Một số vấn đề về lý thuyết chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN WX ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT CHIỀU Chủ nhiệm đề tài: Ths LÊ VĂN CHUA Long Xuyên, tháng năm 2009 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Mục lục MỘT SỐ KÍ HIỆU MỞ ĐẦU VÀNH NOETHER VÀ VÀNH ARTIN Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại iđêan nguyên sơ Vành Noether Vành Artin Vành phân bậc 11 PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT 14 Môđun Noether 14 Phân tích nguyên sơ môđun Noether 16 Tập iđêan nguyên tố liên kết 19 Giá môđun 23 HÀM VÀ CHUỖI HILBERT 27 Môđun Artin 27 Mơđun có độ dài hữu hạn 29 Môđun phân bậc 34 Hàm Hilbert đa thức Hilbert-Samuel 36 LÝ THUYẾT CHIỀU KRULL 41 Chiều Krull định lý lý thuyết chiều 41 Độ sâu môđun 45 Vành Cohen-Macaulay 50 Vành địa phương quy 53 Ths Lê Văn Chua i Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Ths Lê Văn Chua ii Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu √ q −1 S (R) Rp J(R) N (R) {Rn | n ∈ N} gr(R) λa S −1 (M ) AssR (M ) z(M ) Mp Supp(M ) V (I) Ann(M ) lR (M ) {Mn | n ∈ N} gr(M ) H(M, n) F (M, t) PI (M, n) d(M ) dim M dim R ht(I) Coht(I) δ(M ) Ext depth(M ) Ths Lê Văn Chua Nghĩa kí hiệu Kết thúc chứng minh Căn iđêan q Vành thương vành R theo S Địa phương hóa vành R theo p Căn Jacobson vành R Linh vành R Lọc vành Vành phân bậc liên kết Đồng cấu nhân a Địa phương hóa môđun M theo S Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M Tập ước không mơđun M Địa phương hóa mơđun M theo p Giá môđun M Tập iđêan nguyên tố chứa I Cái triệt môđun M Độ dài R−môđun M Lọc môđun Môđun phân bậc liên kết Hàm Hilbert môđun M Chuỗi Hilbert môđun M Hàm Hilbert-Samuel môđun M Bậc đa thức Hilbert-Samuel môđun M Chiều Krull môđun M Chiều Krull vành R Độ cao iđêan I Đối độ cao iđêan I Chiều Chevalley môđun M Hàm tử Ext Độ sâu môđun M Trang 10 10 12 12 16 16 19 20 23 23 24 24 31 34 34 37 37 38 39 41 41 41 41 42 48 49 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường MỞ ĐẦU Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu đặc trưng chiều vành mơđun Từ đến việc nghiên cứu hai lớp vành quan trọng Đại số giao hoán đại vành Cohen-Macaulay vành địa phương quy, mối quan hệ chúng Nội dung nghiên cứu Lý thuyết chiều lý thuyết trọng tâm Đại số giao hoán đại Mọi tốn khảo sát cấu trúc vành hay mơđun Đại số giao hoán việc xem xét chiều chúng Khái niệm chiều mà nhắc đến có nguồn gốc từ Hình học dạng đại số khái niệm chiều đa tạp đại số Đề tài gồm chương Chương Vành Noether vành Artin, Chương nghiên cứu hai lớp vành quan trọng vành Noether vành Artin Chúng tảng để xây dựng sở lý thuyết chiều Nội dung chương gồm vấn đề sau: Iđêan nguyên tố, Iđêan cực đại iđêan nguyên sơ; Vành Noether; Vành Artin; Vành phân bậc Chương Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết, Chương nghiên cứu lớp môđun Noether phân tích ngun sơ nó, bên cạnh nghiên cứu lớp iđêan nguyên tố liên kết giá môđun Nội dung chương gồm vấn đề sau: Mơđun Noether; Phân tích ngun sơ mơđun Noether; Tập iđêan nguyên tố liên kết; Giá môđun Chương Hàm chuỗi Hilbert, Chương nghiên cứu lớp môđun Artin, đặc biệt mối quan hệ vành Noether vành Artin thông qua khái niệm độ dài hữu hạn môđun Cùng với cấu trúc môđun phân bậc, tiếp tục nghiên cứu hai đối tượng quan trọng khác đại số giao hoán hàm Hilbert Đa thức Hilbert-Samuel môđun Nôi dung chương gồm vấn đề sau: Môđun Artin; Môđun có độ dài hữu hạn; Mơđun phân bậc; Hàm Hilbert đa thức Hilbert-Samuel Chương Lý thuyết chiều Krull, Đây nội dung trọng tâm đề tài Với khái niệm chiều Krull vành môđun dẫn đến thống ba đối tượng bất biến mơđun Đó bậc đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull chiều Chevalley thông qua Định lý lý thuyết chiều Trong chương nghiên cứu đặc trưng khác như: Hệ tham số; Dãy quy; Độ sâu môđun đặc biệt vành CohenMacaulay vành địa phương quy Nội dung chương gồm vấn đề sau: Chiều Krull định lý lý thuyết chiều; Độ sâu môđun; Vành Cohen-Macaulay; Vành địa phương quy Trong tồn đề tài nghiên cứu khoa học này, vành nhắc đến vành giao hốn có đơn vị khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số đối tượng sau: Môđun Noether, Môđun Artin, Môđun phân bậc, Độ dài hữu hạn môđun, Hàm Hilbert đa thức Hilbert-Samuel, Chiều Krull vành môđun, Độ sâu môđun Đặc biệt nghiên cứu hai cấu trúc Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường vành Cohen-Macaulay vành địa phương quy, mối quan hệ chúng Cơ sở lý luận phương pháp nghiên cứu Đề tài "Một số vấn đề lý thuyết chiều" chủ yếu dựa sở lý thuyết vành lý thuyết môđun Đề tài sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp nguồn tài liệu liên quan, để thu nhận nội dung cần thiết nhằm phục vụ tốt cho việc nghiên cứu đề