Gián án Chuyen_de_3_He_phuong_trinh

Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Phần I. Lý thuyết: 1. Định nghĩa. 2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm. Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm. ax by c a' x b' y c ' + = + = (a, b, c, a, b, c khác 0) + Hệ có vô số nghiệm nếu a b c a' b' c ' = = + Hệ vô nghiệm nếu a b c a' b' c ' = + Hệ có một nghiệm duy nhất nếu a b a' b' 3. Các phơng pháp giải hệ. ax by c a' x b' y c ' + = + = a) Phơng pháp cộng đại số. + Nếu có ax by c ax b' y c ' + = + = (b b')y c c' ax b' y c ' + = + + = + Nếu có ax by c ax b'y c ' + = + = (b b')y c c ' ax b' y c ' = + = + Nếu có ax by c k.ax b'y c ' + = + = k.ax kby c k.ax b'y c ' + = + = (kb b')y k.c c ' ax by c = + = + Nếu hệ ax by c a' x b' y c ' + = + = có (a, a) = 1 thì hệ aa' x ba' y ca' aa' x ab'y ac ' + = + = b) Phơng pháp thế. ax by c a' x b' y c ' + = + = a c y x b b a' x b' y c ' = + + = = + + + = ữ a c y x b b a c a' x b' x c ' b b Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.) Phần II. Phân dạng bài tập: Dạng 1: GiảI hệ phơng trình không chứa tham số. Ví dụ: Giải các hệ phơng trình: a) + = = 2x y 7 4x 3y 4 b) + = + = 3a 3b 8 a b 4 2 c) 2 3 2 x y 1 1 5 x y + = + = Dạng 2: GiảI hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số. Ví dụ: Cho hệ pt: + = + + = 2 2 3mx (n 3) y 6 (m 1)x 2ny 13 a) Giải hệ pt với m = 2; n = 1 b) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3 Dạng3: GiảI biện luận hệ phơng trình có chứa tham số tham số. Ví dụ 1: Cho hệ pt: + = = mx y 2 2x y 1 Giải và biện luận hệ theo m. Bài làm: 2x y 1 mx y 2 = + = (2 m)x 3 (1) 2x y 1 (2) + = = + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3 - Nếu 2 + m = 0 m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3) Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm. - Nếu 2 + m 0 m - 2. Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 2 m+ + Thay x = 3 2 m+ vào phơng trình (2) ta có:y = 2x 1 = 6 2 m+ - 1 = 4 m 2 m + Vậy với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất 3 x 2 m 4 m y 2 m = + = + . Ví dụ 2: Cho hệ pt: + = + = nx y 2n nx ny n Giải và biện luận hệ theo n. Chú ý: Phơng trình ax = b (1) + Nếu a = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = b. - Khi b = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm. - Khi b 0 phơng trình (1) vô nghiệm. + Nếu a 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất b a Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình. Ví dụ 1: Cho hệ pt: + = + = x 2y 5 mx y 3 Tìm m để x < 0, y < 0 Ví dụ 2: Cho hệ pt: + = + + + = + 2 2 x ay a a 1 ax 3y a 4a Tìm m để x > 0, y < 0 Dạng5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình. D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình. Phơng pháp: Cho hệ pt: + = + = ax by c (1) a x b y c (2) có nghiệm 0 0 x x y y = = Thay x = x 0 ; y = y 0 lần lợt vào (1) và giải. Thay x = x 0 ; y = y 0 lần lợt vào (2) và giải. Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình = + = 2 3x 2y 7 (1) (5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 2.(- 2) = 7 3 + 4 = 7 Vậy (2; 1) là nghiệm của (1). Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n 2 4n 3 7n 3 = n 2 4n 3 n(n 11) = 0 = = n 0 n 11 Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình 2 2 1 5m(m 1)x my (1 2m) (1) 3 4mx 2y m 3m 6 (2) + = + = + + Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3. Giải: ĐK để hệ có một nghiệm: 2.5m.