Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình H quanh trục Ox... Gäi M lµ trung ®iÓm cña CC1.[r]
(1)Mị Vµ LOGARÝT
I Mị
1 Các định nghĩa
+ n
n thua so a a.a a
(n Z ,n 1, a R)
+ a1 a a + a0 1 a 0
+ n
n 1 a
a
(n Z ,n 1,a R / )
+ m
n m n
a a ( a 0;m,n N )
+ m
n
m n m n
1 1
a
a a
2 C¸c tÝnh chÊt
+ a am n am n +
m
m n n
a a
a
+ (a )m n (a )n m am.n
+ (a.b)n a bn n +
n n
n
a a
( ) b b
VD: Tính giá trị biểu thức:
6
3 1
3 0, 64
A
3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > , a1 )
- Tập xác định : D R
- TËp giá trị : T R ( ax 0 x R )
- Tính đơn điệu:
* a > y a x đồng biến R * < a < y a x nghịch biến R
- §å thị hàm số mũ :
II Logarit
1 Định nghĩa:Với a > , a 1 N > ta cã: log
dn M
aN M a N
Chó ý: §iỊu kiƯn cã nghÜa: loga N cã nghÜa
0
0
a N
2 C¸c tÝnh chÊt
+ log 0a + log a 1a + log aa MM + alog Na N
+ log (N N ) log Na 1 2 a 1log Na 2 +
1
a a 1 a 2
2 N
log ( ) log N log N
N
+ log Na .log Na , ®b:
2
a a
log N 2.log N a>1
y=ax y
x
0<a<1
y=ax y
(2)3 Công thức đổi số
+
a b
a log N log N
log b
+
a a b
log N log b.log N
* Công thức đặc biệt: alogbc clogba
* HÖ qu¶: + a b
1 log b
log a
+ ak a
1
log N log N k
4 Hàm số logarít:
Dạng: y log x a ( a > , a )
- Tập xác định : D R
- Tập giá trị T R
- Tính đơn điệu: * a > y log x a đồng biến R * < a < y log x a nghịch biến R - Đồ thị hàm số lơgarít:
5 Các định lí bản
Định lý 1: Với < a 1 : aM = aN M = N
Định lý 2: Với < a <1 : aM < aN M > N (nghịch biến) Định lý 3: Với a > : aM < aN M < N (đồng biến )
Định lý 4: Với < a 1 M > 0;N > :loga M = loga N M = N Định lý 5: Với < a <1 : loga M < loga N M >N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N M < N (đồng bin)
III CáC PHƯƠNG PHáP GIảI PHƯƠNG TRìNH Mũ- lô
1 Phơng trình mũ:
a Dạng b¶n: +
( )
( ) log
f x
a b
a b
f x b
+ af x( ) ag x( ) f x( )g x( )
b D¹ng cã sè cã chøa Èn:
( ) ( )
( ) ( ), ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
cã nghÜa
f x g x
h x f x g x
h x h x
h x
f x g x
Chú ý: Một số phơng pháp thờng dùng giải phơng trình mũ C1: Đa phơng trình dạng
C2: Lấy lôgarit hai vế vế pt có dạng tích thơng C3: Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
Biến đổi phơng trình dạng
- D¹ng 1: .a2f (x) +.af (x) + = , Đặt t = af (x) ĐK t > 0
0<a<1
y=logax
1 x
y
O
a>1
y=logax
1
y
(3)- D¹ng 2: .ab f (x) +.ab f (x) + = 0, Đặt t = af (x)ĐK t > - Dạng 3: .af (x)+.bf (x)+ = víi a.b = 1, §Ỉt t = af (x)
1 t =bf (x)
- D¹ng 4: .a2f (x)+.
