi f : Rn R nhắc lại định nghĩa sau : Miền hữu hiệu dom f Epigraph epi f x Rn : f x Rn R : f x x, r f thường dom f r f x f bao nửa liên tục f , f : Rn R cho epi f cl epi f Tương tự cho định nghĩa hàm g lõm Bổ đề 3.3 Cho S R n gần lồi Khi đó, ri S ri(cl S ) (3.8) S Chứng minh Trước hết giả sử (3.8) thỏa Từ bao affine aff S S tập đóng, ta có aff S aff cl S Hơn nữa, cl S tập lồi, ri cl S tập lồi khơng rỗng Vì aff cl S aff ri cl S aff S aff ri cl S điều cho phép ta lấy ri hai vế (3.8) ta ri ri cl S ri ri M ri M với M R m tập cuối dẫn đến ri S ri cl S B aff cl S 40 ri S Vì Đảo lại cho phần tử x ri cl S tùy ý, theo định nghĩa tồn hình cầu đơn vị trong, ta có x ri S Từ cl S cho , kí hiệu B (3.9) Chọn phần tử x ' ri S tùy ý cho t cho t x x' t Khi có phần tử z: rõ ràng mặt z t t x t x' aff cl S mặt khác z x t t x' t t x t t x x' , Vì theo (3.9) z cl S Từ x ' ri S ta x tx ' t z ri S S S □ Vậy, ri(cl S ) R m tập gần lồi ri S ri(cl S ) S Từ đảo m lại ta được: Một tập lồi S R , ri S ri S ri cl S Chú ý 3.5 Cho S Liên quan chặt chẽ với khái niệm tập gần lồi, xét tương tự cho ký hiệu hàm 0;1 cho: Cho hàm f : Rn R gần lồi tồn x, y dom f Rn : f x {x }, ta có f ( x (1 Một hàm g : Rn R gần lõm ) y) f ( x) (1 )f y g gần lồi Lưu ý: Các hàm gần lồi, lõm có miền xác định gần lồi hàm lồi gần lồi, có hàm gần lồi mà hàm lồi Hơn nữa, epi f cl epi f ta có bao nửa liên tục f hàm gần lồi f tập lồi Do f hàm gần lồi nên epi f tập gần lồi nên suy cl epi f tập lồi, nghĩa epi f tập lồi điều cần kết luận Định lý 3.7 Cho f : Rn Khi đó: ri(epi f ) R hàm gần lồi thường làm đầy (a) ri(epi f ) ri epi f (b) f x (c) f thường ri(dom f ) ri dom f ; f ( x), x ri(dom f ); 41 Chứng minh Khi ri(epi f ) , bổ đề 3.3 ri(cl (epi f )) ri(epi f ) ri epi f Biểu thị Pr : Rn R Rn phép chiếu xác định Pr x, r x, ta có ri(dom f ) ri(Pr(epi f )) Pr(ri(epi f )) Pr(ri (epi f )) mặt khác, dom f Pr(epi f ) dom f dom f cuối tập lồi, bổ đề 3.2 ta ri(dom f ) ri dom f Lấy x ri(dom f ) Ta có, 0,( x, f ( x) ) ri(epi f ) epi f , vậy, f ( x) f ( x) Cho ε dần 0, ta f x f ( x) Từ chiều ngược lại bất đẳng thức ln Xem f không đồng + ∞, cho f không đồng + ∞ Giả sử tồn x ' Rn cho f ( x ') f ( x) , ta thấy f ( x) , x dom f Như f x , x ri dom f , điều mâu thuẫn với tính đắn f Như vậy, f thường □ 3.3.3 Mở rộng Định lý đối ngẫu Fenchel Cho hàm lồi thường f : Rn lý đối ngẫu Fenchel nói rằng, ri(dom f ) R hàm lõm thường g : Rn ri(dom g ) R định , inf x Rn f ( x) g ( x) max{ g* u n f * u } u R Chúng ta làm suy yếu điều kiện áp đặt xem f gần lồi g gần lõm Định lý 3.8 Cho hàm gần lồi thường f : Rn thường g : Rn R hàm gần lõm R Nếu điều kiện sau thỏa đồng thời: 42 (i) ri(dom f ) ri(dom g ) (ii) ri(epi f ) ; (iii) ri(hyp g ) ; ; inf x maxn g * u f ( x) g ( x) Rn f* u u R Chứng minh Chú ý mối quan hệ (a)-(c) định lý 3.7 làm đầy Tương tự, g lõm thường nửa liên tục cho: g ( x), x ri dom g ri(dom g ) ri(dom g ) g ( x) Đặt v : inf