tài Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương VÀNH NOETHER VÀ VÀNH ARTIN Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại iđêan nguyên sơ Định nghĩa 1.1 Một iđêan p vành R gọi nguyên tố R p khác R với a, b ∈ R cho ab ∈ p a ∈ p b ∈ p Một iđêan m vành R gọi cực đại R m khác R với J iđêan tùy ý R cho m ⊂ J ⊂ R m = J J = R Định lý 1.2 Một iđêan p vành R nguyên tố R/p miền nguyên Một iđêan m vành R cực đại R/m trường Chứng minh Giả sử p iđêan nguyên tố R Để chứng minh R/p miền nguyên ta cần chứng minh R/p khơng có ước khơng Thật vậy, (a+p)(b+p) = 0+p ab+p = 0+p kéo theo ab ∈ p Do p iđêan nguyên tố nên a ∈ p b ∈ p hay a + p = + p b + p = + p Vậy R/p miền nguyên Đảo lại, R/p miền nguyên R/p vành giao hốn có đơn vị + p = + p suy ∈ /p p = R Giả sử ab ∈ p Khi ab + p = + p kéo theo (a + p)(b + p) = + p Do R/p miền nguyên nên a + p = + p b + p = + p hay a ∈ p b ∈ p Vậy p iđêan nguyên tố R Giả sử R/m trường Khi ta có R/m vành giao hốn có đơn vị + m = + m kéo theo ∈ / m Vậy m = R Để chứng minh m iđêan cực đại, ta giả sử J iđêan R cho m ⊂ J ⊂ R cần phải chứng minh m = J J = R Nếu m = J tồn a ∈ J − m phần tử a + m khác khơng vành R/m Vì R/m trường nên a + m khả nghịch, nghĩa tồn phần tử b + m để (a + m)(b + m) = + m Điều tương đương với ab − = m ∈ m Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường suy = ab − m ∈ J Vậy J = R m iđêan cực đại R Đảo lại, giả sử m iđêan cực đại R Khi ta có R/m vành giao hốn có đơn vị + m = + m Để chứng minh R/m trường, ta phải chứng minh phần tử khác không R/m khả nghịch Nếu a + m ∈ R/m khác khơng a∈ / m Xét J = m + Ra = {m + | m ∈ m; r ∈ R} Dễ dàng kiểm tra J iđêan R chứa m Vì a = + 1a ∈ J nên J iđêan thực chứa m Do m iđêan cực đại nên J = R Khi tồn m ∈ m b ∈ R cho = m + ab suy ab − = −m ∈ m kéo theo (a + m)(b + m) = + m Vậy a + m khả nghịch R/m trường Hệ 1.3 Mọi iđêan cực đại vành R iđêan nguyên tố Định lý 1.4 Mỗi vành R ln tồn iđêan cực đại Chứng minh Gọi tập tất iđêan khác với R Vì ∈ Bây giờ, giả sử {Ji | i ∈ I} họ tùy ý iđêan R khác rỗng J0 ⊂ J1 ⊂ · · · ⊂ Jn ⊂ · · · Đặt J = ∪i∈I Ji Ta chứng minh J iđêan R Nếu a, b ∈ J tồn số i, j ∈ I cho a ∈ Ji b ∈ Jj Ta giả sử Jj ⊂ Ji Khi a, b ∈ Ji Vì Ji iđêan R nên a − b ∈ Ji ∈ Ji với r ∈ R, mà Ji ⊂ J nên a − b ∈ J ∈ J với r ∈ R Vậy J iđêan R Hơn J ∈ Bởi vì, ∈ J có số i để ∈ Ji kéo theo Ji = R Điều dẫn đến mâu thuẫn Rõ ràng J chặn họ {Ji | i ∈ I} Theo Bổ đề Zorn với quan hệ bao hàm phải có phần tử cực đại m Hiển nhiên m iđêan cực đại R Hệ 1.5 Mọi iđêan thực vành R nằm iđêan cực đại Chứng minh Giả sử I iđêan thực R Theo Định lý 1.4 vành thương R/I có iđêan cực đại T Khi T iđêan có dạng m/I với m iđêan chứa I Ta có (R/I)/T = (R/I)/(m/I) ∼ = R/m Do T iđêan cực đại nên (R/I)/(m/I) trường Điều dẫn đến R/m trường m iđêan cực đại R chứa iđêan I Định lý 1.6 Giả sử I1 , I2 , , In iđêan vành R p iđêan nguyên tố Khi Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In ⊂ p tồn số i cho Ii ⊂ p Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In = p tồn số i cho Ii = p Chứng minh Giả sử mệnh đề sai, nghĩa Ii không chứa p với i Khi tồn phần tử ∈ Ii − p với i = 1, 2, , n Ta có a = a1 a2 · · · an ∈ I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In ⊂ p Do p iđêan nguyên tố nên tồn số i cho ∈ p Điều mâu thuẫn với cách chọn Vậy Ii ⊂ p với số i Nếu I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In = p tồn số i cho p ⊂ Ii ⊂ p Điều chứng tỏ p = Ii định lý chứng minh Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Định lý 1.7 Giả sử p1 , p2 , , pn deal nguyên tố vành R Khi I iđêan cho I ⊂ ∪ni=1 pi tồn số i cho I ⊂ pi Chứng minh Giả sử I không chứa pi với i Khi ta giả sử I không chứa p1 ∪ p2 ∪ · · · ∪ pi−1 ∪ pi+1 ∪ · · · ∪ pn Với i, ta có phần tử ∈ I ∈ / p1 ∪ p2 ∪ · · · ∪ pi−1 ∪ pi+1 ∪ · · · ∪ pn Theo giả thiết I ⊂ ∪ni=1 pi nên ∈ pi Nếu n = I khơng chứa p1 p2 Khi a1 ∈ p1 a2 ∈ / p1 suy a1 + a2 ∈ / p1 Tương tự, a1 ∈ / p2 a2 ∈ p2 suy a1 + a2 ∈ / p2 Do a1 + a2 ∈ / I ⊂ p1 ∪ p2 Điều dẫn đến mâu thuẫn với a1 , a2 ∈ I Nếu n > ta thấy a1 a2 · · · an−1 ∈ p1 ∩ · · · ∩ pn−1 an ∈ / p1 ∪ · · · ∪ pn−1 Đặt a = (a1 a2 · · · an−1 ) + an không thuộc p1 ∪ · · · ∪ pn−1 Vì a1 , a2 , , an−1 không thuộc pn nên a1 a2 · · · an−1 ∈ / pn Do an ∈ pn nên a ∈ / pn Vậy a ∈ I n a ∈ / ∪i=1 pi Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Định nghĩa Một iđêan q vành R gọi iđêan nguyên sơ q khác R với a, b ∈ R cho ab ∈ q a ∈ q tồn số nguyên dương n cho bn ∈ q Nhận xét Mọi iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Định lý 1.8 Nếu q iđêan ngun sơ R q, kí hiệu √ q = {a ∈ R | tồn số nguyên dương n cho an ∈ q} iđêan nguyên tố √ √ Chứng minh Giả sử ab ∈ q a ∈ / q Khi tồn số nguyên dương n để √ / q Do q iđêan nguyên sơ nên tồn số nguyên an bn = (ab)n ∈ q Vì