f (x) a.b
+ .b2f (x) = , Chia vế cho b2f (x) đặt t =
f (x) a b
, t>0
C4: Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất, (thêng th× PT cã nghiƯm nhÊt)
2 Phơng trình logarit
a Dạng bản: +
0
log ( )
( )
a b
a f x b
f x a
+
( ) 0( ( ) 0) log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
hc
b C¬ sè cã chøa Èn:
( ) ( )
0 ( ) log ( ) log ( )
( ) ( )
f x f x
f x
g x h x
g x h x
Chó ý: Mét số phơng pháp thờng dùng giải phơng trình logarit C1: Đa số
C2: Mũ hoá C3: Đặt ẩn phụ
C4: Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất,
A tập phơng trình mũ
Bài Giải phơng trình sau: a
2 5 1
9.3
27
x x
b
2 3
3
5
x x
c
2
20x 0,05 x
d
1
2
2 3
x x
x
e
2
0,125.4
8
x x
Bài Giải phơng trình sau:
a 72x15 b 2 5x x1 x2 12 c 3x 7.5x d 3x2 5.2x
e 2x1 3x 5.3x1 2x2 g 52x 7x 35.52x36.7x 0 h 4.9x1 3 22x1 i 4x2x.3x3x12 3x2 x2x6 Bài Giải phơng trình sau:
a
2 1 1
2x 3x
b 23x 32x
c
2 2
2
x x x
d
1
5 500
x x x
Bµi Giải phơng trình sau:
(4)Bài Giải phơng trình sau:
a 5x5x 2 b 21x 2x 1
c 3x13x2 4 d
2 2
2x x x x 3(D 03)
e
2
sin cos
7 x x
g 2x2x 4.2x2x 22x 0(D-06) Bài Giải phơng trình sau:
a 3.4x 2.6x 9x b 9x16x 2.12x
c 27x12x 2.8x d 3.8x4.12x18x 2.27x 0(A 06) e 25x10x 22x1 g 4.3 9.2 5.62
x
x x
h
0
cos 72 x cos36 x 3.2x
i 26 15 3 3 2 3
x x x
Bµi Giải phơng trình sau: a 4 2 10
x x x x
b
3
2 x 8.2 x 2x 2.2x
c
3
3
1 12
2 6.2
2
x x
x x
Bµi Giải phơng trình sau: a 1 1 2
x x
b 3 3
x x
c 48 48 14
x x
d
2
2 3 11 x 3 11 x 4 Bài Giải phơng trình sau:
a 4x x13.2x x b 4.9x13 22x1 c 25x12.2x 6, 25.0,16x0
Bài 10 Giải phơng trình sau:
a 2x3x 5x b 5x2 3 x c 2 3
x x x x
Bµi 11 Giải phơng trình sau:
a 3x4x 5x b 4x9x16x 81x c 32
x x
d 3 3
x x
x
e
2
3x cosx
g
2
sin cos
8 x x 10 cos 2y
A tập phơng lôga
Bài Giải phơng trình sau:
a log (3 x x2) b log log 3log 22 3 4 x1 0
c
2
1 log
x x x
d log3xlog3x21 0
e
2
2
log x log 6x10 1
g
1
log 2x x
h 2log 2xlog(x275) i 2
1 log (4 15.2 27) 2log
4.2
x x
x
Bµi Giải phơng trình sau:
a
2
3
log x log 3x1 0
b
2
2
3
(5)c
2
3
log x log x 1 0
d
3 3
2
4
log log
3
x x e log3x log 33 x1 0
Bµi Giải phơng trình sau: a
2
2
log x 2log x 1
b
2 0,5
2
log (x1) log x1 log 7 x 1
c
1
5 5
1 log log 3x log 11.3x
x
d log 2 log log
x
x x
e
1
6
1
log 3.4 x 2.9 x log
x
g
2
9 3
2 log x log logx 2x 1 Bài Giải phơng trình sau:
a xlog55lg 50 b log5xlog3xlog 3.log 2255
c
2 3 3
4 1
4
log x1 log x log x6 Bài Giải phơng tr×nh sau:
a
7
log log
6
x x
b
2
5
5 log x log x
x
c
2
log log
x
x
d
1
logaax.logxax loga a
a
e
2
logx log 5 x x 2, 25 logx
g log log3x x 27
Bài Giải phơng trình sau: a
5
log
5
x x
b
logax 0 1
x a x a c
2
log10 log log100
4 x x 2.3 x
d x2log55logx 2
e xlog 92 x2.3log2x xlog 32
Bài Giải phơng trình sau:
a
1
3
log 3x log 3x
b
1
5 25
log 5x log 5x
c
2
4
log x1 log (x1) 25 Bài Giải phơng trình sau:
a log5 xlog7x2 b
3
6 64
log x x log x
c 2log5x3 x d
8
