Toán a3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM – BỘ MƠN TỐN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY TỐN A3 Biên soạn: Trần Thị Ngọc Giàu An Giang, 12.2016 Tài liệu giảng dạy Toán A3 tác giả Trần Thị Ngọc Giàu, cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày 30/12/2016 Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày 30/12/2016 Tác giả biên soạn Ths Trần Thị Ngọc Giàu Trưởng đơn vị Trưởng Bộ môn Hiệu trưởng An Giang, 12.2016 LỜI CẢM TẠ Để hoàn thành tài liệu giảng dạy này, tác giả nhận giúp đỡ, động viên hỗ trợ nhiệt tình từ quý Thầy, Cơ, q đồng nghiệp Bộ mơn Tốn em sinh viên Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng Khoa học Khoa phòng Quản lý khoa học Hợp tác quốc tế có hướng dẫn thủ tục cách trình bày tài liệu Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô Bộ mơn Tốn, khoa Sư phạm có góp ý chân tình cho nội dung tài liệu Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn sinh viên thời gian học có góp ý để hồn chỉnh nội dung tài liệu An Giang, ngày 12 tháng 12 năm 2016 Người thực Trần Thị Ngọc Giàu i LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng tôi, nội dung tài liệu có xuất xứ rõ ràng An Giang, ngày 12 tháng 12 năm 2016 Người biên soạn Trần Thị Ngọc Giàu ii LỜI NĨI ĐẦU Tốn A1, A2, A3 học phần thuộc chương trình Tốn đại cương dành cho sinh viên ngành sư phạm khơng chun Tốn ngành thuộc khối kỹ thuật Riêng Trường Đại học An Giang, học phần Tốn A3 mơn học dành cho sinh viên Đại học thuộc khối ngồi sư phạm Tốn như: Cơng nghệ thông tin, Công nghệ môi trường Cao đẳng sư phạm Tin học Nội dung chủ yếu môn học kiến thức Đại số tuyến tính Hiện nay, có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết nội dung Tuy nhiên, đặc thù trường, nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy giảng viên học tập sinh viên, tác giả biên soạn tài liệu giảng dạy học phần “Toán A3” Nội dung học phần Toán A3 bao gồm chương: Chương Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ Chương Cấu trúc đại số - Số phức - Đa thức Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính Chương Không gian vectơ Chương Ánh xạ tuyến tính Chương Chéo hóa ma trận - Dạng tồn phương Trong môn học này, sinh viên bước đầu làm quen với nhiều khái niệm Ngồi vai trị cơng cụ cho ngành khoa học khác, Tốn học ngành khoa học phương pháp tư lập luận xác chặt chẽ Nội dung chương tài liệu hệ thống lại số kiến thức mức độ cao Các cấu trúc đại số đề cập chương khái niệm hoàn toàn trừu tượng Các chương lại tài liệu kiến thức Đại số tuyến tính Kiến thức chương có liên kết chặt chẽ, kết chương công cụ chương sau Một số khái niệm yêu cầu sinh viên phải biết liên hệ từ kết hình học giải tích phổ thơng Sau chương hệ thống tập mức độ từ dễ đến khó, xếp theo dạng toán, giúp sinh viên vừa hiểu lý thuyết vừa biết cách vận dụng lý thuyết vào tập Phần