on tap thi tot nghiep 12p1

(nếu cần thì học sinh có thể lập bảng biến thiên).. 4..[r]

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN PHẦN 1: KHẢO SÁT HÀM

DẠNG TỐN TÌM CỰC TRỊ VÀ GTLN – GTNN DẠNG 1: TÌM ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU, ĐIỂM CỰC TRỊ

CÁCH 1: Xét dấu f '(x) Sau suy điểm cực tiểu, điểm cực đại CÁCH 2: Sử dụng định lí đủ để có cực trị

      0 '

" điểm cực đại

f x

x f x

f x       

 VÀ

      0 '

" điểm cực tiểu

f x

x f x

f x        

Ví dụ: Tìm điểm cực trị hàm số y x 32x2 x

Bài giải: Cách 1: TXĐ D=R

2

'

y  x  x

1

' 1

3 x y x         Bảng biến thiên

Vậy x 1 điểm cực đại hàm số

3

x 

điểm cực tiểu hàm số

Cách 2: TXĐ D=R

2

'

y  x  x y'' 6 x4

' 1

3 x y x          

''

y     x1

điểm cực đại hàm số

1

''

3

y   

 

1

x

 

điểm cực tiểu hàm số

*DẠNG 2: TÌM GTLN – GTNN TRÊN ĐOẠN 1 TXĐ [a;b] Tìm đạo hàm f ’(x).

2 Tìm xi khoảng (a; b) mà f x ' i f x'  kxđ

3 Tính f a f x ;  i ;f b  (nếu cần học sinh lập bảng biến thiên)

4 So sánh kết luận maxa b;  f x  vaø mina b;  f x .

Ví dụ: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3x2 5x4 đoạn 2;3 Bài giải:

TXĐ D = 2;3 , y' 3 x22x

' 5

3 x y x        

 2 10

y  

;

5 283

3 27

y  

  ; y 1 1; y 3 25.

x y ’y - –

1 +

1 

0 – +

+ -

+  2723

Vậy max2;3 f x  =25 x = vaø min2;3 f x  1 x = 1 DẠNG 3: TÌM GTLN – GTNN TRÊN KHOẢNG

1 Tìm đạo hàm f ’(x).

2 Tìm xi khoảng (a; b) mà f x ' i f x'  kxđ

3 Lập bảng biến thiên.

4 Kết luận maxa b;  f x  vaø mina b;  f x .

Ví dụ: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3x2 5x4 khoảng 2;3 Bài giải:

TXĐ D = 2;3, y' 3 x22x

' 5

3

x y

x

    

   Bảng biến thiên

Vậy  2;3  

283 max

27 =

f x

 x =

5 

 2;3  

min

vaø f x

  x = 1

DẠNG TỐN TÌM TIỆM CẬN NGANG – TIỆM CẬN ĐỨNG

DẠNG 1: TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG Tính  

lim

xx f x

tính   lim

xx f x

2 Nếu +∞ hay - ∞ x x 0 tiệm cận đứng

Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số

2

1

x y

x

 

 .

Bài giải

TXĐ D = R\ 1   

1

2

lim lim

1

x x

x f x

x

 

 



 

 x1 1 x0 2x    3

Vậy x = tiệm cận đứng.

DẠNG 2: TÌM TIỆM CẬN NGANG 1. Tính xlim  f x  xlim   f x 

2 Nếu kết y0 y=y0 tiệm cận ngang

Nếu kết khác a b y=a, y=b tiệm cận ngang

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số

2

1

x y

x

 

 .

Bài giải

 

3

2

lim lim lim

1

1 1

x x x

x x

f x

x

x

     

 

  

 

Vậy y = –2 tiệm cận ngang. x

y ’y

-2

– 10

3

3 

0 – +

+

Lí mà ta phải thực giới hạn âm vô cực dương vơ cực hai giới hạn có kết quả khác nên có tiệm cận ngang.

Chẳng hạn: Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số

2

1

x y

x

 

 .

 

3

2

lim lim lim

1

1 1

x x x

x x

f x

x

x

     

 

  

 

 y = –2 tiệm cận đứng.

   

3

2

lim lim lim

1

1 1

x x x

x x

f x

x

x

        



 

   





 y = tiệm cận đứng.