a ∈ / q nên an ∈ √ √ nm n m dương m cho b = (b ) ∈ q b ∈ q Vậy q iđêan nguyên tố √ Nếu q iđêan nguyên sơ R p = q iđêan nguyên tố ta gọi q iđêan p−nguyên sơ √ Định lý 1.9 Cho I iđêan vành R Khi I = m iđêan cực đại I iđêan m−nguyên sơ Chứng minh Nếu ab ∈ I a ∈ / I m + Ra iđêan thực chứa iđêan cực đại m Vậy m + Ra = R tồn x ∈ m r ∈ R cho x + = Vì x ∈ m nên tồn số nguyên dương n cho xn ∈ I Ta có √ b = b1 = b(x + ra)n = b(xn + sa) = bxn + abs ∈ I ⊂ I = m với s ∈ R Vậy I iđêan m−nguyên sơ Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vành Noether Định nghĩa 2.1 Một vành R gọi Noether dãy tăng iđêan R có dạng I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · bị dừng, nghĩa tồn số nguyên dương n cho Ik = In với k ≥ n Định lý 2.2 Một vành R Noether tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại Chứng minh Giả sử tập khác rỗng iđêan R Ta chọn I1 ∈ Nếu I1 không cực đại chọn I2 ∈ cho I1 ⊂ I2 Nếu I2 khơng cực đại chọn I3 ∈ cho I1 ⊂ I2 ⊂ I3 Tiếp tục q trình sau hữu hạn bước ta có phần tử cực đại In ∈ Vậy có phần tử cực đại Đảo lại, giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · dãy tăng iđêan R Theo giả thiết tập = {Ii | i ≥ 1} có phần tử cực đại In Với k ≥ n, ta có In ⊂ Ik In ⊂ Ik tính cực đại Ik = In với k ≥ n Vậy R vành Noether Định lý 2.3 Một vành R Noether iđêan R hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử I iđêan tùy ý R Gọi tập tất iđêan hữu hạn sinh R chứa I Ta có ∈ nên tồn phần tử cực đại J ∈ Gọi a1 , a2 , , am phần tử sinh J Với b ∈ I, ta gọi Kb iđêan sinh b, a1 , a2 , , am Khi Kb ∈ J ⊂ Kb Từ tính cực đại J, ta có J = Kb với b ∈ I suy I ⊂ J Do cách xây dựng tập nên J ⊂ I Vậy I = J = Kb iđêan hữu hạn sinh R Đảo lại, giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · dãy tăng iđêan R Dễ dàng kiểm tra k≥1 Ii iđêan R Theo giả thiết, k≥1 Ii iđêan hữu hạn sinh Gọi a1 , a2 , , am phần tử sinh iđêan Vì ak ∈ Ij nên tồn số nguyên dương n cho ak ∈ In với k k≥1 Ik ⊂ In Từ suy Ik = In với k ≥ n Vậy R vành Noether Định lý 2.4 Ảnh đồng cấu vành Noether vành Noether Chứng minh Giả sử R vành Noether σ : R −→ T toàn cấu vành Ta chứng minh T vành Noether Thật vậy, giả sử J iđêan T Khi ta có σ −1 (J) iđêan R Do R vành Noether nên σ −1 (J) iđêan hữu hạn sinh Gọi a1 , a2 , , am phần tử sinh σ −1 (J) Với b ∈ J tồn a ∈ R cho b = σ(a) kéo theo a ∈ σ −1 (J) Do tồn ri ∈ R để m a = m i=1 ri suy b = σ(a) = i=1 σ(ri )σ(ai ) Vậy J iđêan sinh phần tử σ(a1 ), σ(a2 ), , σ(am ) T vành Noether Hệ 2.5 Vành thương vành Noether vành Noether Chứng minh Giả sử I iđêan vành Noether R Xét tồn cấu tắc π : R −→ R/I Theo Định lý 2.4, R/I vành Noether Định lý 2.6 Giả sử R vành Noether S tập đóng nhân R Khi vành thương S −1 R vành Noether Chứng minh Gọi J iđêan S −1 R Khi tồn iđêan I R Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường rỗng Mệnh đề 3.4, Chương Gọi p iđêan nguyên tố liên kết M cho dim M = Coht(p) = dim R/p Theo Mệnh đề 3.2, Chương 2, ta có đơn cấu từ R/p vào M nên R/p ∼ = N , với N môđun M Theo Hệ 4.10, Chương 3, ta có d(R/p) = d(N ) ≤ d(M ) Như vậy, để kết thúc việc chứng minh dim M ≤ d(M ) ta cần chứng minh dim R/p ≤ d(R/p) Thật vậy, xét xích iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ p2 ⊂ · · · ⊂ pt Khi ta có t ≤ d(R/p) Ta chứng minh nhận định quy nạp theo t Nếu t = R/p khác vành khơng d(R/p) ≥ Vậy kết với t = Giả sử t ≥ kết với trường hợp nhỏ t − Chọn a ∈ p1 −p xét iđêan nguyên tố Q ∈ AssR (R/p+Ra) cho Ra+p ⊂ Q ⊂ p1 Ta nhận xích iđêan ngun tố có độ dài t − 1: Q ⊂ p2 ⊂ · · · ⊂ pt Theo giả thiết quy nạp ta có t − ≤ d(R/Q) Vì R/Q đẳng cấu với môđun R/(Ra+p) nên d(R/Q) ≤ d(R/(Ra+p)) Từ ta suy t−1 ≤ d(R/(Ra+p)) Xét dãy khớp ngắn λ a −→ R/p −→ R/p −→ R/(Ra + p) −→ λa đồng cấu nhân a Theo Định lý 4.8, Chương Pm (R/p, n) + Pm (R/(Ra + p), n) = Pm (R/p, n) + r(n) r(n) hàm đa thức có bậc nhỏ d(R/p) Ta có t − ≤ d(R/(Ra + p)) = deg Pm (R/(Ra + p), n) = deg r(n) < d(R/p) Do t ≤ d(R/p) Vậy dim R/p ≤ d(R/p) dim M ≤ d(M ) d(M ) ≤ δ(M ) Nếu M môđun không d(M ) = −1 δ(M ) = −1 Do d(M ) ≤ δ(M ) Nếu M khác môđun không δ(M ) = r ≥ Khi tồn a1 , a2 , , ar ∈ m để lR (M/(a1 , a2 , , ar )M ) hữu hạn Đặt I = (a1 , a2 , , ar ), p = Ann(M ) Q = I + p Chú ý M/IM ∼ = M ⊗R R/I Do {m} = Supp(M/IM ) = Supp(M ⊗R R/I) = Supp(M ) ∩ Supp(R/I) Vậy Supp(R/Q) = {m} AssR (R/Q) = {m} Điều dẫn đến Q iđêan m−nguyên sơ Q iđêan xác định R Đặt R = R/p Q = Q/p Khi ta có M R−môđun, R vành địa phương Noether, Q iđêan xác định R Q = (¯ a1 , a ¯2 , , a ¯r ) với a ¯i = +p Do deg PQ (M, n) ≤ r n n Mặt khác, ta có lR (M/Q M ) = lR (M/Q M ) PQ (M, n) = PQ (M, n) Vậy d(M ) = deg PQ (M, n) = deg PQ (M, n) ≤ r = δ(M ) Ths Lê Văn Chua 43 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường δ(M ) ≤ dim M Nếu dim M = −1 M mơđun