cuối số đề thi mẫu dành cho sinh viên tham khảo Tuy có nhiều cố gắng q trình biên soạn tài liệu khơng thể tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn cách trình bày, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ q thầy cơ, q đồng nghiệp bạn sinh viên để tài liệu ngày hoàn chỉnh hơn, phục vụ tốt cho nhu cầu giảng dạy học tập Trường Tác giả xin chân thành cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang Chương Tập hợp – Quan hệ - Ánh xạ 1.1 Tập hợp phép toán tập hợp 1.2 Quan hệ hai 1.3 Ánh xạ Bài tập chương 12 Chương Cấu trúc đại số - Số phức – Đa thức 15 2.1 Cấu trúc đại số 15 2.2 Số phức 17 2.3 Đa thức 25 Bài tập chương 27 Chương Ma trận – Định thức – Hệ phương trình tuyến tính 32 3.1 Ma trận – Các phép toán ma trận 32 3.2 Định thức 49 3.3 Ma trận nghịch đảo 62 3.4 Hạng ma trận 67 3.5 Hệ phương trình tuyến tính – Phương pháp Gauss 71 3.6 Hệ phương trình tuyến tính 78 Bài tập chương 79 Chương Không gian vectơ – Không gian vectơ Euclide 91 4.1 Không gian vectơ – Định nghĩa ví dụ 91 4.2 Sự độc lập tuyến tính – Sự phụ thuộc tuyến tính 94 4.3 Cơ sở số chiều không gian vectơ 98 4.4 Không gian 100 4.5 Tọa độ ma trận chuyển sở 106 4.6 Không gian vectơ Euclide 113 Bài tập chương 118 Chương Ánh xạ tuyến tính 124 5.1 Định nghĩa xác định ánh xạ tuyến tính 124 5.2 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 127 5.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 132 5.4 Các phép toán tập ánh xạ tuyến tính 137 5.5 Ma trận đồng dạng 138 Bài tập chương 140 Chương Chéo hóa ma trận - Dạng toàn phương 146 6.1 Giá trị riêng vectơ riêng 146 6.2 Chéo hóa ma trận vuông 150 6.3 Một vài ứng dụng chéo hóa ma trận 154 6.4 Dạng toàn phương 157 Bài tập chương 169 Một số đề thi mẫu 175 Tài liệu tham khảo 185 iv CHƢƠNG TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ Nội dung chương trình bày tóm lượt số kiến thức tập hợp, quan hệ hai ngôi, ánh xạ Mục tiêu cần đạt sau học xong chương là: - Chứng minh hai tập hợp - Chứng minh quan hệ hai cho quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự - Xét tính đơn ánh, tồn ánh, song ánh ánh xạ Cách tìm ánh xạ ngược song ánh 1.1 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm Tập hợp khái niệm ban đầu toán học, hiểu cách trực giác mà khơng định nghĩa Có thể hiểu tập hợp tụ tập vật hay đối tượng liệt kê có tính chất chung Các vật hay đối tượng tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa như: A, B ,C , hay X , Y , Z , ¼ Các phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ in thường như: a, b, c, ¼ hay x , y , z , ¼ Gọi hợp x x phần tử tập hợp X , ta ký hiệu x  Ỵ X , (đọc x thuộc X ); trường không thuộc tập hợp X , ta ký hiệu x  Ï X hay x Ỵ X Cách thức miêu tả tập hợp: Cách thứ nhất: Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ a Tập hợp số tự nhiên ¥ = {0,1, 2, K } b Tập hợp số nguyên ¢ = {0, ± 1, ± 2, K } c Tập hợp số tự nhiên lẻ F = {1, 3, 5, 7, 9, } Cách thứ hai: Chỉ tính chất đặc trưng tập hợp Ví dụ ïí m ùỹ a Tp hp cỏc s hu t Ô = ùỡ | m , n ẻ  , n 0ùý ùợù n ùỵ ù b Tp C ộờởa, bù hàm thực liên tục đoạn [a, b]} ú û= {x (t ) | x (t ) c Tập hợp số tự nhiên lẻ F = {n | n = 2k + 1; k ẻ Ơ } 1.1.2 Tập hợp - Tập hợp rỗng Cho X tập hợp 1 Tập hợp A gọi tập hợp (subset) tập X (kí hiệu A Ð X ) phần tử thuộc tập A thuộc tập X Tập X gọi tập hợp rỗng (empty set) X khơng chứa phần tử nào, kí hiệu Ỉ Quy ước rằng, tập rỗng tập tập hợp Tập rỗng có vai trị số khơng việc thực phép tốn tập hợp Ví dụ a Ta ln có ¥ é  é Ô é Ă { c Tp B = {x Ỵ } { } b Tập A = x ẻ Ơ | (x - 1)(x + x - 6) = = 1, } ¡ | x + = = Ỉ 1.1.3 Hai tập hợp Hai tập hợp A B gọi (hay trùng nhau), ký hiệu A = B , phần tử thuộc tập A thuộc tập B ngược lại Như vậy, để chứng minh hai tập A B ta cần phải chứng minh tập A tập tập B ngược lại Một số tính chất Với A, B ,C tập bất kì, ta có tính chất sau: a A Ð A ; ỈÐ A b Nếu A Ð B B Ð C A Ð C c Nếu A Ð B B Ð A A = B 1.1.4 Các phép toán tập hợp Cho A B hai tập hợp bất kì, ta định nghĩa: 1.1.4.1 Hợp (union) hai tập hợp A B , kí hiệu A È B , tập hợp phần tử thuộc A thuộc B Ta có: A È B = {x | x Ỵ A x Î B } Ví dụ Cho hai tập hợp sau: A = {x ẻ Ơ | x cú ch số tận bên phải 0} B = {x Ỵ ¥ | x có chữ số tận bên phải 5} Khi đó, A È B = {x Î ¥ | x chia hết cho 5} Một số tính chất Với A, B ,C tập hợp bất kì, ta có tính chất sau: a Nếu A  Ð B A È B  = B b A  ÈỈ= A;   A È A  = A c A È B  = B  ÈA d A È (B È C )  = (A È B ) È C 1.1.4.2 Giao (intersection) hai tập hợp A B , ký hiệu A Ç B , tập hợp phần tử thuộc tập A thuộc tập B Ta có: A ầ B = {x | x ẻ A v x ẻ B } Nu A ầB = ặ hai tập hợp A, B gọi rời Ví dụ Cho hai tập hợp A = {x ẻ Ơ | x chia ht cho 2} ; B = {x ẻ Ơ | x chia ht cho 3} Khi ú: A ầ B = {x ẻ Ơ | x chia hết cho 6} Một cách tổng quát: - Hợp họ tập {Ai }; i Ỵ I tập: ÈAi = {x ; $ i Ỵ I: x Ỵ Ai } - Giao họ {Ai }; i ẻ I l tp: ầAi = {x ; " i Ỵ I: x Ỵ Ai } Một số tính chất Với A, B ,C tập hợp bất kì, ta có tính chất sau: a Nếu A Ð  B A Ç B  = A b A ầặ= ặ; A ầA = A c A  ÇB =  B Ç A d A  Ç(B ÇC   )  = (A  ÇB ) ÇC   1.1.4.3 Hiệu (deduction) hai tập hợp A B , ký hiệu A \ B , tập hợp mà phần tử thuộc tập A khơng thuộc tập B Ta có: A \ B = {x | x Ỵ A x Ï B } Một số tính chất Với A, B ,C , D tập hợp bất kì, ta có tính chất sau: a A \ B  = Ỉ A  Ð B b Nếu A  Ð B C  Ð D A \ D Ð  B \ C c Nếu A  Ð B C \ B Ð C   \ A Cho A B hai tập hợp Nếu B Ð  A A \ B gọi phần bù (complement) B A kí hiệu C A (B ) Như C A (B ) = {x Ỵ A | x Ï B } 1.1.5 Mối quan hệ phép toán Với tập hợp A, B , C ta ln có: a A Ç (A  ÈB )  = A b (A Ç B )  ÈB =  B c A Ç  (B  ÈC ) = (A Ç B ) È (A  ÇC ) d A È  (B  ÇC ) = (A È B ) Ç (A  ÈC ) e A \ (B È C ) = (A \ B ) Ç (A \ C ) f A \ (B Ç C ) = (A \ B ) È (A \ C ) 1.1.6 Hiệu đối xứng hai tập hợp Hiệu