6
2log x x log x
-bất phơng trình mị vµ logarit
- Về phương trình mũ logarit có cách gải bất phương trình mũ logarit có cách giải đó
- Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí +
( ) ( ) 1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x a f x g x
a a
a f x g x
(6)1: ( ) log ( )
0 1: ( ) 1: ( ) log ( )
0 1: ( )
b
a b
b
a b
a f x a f x b
a f x a
a f x a
f x b
a f x a
+
1: ( ) ( ) log ( ) log ( )
0 1: ( ) ( )
a a
a f x g x
f x g x
a f x g x
Bµi tËp
Bài Giải bất phơng trình sau: a
2 2 1
2
3
x x
b 4x22x
c
2
2
3 x x
x
d 4x2x.3 x 31 x 3x2 x 2x6 Bài Giải bất phơng trình sau:
a
2
0,5 0,5
log 5x10 log x 6x8
b
2
log x 16 log 4x10 c
2 1
log
1
x x
d
2
3
log x x
x
e
2 0,5
15
log log 2
16
x
g 3
log log
e
x
h
2
0,7
log log
4
x x x
i 13
2
log
1
x x
Bài Giải bất phơng trình sau:
a
3
log
1
x x x
b log log 93 72
x
x
Bài Giải bất phơng trình sau:
a 2log2x1 log 52 x1 b
3
3
2log 4x log 2x3 2
c
2
5 5
log 4x 144 4log log 2x
d
1 3
3
log x1 log x1 log 5 x 1
e
3
4
log x log x1 1
g
2
3 3
2x log 8x log 2x log x x
h
2 1
2
2x cos logx x 2cosx logx x
Bài Giải bất phơng trình sau: a
1
2
0
x x x
b 2,5x 2.0, 4x11,6 0
c
2
2.3
x x x x
d 252x x 2192x x 2134.152x x e
2
2 4
3 x 8.3x x 9.9 x 34.15 x x
g
cos cos
7 3 x 3 x4 h
1
15.2x 1 2x 2 x
(7)a
1
4
4
3 log log
6
x
x
b 2log5x log 125 1x
c
2
3
log xlog 81x x 4 d
4 logaax
x ax
e 16logax 4 3.xlog 4a g
2 2
2
2
log xlog x log x Bài Giải bất phơng trình sau:
a 2.2x3.3x 6x1 b
2
2
log x 5x 5 log x 5x7 2
c
1
2
0
x x
x
h
2
1
1 1
3
1
log log 2x 3x1 x
-Hệ mũ lôga
Bài Giải hệ sau:
a
1
4
2
1
log log
25
y x
y x y
(A-04) b 3
1
3log log
x y
x y
(B-05)
c
¿
23x=5y2−4y
4x+2x+1
2x
+2 =y
¿{
¿
(D-02) d
2
log
2
1
3
log log
x y x y
x y x y
e
2
3
3 2
1
log log
2
2
x y
x y y
g
¿
log2(x2+y2)=5
2 log4x+log2y=4 ¿{
¿
h
¿ x −4|y|+3=0 √log4x −√log2x=0
¿{
¿
i
¿
logy√xy=logxy
2x+2y=3
¿{
¿
j
¿
logx(x3+2x2−3x −5y)=3
logy(y3+2y2−3y −5x)=3
¿{
¿
k
2
2
2
log log
3x xy y 81
x y xy
(A-09)
Bài Giải hệ sau:
a
2
2
4
log log
x y
x y x y
b
2 12 18
x y
x y
c
1
2
2 5
x x y
x x y
d
log log
log log3
3
4
x y
x y
(8)
Bài Tìm m để pt sau có nghiệm
1x 2m 1x 2x
, §S:
1 0,
8
m m
Giải phơng trình sau: Bài Tìm m để phơng trình:
2
3
log x log x 1 2m1 0
cã Ýt nhÊt thuéc
3
1;3
, §S: 0m2
Bài Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, +) √log22x+log1
2
x2−3=m(log4x2−3) Bài Tìm m để bpt sau có nghiệm: 49x 5.7xm0,ĐS:
25
m
-Chủ đề hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số lôga A Hệ THốNG Lý THUYếT
I Phơng trình bất phơng trình mũlogarit
1. Phơng trình mũlogarit
a Ph ơng trình mũ : Đa số
+0<a1: af(x)=ag(x) (1) f(x)=g(x)
+ 0<a1: af(x)=b
b x
f b
a log
Đặt ẩn phụ: Ta đặt t=ax (t>0), để đa phơng trình đại số
Lu ý cặp số nghịch đảo nh: (2 3), (74 3),… Nếu phơng trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) đặt t=(a/b)x (hoặc
t=(b/a)x.
