Moïi soá töï nhieân chaün lôùn hôn 2 ñeàu coù theå vieát döôùi daïng toång cuûa hai soá nguyeân toá Suoát hôn 200 naêm qua baøi toaùn ñoù vaãn coøn laø moät thaùch thöùc ñoái vôùi Toaù[r]
(1)
-oOo -LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ & SỐ CHÍNH PHƯƠNG : Số nguyên tố nghiên cứu từ nhiều kỷ - trước Công nguyên -
nay nhiều toán số nguyên tố chưa giải cách trọn vẹn Một toán tiếng toán GoldBach-Euler đề năm 1742 :
Mọi số tự nhiên chẵn lớn viết dạng tổng hai số nguyên tố Suốt 200 năm qua tốn cịn thách thức Toán học
Một số định nghóa :
p N , p > : p số nguyên tố Ö(p) = { 1, p }
Số số nguyên tố nhỏ số nguyên tố chẵn Mọi số tự nhiên chẵn lớn hợp số
Các toán minh họa: Bài 1:
Chứng minh có hữu hạn số nguyên tố Giải
Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1 , p2 , p3 , , pn pn số nguyên tố lớn
Xét số N = p1.p2.p3 pn + Khi N chia số nguyên tố pi ( i = 1,n ) dư 1.( )
Mặt khác N > pn nên N hợp số N chia hết cho số nguyên tố hay N chia
hết cho số pi ( i = 1,n ) ( )
Từ ( ) & ( ) Mâu thuẩn !
Vậy tập hợp số nguyên tố vô hạn Bài 2:
Cho a, a + k, a + 2k số nguyên tố lớn Chứng tỏ k chia hết cho ( a, k N )
Giải
Vì a a + k hai số nguyên tố lớn nên a a + k hai số lẻ ( a + k ) – a chia hết cho k chia hết cho ( )
Khi chia số : a, a + k, a + 2k cho chúng số nguyên tố lớn nên ta số dư
Điều chứng tỏ : Trong số a, a + k, a + 2k có hai số chia có dư
Nếu hai số a, a + k ( a + k ) – a = k chia hết cho Nếu hai số a, a + 2k ( a + 2k ) – a = 2k chia hết cho k chia hết cho ( 2,3 hai số nguyên tố )
Nếu hai số a + k, a + 2k ( a + 2k ) – ( a + k ) = k chia hết cho Vậy trường hợp ta có k chia hết cho ( )
Từ ( ) & ( ) , ta có k chia hết cho ( 2, hai số nguyên tố ) Bài 3:
Cho a số tự nhiên lẻ, b số tự nhiên Chứng tỏ a ab + hai số nguyên tố nhau.
Giaûi
Giả sử dƯC( a, ab + ) ( dN*
(2)Nhưng a số lẻ nên a không chia hết cho d=2 d=4 Vậy d=1, hay a ab + hai số nguyên tố
Ta tiếp tục tìm hiểu thêm số tính chất SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
M
ỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT
Một số tự nhiên A gọi số phương bình phương số tự nhiên ( Định nghĩa khuôn khổ Lớp )
Ví dụ: số 49 số phương 49 = 72 ( 49 bình phương số tự nhiên )
Chữ số tận số phương chữ số : , , , , , 9 ( Đây tính chất quan trọng, đề nghị bạn đọc ý.! )
Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Chứng minh:
Thật , giả sử N số phương N = a2
Khi phân tích a thừa số nguyên tố giả sử a = mxnypz
thì N = ( mxnypz )2 = m2xn2yp2z ; hay N chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Từ tính chất , ta suy ra:
+ Số phương chia hết cho phải chia hết cho 4. + Số phương chia hết cho phải chia hết cho 9. + Số phương chia hết cho phải chia hết cho 25. Tổng quát:
Số phương N chia hết cho p ( p nguyên tố ) N chia hết cho p2 Ngoài : Nếu n2 chia hết cho p2 n chia hết cho p
Chứng minh:
Thật vậy, N không chia hết cho p2 = p.p = p1.p1 N không chứa thừa số
nguyên tố p phân tích N thừa số ngun tố Điều chứng tỏ N không chia hết cho p:trái đề bài! Vậy N chia hết cho p N chia hết cho p2
Cách chứng minh khác :
Giả sử N = n2 Ta chứng minh n chia hết cho p
Thật vậy, chia n cho p ta : n = pk + m với m < p Nếu m không chia hết cho p (*) ( m, p ) =
Khi n2 = (pk + m)2 = ( p2k2 + 2pkm + m2 ) chia hết cho p
m2 chia hết cho p Mà ( m, p ) =
m = n =pk n2 chia heát cho p2
Ngồi làm tập SỐ CHÍNH PHƯƠNG bạn cần ( đương nhiên ! ) nắm số tính chất “ đẳng thức ” ( Có thể chứng minh kiến thức Lớp )
( a + b )2 = a2 + b2 + 2ab
( a - b )2 = a2 + b2 - 2ab
a2 - b2 = ( a - b ).( a + b )
Các tốn minh họa: Bài 1:
Chứng tỏ tích số phương với số liền trước số chia hết cho 12.
