Tài liệu Cấp số cộng

KIỂM TRA BÀI CŨ: Cho dãy số với ( ) n u 32 += nu n Viết 5 số hạng đầu của dãy. Giải Ta có: u 1 =2.1 +3 = 5 u 2 =2.2 +3 = 7 u 3 =2.3 +3 = 9 u 4 = 2.4 + 3 = 11 u 5 =2.5+3= 13 Vậy 5 số hạng đầu của dãy là: 5, 7 , 9, 11, 13 Từ đó em hãy chỉ ra một quy luật rồi viết năm số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật đó. + 5 số hạng tiếp theo của dãy: 15, 17 , 19, 21, 23 Dãy số như trên gọi là cấp số cộng + Quy luật đó là mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng đứng ngay trước nó với 2 đơn vị. Trả lời: §3. CẤP SỐ CỘNG I. Định nghĩa II. Số hạng tổng quát III. Tính chất: IV. Tổng n số hạng đầu của CSC I. ĐỊNH NGHĨA §3. CẤP SỐ CỘNG I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai Khi d = 0 VD : 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 với u 1 = 5 và d = 0 + = + ∈ n n 1 * u u d , n Nvíi Nếu (u n ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi : §3. CẤP SỐ CỘNG thì cấp số cộng là một dãy số không đổi §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 13, 10, 7, 4, 1 Ta có: u 1 =13 u 2 =10 = 13 +(-3) =u 1 +(-3) u 3 =7 = 10 +(-3) =u 2 +(-3) u 4 =4 = 7 +(-3) =u 3 +(-3) u 5 =1 = 4 +(-3) =u 4 +(-3) Giải Vậy dãy số trên là 1 cấp số cộng với công sai d= - 3 §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 2: Cho dãy số (u n ), với u n = 3n – 1. Chứng minh rằng (u n ) là cấp số cộng. Giải + Tìm u n+1 (thay n trong công thức u n bởi n + 1) Hướng dẫn: + Chứng minh: u n+1 – u n = hằng số ( hằng số đó là công sai d) Ta có: u n+ 1 = 3(n+1) -1 = 3n+3-1=3n+2 Khi đó: u n+1 - u n =3n +2 –(3n – 1)=3n +2 -3n +1= 3 Vậy dãy số (u n ) là cấp số cộng (đpcm) §3. CẤP SỐ CỘNG Dãy số (u n ), với u n = n 2 có là cấp số cộng không? Trả lời: Ta xét: u n+1 - u n =(n+1) 2 –n 2 =n 2 +2n +1 – n 2 = 2n +1 Do đó dãy số trên không phải là cấp số cộng. Để chứng minh một dãy số vô hạn là cấp số cộng ta xét hiệu: H = u n+1 – u n + Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng + Nếu H = f(n) thì dãy số không là cấp số cộng §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 3: Cho (u n )là một CSC có 5 số hạng biết u 1 =-2 và d = 3. Viết dạng khai triển của CSC trên. Nếu (u n ) là CSC có công sai d thì u n+1 = u n + d Giải u 2 =u 1 +d = -2 +3 = 1 u 3 =u 2 +d = 1+3 =4 u 4 =u 3 +d = 4+3 =7 u 5 = u 4 +d = 7 +3 = 10 Ta có: Dạng khai triển của csc trên là: -2; 1; 4; 7; 10 = u 1 + 1.d = u 1 +(2-1)d =u 1 +d+d= u 1 + 2.d= u 1 +(3-1)d Tổng quát u n = = u 1 + 3.d = u 1 +(4-1)d = u 1 + 4.d = u 1 +(5-1)d ? u 1 + (n-1).d u 51 = ? 148 §3. CẤP SỐ CỘNG II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT ĐỊNH LÍ 1 Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức: u n = u 1 + (n – 1)d, n ≥ 2 Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (u n ) biết u 1 = -5, d = 3. a. Tính u 15 . b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? [...]...§3 CẤP SỐ CỘNG Giải: a Ta có: un = u1 +(n-1).d ⇒ u15 = u1 +(15-1).d= -5 +(15-1).3 =-5 + 14.3= -5 +42 = 37 b Ta có: un = u1 +(n-1).d ⇒ 100 = u1 +(n-1).d 100 − u1 100 − (−5) 105 ⇒ n −1 = = = = 35 3 3 d ⇒ n =35+ 1 = 36 Vậy số 100 là số hạng thứ 36 của cấp số cộng §3 CẤP SỐ CỘNG 1 Cho cấp số cộng: 3, 6, x, 12 Khi đó: a x = 18 b x = 9 c x = 7 d x = 21 . Nếu (u n ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi : §3. CẤP SỐ CỘNG thì cấp số cộng là một dãy số không đổi §3. CẤP SỐ CỘNG Ví dụ 1:. dãy số trên không phải là cấp số cộng. Để chứng minh một dãy số vô hạn là cấp số cộng ta xét hiệu: H = u n+1 – u n + Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số