Phơng pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)f(x).log
ca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1
b P h ơng trình logarit : Đa số: +logaf(x)=g(x)
f x ag x
+logaf(x)= logag(x)
x g x f
x
f
Đặt ẩn phụ
2. Bất phơng trình mũlogarit
a. Bất ph ¬ng tr×nh mị :
* NÕu a>1 th×: af(x)>ag(x) f(x)>g(x);
af(x)ag(x) f(x)g(x).
* NÕu 0<a<1 th×: af(x)>ag(x) f(x)g(x);
af(x)ag(x) f(x)g(x).
b. BÊt ph ơng trình logarit :
+ Nếu a>1 th×: logaf(x)>logag(x)
0
x g
x g x f
; + NÕu 0<a<1 th×: logaf(x)>logag(x)
0
x f
x g x f
(9)
Vấn đề 1: Phơng trình m
Dạng Đa số
Bài : Giải ác phơng trình sau a) 2x4 3 b)
2 6
2
2x x 16 c) 32x3 9x23x5
d) 2x2 x 41 3 x e) 52x + 1 – 52x -1 = 110 f)
5 17
7
32 128
4
x x
x x
f) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1 x)
Dạng đặt n ph
Bài 2: Giải phơng trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
c) 52x + 4 – 110.5x + – 75 = d)
1
5
2
2 5
x x
e) x 53 x 20 f) 4 15 4 15
x x
g) 6 6 10
x x
D¹ng Logarit hóạ
Bài Giải phơng tr×nh
a) 2x - = 3 b) 3x + 1 = 5x – c) 3x – 3 =
2 7 12
5x x
d)
2
2
2x 5x x
e)
1
5 500
x x x
f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
Dạng sử dụng tính đơn điệu Bài 4: giải phơng trình
a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x
Vấn đề 2: Phng trỡnh logarit
Dạng Đa số Bài 5: giải phơng tr×nh
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) =
e) log3x = log9(4x + 5) - f) log4x.log3x = log2x + log3x –
g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1)
Dạng đặt ẩn phụ Bài 6: giải phơng trình
a)
1
1
4 ln x2 ln x b) logx2 + log2x = 5/2
c) logx + 17 + log9x7 = d) log2x +
10log x6 9 e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – log16x = 2log2x
g)
2
2
2 2
log x3log xlog x2
h) lg 16 l g 64 3x2 o 2x
D¹ng mũ hóa
Bài 7: giải phơng trình
a) x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x
Vấn đề 3: Bất Phơng trỡnh m
Bài 8: Giải bất phơng trình
a) 16x – 4 > 8 b)
2
1
9
x
c)
6
(10)d) 4x2 x 1 e)
2
4 15
3
1
2
2
x x
x
f) 52x + > 5x
Bµi 9: Giải bất phơng trình
a) 22x + + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 < 3 c)
1
1
4x 2x 3 d) 5.4x+2.25x >7.10x e) 16x – 24x – 42x – 15 f) 4x +1 -16x
2log48
g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 10: Giải bất phơng tr×nh
a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3
c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2)