f ( x) g x : x R n Từ f inf f ( x) g ( x) : x R n g lồi, ta có inf f ( x) g ( x) : x R n inf f ( x) g ( x) : x ri (dom( f g )) inf f ( x) g ( x) : x ri(dom f dom g ) Các tập dom f dom g lồi giao phần tương đối khơng rỗng, từ ri(dom f ) Tập cuối ri(dom f Rn inf f ( x) g ( x) : x ri(dom g ) ri(dom f ) ri dom g dom g ) Do đó, inf f ( x) g ( x) : x ri(dom f dom g ) inf f ( x) g ( x) : x ri(dom f dom g ) v Kết luận, v inf f ( x) g ( x) : x R n inf f ( x) g ( x) : x R n Định lý đối ngẫu Fenchel (định lý 3.6) áp dụng cho f g ta inf x xem f * f inf x * g * Rn R f ( x) g ( x) n maxn g * u f * u u R * g , ta f ( x) g ( x) inf x Rn f ( x) g ( x) maxn g * u f* u □ u R Nhận xét 3.3 Các giả thiết tính gần lồi cho f gần lõm cho g khơng u cầu tính lồi gần khơng đổi cho hai hàm 43 Nhận xét 3.4 Nếu f g thường, f lồi, g lõm (i) thỏa, ta có inf x Rn inf x Rn max{ g* u n f ( x) g ( x) f* u } (3.10) u R Câu hỏi liệu f ( x) g ( x) inf x Rn (3.11) f ( x) g ( x) hay không với giả thiết yếu định lý 3.8, giả định tính gần lồi đến tính lồi đóng, phát sinh cách tự nhiên Một hàm với bao đóng epigraph lồi gọi lồi đóng tương tự hàm lõm đóng Ví dụ cho thấy (3.11) sai f lồi đóng, g lõm đóng giả định (i)-(iii) định lý 3.8 thỏa Ví dụ 3.3 Xét tập X x, y T x, y R : x 0, y T 0, x Q, y Q, x R : x 0, y 0,1 x y y Y T x, y R : x 0, y x, y hàm f , g : R2 T 0, x R : x 0, y R \ Q, y 0,1 x y R \ Q, x y R f x, y x x, y X x, y X ; g x, y y x, y Y x, y Y Rõ ràng f g thường 3 ; 4 ri(dom f ) 3 3 ri dom g , ( ; ;1) ri epi f , ( ; ; 1) ri hyp g , 4 4 Khi giả thiết (i)-(iii) định lý 3.8 có X Y khơng tập gần lồi; Vì thế, dom f X dom g Y , f hàm gần lồi g hàm gần lõm Mặt khác, ta có cl(epi f ) {( x, y, r )T R3 : x 0, y 0, x y 2, x cl(hyp g ) {( x, y, r )T R3 : x 0, y 0, x y 2, y r}, r}, tập lồi Do đó, f lồi đóng g lõm đóng Cho nên, với (i) định lý 3.8 làm đầy, (3.10) thỏa Ta thấy 44 x f x, y Z {( x, y )T x, y Z x, y X R2 : x 0, y 0, x ; g x, y y y x, y Z x, y Y 2}; đó, inf x , y R2 f ( x, y ) g ( x, y) inf x y : x 0, y 0, x y Như vậy, theo định lý đối ngẫu Fenchel, inf x, y R2 max2 g * u, v f ( x, y ) g ( x, y ) u ,v f * u, v R Tính tốn đơn giản dẫn đến inf x, y R2 f ( x , y ) g ( x, y ) inf x y : x 0, y 0, x y Do đó, (3.11) rõ ràng vi phạm; Vì thế, định lý đối ngẫu Fenchel khơng thỏa giả thiết yếu hàm liên quan đến lồi đóng, tương ứng lõm đóng Nhận xét 3.5 Nếu f lồi thường g lõm thường (ii) (iii) tự nhiên làm đầy định lý 3.8 trở thành định lý đối ngẫu Fenchel 45 KẾT LUẬN Lý thuyết tối ưu chia làm hai mảng nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu điều kiện tối ưu Riêng mảng Lý thuyết đối ngẫu phương tiện tuyệt vời để kiểm tra nghiệm tối ưu Từ tốn tối ưu gốc giải cách gián tiếp thông qua tốn đối ngẫu Hơn nữa, giúp phân tích sâu cấu trúc toán tối ưu, cho phép giải thích hình học, đồng thời cơng cụ mạnh mẽ để nghiên cứu xây dựng thuật toán Đề tài thể rõ hai lược đồ đối ngấu