§Ó x¸c ®Þnh thiÕt diÖn song song cÇn x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng thiÕt diÖn song song víi nh÷ng ®êng th¼ng chøa c¹nh nµo cña h×nh chãp.. M lµ trung ®iÓm cña SB.[r]
(1)1 ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp
1.1 ThiÕt diƯn qua ba ®iĨm cho tríc
1.1.1.Ba điểm nằm ba cạnh không đồng phẳng hình chóp Cách giải:
Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trớc
Xác định giao điểm đờng thẳng qua hai điểm với giai tuyến mặt phẳng chứa với mặt phẳng chứa điểm lại
Nối đoạn thẳng với giao điểm điểm cho trớc để xác định mặt phẳng cắt cạnh hình chóp
* Chú ý xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng cắt cạnh của hình chóp để dễ xác định
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự trung điểm SA, BC, CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mt phng (MNP)
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB Gọi M, N trung điểm của SB SC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN)
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A’; B’; D’ nằm ba cạnh SA ; SB ; SD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’D’)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K lần lợt trung điểm cạnh AB, BC Trên đờng thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM)
Bài 5: Cho hình chóp SABCD SA, SB lấy hai điểm M, N cho SM= 2MA , NB = 2SN trên trung điểm DC lấy điểm Q Xác định thiết diện tạo bời hình chóp mặt phẳng (MNQ)
Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M điểm BC, N điểm SD xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BMN)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD khơng song song với BC Gọi trung điểm SC M , SB lấy điểm N cho 3SN = 2NB Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt mặt phẳng (DMN) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD M điểm cạnh SC, N P lần lợt trung điểm AB và AD Tìm thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP)
Bài 9: Cho tứ diện ABCD cạnh a Trên BC BD kéo dài lấy E F cho CE=DF=a Gọi M là trung điểm AB Tìm thiết diện tứ diện với mp(MEF) tính tỉ số diện tích thiết diện với BCD Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (BCN)
1.1.2.Có hai điểm nằm hai cạnh điểm nằm mặt hình chóp Xác định giao tuyến mặt, xác định giao điểm đờng nối hai điểm cạnh cho với giao tuyến Xác định giao điểm đờng nối điểm với điểm thứ ba mặt cho với cạnh hình chóp Nếu hai điểm hai cạnh khơng thuộc mặt bên tìm giao với cạnh kéo dài xác định giao điểm thuộc mặt phẳng cắt Đặc biệt hai điểm nằm hai đờng chéo cần xác định mặt phẳng chứa điểm cạnh điểm mặt cho
Bài 1: Cho tứ diện ABCD gọi M trung điểm AB, N điểm BC cho BN = 2NC, K trọng tâm tam giác ACD Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MNK)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB khơng song song với CD Trên SA lấy điểm M, SB lấy điểm N cho MN//AB Gọi O điểm nằm tam giác SCD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNO)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD Lấy M, N AC AD cho AM = 3MC, AN =2ND, O điểm nằm đờng trung tuyến BB’ BCD cho OB’=2OB Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNO) với tứ diện
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD tứ giác có hai cặp cạnh đối khơng song song Gọi M P trung điểm SA BC G trọng tâm tam giác SCD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MPG)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD Trên AD SC lấy hai điểm E F cho AE = 3ED ; SF = 2SC. Gọi K trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (EFK) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Trên đoạn thẳng AD SC lấy hai điểm E F Gọi K điểm nằm tam giác SAB thuộc mặt phẳng (SAB) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (EFK)
(2)1.1.3.Có điểm nằm cạnh hai điểm nằm hai mặt khác
Tỡm mt phng chứa hai ba điểm cho sau tìm giao điểm đờng thẳng nối hai điểm với mặt thích hợp hình chóp Xác định giao điểm cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện
Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F ,M trung điểm BD , CD BC Trên AE, AF lấy hai điểm I , J cho AI = IE , AJ = 2JF Xác định thiết diện với tứ diện cắt mp(MIJ)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F trọng tâm tam giác SBC, SCD M trung điểm SA Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MEF)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD , M điểm cạnh AB, N P lần lợt nằm tam giác BCD tam giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng MNP
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD M trung điểm SA, N P lần lợt trọng tâm tam giác SBC tam giác ACD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP)
1.1.4.Ba điểm nằm ba mặt khác nhau
Xỏc định mặt phẳng chứa hai ba điểm giao tuyến với mặt khơng chứa điểm