Vấn đề 4: Bt Phng trỡnh logarit
Bài 11: Giải bất phơng trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) log2(3 – 2x) –
c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log1/2(log3x)
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) <
g)
1
3
log
2
x x
Bài 12: Giải bất phơng trình a) log2
2 + log2x b) log1/3x > logx3 – 5/2
c) log2 x + log2x < d)
1
1 log xlogx
e)
16
2
1 log 2.log
log
x x
x
f)
4
3
log (3 1).log ( )
16
x
x
Bài 13 Giải bất phơng trình
a) log3(x + 2) x b) log5(2x + 1) < – 2x
c) log2( – x) > x + d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2)
bµI TËP Bæ SUNG
Bài 1: Đơn giản biểu thức a
4
3
3
a b ab A
a b
b
1
4
3
a-1
B=
1 a
a a a a a
c
1 1
1 -1
1 1
1
( ax )( )
4
a x a x C xa
a x a x
Bài 2: Tính giá trị biểu thức
a
1 1log 4
log
(81 25).49
A b 1 log 54 21log 3log 252
16
B
c.Clog 6.log 9.log 23
Bài 3 Rút gọn biểu thức a
3 5
4 16 64 log
2
A
b
3
loga
B a a
a
c
5 b a b3
C
a b a
Bài 4: Tìm tập xác định hàm số sau a
3
ln( 1)
2
x y
x
b
2
2x 3x 1
y e
c.y log (2 x2 ) 1x Bài 5
a Biết log 25 a;log 35 b Tính theo a, b lơgarít log 27;log 55 30 b.Biết log 3923 x;log 1123 y.Tính theo x, y lơgarít log 7;log 23 Bài 6: Tính đạo hàm hàm số sau
a.y (x2 2x 3)ex
b.
lnx y
x
c
x x
x x
e e y
e e
(11)Bài 7 Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức cho
ayesinx y c' osx-ysinx-y''=0 b ye cx osx 2y'-2y-y''=0
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau
a.y2x24x2; 3;1 b.y 2x123x; 1;3 c.y 5sin2x 5cos2x
d. 222
x x
y
Mai Duy Du©n
HD: §Ỉt t = log2x(t 5.)
0
1
1
m
m t
m t
Bài Giải phơng trình sau: a
2
2
log x(x1) log x 6 2x b log5xlog (7 x2) c 2log (6 x8 x) log x d
2
3
log (x x 1) log x2x x e
2
2
3
3
log
2
x x
x x
x x
g 27log2xxlog 32 30
IV CáC PHƯƠNG PHáP GIảI bất PHƯƠNG TRìNH Mũ- lô
1 Một số kiến thức cÇn nhí +
( ) ( ) 1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x a f x g x
a a
a f x g x
1: ( ) log ( )
0 1: ( ) 1: ( ) log ( )
0 1: ( )
b
a b
b
a b
a f x a f x b
a f x a
a f x a
f x b
a f x a
+
1: ( ) ( ) log ( ) log ( )
0 1: ( ) ( )
a a
a f x g x
f x g x
a f x g x
2 BÊt ph¬ng tr×nh mị
Phơng pháp 1:Biến đổi phơng trình dạng : aM < aN ( , , )
Bài Giải bất phơng trình sau : a.
2 x x 1
x 2x 1
3 ( )
3
b
5 17
1
32 0, 25.128
x x
x x
, §s:
5
,1
6
x x
Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phơng trình đại số.