khơng δ(M ) = −1 Giả sử M khác mơđun khơng Nếu dim M = lR (M ) hữu hạn δ(M ) = Bây giờ, giả sử dim M > Gọi p1 , p2 , , pt iđêan nguyên tố liên kết M cho Coht(pi ) = dim M với i = 1, 2, , t Vì dim M > nên pi ⊂ m với i m ∪ti=1 pi Chọn a ∈ m mà a ∈ / ∪ti=1 pi đặt N = M/aM Khi ta có Supp(N ) ⊂ Supp(M ) − {p1 , p2 , , pt } Do dim N < dim M Nếu δ(N ) = −1 M = aM theo Bổ đề Nakayama ta có M mơđun khơng Điều dẫn đến mâu thuẫn với điều giả sử dim M > Vậy ta phải có δ(N ) = r ≥ Khi tồn a1 , a2 , , ar ∈ m cho lR (N/(a1 , a2 , , ar )N ) hữu hạn Chú ý M/(a, a1 , a2 , , ar )M ∼ = N/(a1 , a2 , , ar )N Vậy lR (M/(a, a1 , a2 , , ar )M ) hữu hạn δ(M ) ≤ r + Theo giả thiết quy nạp δ(N ) ≤ dim N Vậy δ(M ) ≤ r + = δ(N ) + ≤ dim N + ≤ dim M Hệ 1.8 Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi dim M hữu hạn Đặc biệt dim R hữu hạn dim R = số phần tử sinh cực tiểu iđêan xác định R Chứng minh Ta có dim M = d(M ) hữu hạn Nếu I iđêan xác định vành R R/I vành Artin lR (R/I) hữu hạn Gọi a1 , a2 , , ar số phần tử sinh cực tiểu I Khi lR (R/I) = lR (R/(a1 , a2 , , ar )) hữu hạn Vậy dim R = δ(R) = r Hệ 1.9 Giả sử R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m trường thặng dư K = R/m Khi dim R ≤ dimK (m/m2 ) Chứng minh Giả sử a1 , a2 , , ar ∈ m cho a ¯1 , a ¯2 , , a ¯r lập thành sở không gian véc tơ m/m trường K Khi m = (a1 , a2 , , ar ) iđêan xác định R Theo Hệ 1.8, dim R ≤ r = dimK (m/m2 ) Hệ 1.10 Giả sử p iđêan nguyên tố vành Noether R Khi khẳng định sau tương đương ht(p) ≤ n Tồn iđêan I R sinh n phần tử cho p iđêan nguyên tố cực tiểu I Chứng minh Giả sử I iđêan R sinh n phần tử cho p iđêan nguyên tố cực tiểu I Khi Ip iđêan xác định vành địa phương Noether Rp sinh n phần tử Do ht(p) = dim Rp ≤ n Hệ 1.8 Đảo lại, giả sử ht(p) = dim Rp ≤ n Theo Hệ 1.8, có iđêan xác định J Rp sinh n phần tử a1 /s, a2 /s, , an /s với s ∈ R − p Khi phần tử a1 , a2 , , an phải thuộc p Đặt I = (a1 , a2 , , an ) thỏa mãn Ths Lê Văn Chua 44 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Hệ 1.11 (Định lý iđêan Krull) Giả sử a phần tử khác không vành Noether R Khi a khơng khả nghịch khơng ước khơng iđêan ngun tố cực tiểu iđêan (a) có chiều cao Chứng minh Giả sử p iđêan nguyên tố cực tiểu (a) Theo Hệ 1.10, ta có ht(p) ≤ Nếu ht(p) = dim Rp = Rp khác khơng p ∈ Supp(R) Theo Định lý 4.12, Chương 2, ta có p ∈ AssR (R) điều dẫn đến a ước không (mâu thuẫn) Do htp = Hệ 1.12 Giả sử R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m Khi a ∈ m khơng ước khơng dim R/(a) = dim R − Chứng minh Nếu dim R = m gồm phần tử ước không Điều dẫn đến mâu thuẫn với a ∈ m không ước khơng Vậy ta phải có dim R > Như chứng minh phần định lý lý thuyết chiều, lấy M = R N = R/(a) ta dim R/(a) < dim R Do dim R/(a) ≤ dim R − Giả sử dim R/(a) = r a1 , a2 , , ar ∈ m cho a ¯1 , a ¯2 , , a ¯r tương ứng ảnh a1 , a2 , , ar R/(a) làm cho (¯ a1 , a ¯2 , , a ¯r ) trở thành iđêan m/(a)−nguyên sơ vành R/(a) Khi (a, a1 , a2 , , ar ) iđêan m−nguyên sơ vành R Theo Hệ 1.8, ta có dim R ≤ + r = + dim R/(a) Vậy dim R/(a) = dim R − Hệ 1.13 Nếu p iđêan nguyên tố vành Noether R a ∈ p không ước không ht(p/(a)) = ht(p) − Chứng minh Áp dụng Hệ 1.12 cho vành địa phương Noether Rp Hệ 1.14 Nếu K trường dim K[x1 , x2 , , xn ] = n Chứng minh Vì (x1 , x2 , , xn ) iđêan cực đại vành địa phương Noether K[x1 , x2 , , xn ] nên dimK[x1 , x2 , , xn ] ≤ n Mặt khác ta có {0} ⊂ (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ · · · ⊂ (x1 , x2 , , xn ) xích iđêan nguyên tố có độ dài n dim K[x1 , x2 , , xn ] ≥ n Vậy dim K[x1 , x2 , , xn ] = n Độ sâu môđun Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m M môđun hữu hạn sinh chiều n R Khi tồn phần tử a1 , a2 , , an ∈ m cho R−môđun thương M/(a1 , a2 , , an )M có độ dài hữu hạn định lý lý thuyết chiều Định nghĩa 2.1 Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m M môđun hữu hạn sinh chiều n R Một tập phần tử a1 , a2 , , an ∈ m cho R−môđun thương M/(a1 , a2 , , an )M có độ dài hữu hạn gọi hệ tham số M Ví dụ Ths Lê Văn Chua 45 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Cho R vành địa phương Noether chiều d a1 , a2 , , ad tập sinh iđêan xác định R Khi a1 , a2 , , ad hệ tham số R Tập phần tử x1 , x2 , , xn hệ tham số vành R = K[[x1 , x2 , , xn ]] với K trường Định lý 2.2 Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m M môđun hữu hạn sinh chiều n R Khi a1 , a2 , , ar phần tử tùy ý thuộc m dim M/(a1 , a2 , , ar )M ≥ n − r Hơn dim M/(a1 , a2 , , ar )M = n − r a1 , a2 , , ar phần hệ tham số M Chứng minh Trước hết ta ý rằng: Nếu I J iđêan R N = M/IM hợp thành ánh xạ M −→ M/IM = N −→ N/JN toàn cấu với hạt nhân (I + J)M M/(I + J)M ∼ = N/JN Đặc biệt, lấy I = (a1 , a2 , , ai−1 ) J = (ai ) M/(a1 , a2 , , )M ∼ = N/ai N với N = M/(a1 , a2 , , ai−1 )M Bây giờ, ta chứng minh định lý phép quy nạp theo r Với r = 1, đặt N = M/a1 M Chọn b1 , b2 , , bk ∈ m cho N/(b1 , b2 , , bk )N có độ dài hữu hạn với số k nhỏ Vì N/(b1 , b2 , , bk )N ∼ = M/(a1 , b1 , b2 , , bk )M nên M/(a1 , b1 , b2 , , bk ) có độ dài hữu hạn Do chiều Chevalley mơđun M khơng vượt q k + 1, nghĩa δ(M ) ≤ k + = δ(M/a1 M ) + Từ suy δ(M/a1 M ) ≥ δ(M ) − hay dim M/a1 M ≥ dim M − Với r > giả sử bất đẳng thức với giá trị nhỏ r Ta có dim M/(a1 , a2 , , ar )M = dim N/ar N với N = M/(a1 , a2 , , ar−1 )M Theo giả thiết quy nạp, dim N ≥ dim M − (r − 1) Do dim M/(a1 , a2 , , ar )M = dim N/ar N ≥ dim N − ≥ dim M − (r − 1) − = dim M − r Nếu dimM/(a1 , a2 , , ar )M = n − r ta chọn ar+1 , ar+2 , , an hệ tham số môđun N = M/(a1 , a2 , , ar )M Vì N/(ar+1 , ar+2 , , an )N ∼ = M/(a1 , a2 , , an )M nên M/(a1 , a2 , , an )M có độ dài hữu hạn Do a1 , a2 , , an hệ tham số M Đảo lại, a1 , a2 , , ar phần hệ tham số tồn phần tử ar+1 , ar+2 , , an cho a1 , a2 , , an hệ tham số M Đặt N = M/(a1 , a2 , , ar )M Khi N có độ dài hữu hạn dim N ≤ n − r Mặt khác, theo khẳng định chứng minh dim N ≥ n − t Vậy dim M/(a1 , a2 , , ar )M = dim N = n − r Ths Lê Văn Chua 46 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Hệ 2.3 Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m a1 , a2 , , ar ∈ m phần hệ tham số R cho iđêan I = (a1 , a2 , , ar ) có độ cao r Khi ht(I) + Coht(I) = dim R Chứng minh Theo Định lý 2.2, ta có dim R/I = dim R − r Định nghĩa 2.4 Cho M R−môđun Một dãy thứ tự phần tử khác không a1 , a2 , , an R gọi dãy qui (cịn gọi M −dãy qui hay M −dãy) điều kiện sau thỏa mãn (a1 , a2 , , an )M = M không ước không M/(a1 , a2 , , ai−1 )M Chú ý Với i = điều kiện có nghĩa a1 khơng ước khơng M Ví dụ x1 , x2 , , xn R−dãy vành R = K[x1 , x2 , , xn ] với K trường x, y(1 − x), z(1 − x) R−dãy vành R = K[x, y, z] với K trường Định lý 2.5 Cho M R−môđun a1 , a2 , , an phần tử khác khơng R Khi a1 , a2 , , an M −dãy a1 , a2 , , M −dãy ai+1 , ai+2 , , an M/(a1 , a2 , , )M −dãy với i = 1, 2, , n Chứng minh Nếu a1 , a2 , , an M −dãy a1 , a2 , , M −dãy ai+1 không ước không N = M/(a1 , a2 , , )M , ai+2 không ước không M/(a1 , a2 , , ai+1 )M ∼ = N/ai+1 N , tiếp tục ai+3 không ước không M/(a1 , a2 , , ai+1 , ai+2 )M ∼ = N/(ai+1 , ai+2 )N Điều dẫn đến ai+1 , ai+2 , ai+3 N −dãy Tiếp tục lập luận ta ai+1 , ai+2 , , an N −dãy Đảo lại hiển nhiên Định lý 2.6 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi a1 , a2 , , ar ∈ R M −dãy a1 , a2 , , ar phần hệ tham số M Chứng minh Chứng minh quy nạp theo r Nếu r = a1 không ước không M dim M/a1 M = dim M − Theo Định lý 2.2, {a1 } phần hệ tham số M Giả sử r > a1 , a2 , , ar−1 phần hệ tham số M Khi dim M/(a1 , a2 , , ar−1 )M = dim M − (r − 1) Vì ar khơng ước khơng N = M/(a1 , a2 , , ar−1 )M nên dim N/ar N = dim N − Nhớ lại N/ar N ∼ = M/(a1 , a2 , , ar )M Do dim M/(a1 , a2 , , ar )M = dim N/ar N = dim N −1 = dim M −r Vậy a1 , a2 , , ar phần hệ tham số M Định lý 2.2 Hệ 2.7 Mọi R−dãy vành địa phương Noether R phần hệ tham số R Hoán vị phần tử R−dãy nói chung chưa R−dãy Chẳng hạn, x, y(1−x), z(1−x) R−dãy vành đa thức R = K[x, y, z], y(1−x), z(1−x), x Ths Lê Văn Chua 47 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường không R−dãy Tuy nhiên, phần tử R−dãy thuộc vào Jacobson J(R) hốn vị R−dãy lại R−dãy Điều thể định lý sau Định lý 2.8 Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R a1 , a2 , , an thuộc J(R) M −dãy Khi hốn vị phần tử a1 , a2 , , an M −dãy Chứng minh Ta cần chứng minh mệnh đề sau: Nếu a1 , a2 M − dãy a2 , a1 M −dãy Trước hết ta chứng minh a1 không ước không M/a2 M Nếu x¯ ∈ M/a2 M a1 x¯ = a1 x ∈ a2 M Chọn y ∈ M cho a1 x = a2 y Vì a2 khơng ước khơng M/a1 M nên y ∈ a1 M Vậy tồn z ∈ M để y = a1 z a1 x = a2 y = a2 a1 z Vì a1 khơng ước khơng M nên x = a2 z suy x¯ = Tiếp theo ta chứng minh a2 không ước không M Xét môđun N = {x ∈ M | a2 x = 0} M Nếu x ∈ N a2 x = Vì a2 không ước không M/a1 M nên x ∈ a1 M Khi tồn y ∈ M cho x = a1 y kéo theo a1 a2 y = a2 x = Do a1 không ước không M nên a2 y = suy y ∈ N x = a1 y ∈ a1 N Vậy N ⊂ a1 N Đương nhiên a1 N ⊂ N Do N = a1 N Vì a1 ∈ J(R) nên N = Bổ đề Nakayama Vậy a2 không ước không M Hệ 2.9 Nếu M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R hốn vị M -dãy M −dãy Chứng minh Nếu a1 , a2 , , an M −dãy khơng khả nghịch a1 , a2 , , an thuộc vào iđêan cực đại m = J(R) Do hốn vị a1 , a2 , , an M −dãy Định lý 2.8 Cuối phần này, ta nghiên cứu M −dãy cực đại chứa iđêan I vành Noether R cho IM = M Kết thu là: Hai M −dãy cực đại chứa iđêan I có độ dài Để rõ kết này, trước hết ta cần số bổ đề sau Bổ đề 2.10 Cho M N R−môđun Giả sử a1 , a2 , , an M −dãy Khi Nếu an ∈ Ann(N ) có đồng cấu σ : N −→ M/(a1 , a2 , , an−1 )M đồng cấu không Nếu a1 , a2 , , an ∈ Ann(N ) ExtnR (N, M ) ∼ = HomR (N, M/(a1 , a2 , , an )M ) Chứng minh Nếu x phần tử tùy ý thuộc N an σ(x) = σ(an x) = σ(0) = Vì an khơng ước không M/(a1 , a2 , , an−1 )M nên σ(x) = với x ∈ N Vậy σ đồng cấu không λa Xét M −→ M đồng cấu nhân a1 cho M Khi ta nhận dãy khớp ngắn λa −→ M −→ M −→ M/a1 M −→ Từ dãy khớp ta nhận tiếp dãy khớp σ σa n−1 n n Extn−1 R (N, M ) −→ ExtR (N, M/a1 M ) −→ ExtR (N, M ) −→ ExtR (N, M ) Vì a1 ∈ Ann(N ) nên σa1 đồng cấu khơng σ toàn cấu Theo ∼ giả thiết quy nạp, Extn−1 R (N, M ) = HomR (N, M/(a1 , a2 , , an−1 )M ) = Vậy σ Ths Lê Văn Chua 48 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường n ∼ đẳng cấu Nếu đặt M = M/a1 M Extn−1 R (N, M ) = ExtR (N, M ) Lại sử dụng giả thiết quy nạp, ta có ∼ Extn−1 R (N, M ) = HomR (N, M /(a2 , a3 , , an )M ) = HomR (N, M/(a1 , a2 , , an )M ) Vậy ExtnR (N, M ) ∼ = HomR (N, M/(a1 , a2 , , an )M ) Bổ đề 2.11 Cho M R−môđun I iđêan R Khi HomR (R/I, M ) = I ⊂ ∪{p | p ∈ AssR (M )} Chứng minh Nếu HomR (R/I, M ) khác khơng tồn đồng cấu khác không τ : R/I −→ M Khi τ (1 + I) = x khác khơng M Ta có p = Ann(x) iđêan liên kết M Nếu a ∈ I = τ (0) = τ (a + I) = aτ (1 + I) = ax a ∈ p Vậy I ⊂ {p | p ∈ AssR (M )} Đảo lại, I ⊂ p với p iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử khác không x ∈ M cho I ⊂ p = Ann(x) Xét tương ứng σ : R/I −→ M cho σ(a + I) = ax Dễ dàng chứng minh σ đồng cấu khác đồng cấu không Vậy HomR (R/I, M ) = Định lý 2.12 Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R I iđêan R cho IM = M Khi hai M −dãy cực đại I có độ dài Chứng minh Gọi a1 , a2 , , an phần tử sinh iđêan I N = R/I Theo Bổ đề 2.10, ta có ExtnR (R/I, M ) ∼ = HomR (R/I, M/(a1 , a2 , , an )M ) Khi ExtnR (R/I, M ) = I không chứa hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M/(a1 , a2 , , an )M Bổ đề 2.11 Nếu a1 , a2 , , an M −dãy I ExtnR (R/I, M ) = a1 , a2 , , an không dãy cực đại I Do số nguyên n nhỏ cho ExtnR (R/I, M ) = số phần tử M −dãy cực đại I Định nghĩa 2.13 Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R I iđêan R cho IM = M Số phần tử M −dãy cực đại chứa I kí hiệu depthI (M ) Nếu R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m depthm (M ) gọi độ sâu môđun M kí hiệu depth(M ) Định lý 2.14 Nếu M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R depth(M ) ≤ dim M Chứng minh Nếu depth(M ) = n a1 , a2 , , an M −dãy cực đại iđêan cực đại m a1 , a2 , , an phần hệ tham số M Định lý 2.6 Do dim M ≥ n = depth(M ) Ths Lê Văn Chua 49 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vành Cohen-Macaulay Định nghĩa 3.1 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Ta nói M mơđun Cohen-Macaulay (C.M.) depth(M ) = dim M Vành R gọi vành Cohen-Macaulay thân R−mơđun Cohen-Macaulay Ví dụ Mọi vành địa phương Artin vành Cohen-Macaulay Mọi miền nguyên địa phương Noether chiều vành Cohen-Macaulay Vành R = K[[x1 , x2 , , xn ]] vành Cohen-Macaulay Định lý 3.2 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi depth(M ) ≤ dim R/p với p ∈ AssR (M ) Chứng minh Gọi m iđêan cực đại R Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau: Nếu a ∈ m p ∈ AssR (M ) tồn Q ∈ AssR (M/aM ) cho Q ⊃ p + Ra Thật vậy, p ∈ AssR (M ) nên HomR (R/p, M ) khác không Bây giờ, xét dãy khớp ngắn λ a −→ M −→ M −→ M/aM −→ λa đồng cấu nhân a cho M Khi ta nhận dãy khớp λ∗ a −→ HomR (R/p, M ) −→ HomR (R/p, M ) −→ HomR (R/p, M/aM ) Nếu HomR (R/p, M/aM ) = HomR (R/p, M ) ∼ = HomR (R/p, M ) aHomR (R/p, M ) = HomR (R/p, M ) Theo Bổ đề Nakayama, ta có HomR (R/p, M ) = Điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy HomR (R/(p + Ra), M/aM ) = HomR (R/p, M/aM ) = Khi tồn Q ∈ AssR (M/aM ) cho Q ⊃ p + Ra = I Bởi vì, I không chứa hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M/aM tồn b ∈ I cho {b} M/aM −dãy Từ suy HomR (R/I, M/aM ) = (mâu thuẫn) Ta chứng minh định lý phép quy nạp theo chiều dim R/p Nếu dim R/p = m = p ∈ AssR (M ) depth(M ) = Giả sử dim R/p > chọn a ∈ m cho a không ước không M Theo chứng minh trên, tồn Q ∈ AssR (M/aM ) cho Q ⊃ p + Ra Chú ý dim R/Q < dim R/p Theo giả thiết quy nạp, ta có depth(M/aM ) ≤ dim R/Q Từ suy depth(M/aM ) < dim R/p Do depth(M ) = + depth(M/aM ) ≤ dim R/p Hệ 3.3 Nếu M R−mơđun C.M depth(M ) = dim R/p = dim M với p ∈ AssR (M ) Ths Lê Văn Chua 50 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh Vì p ⊃ Ann(M ) nên dim R/p ≤ dim R/Ann(M ) Do M R−môđun C.M nên depth(M ) ≤ dim R/p ≤ dim R/Ann(M ) = dim M = depth(M ) Vậy depth(M ) = dim R/p = dim M với p ∈ AssR (M ) Hệ 3.4 Nếu M R−môđun C.M p ∈ AssR (M ) cực tiểu Chứng minh Nếu p ⊃ Q ∈ AssR (M ) dim R/p = dim M = dim R/Q kéo theo p = Q Vậy p cực tiểu tập AssR (M ) Mệnh đề 3.5 Cho M R−mơđun C.M a ∈ m Khi {a} M −dãy dim M/aM = dim M − Trong trường hợp này, M/aM