đối xứng hai tập A B tập hợp cho công thức: A  D B   = (A \  B ) È  (B \ A ) Một số tính chất Cho A, B hai tập hợp bất kì, ta có tính chất sau: a A  D B =  B  D A b AD A = Ỉ; A  DỈ= A   c AD B = (A È B ) \ (A Ç B ) Biểu đồ Venn minh họa phép toán tập hợp: 1.1.7 Tích Descartes hai tập hợp Cho X ,Y hai tập hợp Tích Descartes hai tập hợp X Y , ký hiệu X ´  Y , tập hợp tất cặp (x , y ) có thứ tự, x thuộc tập X y thuộc tập Y Ta có: X ´ Y = {(x , y ) | x Ỵ X , y Ỵ Y } Một cách tổng quát, tích Descartes họ n tập hợp X 1, X 2, , X n tập X 1   ´ X ´ ¼    ´ X n =   {(x 1, x , , x n )   | x i  Ỵ  X i , i   =   ,¼ , n } Nhận xét: Nếu X 1   = X = ¼   = X n = X X ´ X ´ ¼    ´ X = X n gọi lũy thừa Descartes bậc n tập X Tích Descartes tập hợp khơng có tính chất giao hốn Nếu X có n phần tử Y có m phần tử X ´ Y có m n phần tử Ví dụ Với tập A =  {1, 3, 4}; B =  {2, 5}; C =  {- 1}, ta có: { } A ´  B  =   (1, 2), 1,  ( 5), (3, 2), (3, 5), (4, 2), (4, 5) ; { } A ´  B ´ C    =  {(1, 2, - 1), 1,  ( 5, - 1),  (3, 2, - 1), (3, 5, - 1), (4, 2, - 1), (4, 5, - 1)} B  =  B ´  B  =   (2, 2), (2, 5), (5, 2), (5, 5) ; 1.2 QUAN HỆ HAI NGÔI 1.2.1 Quan hệ hai ngơi Cho X tập bất kì, tập  X ´ X gọi quan hệ hai (binary relation) tập X Nếu với x , y  Ỵ X (x , y )  Ỵ  ta nói hiệu x Ây x có quan hệ hai ngơi  với y , kí é- - ù ê ú ê ú f F = ê- - ú ê ú êë- - 16 12úû  2    e E    ; 0    a b  Bài Cho ma trận cấp A    ; a, b, c, d  c d   Trên trường số thực , tìm điều kiện a, b, c, d để A chéo hóa Bài Áp dụng tính chéo hóa ma trận để tính lũy thừa bậc k ; k ẻ Ơ ca cỏc ma trn sau: * 0 a A    1     3    b B   5   6    1 1   c C  1 1 1 1   é- - ù ê ú ê ú d D = ê- - ú ê ú êë- - 16 12úû é 0ù ê ú ê- 0ú A = Bài Cho ma trận ê ú ê ú êë- 4úû a Hãy chéo hóa ma trận A b Tớnh A , k ẻ Ơ k * c Tính f (A ), cho biết f (x ) = x - 2x + Ỵ K [x ] n d Tìm bậc hai A Bài a Cho A ma trận tam giác ma trận đường chéo Chứng minh giá trị riêng A hệ số nằm đường chéo A b Chứng minh ma trận vng cấp n ma trận chuyển vị có đa thức đặc trưng 0 1   Bài 10 Chứng minh ma trận A  0  không đồng dạng với ma trận chéo 0 1   171 Bài 11 Cho hai ma trận:  1   A  1 1  ; 1 1     2 2     B 2 m 4 4   Với giá trị m A B đồng dạng với ma trận chéo? Bài 12 Cho đa thức f (x ) = x é4 3ù ú; a A = êê ú êë úû 2016 - x + Hãy tính f (A), cho biết: é1 1ù ê ú ê ú b A = ê1 1ú; ê ú êë1 2úû é3 - 2ù ê ú ê ú c A = ê1 - 1ú ê ú êë1 - 2úû Bài 13 Hãy tìm bậc hai ma trận sau: é4 - 3ù ú; a A = êê ú êë ú û é 0ù ê ú ê- 0ú; A = b ê ú ê ú êë- 4úû  1   c A  1 1  1 1    Bài 14 Hãy tìm bậc 2016 ma trận sau: é4 3ù ú; a A = êê ú êë úû é1 1ù ê ú ê ú b A = ê1 1ú; ê ú êë1 2úû é3 - 2ù ê ú ê ú c A = ê1 - 1ú ê ú êë1 - 2úû Bài 15 Cho f (x, y ) dạng song tuyến tính xác định bởi: f (x , y ) = 3x 1y - 2x 1y + 4x 2y - x 2y a Tìm ma trận E f (x, y ) sở tắc b.Tìm ma trận A f (x, y ) sở S  {(1,1);(1,2)} c Tìm ma trận