Bµi Giải bất phơng trình sau:
a 821x 4x 21x 5 b 9x
2 −2x−2
(13)
2x − x2
3
c
2
2.3
x x x x
, §S: 23
1
0 log
3
x
d
2 2
2.49x 9.14x 7.4x 0
e 32x 8.3x x4 9.9 x4 0,§S:x>5
Bài Tìm m để bpt sau có nghiệm: 49x 5.7xm0,ĐS:
25
m
3 BÊt phơng trình lôga
(12)a
2
3
log x x D 08
x
, §S:2 2,1 , 2, 2 2 b
2
0,7
log log 08 ,
4
x x
B x
§S: -4<x<-3, x>8 c log log (93 72) 1 02 ,
x
x B
§S: log 739 x2
d
2
1
5
log (x 6x8) 2log ( x 4) 0
e
3
3
3
2log (4 3) log (2 3) 07 ,
x x A x d
1
2
2
log (4x 4) log (2x 3)
x
g 2x12log2x≥2 2log2x Bài 2. Tìm m để phơng trình:
m9x (2m1)6xm.4x 0 (1) nghiệm với x [0; 1]
¿
23x=5y2−4 y
4x+2x+1
2x
+2 =y
¿{
¿
§S (0,1) (2,4)
¿
23x=5y2−4y
4x+2x+1
2x
+2 =y
¿{
¿
§S (0,1) (2,4)
¿
logx(x3+2x2−3x −5y)=3
logy(y3+2y2−3y −5x)=3
¿{
¿
¿
log1
4
(y − x)−log4(1
y)=1 y2
+x2=25
¿{
¿
KA 2004 (3,4)
Hệ mũ lôga
Bài Giải hệ sau:
a
log1
4
(y − x)−log4(1
y)=1 y2+x2=25
¿{
¿
(A-04)§S(3;4) b
2
9
1
3log log
x y
x y
(B-05)
c
¿
23x
=5y2−4 y
4x
+2x+1
2x+2 =y
¿{
¿
(D-02) d
¿ x −4|y|+3=0 √log4x −√log2x=0
¿{
¿
Bµi Giải hệ sau:
a
log2(x
+y2)=5
2 log4x+log2y=4 ¿{
¿
b
2
log ( ) log
2
9 3( ) (1)
3 (2)
xy xy
x y y x
(13)c
¿
logx(x3+2x2−3x −5y)=3
logy(y
3
+2y2−3y −5x)=3 ¿{
¿
d
2 2
3 3
3 log log log
2 log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
Bài Giải hệ sau:
a
2
2
log ( ) log ( )
x y x y
x y b ¿
logy√xy=logxy
2x+2y=3
¿{
¿
c
¿ x2
+y=y2+x
2x+y
−2x −1=x − y
¿{
¿
d
¿
(x4+y) 3y − x4=1
8(x4+y)−6x
4 − y =0 ¿{ ¿ -Tích phân
I Các phơng pháp tính tích phân Phơng pháp tính trực tiếp
- Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm Phơng pháp đổi biến số
D¹NG 1:TÝnh I =
b
' a
f[u(x)].u (x)dx
cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1: I = ) ( ) ( ) ( ) ( ' )
( u b
a u b a dt t f dx x u x u f
C¸ch thực hiện:
Bớc 1: Đặt t u(x) dt u'(x)dx
Bíc 2: §ỉi cËn : ( )
) ( a u t b u t a x b x
Bớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta đợc
) ( ) ( ) ( ) ( ' )
( ub
a u b a dt t f dx x u x u f I (tiÕp tục tính tích phân mới)
DạNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
cách đặt x = (t)
Công thức đổi biến số dạng 2:
t t dt
f dx x f I b a ) ( ' ) ( ) ( C¸ch thùc hiƯn:
Bớc 1: Đặt x(t) dx'(t)dt
Bớc 2: Đổi cận :
t t a x b x
Bớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta đợc
t t dt
f dx x f I b a ) ( ' ) ( ) ( (tiÕp tơc tÝnh tÝch ph©n míi)
Chú ý: Một số dạng dùng đổi biến số dạng 2:
D¹ng:
2
a x dx
, 2
dx a x
đặt x = asint.
