Nhận xét: Mỗi cách tô màu m cho đồ thị G sẽ ứng với một cách phân hoạch tập đỉnh V thành các tập ổn định trong không giao nhau, mỗi tập ứng với một màu.. Ngược lại, mỗi cách phâ[r]
(1)BÀI 07
4.2 Sắc số đồ thị
Khái niệm sắc số liên quan đến tốn tơ màu đồ thị sau:
Hãy tô màu đỉnh đồ thị cho, cho hai đỉnh kề phải tơ hai màu khác
Ta nói rằng, đồ thị G tô k màu tồn hàm: m : V → {0, 1, 2, , k-1}
sao cho, hai đỉnh x y kề m(x) ≠ m(y)
Dễ thấy rằng, đồ thị G tô màu khơng có đỉnh nút Định nghĩa 4.5: Sắc số đồ thị số màu dùng để tơ đỉnh đồ thị
Ta ký hiệu số s sắc số đồ thị G Hiển nhiên s ≤ n , số màu không vượt số đỉnh đồ thị
Ví dụ 4.6: Hãy tô màu đồ thị sau
Hình 4.6 Tơ màu đỉnh đồ thị
Đồ thị có sắc số
Nhận xét: Mỗi cách tô màu m cho đồ thị G ứng với cách phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không giao nhau, tập ứng với màu Ngược lại, cách phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không giao cho ta cách tô màu
Định lý 4.6: Mọi chu trình độ dài lẻ ln có sắc số Chứng minh: Giả sử chu trình có độ dài 2n+1
Ta chứng minh quy nạp theo số n
(2)n =1 : Chu trình gồm đỉnh, mà hai đỉnh kề Vậy ta phải dùng màu để tô đỉnh
(n) ⇒ (n+1) : Giả sử α chu trình có độ dài 2(n+1)+1 = 2n+3 với dãy đỉnh [x1 , x2 , , x2n+1 , x2n+2 , x2n+3]
Nối x1 với x2n+1 ta chu trình α’ có độ dài 2n+1 Theo giả thiết quy nạp, chu trình α’ có sắc số Lấy màu x1 tơ cho x2n+2, cịn màu x2n+1 tơ cho x2n+3 Chu trình α tơ màu mà khơng phải thêm màu
Vậy chu trình α có sắc số Định lý 4.7: Đồ thị đầy đủ n đỉnh Kn có sắc số n
Dưới tiêu chuẩn đơn giản để kiểm tra xem đồ thị có hai sắc (sắc số 2) hay khơng
Định lý 4.8 (Konig): Giả sử đồ thị G có cạnh Đồ thị G hai sắc G khơng có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ
Chứng minh:
Giả sử G đồ thị hai sắc Theo Định lý 4.6 G khơng thể có chu trình đơn vơ hưóng độ dài lẻ
Ngược lại, giả sử G khơng có chu trình đơn vơ hướng độ dài lẻ Khơng tính tổng qt xem G liên thơng Chọn đỉnh a đồ thị
Hình 4.7 Cách xây dựng hàm tô màu
Đặt m(a) =
Với x ≠ a ta ký hiệu d(x) độ dài đường vô hướng ngắn nối a với x Đặt m(x) = d(x) mod Ta chứng minh m hàm màu G
(3)Hàm tô màu m có hai giá trị, sắc số ≤ G có cạnh nên sắc số
Từ định lý có hệ sau
Hệ 4.9: Tất chu trình độ dài chẵn có sắc số
Kết cho ta thuật tốn tốt để tìm sắc số đồ thị vô hướng
Định lý 4.10: Đồ thị vơ hướng G có sắc số s G có hàm Grundy g ≤ s-1
Chứng minh:
⇐) Nếu đồ thị G có hàm Grundy g ≤ s-1 việc chọn g làm hàm tơ màu ⇒) Ngược lại, giả sử đồ thị G có sắc số s, nghĩa tồn hàm tô màu m với tập màu {0, 1, , s-1} Đồ thị G khơng có đỉnh nút
Hàm tô màu m phân hoạch tập đỉnh V thành tập ổn định không rỗng, không giao nhau: Ci = {x ⏐ m(x) = i } , i = 0, 1, … , s-1
Với tập ổn định đồ thị vô hướng ln bổ sung đỉnh để thành cực đại, nhân đồ thị
