Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là năm đầu tiên sử dụng đại trà sách giáo khoa phân ban, nên tôi chỉ mới áp dụng lần đầu phương pháp này để củng cố kiến thức cuối năm cho học sinh hai lớp 12C8 và 12C9 trường THPT B[r]
(1)I TÊN ĐỀ TÀI
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
II ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương pháp toạ độ không gian phương pháp hữu hiệu để giải tốn hình học khơng gian Tuy nhiên để giải tốn phương pháp toạ độ khơng phải đơn giản tốn lại có phương pháp khác phải có kỷ định hướng bước giải, phải hệ thống kiến thức cách đầy đủ, giải tốn
Chính học sinh lớp 12 ban em thường bối rối cảm thấy khó khăn tốn phương pháp toạ độ Các em khơng biết từ đâu sử dụng phương pháp để giải
Hơn nữa, năm sử dụng đại trà sách giáo khoa phân ban Đối với ban bản, sách giáo khoa không cho nhiều công thức sử dụng để tính khoảng cách trước
Qua nhiều năm giảng dạy, tổng hợp số dạng tốn giải cách sử dụng kiến thức khoảng cách Vì vậy, tơi chọn đề tài “khoảng cách hình học khơng gian” để làm đề tài với mong muốn trang bị kiến thức, phương pháp giải số dạng toán cho học sinh chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông thi vào trường đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp Tôi hy vọng tài liệu bổ ích cho đồng nghiệp sử dụng công việc giảng dạy III CƠ SỞ LÝ LUẬN
1 Khoảng cách hai điểm
Cho hai điểm A x A A A;y z; ;B x B B B;y ;z Khoảng cách hai điểm A B độ dài đoạn AB tính theo cơng thức:
2 2 2
ABAB xB xA yB yA zB zA
2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng có phương trình
(2)a
(P)
M
(P) (Q)
M
N
0, 0
2 2
Ax By Cz D
d M
A B C
IV CƠ SỞ THỰC TIỄN
Mặc dù sách giáo khoa nêu công thức tính khoảng cách đơn giản tập có nhiều khoảng cách vận dụng khoảng cách để giải
Do tiết ôn tập cuối năm, ta cần dành thời gian để hệ thống lại kiến thức liên quan nhằm giúp học sinh nắm phương pháp để làm toán
1 Khoảng cách giữa đường thẳng mặt phẳng song song: Cho đường thẳng a
mặt phẳng (P) song song, ta có:
, ,( ) ,
d a P d M P M a
2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song, ta có:
, , , ( )
, , ( )
d P Q d M P M Q
d N Q N P
(3)Sau đây, tơi xin trình bày số dạng tốn Khoảng cách không gian
V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1 Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
VD1: Bài 6/ 90(sgk – ban bản)
Tính khoảng cách từ đường thẳng
3 :
x t
y t
z t
mặt phẳng :
2x- 2y + z + =
Giải: Đường thẳng qua M(-3; -1; -1), có vectơ phương
2;3;2
a
và mp có VTPT n(2; 2;1)
Suy ra: a n 0 M không nằm nên song song
Do đó:
2( 3) 2( 1) 2
, ,
3 4
d d M P
Bài tập tự rèn luyện:
Cho mp : 3x – 2y – z + = đường thẳng
1
:
2
x y z
a) Chứng tỏ / /
b) Tính khoảng cách giữa
Đáp số: 14
2 Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song.
VD2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 =
Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với mặt phẳng (P) Tìm khoảng cách mặt phẳng (P) (Q)
(4)A A'
D'
C' B'
D
C B
Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có VTPT (2; -3; 6) (Q) qua A(-2; 4; 3) Suy phương trình mp(Q):
2(x + 2) – 3(y – 4) + 6(z – 3) = 0 2x – 3y + 6z – = 0
Ta có (P)//(Q) nên khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ A đến (P) mà
4 12 18 19
,
4 36
d A P
Vậy d((P), (Q)) = 3
VD3: Bài 10/81 sgk – ban bản
Giải toán sau phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói trên Giải:
Chọn hệ trục toạ độ cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0), C(1; 1; 0), A’(0; 0; 1), B’(1; 0; 1), D’(0; 1; 1), C’(1; 1; 1).
' (1;0;1); ' (0;1;1); ' (0;1;1); ( 1;1;0)
AB AD BC BD
Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT AB' AD' ( 1; 1;1)
Mặt phẳng (BC’D) có VTPT BC' BD ( 1; 1;1)
Suy mp(AB’D’) (BC’D) song song
b) Khi khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từ A đến mp(BC’D’).