(m 1) 1 3 m.4m Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có: 5m 2 5m + m = 1 4m + 4m 2 m 2 = 1 m 1 m 1 = = (I) Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có: 4m + 6 = m 2 + 3m + 6 m(m 1) = 0 m 0 m 1 = = (II) Từ (I) và (II) Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm x = 1 ; y = 3 D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình. Phơng pháp: Cho hệ pt: ax by c a x b y c + = + = có nghiệm 0 0 x x y y = = Thay x = x 0 ; y = y 0 vào cả hệ pt ta đợc 0 0 0 0 ax by c a x b y c + = + = Giải hệ pt chứa ẩn là tham số. Ví dụ: Cho hệ pt: + = + + = 2mx (n 2)y 9 (m 3)x 2ny 5 Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1 Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có: (m 3).3 2n.( 1) 5 6m (n 2).( 1) 9 + + = + = 3m 2n 4 12m 2n 14 = = m 2 n 5 = = Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm x = 3; y = - 1. Dạng 6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y. Phơng pháp: Cho hệ pt: ax by c (1) a x b y c (2) + = + = (I) có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3) + Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3) (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3) + Kết hợp 2 pt đơn giản nhất. + Tìm nghiệm thay vào pt còn lại Giải pt chứa ẩn là tham số Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình 3x 2y 8 (1) 3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) + = + + = + (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = - 6 (3) Giải: Điều kiện: 3.(m + 5) 6m 0 m 5 Do (x; y) là nghiệm của hệ pt (I) và thoả mãn (3) (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3) Kết hợp (1) và (3) ta có: 3x 2y 8 4x 2y 6 + = = x 2 y 1 = = Thay x = 2, y = -1 vào pt (2) ta đợc: 6m (m +5) = m 2 - 1 m 2 5m + 4 = 0 m 1 m 4 = = ( t/m) Vậy với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x 2y = - 6 Ví dụ 2: Cho hệ phơng trình mx y 5 (1) 2mx 3y 6 (2) + = + = (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3 2.m m 0. Từ (1) y = 5 mx. Thay vào (2) ta có: 2mx + 3(5 - mx) = 6 x = 9 m (m 0) Thay x = 9 m vào y = 5 mx ta có: y = 5 - 9m m = - 4 Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm x = 9 m ; y = - 4 Thay x = 9 m ; y = - 4 vào pt (3) ta đợc: (2m 1). 9 m + (m + 1)(- 4) = m 18 - 9 m - 4m 4 = m 5m 2 14m + 9 = 0 (m 1).(5m 9) = 0 m 1 9 m 5 = = (thoả mãn) Vậy với m = 1 hoặc m = 9 5 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn pt (3). Dạng 7: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm nguyên. Chú ý: +) a Z m m Ư(a) (a, m Z) +) a Z m b Z m m Ư(a,b) Ví dụ 1: Cho hệ pt: + + = = (m 2)x 2y 5 mx y 1 Tìm m Z để hệ có nghiệm nguyên Giải: Từ (2) ta có: y = mx 1. Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7 x.(3m + 2) = 7 (m 2 3 ) x = + 7 3m 2 . Thay vào y = mx 1 y = + 7 3m 2 .m 1 y = + 4m 2 3m 2 Để x Z + 7 3m 2 Z 3m + 2 Ư(7) = } { 7; 7;1; 1 +) 3m + 2 = - 7 m = - 3 +) 3m + 2 = 7 m = 5 3 (Loại) +) 3m + 2 = 1 m = 1 3 (Loại) +) 3m + 2 = -1 m = - 1 Thay m = - 3 vào y = + 4m 2 3m 2 y = 2 (t/m) Thay m = - 1 vào y = + 4m 2 3m 2 y = 6 (t/m) Kết luận: m Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1 Ví dụ 2: Cho hệ pt: (m 3)x y 2 mx 2y 8 + = + = Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Giải: Từ (1) ta có y = 2 (m 3).x y = 2 mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 mx + 3x) = 8 - mx + 6x = 4 x.