Gäi N lµ giao ®iÓm cña AD víi BC.[r]
(1)Đề thi olympic năm học 2008-2009 Môn toán huyện hơng sơn
Câu1 Cho biểu thøc A= (x +1
x −1− x −1
x+1+
x2− x −1
x2−1 ).(
x −1004
x )
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thc A
c) Với giá trị x A<
2
Câu Cho hai số dơng x,y thoả mÃn x+y =1
a) Tính giá trị biểu thức M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65 b) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P= (1 −
x2).(1 − y2)
Câu Đa thức P(x) bậc có hẹ số bậc cao
Giả sử P(1)= ; P(3) =0 ; P(5) =0.H·y tÝnh gi¸ trị biểu thức : Q= P(-2) +7P(6)
Câu Tìm tất số nguyên n thoả mÃn : (n+5)2 =
[4(n− 2)]3
C©u Cho đoạn thẳng AB , gọi O trung ®iĨm cđa AB , vÏ vỊ mét phÝa cđa AB tia Ax By vuông góc với AB Lấy điểm C Ax , lấy điểm D trªn By cho gãc COD = 900
a) Chứng minh Δ ACO đồng dạng với ΔBOD
b) Chøng minh CD= AC + BD
c) KỴ OM vuông góc với CD M Gọi N giao ®iĨm cđa AD víi BC Chøng minh MN// AC
đáp án biểu điểm Câu 1( 3,5 )
a) (0,5đ) ĐKXĐ
x ≠ ±1 x ≠ 0
¿{
(2)b) (1,5®) Rót gän ta cã A= x −1004
x
c) (1,5®) A<
2khi
x −1004 x <
1 2⇔
x −2008
x <0⇔ 0<x<2008 KÕt hỵp víi
§KX§ ta cã
¿
0<x <2008 x ≠ 1
¿{
¿
Th× A<
2
Câu (4đ)
a) (2đ) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y)2 +34(x+y) +65
thay x+y =1 ta cã M=100 b) (2®) P= (1 −
x2).(1 −
1
y2) =
(x2−1) (y2− 1)
x2y2 thay x+y =1 ta cã
P = (x +1) ( y +1)
xy =
x + y +xy+1
xy =
2+xy xy =1+
2 xy
Ta cã P nhá nhÊt
xy nhá nhÊt x,y >0 nªn
xy nhá nhÊt x,y lín
nhất mà x+y =1 không đổi nên x,y lớn x=y=1/2 Vậy
Pmin=1+ 2
1
=9
Câu ( đ)
Vỡ P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nên đa thứcP(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm Mà hệ số bậc cao nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) Từ
⇒ P(-2) =210+105a vµ 7P(6) = 630-105a VËy Q= P(-2) +7P(6) =840 Câu (3,5đ)
Vì (n+5)2 0 với mäi n nªn n 2 DƠ thÊy n=2 không thoả mÃn nên n>2.
Với n>2 ta có
(n+5)2=64(n −2)3≥64(n −2)2⇒(n+5)2≥8(n − 2)⇔7 n≤ 21 ⇔n ≤ 3
KÕt hỵp víi n>2 ta cã n=3 VËy giá trị cần tìm n=3 Câu (6 đ)
a) (2đ) Ta có ∠BOD =∠OCA phụ với góc COA ∠ A =∠B=1V ⇒ ΔACO đồng dạng với ΔBOD
b) ( 2®)
KÐo dai CO cắt BD E ta có tam giác AOC tam giác BOE Suy CA =BE CO =OE Tõ AC =BE suy CA + BD=DE (1)
Tõ CO =OE vµ DO vuong gãc víi CE suy tam giác CDE cân D
CD=DE (2)
Tõ (1) vµ (2 ) ta cã AC+BD= CD c) (2®) Tõ AC//BD ta cã ND
NA= BD
AC (3) tam giác CDE cân D nên DO
cũng phân giác gãc CDE ⇒OM=OB VËy ΔMOC= ΔBOE mµ
ΔBOE=Δ AOC Suy ΔMOC= ΔAOC Từ AC=CM (40 mà AC+BD= CD =CM+MD suy BD =MD (5) Từ (3),(4),(5) ta có MD
MC = ND
NA VËy