B f (x, y ) sở T  (1, 1);(3,1) d Tìm ma trận chuyển sở P từ S sang T Kiểm tra lại B = P - 1AP Bài 16 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phương pháp Lagrange, với u = (x , y, z ) Ỵ ¡ 3, rõ phép biến đổi a f (u, u )  2x  2xy  5y  4yz  3z 2; b f (u, u )  3x  2xy  5y  yz  7z 2; 172 c f (u, u )  2y  xy  4xz  2yz  3z 2; d f (u, u )  3x  2xy  4xz  2yz  7z ; e f (u, u ) = xy + 4xz + 2yz + 3z Bài 17 Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phương pháp Jacobian, với u = (x , y, z ) Ỵ ¡ : a f (u, u )  3x  4xy  2xz  y  2yz  6z 2; b f (u, u )  x  5y  2z  4xy  2xz  4yz ; c f (u, u )  2y  xy  4xz  2yz  3z 2; d f (u, u ) = 5x - 2xy + 4xz + 5y + 4yz + 3z Bài 18 Xác định giá trị tham số l để dạng toàn phương sau xác định dương, với u = (x , y, z ) Ỵ ¡ a f (u, u )  x  2y  2xy  4yz  z ; b f (u, u )  x  y  2xy  4yz ; c f (u, u )  x  2xy  2y  4yz  5z ; d f (u, u )  2x  2xy  2y  2yz  z ; e f (u, u )  2x  y  3z  2xy  2xz ; f f (u, u ) = 4x + y + 4z + 2xy - 4l xz + 4yz ; Bài 19 Cho dạng toàn phương f (x, x ) có ma trận sở tắc là: 1 m  A  m  1  Với giá trị m  1  2 5  f (x, x ) xác định dương? Bài 20 Cho dạng song tuyến tính f (x, x ) có ma trận sở S  {(1, 0, 0),( 1,1, 0),(0, 1,1)} là: é1 - 1ù ê ú A = êê 1 - 1ú ú ê ú -ê - a ú ë û a Tìm ma trận f (x, y ) sở tắc ¡ b Với giá trị a ma trận A có giá trị riêng phân biệt? 173 c Dạng song tuyến tính có đối xứng khơng? Nếu có tìm dạng tồn phương f (x, x ) tương ứng sở tắc Bài 21 Cho dạng tồn phương : f (u, u )  2x  y  mz  4xy  2xz  2yz ; u = (x , y, z ) Ỵ ¡ Tìm m  để dạng tồn phương xác định âm Bài 22 Dùng tiêu chuẩn Sylvester, xác định xem dạng toàn phương xác định âm, xác định dương? Khi đưa dạng tồn phương dạng tắc a f (u, u )  x  26y  10xy b f (u, u )  x  2xy  4y 2 ; ; c f (u, u )  11x  6y  6z  12xy  12xz  6yz d f (u, u )  9x  6y  6z  12xy  10xz  2yz Bài 23 Cho dạng toàn phương 3 ; : f (u, u )  2x  2y  z  2xy  axz ; u = (x , y, z ) Î ¡ a Đưa dạng toàn phương cho dạng tắc phương pháp Lagrange b Với giá trị a f (x, x ) xác định dương? 174 MỘT SỐ ĐỀ THI MẪU Đề thi số Câu (2,0 điểm) a Hãy biểu diễn hình học số phức z thỏa điều kiện z   b Cho ánh xạ f :  xác định f (x )  x  5x  Xét xem ánh xạ f có phải tồn ánh khơng? Vì sao? Câu (2,0 điểm) 1 1   a Tính A k ; k  , k  với ma trận A  1 1 1 1   b Tìm tất ma trận vng cấp có bình phương ma trận không Câu (2,0 điểm) Trong không gian  F  x  (x 1, x 2, x 3, x )   4 ,cho tập con: x  2x  x  x  0 |  x  x2   a Chứng tỏ F không gian b Tìm sở số chiều F Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f :  xác định f (x, y, z )  (2y  x, x  4y, 3x ) a Tìm ma trận f sở tắc b Tìm ma trận f sở S  {(1,1,1),(1,1, 0),(1, 0, 0)} Câu (2,0 điểm) Chéo hóa ma trận: é- - ù ê ú ê A = ê- - úú ê ú êë- - 16 12úû 175 Đề thi số 2010 Câu (2,0 điểm) Tính z 2010 ổ1 + ỗỗ ữữữ ỗốz ứữ bit rng z + = z Câu (2,0 điểm) a Tìm tất