DẠNG TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

*DẠNG 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC TRÙNG PHƯƠNG

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT

B1: Tìm TXĐ

B2: Xét biến thiên B2.1: Tính y’

B2.2: Tìm xi mà y’=0

B2.3: Xét dấu y’  chiều biến thiên (để chung vào bảng biến thiên)

B2.4: Tìm cực trị; Tính giới hạn vơ cực B2.5: Lập bảng biến thiên

B3: Đồ thị

B3.1: Tìm điểm hỗ trợ (phải vẽ điểm cực trị)

B3.2: Vẽ đồ thị (nối điểm từ trái sang phải)

Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số yx33x1

Bài giải:

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5

-3 -2 -1

x y

TXĐ D = R Sự biến thiên

2

' 3

y  x 

1 '

1

x y

x

 

   

 lim

x y

Bảng biến thiên

x y’ y

- –1

0

+



0 – +

+

Đồ thị

Điểm hỗ trợ: Đồ thị (hình bên)

Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2

2

x

y  x 

Bài giải:

TXĐ D = R Sự biến thiên

3

' 2

y  x  x

0

'

1

x

y x

x

  

  

   

-4 -3 -2 -1

-4 -3 -2 -1

x y

lim

x y

Bảng biến thiên

3 

Đồ thị

Điểm hỗ trợ: Đồ thị (hình bên)

Ví dụ 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2

4

2

x

yx  

Bài giải:

TXĐ D = R Sự biến thiên

3

'

y  x  x; y' 0  4x3 x  0 x x4 21  0 x0

+

-

-1 CT

0 -2

x

y 1 -1

x y’ y

- –1 +

 +

6 –

CĐ

0

0 – +

+

 +

CT CT

–2 –2

–2

x

lim

x y 

-3 -2 -1

-6 -4 -2

x y

Bảng biến thiên

3

Đồ thị

Điểm hỗ trợ: Đồ thị (hình bên)

Ví dụ 4: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 3 3x2  9x16

-4 -3 -2 -1

-15 -10 -5 10 15 20

x y

Bài giải: TXĐ D = R

2

'

y  x  x ;

1 '

3

x y

x

 

   

 lim

x y

Bảng biến thiên

Điểm hỗ trợ: Đồ thị (hình bên)

0

x - 0 +

y’ + –

y

- CĐ -

x –1

y 0

+ -11

3

CĐ

CT 21

-

+



+ –

+



–1 -

y y’

x

1 -3 21

x

*DẠNG 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN CÁC BƯỚC KHẢO SÁT

B1: Tìm TXĐ

B2: Xét biến thiên B2.1: Tính y’

B2.2: Tìm xi mà y’ không xác định

B2.3: Xét dấu y’  chiều biến thiên B2.4: Tìm tiệm cận đứng ngang B2.5: Lập bảng biến thiên

B3: Đồ thị

B3.1: Tìm điểm hỗ trợ (phải vẽ điểm bên tiệm cận đứng)

B3.2: Vẽ đồ thị (nối điểm từ trái sang phải, không vẽ cắt tiệm cận, ngày sát tiệm cận) Ví dụ 4: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

4

2

x y

x

 

 .

Bài giải:

TXĐ D = \

2

R   

 

 2

14

' 0,

2

2

y x

x



   



-8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

Tiệm cận đứng

x 

3

lim

x y







Tiệm cận ngang y 2 xlim y2

3

2Bảng biến thiên

Điểm hỗ trợ: Đồ thị (hình bên)

DẠNG TỐN BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

x y’ y

-

– +  –

+



-

2

2 -3 21

x

DẠNG 1: DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐÃ CHO, BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT Cách thực hiện:

B1: Chuyển PT thành vế, vế trái phải hàm số đồ thị có, vế phải hàm số đường thẳng B2: Ta cho đường thẳng di chuyển từ lên, sau suy số nghiệm PT

Ví dụ 1: Dùng đồ thị hàm số y x 33x2 biện luận số nghiệm phương trình x33x2m0

theo giá trị tham số m. Bài giải:

Phương trình x33x2m 0 x33x2 m (1).

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y x 33x3 đường thẳng ym Dựa vào đồ thị bên ta có:

+ m0 m4  m0 m 4 phương trình (1) cĩ nghiệm.

+ m0  m 4 m0 m4 phương tình (1) cĩ nghiệm. + 0 m4  0m 4 phương trình (1) cĩ nghiệm.

-8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

Ví dụ 2: Cho hàm số y x44x2

1 Khảo sát sụ biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2 Dựa vào đồ thị trên, biện luận số nghiệm phương trình x4 4x2m 1 0 theo giá trị tham số m.

Bài giải:

1 TXĐ D=R

-4 -3 -2 -1

-6 -4 -2

x y

3

'

y  x  x;

 

'

2

x

y x x

x

 

     

lim

x y 

Bảng biến thiên

2 

Điểm hỗ trợ Đồ thị (hình bên)

2 Phương trình x33x2m 0 x33x2 m (1).

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y x 33x3 đường thẳng ym Dựa vào đồ thị bên ta có:

+ m0 m4  m0 m 4 phương trình (1) cĩ nghiệm.

+ m0  m 4 m0 m4 phương tình (1) cĩ nghiệm. + 0 m4  0m 4 phương trình (1) cĩ nghiệm.

+ m4  m 4 phương trình (1) vơ nghiệm.