D¹ng:
2
dx x a
đặt x = atant,
2
( )
dx ax b c
đặt ax b cott. Phơng pháp tích phân phần
(14)
b b b
udv uva vdu
a a
b C¸ch thùc hiƯn:
Bớc 1: Đặt ( )
) ( ' )
( '
) (
x v v
dx x u du dx x v dv
x u u
Bớc 2: Thay vào công thức tích phân từng phần :
b
a
b
a b
a vdu v
u udv
Bíc 3: TÝnh b a uv
vµ b
a vdu Chó ý:
- Thờng áp dụng phơng pháp tích phân phần biểu thức tích phân có dạng hỗn tạp mà dùng phơng pháp đổi biến số không tính đợc.
- Mét sè d¹ng tÝch phân áp dụng phơng pháp phần:
Dạng 1. I = ( )
b
a
f x dx
víi f(x) = p(x) sin cos
x x
x e
, với p(x) hàm đa thức Đặt u = p(x)
Dạng I = ( )
b
a
f x dx
víi f(x) = p(x).lnx, víi p(x) hàm đa thức
Đặt u = lnx
D¹ng I = ( )
b
a
f x dx
víi f(x) = ex
sin cos
x x
Đặt u = ex dv = exdx
ở dạng số lần áp dụng phần bậc p(x), dạng áp dụng phần lần, dạng áp dụng phần lần lặp lại ban đầu từ suy kq.
II Bài tập
Bài 1. Tính tích ph©n sau:
6
5
0
1
Ax x dx
2
5
1
dx B
x x
1
7
0
Cx x dx
1
3
0
x
D dx
x
1
2
01
x
E dx
x
2
F x x dx
(D – 2003)
2
11
x
G dx
x
(A – 2004)
2
5
dx H
x x
(A – 2003) Bài 2. Tính tích phân sau:
2
3
0
cos sin
A x xdx
4
2
sin cos
x
B dx
x
(15)6
2
cos 5sin sin
x C dx x x cos sin dx D x x /4 2sin x E dx sin x
(B – 2003) F =
/
0
sin cos cos
x xxdx
(B – 2005)
G = /
0
sin sin 3cos
x xxdx
(A – 2005) H
/2 2 sin cos 4sin xdx x x
(A – 2006)
I =
/
0
tan cos2
xdx
x
(A – 2008)
/4
0
sin( )
sin 2(1 sin cos )
x dx J
x x x
(B 2008) Bài 3. Tính tích phân sau:
ln
ln 3
x x
dx A
e e
(B – 2006)
2 sin
0
( x cos ) cos
B e x xdx
(D-05) ln ln e x C dx x x D =
1 3ln ln
e
x x dx x
(B – 2004)
1 2 ln x E dx x x ln 2 x F dx e
Bµi 4. TÝnh tích phân sau:
2
0
cos
A x xdx
sin cos x x B dx x
( 2) x Cx e dx
(D – 2006)
2
2
ln(1 x)
D dx x ln(1 )
Ex x dx
2 lnx F dx x
(D – 2008)
3
ln
e
Gx xdx
(D – 2007) H =
3 2
ln(x x dx)
(D – 2004) x xe I dx x
J xtg xdx
øng dơng h×nh học tích phân
A. Tính diện tích hình phẳng
Dạng
S = S(H)
( ) 0( ) ( ) ( ) b a y f x
y ox
f x dx x a
x b a b
D¹ng S = S(H)
( ) ( )
y f x y g x
với điều kiện pt:
Dạng
S = S(H)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a y f x
y g x
f x g x dx x a
x b a b
(16)f(x) = g(x) cã Ýt nhÊt nghiƯm
Bíc Gi¶i pt: f(x) = g(x) t×m nghiƯm
x1< x2< … < xn
Bíc ta cã:
S =
2
1
( ) ( )
x
x
f x g x dx
+
3
2
( ) ( )
x
x
f x g x dx
+ … +
1
( ) ( )
n
n
x
x
f x g x dx
S = S(H)
( ) ( )
( ) ( )
( )
b
a x f y
x g y
f y g y dy y a
y b a b
Chú ý: Nếu diện tích cần tính ko có dạng làm theo cách sau: C1: Dựa vào pt hoành độ giao điểm để đa dạng trên.
C2: Dựa vào hình vẽ để tách diện tích cần tính thành diện tích nhỏ mà có
1 d¹ng trên.
B. Tính thể tích vật thể tròn xoay
D¹ng 1.
2
( )
( )
( )
( )
b b
ox H
a a
y f x y
V V f x dx y dx
x a x b a b
D¹ng 2.
2
( )
( )
( )
( )
b b
oy H
a a
x f y x
V V f y dy x dy
y a y b a b
D¹ng
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
b ox
H
a y f x
y g x
V V f x g x dx
x a x b a b
Chú ý: Nếu thể tích cần tính khơng rơi vào 3 dạng dựa vào pt hồnh độ giao điểm dựa vào hình vẽ để biến đổi đa dạng trên.
Bài Tính dthf giới hạn đờng sau:
a y = x3 +3x2+1, y =1. b y = -x4 + 2x2+3, ox.
c y = x3 – 2x2 +1 vµ y – x +1 = 0. d
1
1
2
y x
x
, ox, x = 2, x =
e
3 1
x y
x
, ox, oy
Bµi a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y =
2
4
x x ,
y = x + (A – 2002)
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong :
2
4
4
2
x vaø y
x y
(B – 2002)
c Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = (e + 1)x , y = (1 + ex)x(A – 2007)
d Cho hình H giới hạn đường : y = xlnx , y = 0, x = e Tính thể tích khối trịn xoay quay hình H quanh trục Ox. (B – 2007)
Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO Đề THAM KHảO 5
Đề THI TUYểN SINH ĐạI HọC, CAO ĐẳNG NĂM 2009
Môn thi : TOáN, khối A
Thi gian làm : 180 , không kể thời gian phỏt
(17)Câu I (2,0 điểm)
Cho h/s y = – 2x3 + 6x2 –
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
Lập ph/tr tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(– ; – 13)
Câu II (2,0 điểm)
Giải bất phơng trình :(log log ).log2 2
4
x x
x
Giải phơng trình : x x
x x
2 sin
1 sin
2 sin
2
sin
= cot 2x
Câu III (1,0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đờng y = ; y = ) (
2
x x x Câu IV (1,0 điểm)
Cho lng tr ng ABCA1 B1 C1 có AB = a ; AC = 2a ; AA1 = 2a góc BAC = 120o Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB vng góc với MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A1BM)
C©u V (1,0 điểm) Cho x , y z biến số dơng Tìm giá trị nhỏ biểu thøc
P =
3 3 3 2 2 2
3 4( 3) 4( ) 4( ) 2
x z z
y y
x x
z z
y y
x
II PHầN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh đợc chọn làm hai phần (phn hoc phn 2)
1.Theo chơng trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mpOxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(– ; 0) Biết phơng trình cạnh AB AC lần l-ợt 4x + y + 14 = ; 2x + 5y – = Tìm toạ độ đỉnh A , B , C ?
2) Cho mp(P): x – 2y + 2z – = đờng thẳng (d1) : 3
1 y z
x
(d2) :
5
6
y z
x
a) Viết phơng trình mp(Q) chứa (d1) vuông góc với (P)
b)Tìm điểm M thuéc (d1); N thuéc (d2) cho MN song song với (P) cách (P) khoảng
Câu VIIa (1,0 điểm) Tính tích phân I =
dx x x
1
4
0
2 Theo chơng trình Nâng cao:
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mpOxy cho điểm A(2 ; 1) Lấy điểm B thuộc trục Ox có hồnh độ khơng âm điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm cho tam giác ABC vuông A Tìm B , C cho diện tích tam giác ABC lớn
2 Trong k/g Oxyz cho điểm A((– ; ; – ) ; B(5 ; – ; 7) mặt phẳng (P) : x + y + z = a) Tìm giao điểm I đờng thẳng AB mặt phẳng (P)
b) T×m ®iÓm M thuéc (P) cho MA2 + MB2 nhá nhất
Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm x , y thc N tho¶ m·n hƯ :
66 22
2
3
x y
y x
C A
C A