R−môđun C.M Chứng minh Nếu {a} M −dãy {a} phần hệ tham số M dim M/aM = dim M − Định lý 2.2 Đảo lại, {a} khơng M −dãy tồn p ∈ AssR (M ) để a ∈ p dim M = dim R/p Hệ 3.3 Nếu p ∈ Supp(M/aM ) dim M/aM ≥ dim M (mâu thuẫn) Vậy p ∈ / Supp(M/aM ) Chú ý M/aM ∼ = M ⊗ R/(a) Do Supp(M/aM ) = Supp(M ) ∩ Supp(R/(a)) Vì p ∈ Supp(M ) nên p ∈ / Supp(R/(a)) Vậy a ∈ / p điều dẫn đến mâu thuẫn Do {a} M −dãy Nếu M R−môđun C.M dim M/aM = dim M − depth(M/aM ) = depth(M ) − = dim M − = dim M/aM Vậy M/aM R−môđun C.M Định lý 3.6 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi M môđun C.M hệ tham số M M −dãy Chứng minh Nếu dim M = n a1 , a2 , , an hệ tham số M a1 , a2 , , an M −dãy Do depth(M ) ≥ n = dim M Theo Định lý 2.14, ta có depth(M ) ≤ dim M Vậy depth(M ) = dim M M môđun C.M Đảo lại, giả sử a1 , a2 , , an hệ tham số M Ta chứng minh quy nạp theo r a1 , a2 , , ar M −dãy M/(a1 , a2 , , ar )M môđun C.M Vì M mơđun C.M nên định lý với k = Giả sử a1 , a2 , , ar−1 M −dãy M/(a1 , a2 , , ar−1 )M = N môđun C.M Chú ý N/ar N ∼ = M/(a1 , a2 , , ar )M Do dim N/ar N = dim M − r dim N = dim M − (r − 1) Từ suy dim N/ar N = dim N − {ar } N −dãy Vậy ar không ước không N a1 , a2 , , ar M −dãy Mệnh đề 3.5 Lại theo Mệnh đề 3.5, ta có N/ar N môđun C.M suy M/(a1 , a2 , , ar )M môđun C.M Hệ 3.7 Nếu M R−môđun C.M chiều n a1 , a2 , , ar phần hệ tham số M M/(a1 , a2 , , ar )M R−môđun C.M chiều n − r Hệ 3.8 Nếu M R−mơđun C.M M −dãy cực đại hệ tham số M Ths Lê Văn Chua 51 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh Nếu a1 , a2 , , ar M −dãy cực đại a1 , a2 , , ar phần hệ tham số M Ta có r = depth(M ) = dim M nên a1 , a2 , , ar hệ tham số M Định lý 3.9 Nếu M R−môđun C.M p iđêan nguyên tố R Mp Rp −môđun C.M Chứng minh Nếu p không chứa Ann(M ) Mp = Do ta giả sử p ⊃ Ann(M ) Khi dim Mp = ht(p/Ann(M )) depth(Mp ) = depthp (M ) Bây giờ, ta chứng minh định lý phép quy nạp theo depthp (M ) Nếu depthp (M ) = tồn Q ∈ AssR (M ) cho p ⊂ Q Vì M mơđun C.M nên Q phần tử cực tiểu tập AssR (M ) p = Q Từ dẫn đến dim Mp = ht(p/Ann(M )) = Vậy depth(Mp ) = dim Mp Mp Rp −mơđun C.M Nếu depthp (M ) > chọn phần tử a ∈ p không ước không M Đặt N = M/aM Khi ta có dim Np = dim Mp /aMp = dim Mp − depth(Np ) = depth(Mp ) − < depth(Mp ) Vì N R−mơđun C.M nên theo giả thiết quy nạp Np Rp −mơđun C.M depth(Np ) = dim Np Từ suy depth(Mp ) = dim Mp Vậy Mp Rp −môđun C.M Hệ 3.10 Nếu R vành C.M p iđêan nguyên tố R Rp vành C.M Chứng minh Lấy M = R Định lý 3.8 Định lý 3.11 Cho R vành C.M I iđêan thực R Khi ht(I) + Coht(I) = dim R Chứng minh Nếu p iđêan R có độ cao r Rp vành M.C chiều r Do tồn R−dãy a1 , a2 , , ar ∈ p Đặt J = (a1 , a2 , , ar ) Vì ht(p/J) = ht(p) − r = nên p iđêan nguyên tố cực tiểu J Do dim R/p = depth(R/J) Vậy Coht(p) = dim R/p = dim R − r = dim R − ht(p) hay ht(p) + Coht(p) = dim R Bây giờ, I iđêan thực R có độ cao r ta chọn iđêan nguyên tố p cho ht(p) = r Khi ht(I) + Coht(I) = ht(p) + Coht(I) ≥ ht(p) + Coht(p) = R Vậy ht(I) + Coht(I) = dim R Ths Lê Văn Chua 52 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vành địa phương quy Giả sử R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m, trường thặng dư K = R/m dimR = d Theo định lý lý thuyết chiều, m có d phần tử sinh Định nghĩa 4.1 Giả sử R vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực đại m Ta nói R vành địa phương quy m sinh tập có d phần tử Nếu R vành địa phương quy chiều d tập sinh gồm d phần tử sinh m gọi hệ tham số quy R Ví dụ Nếu dim R = R vành địa phương quy R trường Nếu K trường vành R = K[[x1 , x2 , , xn ]] vành địa phương quy chiều n {x1 , x2 , , xn } hệ tham số quy R m = (x1 , x2 , , xn ) iđêan cực đại R Định lý 4.2 Cho R vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực đại m trường thặng dư K = R/m Khi điều kiện sau đương đương: R vành địa phương quy grm (R) ∼ = K[x1 , x2 , , xd ] dimK (m/m2 ) = d Chứng minh ⇒ Giả sử a1 , a2 , , ad hệ tham số quy R Khi ánh xạ ϕ : K[x1 , x2 , , xd ] −→ grm (R) cho ϕ(xi ) = + m2 (1 ≤ i ≤ d) đồng cấu Theo Định lý 4.11, Chương 3, ϕ đẳng cấu deg Pm (R, n) = dim R = d ⇒ Giả sử m sinh hệ cực tiểu gồm n phần tử b1 , b2 , , bn Theo Bổ đề NaKayama, ta có ¯b1 , ¯b2 , , ¯bn sở không gian véc tơ m/m2 trường K dim R = n Ta có grm (R) = K[¯b1 , ¯b2 , , ¯bn ] ∼ = K[x1 , x2 , , xd ] Vậy n = d dimK (m/m2 ) = d ⇒ Giả sử dimK (m/m2 ) = dim R = d c1 , c2 , , cd ∈ m cho c¯1 , c¯2 , , c¯d sở không gian véc tơ m/m2 trường K Khi m = (c1 , c2 , , cd ) + m2 m = (c1 , c2 , , cd ) Vậy R vành địa phương quy Định lý 4.3 Mọi vành địa phương quy miền nguyên Chứng minh Giả sử R vành địa phương quy Theo Định lý 4.2, ta có grm (R) ∼ = K[x1 , x2 , , xd ] grm (R) miền nguyên Theo Định lý giao Krull, n ∩∞ m = Bây giờ, giả sử a b phần tử khác khơng R Khi tồn n=0 Ths Lê Văn Chua 