Ta viết phương trình mp(BC’D): x + y – z – = 0
1 1
( ,( ' ))
1 1
d A BC D
Vậy khoảng cách hai mp trên là
1
Bài tập tự rèn luyện:
Tính khoảng cách hai mặt phẳng có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = x + 2y + 2z + =
(5)3 Vận dụng công thức khoảng cách hai điểm, điểm với mặt phẳng để viết phương trình mặt cầu
Nhắc lại số cơng thức:
a) Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm I trung điểm AB bán kính r = ½ AB
b) Mặt cầu có tâm I qua điểm A có bán kính r = IA
c) Mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) có bán kính khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
VD4: Bài 12b/101- sgk – ban bản
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
Giải:
Viết phương trình mp(BCD): x + 2y + 3z – = 0 Mặt cầu tâm A tiếp xúc (BCD) có bán kính
, 2( 2) 3.2 14
1
r d A BCD
Phương trình mặt cầu: x 32y22z22 14 Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( d ) có phương
trình
x 2t
y t z t
mặt phẳng ( P ) có phương trình x – 2y + z + = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ( d ), bán kính 6, tiếp xúc với ( P )
Đáp số: x132 y 92z426 x112y32z 826 Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc mp (ABC)
(6)4 Vận dụng khoảng cách để xét vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng
Nhắc lại số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R mp(P)
Để xét vị trí tương đối (S) (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) so sánh với bán kính R
a) Nếu d I P , Rthì mặt cầu (S) mp(P) khơng có điểm chung
b) Nếu d I P , R mặt cầu (S) mp(P) có điểm chung Trường hợp này, ta nói (S) (P) tiếp xúc
c) Nếu d I P , R mặt cầu (S) mp(P) cắt theo đường tròn (C) có tâm hình chiếu I lên (P) bán kính
,
2 I P
r R d
VD5: Bài 5/ 92- sgk ban bản
Cho mặt cầu (S) có phương trình:
x 32y22z12100 mặt phẳng có phương
trình 2x – 2y – z + = Mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn (C)
Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) bán kính R= 10 Tính
2.3 2( 2) 1.1
, 10
4
d I
, suy cắt (S) theo đường trịn có tâm J hình chiếu I lên .
Đường thẳng d qua I vng góc với có phương trình
tham số:
3 2
x t
y t
z t
Khi J giao điểm d nên ta có toạ độ J là
nghiệm hệ:
3 2
2
x t
y t
z t
x y z
Giải tìm J(-1; 2; 3) bán kính
2 2 , 100 36 8
(7)Vậy đường trịn (C) có tâm J(-1; 2; 3) bán kính r = 8
Bài tập tự rèn luyện: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m2 – 3m = mặt cầu (S):
x12y12z129 Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc
Đáp số: m = - m =
5 Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Nhắc lại số công thức:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I P , R VD6: (Bài 8/93- sgk ban bản)
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z + 170 =
và song song với hai đường thẳng
5 ' ; ' '
13
x t x t
d y t d y t
z t z
Giải:
Đường thẳng d d’ có VTCP là: u(2; 3;2); ' (3; 2;0) u
Mặt phẳng song song với d d’ nên có vectơ pháp tuyến là:
' 4;6;5 n u u
Phương trình có dạng: 4x + 6y + 5z + D = 0 Mặt cầu (S) có tâm I(5; -1; -13) bán kính R = 5 Ta có tiếp xúc với mặt cầu (S)
4.5 6( 1) 5( 13)
5 16 36 25
51 77 51 77
,
D D
D
d I R
Vậy có mặt phẳng thoả yêu cầu 4x6y5z5 77 0 VD7: (Bài 9/100- sgk ban bản)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
(8)b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp(ABD)
Giải :
a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
Mặt cầu qua A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:
21
18
29
9 4
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
Giải hệ ta được: a ;2 b3;c1;d7 Suy ra, phương trình mặt cầu (S)
