bai tap vecto tong hop du dang

Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC, E là điểm trên đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE:AC=2:3.. Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a.[r]

(1)

25 - 10 - 09

Vấn đề 1: Chứng minh điểm thẳng hàng:

1 Cho tam giác ABC M, N, E điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số

4 3; 2;

3

  

I trung điểm cảu AN Chứng minh M, E, I thẳng hàng

2 Cho hình bình hành ABCD Gọi M điểm chia đoạn AB theo tỉ số 1 3 

, E điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số 2 Chứng minh ba điểm M, N, E thẳng hàng

3 Cho tam giác ABC Chứng minh I, J, A thẳng hàng biết I, J điểm xác định 3IB  2 IC 0 v JA  3JB  2JC0

4 Cho tam giác ABC Biết I, J điểm xác định IC IB IA  0 v JA JB  3JC0

       

a Chứng minh I, G, B thẳng hàng với G trọng tâm tam giác ABC

b Chứng minh IJ 

cùng phương với

5 Cho tam giác ABC trọng tâm G, M điểm tùy ý GọiA B C1; ;1 1lần lượt điểm đối xứng M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB

a Chứng minh AA BB CC1; 1; 1đồng quy trung điểm O đường. b Chứng minh M, G, O thẳng hàng

6 Cho tam giác ABC, D E thỏa DA2DB3DC0 2v EB3EC0

      

a Chứng minh A, D, E thẳng hàng b Dựng điểm D thỏa điều kiện trên?

7 Cho hình bình hành ABCD, I trung điểm cạnh BC, E điểm đường chéo AC thỏa mãn tỉ số AE:AC=2:3 Chứng minh D, E, I thẳng hàng

8 Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy điểm M, N, P cho

 

a 2a

BM , CN , AP x x a

3 3

    

a Tính AM theo AB, AC

                           

b Chứng minh

1 3x

PN AC AB

3 a

 

   

 

  

c Tính x theo a AM vng góc với PN Vấn đề 2: Chứng minh hai điểm trùng nhau:

1 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tam giác ANE tam giác CMF có trọng tâm

2 Cho tam giác ABC, hai điểm D, E thỏa mãn hệ thức

1

. ; . ; 0; 1

DB k DC EB EC k k k

   

   

a Biểu diễn vecto AD AE DE, ,

  

theo vecto AB AC BC, ,   

                                      

b Chứng minh tam giác ABC tam giác DEF trọng tâm c Gọi I F hai điểm thỏa mãn hệ thức IC k IA ; FA k FA .

   

Chứng minh AD BI CF  0    

                                                   

Vấn đề 3: Chứng minh biểu thức vecto khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M:

1 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh vecto u3MA 5MB 2MC

   

(2)

2 Cho tứ giác ABCD A B C D1; ; ;1 1 điểm di động k số thay đổi cho:

1 ; ( 1) ; ( 1) ; ( 4) ;

AA k AB BB  k BC CC  k CD DD  k DA

                                                                                                               

chứng minh vecto uA C1 1B D1                              không đổi

3 Cho tứ giác ABCD điểm M tùy ý Chứng minh vecto v3MA 7MB2MC2MD

    

không phụ thuộc vào vị trí điểm M

4 Cho tam giác ABC M điểm tùy ý

a Chứng minh vector v MA 2MB 3MC  

   

không phụ thuộc vào vị trí M b Hãy dựng điểm I cho CI v

 

c Đường thẳng CI cắt AB N Chứng minh NA 2NB 0 

  

vaø CI 3CN  . d Gọi D E hai điểm cho BD DE EC 

  

Hãy dựng p AB AC DA EA                                                          Vấn đề 4: Xác định vị trí điểm M thỏa đẳng thức vecto cho trước:

1 Cho hình bình hành ABDC Hãy xác định vị trí điểm M cho MA MB  3MC 4MD0. Cho lục giác ABCDEF Hãy xác định vị trí điểm M cho

)

) 3

)

a MA MB MC MD ME MF b MA MB MC MD ME MF c MD ME MF

                                                                                                                         

3 Cho tam giác ABC

a Dựng điểm E, F, G thỏa mãn hệ thức BE3AB BF; 3AC BG BE BF;  

                                                                                                 

b Chứng minh điểm G nằm đường thẳng BC

Vấn đề 5: Chứng minh đường thẳng thay đổi qua điểm cố định.