ma trận vng cấp có bình phương ma trận đơn vị é1 1ù ê ú A = b Hãy tính f (A ) trường hợp f (x ) = x - 7x + với ê0 1ú ú ëê û Câu (2,0 điểm) Cho V K - không gian vectơ a Chứng minh vectơ x , y, z Ỵ V độc lập tuyến tính vectơ x + y, y + z, z + x độc lập tuyến tính b Nếu vectơ x , y, z Ỵ V độc lập tuyến tính vectơ x + y, y + z , z - x có độc lập tuyến tính hay khơng? Xét tính độc lập tuyến tính vectơ sau ¡ : x = (1, 0, - 2); y = (2,1, - 4); z = (3,1, - 6) Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : ¡ ® ¡ xác định f (x, y, z ) = (x + 2y - z, y + z, x + y - 2z ) a Tìm sở số chiều Im f b Tìm sở số chiều K er f Câu (2,0 điểm) Cho l giá trị riêng A Ỵ Mn (K ) , a Ỵ K k Ỵ ¥ Chứng minh rằng: a a l giá trị riêng ma trận a A b l k giá trị riêng ma trận A k Đề thi số Câu (2,0 điểm) a Cho X , A , B tập hợp chứng minh rằng: 176 X \ (A Ç B ) = (X \ A) È (X \ B ) b Hãy biểu diễn hình học số phức z thỏa điều kiện: 1  <   z – i   <  2 Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính: 3x  2y  5z  4t   2x  3y  6z  8t   x  6y  9z  20t  11 4x  y  4z  t   Giải biện luận hệ phương trình theo tham số   Câu (2,0 điểm) Trong ¡ , cho hệ vectơ: W = {(1,1,1,1);(1,1, - 1, - 1);(1, - 1,1, - 1);(1, - 1, - 1,1)}; a Chứng tỏ W sở ¡ b Tìm tọa độ vectơ x = (1, 2,1, 2) Ỵ ¡ sở W Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính j : ¡ [t ] ® ¡ 3[t ] xác định j ( f (t )) = f ¢(t ) a Tìm sở số chiều Im j b Tìm sở số chiều K er j  1 2    Câu (2,0 điểm) Chéo hóa ma trận A   3   3    Đề thi số Câu (2,0 điểm) Cho A Ð X  hàm đặc trưng A c A : X ® {0,1} xác định íï x Ỵ A c A (x ) = ïì ïï x Ï A ỵ Chứng minh A Ð X , B Ð X c A ÈB (x ) = c A (x ) + c B (x ) - c A ÇB (x ) với x Ỵ X 177 Câu (2,0 điểm) é2 0 ù ê ú ê ú a Chứng minh A = ê0 ú nghiệm p(x ) = x - 3x + ê ú êë0 - 1úû é1 2ù ú b Tìm tất ma trận vng cấp giao hoán với ma trận B = êê ú úû ëê Câu (2,0 điểm) Trong không gian W  {(a, b, c, d, e)  5 , cho hai không gian con: | a  c  e  0};U  {(a, b, c, d, e)  | a  c  e} Tìm sở số chiều không gian W ,V ,W + V Câu (2,0 điểm) Xét ánh xạ f : M ( ¡ ) ® M ( ¡ ) xác định sau: é2 1ù ê ú A = X Ỵ M ( ¡ ) , với f (X) = A X ê3 5ú úû ëê Tìm ma trận biểu diễn f theo sở tự nhiên íï é1 0ù é ù é ù é ùü ï ú; E = ê0 1ú; E = ê0 0ú; E = ê0 0úïý S = ïì E = êê 1 ê0 0ú ê1 0ú ê0 1úï ïï 0ỳ ỳ ỳ ỳ ỳùùỵ ởờ ỷ ởờ ỷ ởờ û ëê û ïỵ Câu (2,0 điểm) Chéo hóa ma trận é1 - 3ù ê ú ê A = ê3 - 3úú ê ú êë6 - 4úû Đề thi số Câu (2,0 điểm) a Chứng tỏ   nghiệm đa thức f (x )  x  x  7x  2x  4x  Chỉ rõ số bội  b Biểu diễn hình học số phức z thỏa điều kiện | z  |  | z  | 178 Câu (2,0 điểm) a Tìm biện luận hạng ma trận sau theo tham số m , với m Ỵ ¡ : é1 ê ê1 m A = êê ê1 ê2 êë 4ùú 4úú 3úú 1úú û é1 1ù é2 1ù ê ú ê ú Hãy tính C - 1B C B = C = b Cho ( ) ê0 1ú ê3 2ú úû êë ëê ûú Câu (2,0 điểm) Trong không gian vectơ với tích vơ hướng tắc, cho vectơ: x  (0,1,1,1); y  (3, 