x2 + y2 + z2 –3x – 6y – 2z + =0
b) AB 1;0;0 , AD0; 2;0
Mp song song với mp(ABD) nên có VTPT 0;0; 2 0;0;1
n AB AD
Khi phương trình mặt phẳng có dạng: z + D = 0 Mặt cầu (S) có tâm
3 21 ;3;1 ,
2
I R
Ta có tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , R 21
2 21 D D
Vậy có phương trình mặt phẳng thoả yêu cầu z 221 0 Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1:
Cho mặt cầu (S): x12y12z2 11
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với hai đường thẳng
1 1
: ; :
1 1x y1 z2 x1 2 1y z
d d
(9)A
B
C D
H
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng ( P) có phương trình x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - = ; x – y – 2z + = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp (P)
6 Vận dụng khoảng cách để tính chiều cao hình chóp, diện tích, thể tích
Nhắc lại cơng thức :
a) Chiều cao hình chóp khoảng cách từ đỉnh đến đáy hình chóp
b)
1
V Sdayh
VD8: Bài 1c/91 sgk – ban bản
Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD
Giải: Viết phương trình mp(BCD): x – 2y – 2z + =
Độ dài đường cao AH hình chóp khảong cách từ A đến mp(BCD), ta có:
, 6.0 2.0
1 4
AH d A BCD
VD9: Bài 3b/92 sgk – ban bản
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0)
Tính chiều cao AH tứ diện ABCD Giải :
Ta viết phương trình mặt phẳng (BCD) là: 8x – 3y – 2z + = 0
Khi
8( 2) 3.6 2.3 36 ,
77 64
AH d A BCD
VD10: Bài 8d / 100 sgk – ban bản
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) Tính thể tích
tứ diện ABCD Giải:
Viết phương trình mp(ABC) :x – y – 2z – = 0
Cơng thức tính thể tích tứ diện:
3
(10)Chọn mặt đáy tam giác ABC Khi ( ,( ))
3 ABCd D ABC
V S
Để ý thấy tam giác ABC vuông A, tính khoảng cách từ D đến (ABC) 6.
Suy ra:
1
21 14
1
V
Ngoài ra, học sinh ta bổ sung thêm hai dạng tốn dưới đây- cho học sinh ban thích tìm hiểu thêm bổ sung thêm kiến thức để thi vào trường đại học, cao đẳng
7 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Hướng dẫn cho học sinh phát cách tính khoảng cách từ điểm
A(xA; yA; zA) đến đường thẳng
0
: 0
0
x x at
d y y bt
z z ct
Bước 1:Viết phương trình mp(P) chứa A vng góc với d Bước 2: Tìm giao điểm H d (P)
Bước 3: Tính d(A,d) = AH
VD11: Cho điểm M(2;0;1) đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
Gọi H hình chiếu M lên d Tìm toạ độ H Tính khoảng cách từ M đến d
Giải:
Gọi là mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng d Khi đó
nhận VTCP d làm VTPT nên có phương trình: 1(x – 2) + 2(y – 0) + 1(z – 1) = 0
x + 2y + z – = 0.
Ta có H hình chiếu M lên d nên H (1+t; 2t; 2+t) H( ) Thay toạ độ H vào phương trình : 1+ t + 4t + + t – = 0 Tìm t = Suy H(1; 0; 2)
Ta thấy khoảng cách từ M đến d đoạn MH.
d
(11)b
A
H
M
Vậy d M d , MH 1 2 20 0 22 1 2 Bài tập tự rèn luyện:
Tính khoảng cách từ M (1; 2; 1) đến d
2 1
:
1
x y z
Đáp số:
5
8 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo
Cần lưu ý với học sinh khoảng cách hai đường thẳng a b chéo khoảng cách đường thẳng a với mp(P) qua b song song với a ( học chương trình 11) Từ giúp học sinh hình thành phương pháp tính
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua b song song với a
Bước 2: lấy M a, ta tính
( , ) ,( ) ,( )
d a b d a P d M P
VD12:
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 0; -3), B(2; 0: -4),
C(2; 1; 0) D(4; ; -4) Tính khoảng cách đường thẳng AB CD Giải:
Ta có AB1;0; ; CD2;4; 4
Gọi mặt phẳng chứa CD song song AB Khi có VTPT là n AB CD 4;2;4 2 2;1;2
qua C(2;1;0). Ta viết phương trình mp : 2x + y + 2z – = 0
Khi khoảng cách AB CD khoảng cách AB và
hay khoảng cách từ A đến mp .