Xác định giao điểm đờng thẳng nối hai điểm với giao tuyến xác định giao điểm đờng thẳng nối giao điểm với cạnh hình chóp
Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G trung điểm cạnh BD, BC, CD Trên AE, AF, AG lấy các điểm M,N,P cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD) Xác định thiết diện với tứ diện cắt mặt phẳng (MNP)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD Trên mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy điểm M, N, P nằm tam giác tạo ba đỉnh tơng ứng mặt cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP)
T theo vÞ trÝ cđa điểm M,N,P biện luận nghiệm hình toán
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD Trên mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lấy điểm M,N,P nằm tam giác tạo ba đỉnh tơng ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với cạnh hình chóp Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) biện luận nghiệm hình tốn
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD Trên mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy điểm M,N,P nằm tam giác tạo ba đỉnh tơng ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với cạnh hình chóp Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) biện luận nghiệm hình tốn
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD mp(SAB), mp(SCD) lấy điểm M,N nằm tam giác tạo ba đỉnh tơng ứng lấy điểm P nằm đoạn BC Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP)
1.1.5.ThiÕt diƯn cã mét ®iĨm n»m khèi cđa h×nh chãp
Tìm cách chuyển điểm khối chóp mặt ngồi hình chóp cách xác định giao tuyến mặt phẳng chứa điểm nằm khối chóp điểm nằm mặt cạnh khối chóp
Xác định giao điểm đờng thẳng giao tuyến với đờng thẳng nối hai điểm mặt phẳng thiết diện cho trớc
Chuyển xác định thiết diện có điểm cho trớc nằm mặt hình chóp đã nêu trên.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD Gọi G trọng tâm ABD, I trung điểm SG Xác định thiết diện với chóp cắt mặt phẳng (CDI)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I = AC BD, O trung điểm SI, gọi M N lần lợt trung điểm BC CD xác định thiết diện cắt hình chóp với mặt phẳng (MNO)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD gọi G trọng tâm tam giác BCD, I trung điểm AG, M N lần lợt là trung điểm BC BD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNI)
Bài 4: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G trọng tâm tam giác BCD, I điểm đoạn AG cho 2AI = IG, M N lần lợt trung điểm CD AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNI)
(3)(4)1.2.ThiÕt diÖn song song
Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với đờng thẳng chứa cạnh hình chóp Vận dụng tính chất song song xác định đờng thẳng tơng ứng tìm giao điểm mặt phẳng thiết diện với hình chóp
1.2.1.Đi qua hai điểm song song với đờng thẳng
Xác định mặt phẳng chứa điểm đờng cho trớc, xác định đờng thẳng qua điểm song song với đờng cho trớc qua xác định giao điểm với cạnh hình chóp
1.2.2.§i qua điểm song song với mặt
Dựng đờng thẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cho trớc với mặt bên với điều kiện đờng thẳng cần dựng phải qua điểm cho trớc Xác định giao điểm với cạnh hình chóp với đờng thẳng đợc xác định
1.2.3.Đi qua điểm song song với cặp đờng thẳng chéo nhau
Từ điểm cho lần lợt dựng đờng thẳng song song với hai đờng thẳng chéo với điều kiện đờng thẳng phải nằm mặt hình chóp để xác định giao điểm với cỏc cnh
Các tập minh hoạ cho thiết diƯn song song
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD M N hai điểm AB CD, mặt phẳng qua MN song song với SA Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD M N hai điểm SB CD, mặt phẳng qua MN song song với SC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ()
Bµi 3: Cho tø diện ABCD có AB = a, CD = b Đoạn IJ nối trung điểm I AB trung điểm J cđa CD Gi¶ sư AB CD , mp() qua diểm M IJ song song với AB vµ CD
Xác định thiết diện ABCD với mặt phẳng () Thiết diện hình ?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng () hai trờng hợp sau
a) () qua M vµ song song víi SO vµ AD b) () qua O vµ song song víi AM vµ SC
Bài 5: Cho hình chóp SABC Gọi M,N lần lợt trung điểm cạnh AB SC Trên đoạn BM lấy điểm H, mặt phẳng (P) qua H song song với CM BN cắt hình chóp theo thiết diện Tìm thiết diện
Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi H giao điểm đờng chéo của đáy I điểm đoạn AH Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (P) qua I song song với đ ờng thẳng SA BD cắt hình chóp
Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lợt trung điểm SB SC; E điểm tuỳ ý AB. Tìm thiết diện tạo mặt phẳng () qua E song song với đờng AM BN cắt hình chóp Bài 8: Cho hình chóp SABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm cạnh SB Trên đoạn thẳng SM lấy điểm E Mặt phẳng () qua E song song với đờng thẳng AM, SG Tìm thiết diện tạo mp() cắt hình chóp