2,1,1); z  (3, 3, 4,1) a Chứng tỏ hệ {x, y, z } hệ trực giao b Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : ¡ ® ¡ xác định f (x, y, z ) = (2x - 6y + 2z, x - 3y + z, 3x - 9y + 3z ) a Tìm số chiều sở K er f b Tìm ma trận biểu diễn f theo sở : S = {u1 = (1, 0, 0); u = (1,1, 0); u = (1,1,1)} é1 - 1ù ú £ Câu (2,0 điểm) Chéo hoá ma trận A = êê ú êë ú û Đề thi số Câu (2,0 điểm) a Trong tập N ´ N xác định quan hệ hai ngơi R sau: " (a, b),(c, d ) Ỵ ¥ ´ ¥ :  (a, b) Â(c, d ) Û a + d = b + c Chứng minh R quan hệ tương đương ( ) b Giải phương trình sau tập số phức C : z +  1 –  2  =   Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính: 179 kx  y  z   x  ky  z  x  y  kz   Xác định giá trị tham số k cho: a Hệ phương trình có vơ số nghiệm b Hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) Trong khơng gian P2 [x ] với tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa sau: u, v   u(x )v(x )dx ; u(x ), v(x )  P [x ] Cho vectơ u  x ; v  5x ; w  x  axb Xác định a, b để vectơ tạo thành hệ trực giao P2 [x ] Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : ¡ ® ¡ f (x , y , z ) = (x + y , y + z ) a Tìm sở số chiều Im f b Tìm sở số chiều K er f é2 0ù ê ú Câu (2,0 điểm) Chéo hóa ma trận A = êê0 0úú ê ú êë0 2ú û Đề thi số Câu (2,0 điểm) Cho hai số phức z z a Chứng minhh | z  z |2  | z  z |2  2(| z |2  | z |2 ) b Giải thích ý nghĩa hình học đẳng thức Câu (2,0 điểm) a Tìm hạng ma trận sau theo 180 a : xác định é3 ê êa B = êê ê1 ê2 êë 4ù ú 10 1ú ú 17 3ú ú 3ú ú û 1 b Tính định thức ma trận sau: éa x x ù ê ú D = êêx a x úú ê ú êëx x a úû Câu (2,0 điểm) Trong không gian , cho tập con: F  {(x, y, z, t ) | x  y  z  0; x  z } a Chứng tỏ F không gian b Tìm sở số chiều F Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính j : ¡ ® ¡ xác định j (x, y, z ) = (2y + z, x - 4y, 3x ) a Tìm ma trận j theo sở tắc E(3) b Tìm ma trận j theo sở S = {(1,1,1),(1,1, 0),(1, 0, 0)} Câu (2,0 điểm) Cho ma trận A trường số thực é9 - ê ê8 A = êê ê0 ê0 êë 7ù ú - 4ú ú 6ú ú 8ú ú û a Tìm đa thức đặc trưng A b Tìm giá trị riêng A từ suy det( A) Đề thi số Câu (2,0 điểm) Cho k số thực, a Tính z = + ki 2k + (k - 1)i b Tìm k cho 181 z số thực, số ảo sau: Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình tuyến tính sau: x  y  z  t   x  2y  3z  4t   4x  y  2z  3t  3x  2y  3z  4t   Câu (2,0 điểm) Trong ¡ - không gian vectơ P2 [x ], cho tập con: { } M = x + x + ; 2x + ; a Chứng minh M sở P2[x ] b Tìm tọa độ vectơ u = 2x - x + Ỵ P2[x ] sở M Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính j : ¡ ® ¡ xác định j (x, y, z, s, t ) = (x + 2y + z - 3s + 4t , 2x + 5y + 4z - 5s + 5t , x + 4y + 5z - s - 2t ) a Tìm sở số chiều Im j b Tìm sở số chiều K er j Câu (2,0 điểm) Áp dụng tính chéo hóa ma trận tính lũy thừa bc k ,(k ẻ Ơ ) * ca ma trn:  1   A  1 1  1 1    Đề thi số Câu (2,0 điểm) æz + i ư÷ ÷ Giải phương trình