1 Cho tam giác ABC, M N hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: MN 3MA3MB 4MC

   

a Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

b Gọi P điểm thỏa MP BN    2MB chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định.

2 Cho tam giác ABC M điểm thay đổi thuộc miền tam giác Gọi A’, B’, C’ hình chiếu vng góc M BC, CA, AB Gọi I trọng tâm tam giác A’B’C’ Chứng minh đường thẳng MI qua điểm cố định

3 Cho tam giác ABC Và hai điểm M, N thỏa MN 4MA MB  3MC

   

a Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định M, N thay đổi

b Gọi E điểm thỏa ME  2BN chứng minh đường thẳng ME qua điểm cố định.

4 Cho tam giác ABC trọng tâm G hai điểm I, J thoả mãn : IA2 IB, 3 JA              2JC O= CMR : Đường thẳng IJ qua G. Vấn đề 6: Tìm tập hợp điểm:

1 Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp điểm M thỏa k MA2MB(2 k MC) 3MD0

                                                                     

với k số thực tùy ý Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện:

a MA2MB MB2MC                                                        

b MA MB  2MC 2MA MB 3MC                                                                                    

c MA3MB 2MC 2MA MB MC                                                                                      d 2

MA MB MC  MA MB MC

(3)

3

Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện:

3

MA MB MC  MA MB MC      

                                                                             

4 Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi cạnh AB, CD cho AM:AB=CN:CD Tìm tập hợp trung điểm I MN

5 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M thỏa a MA2MB3MC0

   

b MA MB  3MC0

   

6 Cho tam giác ABC đường thẳng d tìm d điểm M cho MA MB 3MC   

                                      

nhỏ Vấn đề 7: Chứng minh hai vecto phương tính chất hình học:

3 Cho tam giác ABC, I J hai điểm thỏa điều kiện: IA2IB0; JA5JB 3JC0

      

Chứng minh BCIJ hình bình hành

4 Tam giác ABC vng A AH đường cao Chứng minh rằng:

 

2 2

) c ) c AC b AB

a BH AC AB b AH

b c b c



  

 

 

   

5 Tam giác ABC có AB AC vu ông góc voi AB CA

   

Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A

6 Hai đoạn thẳng AB, CD trượt cạnh Ox, Oy góc xOy, A thuộc đoạn OB, C thuộc đoạn OD; I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh IJ song song với phân giác góc xOy độ dài IJ không đổi

7 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trọng tâm tam giác ABD, BCD Chứng minh EF song song với AC Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức BC+MA=O ;AB−NA−3AC=O

Chứng minh MN // AC

9 Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E trung điểm DB CMR:EA EB EC ED DA BC       . Vấn đề 8: Vecto hệ trục toạ độ:

1 Trong maët phẳng Oxy, cho ba điểm        

2

A 2,k ; B k, , C 2k,4k ; D k ; 1 

.

a) Định k để có AB CD

                           

.

b) Gọi I a,b  trung điểm AB Tìm hệ thức a b độc lập k.

2 Tìm trục hoành điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới điểm A 1,2 ; B 3,4    nhỏ nhất.

3 Cho biết ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC A 2,1 ; B 5,3 , C 3, 4      , lập

phương trình ba cạnh tam giác.

4. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D biết: a) AD – 2BD + 3CD = 0

b) AD – 2AB = 2BD + BC c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD

5. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D biết: a) AD – 2BD + 3CD = 0

b) AD – 2AB = 2BD + BC c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD

6. Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), O tâm lục giác , i hướng với OD , j hướng EC Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác

(4)

điểm BC, i hướng với OC , j hướng OA . a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm E AC