đối ngẫu Lagrange đối ngẫu Fenchel Đối với lược đồ đối ngẫu Lagrange, bên cạnh trình bày tính chất, định lý ví dụ để mơ tả lược đồ này, từ đó, phương pháp nhân tử Lagrange có số đặc điểm:  Có thể tối ưu phi tuyến, tối ưu hàm nhiều biến  Tìm nghiệm tồn miền  Địi hỏi hàm phải tường minh Đối với Định lý đối ngẫu Fenchel liên quan đến toán tối thiểu hóa khác f x g x , f hàm lồi, Rn g hàm lõm, Rn Vấn đề bao gồm, trường hợp đặc biệt, tốn tối thiểu hóa f tập lồi C Nói chung, f g hàm lồi R n Vấn đề tập trung tính đối ngẫu kết nối tốn tìm giá trị nhỏ với tốn tìm giá trị lớn hàm lõm, f * hàm lồi liên hợp f g * hàm lõm liên hợp hàm g Tính đối ngẫu trường hợp đặc biệt toán đối ngẫu tổng quát, điều rằng, lý thuyết tổng quát độc lập làm giảm nhẹ chứng minh phân chia Hơn nữa, Đề tài trình bày phần mở rộng định lý đối ngẫu Fenchel cách làm suy yếu tính lồi để đạt tính gần lồi Những giả thiết yếu tự động làm đầy trường hợp lồi Hơn nữa, đề tài hiển thị phản ví dụ mở rộng hàm lồi đóng chặt chẽ khơng thể thỏa theo giả thiết Do thời gian có hạn, nên đề tài chưa sâu vào việc mở rơng tốn đối ngẫu Lagrange, chưa nghiên cứu tính chất đặc trưng, đặc biệt thuật toán liên quan đến giải toán đối ngẫu; với số lược đồ đối ngẫu quan trọng khác chưa khảo sát Tuy nhiên hướng nghiên cứu tiếp với đề tài Dù có nhiều cố gắng q trình thực đề tài khơng tránh khỏi số hạn chế, mong nhận ý kiến đóng góp quý báu đồng nghiêp sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn./ 46 Tài liệu tham khảo J.B.G Frenk, G Kassay, 2007, Lagrangian Duality and Cone Convexlike Function, J Optim Theory Appl 134:207 - 222 Mokhtar S Bazara, C.M Shetty, 1990, Nonlinear Programming Theory and Algorithms, copyright John Wiley & Sons, Singapore Mangasarian, O.L, 1969, Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York P.Q Khanh, T.H Nuong, 2003, Quy Hoạch Tuyến Tính, Nhà xuất Giáo dục: 1419/106 - 02 P.H Khải, D.V Lưu, 2000, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật: 451-1-4/9/2000 Rockafellar R.T ,1970, Convex Analysis Princeton University, Princeton R.I Bot, S.M Grad, G Wanka, 2007, Fenchel’s Duality Theorem for Near Convex Functions, J Optim Theory Appl 132:509 - 515 47 ... KHOA SƯ PHẠM NGHIÊN CỨU MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ ĐỐI NGẪU TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU LÊ KIÊN THÀNH AN GIANG, 10 - 2014 Đề tài nghiên cứu khoa học ? ?Nghiên cứu số lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu? ??, tác giả... cực trị” lý thuyết mơ tả tốn học xác tốn tối ưu Bên cạnh đó, lý thuyết đối ngẫu với điều kiện tối ưu hai mảng nghiên cứu quan trọng nhất, nghiên cứu nhiều Lý thuyết tối ưu Các lược đồ đối ngẫu phải... Một số kiến thức chuẩn bị; Một số lược đồ đối ngẫu lý thuyết tối ưu Đề tài cung cấp số kiến thức liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu Tối ưu Giới thiệu hai toán đối ngẫu, xuất phát từ toán tối ưu