(3)Gợi ý
Gọi số phương cho n2 Ta cần chứng minh n2 ( n2 -1 ) chia hết cho 12
Ta coù n2 ( n2 - ) = n2 ( n - 1).( n + ) = n n.( n - 1).( n + )
n.( n - 1).( n + ) chia hết cho n chẵn n2 chia hết cho
n lẻ ( n - 1).( n + ) chia heát cho
n2 ( n2 -1 ) chia hết cho n2 ( n2 -1 ) chia hết cho 12 Bài 2:
Chứng tỏ số phương chia hết cho chia dư 1.
Gợi ý
Goïi n2 số phương (nN)
Khi chia n cho 3, ta có khả năng:
Nếu n chia dư ( n chia hết cho ) hiển nhiên n2 chia hết cho 3
Nếu n chia dư n có dạng n = 3k + ( kN) n2 = (3k + 1)2 = 3.3k2 + 2.3k + 1= ( 3k2 + 2k ) + n2 chia dư
Nếu n chia dư n có dạng n = 3q + ( qN) n2 = ( 3q + )2 = 3.( 3q2 + ) + = 3.( 3q2 + ) + n2 chia dö
Vậy trường ta có n2 hoặc chia hết cho chia cho dư 1.
Bài toán tương tựï : Mời bạn “Tìm số dư phép chia số phương cho 5” Bài 3:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 135 ta số chính phương
Gợi ý
Gọi số phải tìm A Theo đề , ta có : 135.A = n2 ( nN ) hay 33.5.A = n2
Số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên A = 3.5.k2 ( kN )
k = A = ( Loại )
k A 3.3.5 = 135 ( Loại A số có hai chữ số ) k = ,
k = A = 15 k = A = 60
Vậy : Số cầm tìm 15 60.
Qua ví dụ ta thấy Bài tập SỐ NGUYÊN TỐ & SỐ CHÍNH PHƯƠNG loại Bài tập nói phong phú đặc sắc. Chúng ta gặp lại chúng vào phần Bài tập mẫu.
MOÄT SỐ BÀI TẬP MẪU :
Tìm số ngun tố p cho p + 94 p + 1994 hai số nguyên tố Gợi ý
p = p + 94 = 96 : hợp số p = : Loại
p = p + 94 = 97 p + 1994 = 1997 Ta thấy 97 , 1997 hai số nguyên tố p = :nhận
p > p không chia hết cho p chia dư Nếu p chia dư 1thì p = 3k + 1( kN ) Khi :
(4)p + 94 = 3q + 96 = 3.( q + 32 ) chia hết cho ( Loại khơng ngun tố ) Vậy p = 3
Tìm nN để p = ( n - ).( n2 + n - ) số nguyên tố Gợi ý
Nhận xét : Để p số nguyên tố n - = n2 + n - = ( Vì khơng có
thừa số dễ thấy p khơng số nguyên tố )
Nếu n - = n = Lúc p = (3 - 1).(32 + - 1) = 11 : số nguyên tố Nếu n2 + n - = n2 + n = n( n + ) = n =
Lúc p = (1 - 2) = - N ( Loại ) Vậy n =
Chứng tỏ ( a, ) = a2 - chia hết cho 24 Gợi ý
Vì ( a, ) = ( a, ) = , Ö (6) ( a, ) = Ta coù a2 - = ( a - )( a + )
( a, ) = a laø số lẻ a - ; a + hai số chẵn liên tiếp ( a - )( a + ) chia heát cho (1)
Xét tích a.( a - ).( a + ) tích số tự nhiên liên tiếp a.( a - )( a + ) chia hết cho
Mà ( a, ) = ( a - )( a + ) chia hết cho (2) Từ (1) & (2) a2 - chia hết cho 24.
Tìm số ngun tố có chữ số abc biết cba lập phương số tự nhiên
Gợi ý
Vì cba lập phương số tự nhiên nên ta giả sử cba = n3
( nN ) Nhận xét :43 = 64 < 53 = 125 cba = n3 93 = 729 < 103 = 1000
n { 5, 6, 7, 8, }
n = abc = 612 : Hợp số ( Loại ) n = abc = 343 : Hợp số ( Loại ) n = abc = 215 : Hợp số ( Loại ) n = abc = 927 : Hợp số ( Loại )
n = abc = 521 : Dễ dàng kiểm tra số nguyên tố Vậy số cần tìm 521
Cho p 2p + số nguyên tố ( p > ) Chứng tỏ 4p + hợp số. Gợi ý
Xét số tự nhiên liên tiếp : 4p , 4p + , 4p + 2 4p.(4p + 1).(4p + 2) chia hết cho 3.