DẠNG 2: DÙNG PT BẬC 2, BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT Cách thực hiện:

B1: Chuyển PT dạng bậc 2, với điều kiện thỏa mãn (mẫu khác 0) B2: Biện luận theo biệt thức 

B3: Kết hợp điều kiện đặt suy kết luận

Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm phương trình

2

1

x

x m x



 

 .

Bài giải:

Phương trình

2

1

x

x m x



 

 (1)

Điều kiện: x 1

 1  2x  6 1 x x m   

hay 2x  6 x m x 2 mx

 

2

1

x m x m

     

1 m2 4 6 m m2 6m 23

       

Ta thấy x 1, m

+ Nếu   0 m  3 hoặc 2 m (1) cĩ nghiệm + Nếu   0 m 3 hoặc 2 m (1) cĩ nghiệm + Nếu     0 2m  2 m (1) vơ nghiệm

Chú ý: Ta dùng đồ thị để biện luận: -

–2

0

y x

– 0

CT

+ – +

+



-

y y’

x

4 0

- CĐ CĐ

-8 -6 -4 -2

-8 -6 -4 -2

x y

4

y x 

4

y x 

y=x

Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số

2

1

x y

x

 

 song song đường thẳng y x y x 4 3

và y x  3 Hơn đường thẳng y x m  song song với tiếp tuyến Khi đó, dựa vào đồ thị ta có kết luận:

+ Nếu m  3 hoặc 2 m (1) cĩ nghiệm. + Nếu m 3 hoặc 2 m (1) cĩ nghiệm. + Nếu  3 2m  2 m (1) vơ nghiệm.

DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG TẠI ĐIỂM CÓ x0

Các bước thực B1: x0=?  y0=?

B2: Tính f '(x)  f '(x0)=?

B3: Thay x0, y0, f '(x0) vào PT tiếp tuyến.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

2

2

x y

x

 

 điểm có hồnh độ 2. Bài giải:

Gọi M x y0 0; 0 tiếp điểm Khi ta có x0  2 y0 0

Và  

 2

5 '

2

f x

x

 



;  0  

' '

9

f x f 

Vậy tiếp tuyến M0 có phương trình là:

 

5

y x hay x5 9y10 0 

DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG TẠI ĐIỂM CÓ y0

Các bước thực B1: Giải PT y=y0  x0=?

B2: Tính f '(x)  f '(x0)=?

B3: Thay x0, y0, f '(x0) vào PT tiếp tuyến.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3 3x4 điểm có tung độ

Bài giải:

Gọi M x y0 0; 0 tiếp điểm Khi ta có  

3

0 4 0

y   x  x    x x  

0 0;

x x

   .

+ TH1: x0 0;y0 4.

 

' 3

f x  x 

Tiếp tuyến 0;4 có phương trình y3x4 + TH2: x0  3;y0 4      

2

' ' 3 3

f x f

    

Tiếp tuyến  3; 4 có phương trình y6x 3 4 6x 4 + TH3: x0  3;y0 4.      

2

' ' 3 3

f x f

      

Tiếp tuyến  3;4 có phương trình y6x 3 4 6x6 4 Vậy ta có tiếp tuyến: y3x4; y6x 4 y6x6 4

DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN

Các bước thực

B1: Tính f '(x) Giải PT f '(x0)=hsg  x0=?

B2: Tính y0 = ?

B3: Thay x0, y0, f '(x0) vào PT tiếp tuyến.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3 3x4 biết hệ số góc

Bài giải:

Gọi M x y0 0; 0 tiếp điểm Khi ta có f x ' 0 9.

Mà  

2

' 3

f x  x 

Nên ta có 3x02 9  x02.

+ TH1: x 0  y0 6

TT1: y9x12

+TH2: x 0  y0 2

TT2: y9x20

Vậy ta có tiếp tuyến cần tìm TT1: y9x12 TT2: y9x20

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3 3x4 biết song song với

đường thẳng 3x y  2009 0 Bài giải:

Gọi M x y0 0; 0 tiếp điểm.

Đường thẳng 3x y  2009 0  y3x2009 Khi đó, theo đề ta có f x ' 0 3.

Mà  

2

' 3

f x  x 

Nên ta có 3x02 3 3 x0 0 y0 4.

Vậy ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm y3x4

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3 3x24 biết vng góc với

đường thẳng x9y 2009 0 Bài giải:

Gọi M x y0 0; 0 tiếp điểm.

Đường thẳng

1 2009

9 2009

9

Khi đó, theo đề ta có  0  0

' '

9 f x f x

   

Mà  

2

'

f x  x  x

Nên ta có 3x02 6x0  9 x02 2x0 0  x0 1;x0 3

+TH1: x0  1 y0 0.

TT1: y9x9

+TH2: x0  3 y0 4.

TT2: y9x 23