(6- m) = 4 (m 6) x = 4 6 m . Thay vào y = 2 (m 3).x ta có: y = 24 6m 6 m Để x Z 4 6 m Z 6 - m Ư(4) = } { 1; 1;2; 2;4; 4 +) 6 m = 1 m = 5 +) 6 m = -1 m = 7 +) 6 m = 2 m = 4 +) 6 m = - 2 m = 8 +) 6 m = 4 m = 2 +) 6 m = - 4 m = 10 Thay m = 5 vào y = 24 6m 6 m y = - 6 (t/m) Thay m = 7 vào y = 24 6m 6 m y = 18 (t/m) Thay m = 4 vào y = 24 6m 6 m y = 0 (t/m) Thay m = 8 vào y = 24 6m 6 m y = 17 (t/m) Thay m = 2 vào y = 24 6m 6 m y = 3 (t/m) Thay m = 10 vào y = 24 6m 6 m y = 9 (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m { } 5;7;4;8;2;10 Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ví dụ 1: Cho hệ pt: 2 2 mx y m 2x my m 2m 2 = + = + + a) CMR hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức: x 2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó. Giải: (2) (1) a) Do m 2 0 với mọi m m 2 + 2 > 0 với mọi m. Hay m 2 + 2 0 với mọi m Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx m 2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx m 2 ) = m 2 + 2m +2 2x + m 2 x m 3 = m 2 + 2m +2 2x + m 2 x = m 3 + m 2 + 2m +2 x(2 + m 2 ) = (m 3 + 2m) + (m 2 + 2) x(2 + m 2 ) =(m + 1)(m 2 + 2) do m 2 + 2 0 x = m + 1 Thay vào (3) y = m.(m + 1) m 2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x 2 + 3y + 4 ta đợc: (m + 1) 2 + 3m + 4 = m 2 + 5m + 5 = (m 2 + 2. 5 25 5 m ) 2 4 4 + = 2 5 5 5 (m ) 2 4 4 + Do 2 5 (m ) 0 2 + Vậy min (x 2 + 3y + 4) = 5 4 khi m = 5 2 Ví dụ 2: Cho hệ pt: 2 2 3mx y 6m m 2 (1) 5x my m 12m (2) = + = + Tìm m để biểu thức: A = 2y 2 x 2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó Giải: Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m 2 + m + 2. Thay vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m 2 + m + 2) = m 2 +12m x.(5 + 3m 2 ) = 6m 3 + 10m (5 + 3m 2 0 với mọi m) 3 2 6m 10m x 2m 3m 5 + = = + Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m 2 + m + 2 ta đợc y = m + 2 Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2) 2 (2m) 2 = -2(m 2 4m 4) A = -2(m 2 4m + 4 8) = -2(m 2 4m + 4) +16 = 2 2(m 2) 16 16 + Do 2 2(m 2) 0 ( ) m Vậy max A = 16 khi m = 2 Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số. Ví dụ 1: Cho hệ pt: + = + = 2mx 3y 5 x 3my 4 a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m.3m 3.(-1) = 6m 2 + 3 > 0 với mọi m Vậy 6m 2 + 3 0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Rút m từ (1) ta đợc m = 5 3y 2x thay vào (2) ta có: -x + 3. 5 3y 2x = 4 2x 2 + 8x -15y + 9y 2 = 0. Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Ví dụ 2: Cho hệ pt: (m 1)x y m x (m 1)y 2 + = + = Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Ví dụ 3: Cho hệ pt: + = + = 2 2 5x ay a 12a 3ax y 6a a 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào a. Bài tập về nhà: Bài 1: Giải hệ phơng trình: ( 2 1) 1 2 m 1 n 1 ( 2 1) 1 m 1 n = + + = Bài 2: Cho hệ phơng trình 2 2x 3y 7 3mx (m 3)y m 6m 3 = + + = Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) Bài 3: Cho hệ pt: (m 1)x 2ny 2 3mx (n 2)y 9 + + = + = a) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3 b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1 Bài 4: Cho hệ phơng trình 2 3x 2y 8 mx (3m 1)y m 1 + = + + = (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x 2y = -6 (3) Bài 5: Cho hệ phơng trình x my 3 2x 3my 5 + = + = Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m 2 1)x 10my = 4m + 5 (2) . 7;1; 1 +) 3m + 2 = - 7 m = - 3 +) 3m + 2 = 7 m = 5 3 (Loại) +) 3m + 2 = 1 m = 1 3 (Loại) +) 3m + 2 = -1 m = - 1 Thay m = - 3 vào y = + 4m 2 3m 2 y. 1) = 5 3mx + 2x = 7 x.(3m + 2) = 7 (m 2 3 ) x = + 7 3m 2 . Thay vào y = mx 1 y = + 7 3m 2 .m 1 y = + 4m 2 3m 2 Để x Z + 7 3m 2 Z 3m + 2