1 A ( x A ; yA ; zA ) , B ( x B ; yB ; z B ) TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Trong khơng gian Oxyz cho: r r a = ( a1;a ;a ) , b = ( b1; b ;b ) Khi đó: uuur AB = ( x B − x A ; y B − y A ;z B − z A ) r r 3) a ± b = ( a1 ± b1;a ± b ;a ± b ) r a = a12 + a 22 + a 32 rr a.b = a1.b1 + a b + a 3.b AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) r k.a= ( ka1 ;ka ; ka ) r r a = b ⇔ a1 = b1;a = b ;a = b3 r r r r r r r a a a a / /b ⇔ a = k.b ⇔ a, b = ⇔ = = b b b 2 r r r r rr a a a a a1 a = 10 a , b ; ; a⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b3 = ÷ b b b b b1 b 3 r r r r r r r r r 11) a, b,c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ ¡ : a = mb + nc hay a, b c = r r r r r r r r r a, 12) a, b,c không đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ ¡ : a = mb + nc hay b c ≠ uuuu r uuur x −kx B y A −ky B z A −kz B k ≠ ⇔ MA = kMB ⇒ M A ; ; 13 M chia đoạn AB theo tỉ số ÷ 1− k 1− k 1− k x + x B yA + yB zA + zB ; ; Đặc biệt: M trung điểm AB: M A ÷ 2 x + x B + x C yA + y B + yC z A + z B + zC ; ; 14 G trọng tâm tam giác ABC: G A ÷ 3 x + x B + x C + x D y A + y B + yC + y D z A + z B + z C + z D ; ; 15 G trọng tâm tứ diện ABCD: G A ÷ 4 r r r 16 Véctơ đơn vị: i = (1;0;0); j = (0;1;0);k = (0;0;1) 17 Điểm trục tọa độ: M(x;0;0) ∈ Ox; N(0; y;0) ∈ Oy;K(0;0;z) ∈ Oz 18 Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0) ∈ ( Oxy ) ; N(0; y;z) ∈ ( Oyz ) ;K(x;0;z) ∈ ( Oxz ) uuur uuur 19 Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = AB, AC uuur uuur 20 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = AB, AC uuur uuur uuur 21 Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD = AB, AC AD uuur uuur uuuu r 22 Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C'D ' : VABCD.A ' B'C ' D ' = AB, AD AA ' CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác uuur uuur • A,B,C ba đỉnh tam giác ⇔ AB, AC không phương , lập tỉ số • G ( x G ; yG ;z G ) trọng tâm tam giác ABC thì: xA + xB + xC y + yB + yC z + zB + zC ; yG = A ; zG = A 3 uuur uuur u u u r u u u r S = AB, AC Suy diện tích hình bình hành ABCD là: S∆ABC = AB, AC ABCD 2.S∆ABC Đường cao: AH = BC xG = • • Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành • Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng uuur uuur • ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện: uuur uuur uuur AB; AC AD ≠ • uuur uuur uuur AB; AC;AD khơng đồng phẳng hay • G ( x G ; yG ;z G ) trọng tâm tứ diện ABCD thì: xA + xB + xC + xD y + yB + yC + yD z + zB + zC + zD ; yG = A ; zG = A 4 u u u r u u u r u u u r Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD = AB;AC AD 6 3V Đường cao AH tứ diện ABCD: V = SBCD AH ⇒ AH = SBCD uuur uuur uuuu r Thể tích hình hộp: VABCD.A ' B'C ' D ' = AB; AD AA ' xG = • • 3.Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: S ( I;R ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 ( 1) Trong khơng gian Oxyz phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu khi: a + b + c − d > Khi mặt cầu có: Tâm I ( a; b; c ) Bán kính R = a + b + c − d qua M (x ; y ;z ) mặt phẳng (α) : → VTPT n = (A ; B ; C) ⇒ mp(α) : A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α ' ) : A 'x + B' y + C'z + D ' = A B C = = ≠ A ' B' C' A B C (α) ≡ (α ') ⇔ = = = A ' B' C ' (α) / /(α ') ⇔ D D' D D' (α) ⊥ (α ') ⇔ AA '+ BB'+ CC ' = (α) ∩ (α ') ⇔ A B B C C A ≠ hay ≠ hay ≠ A ' B' B' C ' C' A' • Chú ý: Ta quy ước “phân số” có “mẫu số” “tử số” Phương trình theo đọan chắn mặt phẳng Mp ( α ) cắt Ox A ( a;0;0 ) , cắt Oy B ( 0; b;0 ) , cắt Oz C ( 0;0;c ) có phương trình là: x y z + + = , abc ≠ a b c Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α ' ) : A 'x + B' y + C'z + D ' = r r n1 n Gọi ϕ góc hai mặt phẳng, ta có: cos(α,β) = r r →cos ϕ = n1 n AA '+ BB'+ CC ' A + B2 + C A '2 + B'2 + C'2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M ( x ; y ;z ) Khi đó: d ( M0; ( α ) ) = Ax + By0 + Cz + D A + B2 + C Phương trình tham số phương trình tắc → Đường thẳng d qua M ( x ; y ; z ) có vectơ phương u = ( a; b;c ) có : x = x o + at - Phương trình tham số d: y = y + bt (t ∈ R) z = z + ct x − x y − y0 z − z = = - Phương trình tắc d: a b c (abc ≠ 0) Vị trí tương đối hai đường thẳng → Đường thẳng d qua M ( x ; y ; z ) có vectơ phương u = ( a;b;c ) đường thẳng d ' qua → M ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) có vectơ phương u ' = ( a ';b ';c ' ) Khi đó: r → → uuuuuu + d d ' nằm mặt phẳng ⇔ [u, u '].M M ' = 0 r → → uuuuuu → → → + d d ' cắt ⇔ [u, u '].M M ' = ∧ [u, u '] ≠ 0 r → → → → → uuuuuuu + d / /d ' ⇔ [u, u '] = ∧ [u, M M ' ] ≠ 0 r → → → → uuuuuu + d ≡ d ' ⇔ [u, u '] = [u, M M ' ] = 0 r → → uuuuuu + d d’ chéo ⇔ [u, u '].M M ' ≠ 0 10 Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng Đường thẳng d qua M ( x ; y0 ; z0 ) có vectơ phương r ( α ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n = ( A;B;C ) Khi đó: + d cắt (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ Aa + Bb + Cc = + d / /(α) ⇔ Ax + By + Cz + D ≠ Aa + Bb + Cc = + d ⊂ (α ) ⇔ Ax + By + Cz + D = → r r r r + d ⊥ (α) ⇔ u / /n ⇔ u, n = → u = ( a; b;c ) mặt phẳng 11 Góc hai đường thẳng → → Cho đường thẳng d có vectơ phương u = ( a; b;c ) đường thẳng d ' có vectơ phương u ' = ( a ';b ';c ' ) Gọi ϕ góc hai đường thẳng ta có: → → u u' cos ϕ = → → = u u' a.a '+ bb'+ cc ' a + b + c a ' + b ' + c' 2 2 2 (0 ≤ ϕ ≤ 900 ) 12 Góc đường thẳng với mặt phẳng r Cho đường thẳng d có vectơ phương u = ( a;b;c ) mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A;B;C ) → Gọi ϕ góc hợp đường thẳng d mặt phẳng ( α ) ta có: → → u.n sin ϕ = → → u.n = Aa + Bb + Cc A + B2 + C2 a + b + c 13 Khoảng cách từ điểm M1 ( x1 ; y1; z1 ) đến đường thẳng ∆ có vectơ phương u : + Cách 1: → - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M1 vng góc với ∆ Tìm tọa độ giao điểm H ∆ mặt phẳng ( α ) d ( M1 ; ∆ ) = M1H uuuuuur r M1M , u + Cách 2: Sử dụng công thức: d ( M1; ∆ ) = r u 14 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo ∆ qua M ( x ; y ; z ) có vectơ phương u đường thẳng ∆ ' qua → M '0 ( x '0 ; y'0 ; z '0 ) có vectơ phương u ' → + Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ∆ song song với ∆ ' - Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng ( α ) d( ∆, ∆ ') = d(M '0 ,(α)) r ur uuuuuur u, u ' M M '0 + Cách 2: Sử dụng công thức: d(∆, ∆ ') = r ur u, u '