sau tập hợp số phc: ỗỗỗ ữ = ối - z ứữ Cõu (2,0 điểm) a Tính định thức sau: A= 4 b Tìm điều kiện tham số 182 m với m Ỵ ¡ để hạng ma trận sau é1 ùú ê C = êê4 12 m + úú ê ú êë5 15 m + 10úû Câu (2,0 điểm) Trong ¡ , cho hai sở: U = {u1 = (1,1,1); u = (1,1, 0); u = (1, 0, 0)}; V = {v1 = (2,1, - 1); v2 = (3, 2, 5); v = (1, - 1,1)} a Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V b Tìm tọa độ vectơ x = (2, 4, 6) Ỵ ¡ sở V Suy tọa độ x sở U Câu (2,0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : P3[t ]  P3[t ] xác định f ( p(t ))  f ' ( p(t )) a Tìm sở số chiều Im f b Tìm sở số chiều K erf é- - ê Câu (2,0 điểm) Cho ma trận A = êê- - ê êë- - 16 5ù ú 6ú ú ú 12ú û Hãy tính đa thức ma trận f (A ) , f (t ) = t n + t - Ỵ ¡ [t ] Đề thi số 10 Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho (1  i )n số dương Câu (2,0 điểm) a Biện luận theo tham số thực  1  A 2 m 3  b Giải phương trình sau theo ẩn x2 ` 0 m hạng ma trận sau: 3  4 5   ¡ : x x3 x4 x2 - = x +1 x - Câu (2,0 điểm) Trong không gian vectơ ¡ , cho W không gian sinh vectơ: 183 u1 = (1,1, - 2,1, 4); u = (0,1, - 1, 2, 3); u = (1, - 1, 0, - 3, 0) Tìm giá trị m để vectơ x = (1, m ,1, m - 3, - 5) Î W Câu (2,0 điểm) Chứng minh ánh xạ tuyến tính f : ¡ f (x , y ) = (x - y , x - 2y ) đẳng cấu Câu (2,0 điểm)Xét ma trận: é1 ê ê0 A = êê ê1 ê1 êë 1ùú 1 1úú 1 0úú 1úú û a Tìm đa thức đặc trưng A b Tìm giá trị riêng A từ suy det A 184 ® ¡ xác định TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp 2004 Lí thuyết tập hợp logic Nhà xuất Giáo dục Đinh Quốc Huy, Lê Văn Chua, Trần Thị Ngọc Giàu, Phạm Mỹ Hạnh 2012 Ngân hàng câu hỏi mơn Tốn A3 Đại học An Giang Đoàn Vương Nguyên 2011 Bài giảng Đại số tuyến tính Đại học Cơng nghiệp TP.HCM Kenneth Hoffman & Ray Kunze Linear Algebra Prentice – Hall, Inc., Englewood Cliffs,New Jersey Nguyễn Đình Trí (chủ biên) 2000 Tốn cao cấp tập Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn & Lê Anh Vũ Toán cao cấp (tập 2) Nhà xuất Giáo dục Phạm Mỹ Hạnh 2014 Tài liệu giảng dạy Đại số tuyến tính Đại học An Giang Trần Trọng Huệ 2001 Đại số hình học giải tích Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Trần Văn Minh & Phí Thị Vân Anh Đại số tuyến tính Nhà xuất giao thơng vận tải 185 ... dạy giảng viên học tập sinh viên, tác giả biên soạn tài liệu giảng dạy học phần ? ?Toán A3? ?? Nội dung học phần Toán A3 bao gồm chương: Chương Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ Chương Cấu trúc đại số - Số... triển nghiên cứu qua cơng trình Cramer (nhà toán học người Thụy sĩ), Vandermonde (nhà toán học người Hà Lan), Laplace (nhà toán học người Pháp), Jacobi (nhà toán học người Đức), … người nghiên cứu... NÓI ĐẦU Toán A1, A2, A3 học phần thuộc chương trình Tốn đại cương dành cho sinh viên ngành sư phạm khơng chun Tốn ngành thuộc khối kỹ thuật Riêng Trường Đại học An Giang, học phần Tốn A3 mơn học