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi H giao điểm hai đờng chéo đáy Tìm thiết diện tạo mp(P) qua H, song song với AB SC cắt hình chóp
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SBC, M điểm đoạn AC Mặt phẳng P qua M song song với đờng thẳng AG BD cắt hình chóp theo thiết diện Tìm thiết diện
Bài 11: Cho hình chóp SABC Gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh AB, SC Trên đoạn AM ta lấy điểm H Mặt phẳng (P) qua H song song với CM BN cắt hình chóp theo thiết diện Hãy tìm thiết diện
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD hình bình hành Gọi H giao điểm đờng chéo đáy. Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua H song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp
Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lợt trung điểm cạnh AB CD , E điểm chia BC theo tỉ số BE:EC = : Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua H song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện cho
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N, E lần lợt trung điểm các cạnh AB, AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Xác định thiết diện tạo mặt phẳng qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm các cạnh AB, AD Trên đoạn AC lấy điểm K Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm SC, H giao điểm đờng chéo đáy hình chóp Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp
(5)Bµi 18: Cho tø diƯn ABCD gọi G1; G2 ; G3 lần lợt trọng tâm tam giác ABC, ACD, ADB Tìm thiét diện tứ diện với mặt phẳng G1G2G3
1.3.Thiết diện vuông gãc
1.3.1.Thiết diện qua điểm cho trớc vng góc với đờng thẳng
Mặt phẳng đợc xác định biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề mặt phẳng đợc xác định biết hai đờng thẳng cắt nhau, hai đờng thẳng song song với nhau, biết điểm thuộc đờng thẳng vng góc với Do mặt phẳng đợc xác định biết điểm thuộc đờng vng góc với cho ta xác định đợc mặt phẳng qua điẻm vuông góc với đờng thẳng phát biểu thành mệnh đề nh sau : “Nếu n đờng thẳng trong không gian qua điểm M vng góc với đờng thẳng cho trớc chúng đồng phẳng”
Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) vng góc với đờng thẳng d cho trớc có hai tr-ờng hợp sảy :
Tr
ờng hợp 1: Nếu có hai đờng thẳng a b vng góc với d a khơng song song với b ta có (P) // a (P) // b (Có thể (P) chứa hai đờng thẳng đó) Vận dụng phơng pháp xác định thiết diện song song nêu trớc để xác định thiết diện
Tr
ờng hợp 2: Nếu khơng có hai đờng thẳng vng góc với d ta dựng hai đờng thẳng cắt nhau vng góc với d có đờng qua điểm cho trớc Mặt phẳng đợc xác định (P) sau vận dụng kiến thức nêu xác định thiết diện
Chú ý : Đế xác định đờng thẳng thứ hai trờng hợp hai cần nắm trắc định lí ba đờng vng góc và điều kiện để đờng thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB AD, AB AC, AD AC, gọi G trọng tâm tâm tam giác BCD Xác định thiết diện tứ diện cắt mp(P) qua G vng góc với AD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác có SA (ABC) Gọi () mặt phẳng qua C vng góc với SB Xác định thiết diện hình chóp với mp()
Bài 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn SA (ABC) Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua S vuông gúc vi BC
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông SA (ABCD) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện hình ?
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông SA (ABCD) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện hình g× ?
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD ABCD có ACBD = O, SO mp(ABCD), gọi I trung điểm SO Xác định thiết diệt hình chóp cắt mặt phẳng qua I vng góc với SA
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vng A AB//DC Có SA mp(ABCD) Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng () qua A vng góc với SC
1.3.2.ThiÕt diƯn ®i qua hai ®iĨm vuông góc với mặt phẳng
Bi 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua A,B vng góc với mặt phẳng (SCD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi E F lần lợt trọng tâm hai tam giác SBC SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vng góc với mặt phẳng SCD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi E F lần lợt trọng tâm hai tam giác SBC SAD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vng góc với mặt phẳng SCD
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song Gọi E F lần lợt trọng tâm hai tam giác SAC SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vng góc với mặt phẳng SCD
Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song.Gọi M N là trung điểm SA SC Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng chứa M,N vng góc với mp(SBD)