Tài liệu Bài tập nâng cao ĐS 9

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) 5 3 29 12 5A = − − − b) 8 4 4 2 3 4 2 x x B x x + + = + + Bài 2: Cho phương trình 2 2( 1) 2 4 0.x m x m− − + − = a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 2 M x x= + Bài 3: Chứng minh rằng: a) ( ) 2 2 2 2 x y x y + + ≥ b) ( ) 4 4 4 8 x y x y + + ≥ c) ( ) 4 4 1 8 5x y xy + + ≥ với , 0; 1x y x y> + = Bài 4: Giải các phương trình: a) 3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − = b) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 12 1 3 2 1 4x x x x+ − + + = c) 2 2 48 4 10 3 3 x x x x   + = −  ÷   d) 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + − + − − − = Bài 5: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 0 2 0 xy y x y x y x  − + =   + + =   Bài 6: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 5 7 x P x x = − + b) Tìm giá trị trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 4 4 4 12 9Q x x x x= + + + − + Bài 7: a) Chứng tỏ rằng: 3 3 70 4901 70 4901 5− + + = b) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn: 2 2 3 7 2002x y+ = c) Tìm trên đường thẳng 1y x= + các điểm có toạ độ thoả mãn 2 3 2 0y y x x− + = Bài 8: a) Tính 1 1 1 1 . 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 S = + + + + + + + + b) Tìm m để hai phương trình sau có đúng một nghiệm chung ( ) 2 2 3 6 0x m x− − + = và 2 2 5 0x x m+ + − = Bài 9: a) Cho hai số dương x và y thoả mãn: 10x y+ = . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) 4 4 1 1A x y= + + c) Chứng tỏ rằng: 7 2 3 2 3 29 5 20 2 2 3 2 2 3 + − < + < + + − − Bài 10: a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) x y z x y y z z x x y z x y y z z x  + + =  − − −    + + =  − − −  b) Cho phương trình: 2 2( 1) 4 0x m x m− + + − = *) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. *) Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 x x M x x x x + = − + − Bài 11: a) Giải phương trình: ( ) 2 2 5 10 1 7 2x x x x+ + = − + b) Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 4 2 5 x xy x y x y  − + + =   + =   c) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1x yz y zx z xy xy yz xz+ + + + + ≥ + + + Bài 12: a) Cho phương trình: 2 1 0x mx m− + − = có hai nghiệm x 1 và x 2 *) Tìm giá trị của biểu thức: 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3x x M x x x x + − = + *) Tìm m để 2 2 1 2 10x x+ = . b) Giải hệ phương trìmh: 2 2 2 2 2 3 9 2 2 2 x xy y x xy y  + + =   + + =   c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: 1 4 2n n n+ + < + Bài 13: a) Chứng minh rằng: ( ) 2 3 1 2 3n = + − là số hữu tỉ b) Rút gọn biểu thức: 2 1 2 1M x x x x= + − + − − với 1x ≥ c) Cho 10a b+ = . Chứng minh: ( ) ( ) 4 4 1 1 101x y+ + ≤ Bài 14: a) Cho phương trình: ( ) 2 2 1 2 1 0m x mx− − + = . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn: 2 2 1 2 1x x− = b) Giải các phương trình và hệ phương trình: *) 2 7 5 12 38x x x x− + − = − + *) 2 2 2 2 8 7 x y x y x y xy  + + + =   + + =   *) 1 1 1 1 x y x y  + + =   + + =   c) Cho 1; 1x y≥ ≥ . Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ + + + Bài 15: a) Rút gọn biểu thức: 2 2 1 1 1 x x x x M x x x x x − + = − + + + + − + với 0 1x ≤ ≤ b) Giải phương trình: 3 3 3 1 1 5x x x+ + − = c) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 5 3x x x x x x− + − = + d) Giải phương trình: 3 2 3 2 5 3x x− = e) Giải phương trình: 3 2 1 3 x x x− − = Bài 16: a) Cho 2 1 1 2 1 1 2 1 1 x = − + − + + . Tính giá trị của biểu thức: ( ) 2009 4 3 2 2 1A x x x x= − − + − b) Rút gọn biểu thức: 2 3 6 8 4 2 3 4 P + + + + = + + c) Cho 2 2 2 ; 0; 0x y xy y x y− = ≠ + ≠ . Tính giá trị của biêủ thức: x y Q x y − = + d) Tìm hai số tự nhiên a và b biết a a b b − = Bài 17: a) Cho hai số dương có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 P a b = + b) Cho hệ phương trình: 2 2 3 3 0 2 2 9 0 x y x y x y − − =   + − − − =  có hai nghiệm ( ) 1 1 ;x y và ( ) 2 2 ;x y . Tính giá trị của biểu thức: M= ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 M x x y y= − + − c) Giải phương trình: ( ) ( ) 2 5 2 1 7 10 3x x x x+ − + + + + = d) Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 2 3 5 6 7 x x y y xy  + =   + =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y x y 185 x xy y x y 65  + + + =   − + + =   Bài 18: a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: 2 2 2 2 1 2y x x y x y xy+ + + = + + b) Cho các số thực x,y,z thoả mãn: 6x y z xy yz xz+ + + + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 3x y z+ + ≥ c) Tìm m để phương trình: 4 2 2 4 0x mx+ + = có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4 , , ,x x x x thoả mãn: 4 4 4 4 1 2 3 4 32x x x x+ + + = d) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 5 2 0 4 0 x xy y x y x y x y  + − − + + =   + + + − =        =++− =−++ 4106 4610 yx yx Bài 19: a) Cho biểu thức: ( ) 2 2 1 2 1 1 x x x x x P x x x x − − + = − + + + − *) Rút gọn P. *) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. b) Giải phương trình và hệ phương trình: *) 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + *) 1 4 7 x y x y  + + =   + =   c) Xác định m để phương trình 2 2 2 2 2 0x mx m+ + − = có hai nghiệm. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 2 4A x x x x= + + − Bài 20: a) Cho biểu thức: 3 3 2 9 1 . 9 2 3 6 x x x x x P x x x x x     − − − − = − + −     − − + + −     *) Rút gọn biểu thức P *) Tìm x để P=1. b) Giải hệ phương trình: 2 2 2 6 1 14 x y z xy yz xz x y z  + + =  + − = −   + + =  3 3 1 21 x y x y + = −   + = −  c) Tìm k để phương trình: ( ) ( ) 2 12 5 4 1 0kx k x k− − − + = có tổng bình phương các nghiệm bằng 13. Bài 21: a) Chứng minh phương trình ( ) ( ) 2 2 2 3 3 4 4 2 0a b x a b x a b− + − + − = luôn có nghiệm với mọi a và b. b) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 1 1 35 x y xy x y + + =    + + + =   2 2 4 4 2 2 7 21 x y xy x y x y  + + =   + + =   c) Cho 2a b+ ≥ . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 0; 2 0x ax b x bx a+ + = + + = Bài 22: Cho phương trình: 2 2 6 9 0x mx m− − − = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn: 2 2 1 2 13x x+ = Bài 23: a) Giải các hệ phương trình: 2 2 11 30 x y xy x y xy + + =   + =  2 2 2 3 2 6 x y xy x y  + + = +   + =   64 1 1 1 4 xy x y = −    − =   b) Giải các phương trình: *) ( ) ( ) ( ) 2 6 7 3 4 1 6x x x+ + + = *) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + = Bài 24: a) Giải phương trình: 4 3 2x x− − = b) Tìm m để phương trình: ( ) 2 1 2 0x m x m− + + = có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. . các điểm có toạ độ thoả mãn 2 3 2 0y y x x− + = Bài 8: a) Tính 1 1 1 1 . 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 S = + + + + + + + + b) Tìm m để hai phương. trị trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 4 4 4 12 9Q x x x x= + + + − + Bài 7: a) Chứng tỏ rằng: 3 3 70 490 1 70 490 1 5− + + = b) Tìm các số nguyên x và y thoả