53 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường số nguyên không âm m n cho a ∈ mm − mm+1 b ∈ mn − mn+1 Gọi a ¯ ảnh m m+1 n n+1 ¯ ¯ a m /m b ảnh b m /m Ta có a ¯ b phần tử khác không miền nguyên grm (R) a ¯¯b khác khơng grm (R) Vì a ¯¯b = ab ảnh ab mm+n /mm+n+1 Từ suy ab khác không R Vậy R miền nguyên Định lý 4.4 Giả sử R vành địa phương quy chiều d a1 , a2 , , at ∈ m với ≤ t ≤ d Khi điều kiện sau tương đương a1 , a2 , , at phần hệ tham số quy R a ¯1 , a ¯2 , , at độc lập tuyến tính K, a ¯i = + m2 Vành thương R/(a1 , a2 , , at ) vành địa phương quy chiều d − t Chứng minh ⇔ Các phần tử a1 , a2 , , at phần hệ tham số quy a1 , a2 , , ad a ¯1 , a ¯2 , , a ¯t phần sở a ¯1 , a ¯2 , , a ¯d không gian véc tơ m/m2 trường K Điều tương đương với a ¯1 , a ¯2 , , a ¯t độc lập tuyến tính K ⇒ Đặt R = R/(a1 , a2 , , at ) m = m/(a1 , a2 , , at ) Giả sử a1 , a2 , , at , at+1 , , ad hệ tham số quy R Khi dim R = d − t a ¯t+1 , a ¯t+2 , , a ¯d sinh iđêan m Vậy R vành địa phương quy chiều d − t ⇒ Giả sử at+1 , at+2 , , ad phần tử m cho a ¯t+1 , a ¯t+2 , , a ¯d ∈ m hệ tham số quy R Nếu x ∈ m x¯ ∈ m Khi tồn ct+1 , ct+2 , , cd ∈ R cho x − (ct+1 at+1 + · · · + cd ad ) ∈ (a1 , a2 , , at ) Do tồn c1 , c2 , , ct ∈ R để x = c a1 + c a2 + · · · + c d ad Vậy a1 , a2 , , ad sinh m Vì R vành địa phương quy nên a1 , a2 , , ad hệ tham số quy Do a1 , a2 , , at phần hệ tham số quy R Định lý 4.5 Giả sử R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m Khi R vành địa phương quy m sinh R−dãy Chứng minh Giả sử R vành địa phương quy a1 , a2 , , ad hệ tham số quy Với t (0 ≤ t ≤ d), ta có R = R/(a1 , a2 , , at ) vành địa phương quy chiều d − t với iđêan cực đại m = m/(a1 , a2 , , at ) a ¯t+1 , a ¯t+2 , , a ¯d hệ tham số quy R Vì R miền ngun nên a ¯t+1 khác khơng không ước không vành R, nghĩa at+1 không ước không R/(a1 , a2 , , at ) với t = 0, 1, , d Do a1 , a2 , , ad R−dãy Đảo lại m sinh R−dãy a1 , a2 , , ad dim R/m = dim R/(a1 , a2 , , ad ) = dim R − d Vì R/m trường nên dim R/m = suy dim R = d Vậy R vành địa phương quy Ths Lê Văn Chua 54 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Định lý 4.6 Mọi vành địa phương quy vành Cohen-Macaulay Chứng minh Giả sử R vành địa phương quy chiều d với iđêan cực đại m Khi m sinh R−dãy a1 , a2 , , ad Theo định nghĩa độ sâu, ta có d ≤ depth(R) hay dim R ≤ depth(R) Theo Định lý 2.14, dim R ≥ depth(R) Vậy depth(R) = dim R R vành Cohen-Macaulay Ths Lê Văn Chua 55 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường KẾT LUẬN Đề tài đạt kết định số vấn đề lý thuyết chiều Trước hết thống bất biến môđun: chiều Krull, chiều Chevalley bậc đa thức Hilbert-Samuel Sự thống dẫn đến số kết sau: chiều Krull vành R nhỏ chiều không gian véc tơ m/m2 trường thăng dư K = R/m (Hệ 1.9, Chương 4); chiều Krull vành đa thức n biến K[x1 , x2 , , xn ] n (Hệ 1.14, Chương 4) Bện cạnh việc nghiên cứu chiều Krull mơđun vành, tơi cịn nghiên cứu độ sâu chúng Từ nhận kết là: Độ sâu môđun nhỏ chiều Krull (Định lý 2.14, Chương 4) Trong trường hợp độ sâu trùng với chiều Krull ta cấu trúc mơđun Cohen-Macaulay (C.M) đặc biệt vành Cohen-Macaulay Môđun vành Cohen-Macaulay có đặc trưng sau: hệ tham số dãy quy (Định lý 3.6, Chương 4); Dãy quy cực đại hệ tham số (Hệ 3.8, Chương 4); với I iđêan thực R, ta ln có ht(I) + Coht(I) = dim R (Định lý 3.11, Chương 4) Một cấu trúc vành quan trọng khác nghiên cứu, vành địa phương quy Vành có đặc trưng sau: Vành R địa phương quy dim R = dimK (m/m2 ) (Định lý 4.2, Chương 4); Mọi vành địa phương quy miền nguyên (Định lý 4.3, Chương 4) Về mối quan hệ vành Cohen-Macaulay vành địa phương quy, ta có kết sau: Mọi vành địa phương quy vành Cohen-Macaulay (Định lý 4.6, Chương 4) Ths Lê Văn Chua 56 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường TÀI LIỆU THAM KHẢO D Eisenbud 1995 Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag D.G Northcott 1968 Lessons on rings, module and multiplicities, Cambridge University Press Dương Quốc Việt 2008 Lí Thuyết Chiều, NXB ĐHSP H Matsumura 1986 Commutative Ring Theory, Cambridge University Press M Atiyah and I G MacDonal 1969 Introduction to Commutative Algebra, AddisionWesley N.S Gopalakrishnan 1984 Commutative Algebra, Oxonian Press Ths Lê Văn Chua 57 ... Định lý 4.2 Vậy ϕ đẳng cấu d(R) = r Ths Lê Văn Chua 40 Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương LÝ THUYẾT CHIỀU KRULL Chiều Krull định lý lý thuyết chiều Một. .. i Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Ths Lê Văn Chua ii Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường MỘT... Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường vành Cohen-Macaulay vành địa phương quy, mối quan hệ chúng Cơ sở lý luận phương pháp nghiên cứu Đề tài "Một số vấn đề lý thuyết