( 4, ) = 1 p.(4p + 1).(4p + 2) chia heát cho 3 ( p, ) = 1 (4p + 1).(4p + 2) chia heát cho (*)
Vì 4p + = 2.( 2p + ) ( , ) = ; ( 2p + , ) = (*) 4p + chia hết cho hiển nhiên 4p + > ( p > ) nên 4p + hợp số
Cho a, b, c ba số tự nhiên thỏa mãn hệ thức : a2 + b2 = c2 Chứng tỏ a b không thể đồng thời hai số lẻ.
Gợi ý
(5)(*) & (**) : Mâu thuẩn !
Chứng tỏ x, y hai số tự nhiên thỏa x2 + y2 chia hết cho x, y chia hết cho 3
Gợi ý
Vì x2 + y2 chia hết x2 , y2 chia hết cho khơng chia hết cho
3
Nếu x2 , y2 chia hết cho x , y chia heát cho
Thật x (hay y) chia dư x2 ( hay y2 ) chia dư (Bạn tự chứng minh
phần ) : Vô lý !
Nếu x2 , y2 khơng chia hết cho chúng số phương nên x2 , y2 chia dư Nhưng x2 + y2 khơng chia hết cho ( Trái đề ! )
Vaäy x2 + y2 chia hết cho x, y chia hết cho 3
Chứng tỏ :
Neáu a + b a2 + b2 chia hết cho 11 a.b chia hết cho 11 a + b chia heát cho a3 + b3 chia heát cho
Gợi ý
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 2ab = (a + b)2 - (a2 + b2 ) (*)
a + b chia heát cho 11 (a + b)2 chia heát cho 11
và a2 + b2 chia hết cho 11 ( đề cho ) Từ (*), ta có 2ab chia hết cho 11
ab chia hết cho 11 ( 2, 11 số nguyên tố )
Hg dẫn : Xét hiệu (a3 + b3 ) - (a + b) = ( a3 - a ) - ( b3 - b ) = a(a - 1)(a + 1) - b(b -1 )(b + 1)
Chứng tỏ :
Neáu A = 111 111⏟
100 vaø B =
222 .222
⏟
50 A - B số phương
Gợi ý Ta có A = 111 111⏟
50
00 .0
⏟
50 +
111 111
⏟
50 ; B = x
111 111
⏟
50
A - B = 111 111⏟
50 x 10
50 - 111 111⏟
50 =
111 111
⏟
50 x ( 10
50 - ) = 111 111⏟
50
x 999 999⏟
50
= ( x 111 111⏟
50 )
2
Vì x 111 111⏟
50 N A - B số phương
Chứng tỏ n3 - 13n chia hết cho ( Với nN ) Gợi ý
Ta coù n3 - 13n = n3 - n - 12n = n.( n2 - ) - 12n
12n = 2.6n chia hết cho Ta chứng minh n.( n2 - ) chia hết cho 6
Thật n.( n2 - ) = n.( n - ).( n + ) tích số tự nhiên liên tiếp, :
Có số chia hết cho Có số chẵn
Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Hay n.( n - ).( n + ) chia hết cho
Vaäy n3 - 13n chia hết cho
(6)BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :
Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn hệ thức : xy + = z ( Đề thi LQĐ Quận -Lớp
-Năm 1995 )
Đs: x = ; y = ; z = 5
Tìm số có chữ số hệ đếm thập phân abcd , biết số thỏa mãn hai điều kiện sau : bc có tận cd
abcd - bc số phương
a) Tìm abcd số phương cho biết abcd bội d số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên aN cho a2 + 10a + 1964 số phương
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 45 ta số phương. Đs: 20 45 80
Tìm số nguyên tố a, biết a vừa tổng hai số nguyên tố vừa hiệu hai số nguyên tố
Đs: a = 5
Tìm số tự nhiên n có hai chữ số , biết 2n + 3n + hai số phương Đs: n = 40.
Cho a, b, c ba số tự nhiên thỏa mãn hệ thức : a2 + b2 = c2 (*)
Chứng tỏ b lẻ a chia hết cho
Đs: b lẻ a chẵn c lẻ Xem a = 2k; b = 2m + 1; c = 2n + 1. Thay vào (*), chứng minh 2Ư(k)
Tìm số nguyên tố p cho tổng ước số p4 số phương.
( Đề thi HSG Toàn quốc Khối lớp - Năm học 1993 1994 ) Đs: p = 3
Cho A = 111 111⏟
2 n ; B =
444 444
⏟
n Chứng tỏ A + B + số phương
Đs: A + B + = (10n+2
3 )
2
Tìm số phương có chữ số , biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống
Ñs: 7744