,( ) 2.1 1.0 2( 3)
3 4
d A
Vậy
1 ,
3 d AB CD
Bài tập tự rèn luyện:
Tính khoảng cách hai đường thẳng
1 : 1 x t y t z
(12)Đáp số:
6
VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Đây năm sử dụng đại trà sách giáo khoa phân ban, nên áp dụng lần đầu phương pháp để củng cố kiến thức cuối năm cho học sinh hai lớp 12C8 12C9 trường THPT BC Nguyễn Trãi cách có hệ thống Qua đó, tơi thấy, học sinh khá, tự hệ thống lại phương pháp giải tốn cách khoa học tự hình thành lại giải gặp lại toán tương tự Đối với học sinh yếu khả chậm Tuy nhiên học sinh xác định hướng giải tốn Tơi tiếp tục sử dụng phương pháp vào năm học tới để ôn tập cho học sinh VII KẾT LUẬN
“Khoảng cách hình học không gian”, đơn giản lý thuyết nhìn nhiều góc độ khác để áp dụng giải nhiều tốn khác
Vì thời gian khơng nhiều lực cịn hạn chế nên tơi đề cập số áp dụng khoảng cách số tốn hinh học khơng gian Tơi nghiên cứu tiếp đề tài khác phương pháp toạ độ thời gian
Rất mong đóng góp ý kiến thầy giáo đồng nghiệp VIII ĐỀ NGHỊ
Với thời lượng khố khơng thể đủ thời gian củng cố kiến thức cho học sinh Để ơn tập cho học sinh dạng toán cụ thể, phần nhờ vào tiết tự chọn phân phối chương trình tăng tiết nhà trường Do đó, ban giám hiệu trường Nguyễn Trãi quan tâm việc bố trí tăng tiết thứ năm, trái ca, để tạo điều kiện cho học sinh có thời gian rèn kỹ làm tốn
Với mong muốn học sinh ngày ham thích học tốn, tơi mong ban giám hiệu tiếp tục tạo điều kiện bố trí tăng tiết, tổ chức lớp nâng cao, tăng cường thêm hoạt động ngoại khố chun mơn trì hình thức khen thưởng, động viên học sinh
IX PHỤ LỤC
Một số toán đề tuyển sinh đại học- cao đẳng có liên quan đến khoảng cách
(13)Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0), B90; 0; 8) điểm C cho (0;6;0)
AC
Tính khoảng cách từ tring điểm I Bc đến đường thẳng OA
Hướng dẫn:
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua I vng góc với OA: x – =
Tìm toạ độ giao điểm (P) với OA M(1; 0; 0) Khoảng cách từ I đến OA độ dài IM = 5.
2) Khối D – năm 2004
Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết A(a; 0; 0), B( -a; 0; 0), C(0; 1; 0), B’(-a; 0; b), a > 0, b > Tính khoảng cách B’C AC’ theo a, b
Đáp số:
' , '
2
ab d B C AC
a b
3) Khối A – năm 2005
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
1 3
1
x y z
và
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Tìm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
Đáp số: I(3; -6; 1), I(-5; 9; 9) 4) Khối B – năm 2005
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm toạ độ điểm A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
Hướng dẫn: Viết phương trình mp(BCC’B’): 3x + 4y – 12 = 0
Tính bán kính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’): 24/5 Suy phương trình mặt cầu
5) Khối A – năm 2006
Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách A’C MN
Hướng dẫn: Viết phương trình mp(P) chứa A’C song song MN: x + z – = 0.
Do khoảng cách A’C MN khoảng cách từ A đến (P)
Đáp số: 2
6) Khối B – năm 2008
(14)Tìm điểm M mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – = cho MA = MB= MC
Đáp số: M(2; 3; -7)
X TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Bộ giáo dục đào đạo – Hình học 12 – Nhà xuất giáo dục – Năm 2008
2) Nguyễn Mộng Hy( chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên – tập Hình học 12 - Nhà xuất giáo dục - Năm 2008
3) Trần Bá Hà – Phân loại phương pháp giải tốn hình học 12 – Nhà xuất quốc gia Hà Nội – Năm 2008
(15)MỤC LỤC
Trang
I Tên tiêu đề
II Đặt vấn đề
III Cơ sở lý luận
IV Cơ sở thực tiễn
V Nội dung nghiên cứu
Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
5 Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến
mặt phẳng để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song
5 Vận dụng công thức khoảng cách hai điểm,
từ điểm đến mặt phẳng để viết phương trình mặt cầu
7 Vận dụng khoảng cách để xét vị trí tương đối
giữa mặt cầu mặt phẳng
8 Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt
phẳng tiếp xúc mặt cầu
9 Vận dụng khoảng cách để tính chiều cao hình
chóp, diện tích, thể tích
11 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 12 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 13
VI Kết nghiên cứu 13
VII.Kết luận 14
VIII Đề nghị 14
IX Phụ lục 14