Ta xây dựng hai dãy tập đỉnh V0, V1, V2, … B0, B1, B2, … sau:
V0 = V
Vì C0 tập ổn định V0 nên bổ sung để thành tập B0 nhân V0 Hiển nhiên B0⊆ V0
V1 = V0 \ B0
Vì C1\ B0 tập ổn định V1 nên bổ sung để thành tập B1 nhân V1 Ta có C1 \ B0 ⊆ B1⊆ V1
Vi+1 = Vi \ Bi
Vì Ci+1\ (B0 ∪ ∪ Bi) tập ổn định Vi+1 nên bổ sung để thành tập Bi+1 nhân Vi+1 Ta có Ci+1 \ (B0 ∪ ∪ Bi) ⊆ Bi+1⊆ Vi+1
Quá trình tiếp tục Vk-1
Ck-1 \ (B0 ∪ ∪Bk-2) tập ổn định Vk-1
Sau bổ sung thành nhân Bk-1 ta có Ck-1 \ (B0 ∪ ∪Bk-2) ⊆ Bk-1⊆ Vk-1
Ta có Ck-1 = (C k-1 ∩ (B0 ∪ ∪ Bk-2 )) ∪ (C k-1 \(B0 ∪ ∪ Bk-2 )) ⊆ (B0 ∪ ∪ Bk-2) ∪ B k-1 = B0 ∪ ∪ Bk-1
(4)Vậy đến nhân B k-1 ta vét hết đỉnh V
Ta dãy: B0, B1, , Bk-1 , Bi nhân Vi Bây ta xây dựng hàm Grundy cho đồ thị G
Với x ∈ Bi đặt g(x) = i ta chứng minh g hàm Grundy đồ thị G
Hình 4.8 Cách xây dựng dãy nhân
1) Nếu x, y kề khơng thể nằm tập Bi Bi nhân, cho nên g(x) ≠ g(y)
2) Giả sử có u < g(x) = j
Khi x ∉ Bu Vì Bu tập ổn định ngồi Vu nên tồn y ∈ Bu cho y ∈ F(x) Suy g(y) = u, điều phải chứng minh Hệ 4.11: Mọi đồ thị vơ hướng khơng có đỉnh nút có hàm Grundy giá trị cực đại hàm phải sắc số đồ thị trừ
Thuật tốn 4.12 (Tơ màu đồ thị khơng có đỉnh nút)
1) Liệt kê đỉnh x1 , x2 , , xn đồ thị theo thứ tự giảm dần bậc: r(x1) ≥ r(x2) ≥ ≥ r(xn) để làm giảm phép kiểm tra bước
2) Tơ màu cho đỉnh x1 (đỉnh có bậc lớn nhất) đỉnh không kề với x1 không kề với đỉnh tô màu
3) Lặp lại thủ tục tô màu i+1 giống thủ tục tô màu i tô màu hết đỉnh đồ thị
(5)Hình 4.9 Tơ màu đồ thị
Định lý 4.13: Giả sử đồ thị G tô s+1 màu, đồ thị H tô t+1 màu Khi đồ thị tổng G + H tơ d+1 màu, đó:
d = max { s' ⊕ t' ⏐ s' ≤ s, t'≤ t } Chứng minh:
Theo Định lý 4.10 đồ thị G có hàm Grundy g ≤ s, đồ thị H có hàm Grundy h ≤ t Ta có z((x,y)) = g(x) ⊕ h(y) hàm Grundy đồ thị tổng G + H Giá trị lớn nhất hàm z d Từ suy kết Ví dụ 4.7: Đồ thị G tô màu, đồ thị H tơ màu đồ thị tổng G + H tô màu
Định lý 4.14: Nếu đồ thị G có n đỉnh sắc số s số ổn định u đồ thị G không nhỏ
s n
Chứng minh:
Lập tập đỉnh màu:
Ci = {x⏐x tô màu i}, i = 0, , s-1 tậpổn định |Ci | ≤ u
n = ∑−
=
s i
|Ci | ≤ s.u Suy ra: u ≥
s
n
Định lý 4.15: Nếu bậc lớn đỉnh đồ thị G r sắc số đồ thị G ≤ r+1
Chứng minh:
Chứng minh quy nạp theo số đỉnh n n = : Bậc đỉnh sắc số
(6)(n) ⇒ (n+1) : Giả sử đồ thị G có n đỉnh, đỉnh có bậc cao r Theo giả thiết quy nạp: s(G) ≤ r+1
Đồ thị G’ có n+1 đỉnh xem đồ thị G có n đỉnh thêm đỉnh a và số cạnh kề Khi đó: s(G) ≤ s(G') ≤ s(G) +1
Giả sử bậc cao đỉnh G’ r' Hiển nhiên: r ≤ r' Nếu s(G) ≤ r thì: s(G’) ≤ r+1 ≤ r'+1
Nếu s(G) = r+1 thì:
1) Trường hợp: r < r' ta có: s(G’) ≤ r +1+1 ≤ r'+1
Hình 4.10 Cách chọn màu cho đỉnh
2) Trường hợp: r = r' đỉnh a nối với không r đỉnh, cần giữ nguyên cách tô màu G đỉnh kề với a tơ khơng qúa r màu cịn thừa màu dành cho đỉnh a, suy ra: