on thi dai hoc phan ham socap toc

Häc sinh cÇn nhí vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c c«ng thøc: a... Từ đó suy ra giá trị tham số[r]

Phần khảo sát hàm số Bài toán liên quan A Khảo sát hàm số

I Các bớc khảo sát hàm số

Cỏc bc khảo sát hàm đa thức Các bớc khảo sát hàm hữu tỷ 1 Tập xác định

Sù biÕn thiªn

- ChiỊu biÕn thiªn, cùc - TÝnh låi lâm, ®iĨm n, - Giới hạn

- Bảng biến thiên 3 Đồ thị

- Giỏ tr đặt biệt, nx tính đối xứng - Đồ thị

1 Tập xác định Sự biến thiên

- ChiỊu biÕn thiªn, cùc - Giíi h¹n, tiƯm cËn - Bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Giá trị đặt biệ, nx tính đối xứng - Đồ thị

Sù kh¸c biƯt :

Hàm đa thức khơng có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai II Các dạng đồ thị hàm số:

 Hµm bËc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)



 Hµm sè trïng ph¬ng: y = ax4 + bx2 + c (a  0)



 Hµm sè : cx d (ad bc )

b ax

y

B Bài toán liªn quan

Dùng đồ thị biện luận phơng trình:

f(x) = m f(x) = g(m) f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) đợc khảo sát

x y

O  I

x y

O  I

a < a >

Dạng Hàm số CT ? x

y

O I

x y

O  I

a < a >

Dạng Hàm số có CT ?

x y

O x

y

O

a < a >

Dạng 2: hàm số có cực trị  ?  ?

x y

O x

y

O

a < a >

Dạng 1: hàm số có cực trị  ?

y

I

x y

O

Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến

D#ng 1: hsÌ ##ng biân x O

+ Đờng thẳng (d): y = m y = g(m) y = f(m) đờng thẳng thay đổi ln phơng với trục Ox

C¸c bíc gi¶i

Bớc Biến đổi phơng trình cho dạng pt (1) Bớc Lập luận

Bớc Dựa vào đồ thị để kết luận

Dựa vào pt hoành độ giao điểm để số giao điểm đồ thị hàm số Bài toán: Biện luận số giao điểm đờng (C): y = f(x) (C’): y = g(x)

Bớc Số giao diểm hai đờng cong (C1) y= f(x) (C2) y=g(x) số nghiệm ph-ơng trình hồnhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)

Bớc Dựa vào việc xét pt (1) suy số nghiệm để số giao điểm đồ thi hàm số

TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. Học sinh cần nhớ vận dụng thành thạo công thức: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

+ (C): y = f(x), trục Ox đờng thẳng x = a, x = b ( a < b)

 Ta sư dơng c«ng thøc b S f x dx

a

 ( )

(I) + Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]

 Ta sư dơng c«ng thøc b

a

Sf x( ) g x dx( )

(II)

+ TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh từ hình phẳng (H) giới hạn

(C): y = f(x), trục Ox đờng thẳng x = a, x = b ( a < b), (H) quay quanh Ox

 Ta dïng c«ng thøc

 2

b

a

V f x( ) dx (III)

4 Cùc trÞ cđa hµm sè

- u cầu học sinh:

 Biết số lợng cực trị dạng hàm số đợc học chơng trình:

 Hµm sè bËc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) cực trị có cực trị. + Hs cã ct  y’ cã nghiệm phân biệt

+ Hs ct  y’ cã nghiƯm kÐp hc v« nghiƯm

 Hàm số bậc dạng : y = ax4 + bx2 + c (a  0)  cã cùc trị cc trị. + Hs có ct  y’ cã nghiƯm ph©n biƯt(a.b<0)

+ Hs cã ct  y’ cã nghiÖm(a.b0)

 Hàm số biến dạng:

ax+b cx+d

y

tăng giảm cực trị

Hàm số hữu tỷ (2/1)d¹ng:

2

ax bx c y

a 'x b'

 



  cực trị có cc trị.

+ Hs cã ct  y’ cã nghiÖm phân biệt + Hs ct y vô nghiƯm

 Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) x0  (a;b)

- Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu từ +  – x qua x0 hàm số có cực đại x = x0 - Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu từ –  + x qua x0 hàm số có cực tiểu

x = x0

(Điều hsố khơng có đạo hàm x0 nhng hàm số có xác định đó)

 Hc:

- Nếu f’(x0) = f’’(x)  hàm số có cực trị x = x0 - Nếu f’(x0) = f’’(x) > hàm số có cực tiểu x = x0 - Nếu f’(x0) = f’’(x) < hàm số có cực đại x = x0 5 Viết PTTT đồ thị hàm số

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)

- Phương trình tiếp tuyến ( C ) M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)

- ( C ) : y = f(x) ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với

       

  

    

x g x f

x g x f

có nghiệm

( nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm )

Dạng : Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) M(x y0; 0)

Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )

- Nếu chưa cho y0 tính y0 = f(x0)

- Nếu chưa cho x0 x0 nghiệm phương trình f(x) = y0

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp

Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k  x k

f 

 0 Giải phương trình tìm x

0D y0f x0

Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 ) Cách : Gọi (d) : y = kx + b tiếp tuyến ( C )



   

   

  

 

 

2

b kx x f

k x f

có nghiệm Giải (1) tìm x vào (2) tìm b

Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b :

- (d1) song song với (d) (d1) có hệ số góc k = a

- (d2) vng góc với (d) (d1) có hệ số góc k = a



hay a.k = – 1

Dạng : Lập phương trình tiếp tuyến qua điểm A(x y1; 1)

Phương pháp

Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp

tuyến (C) M : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến qua A nên y1 –

y0 = f’(x0)( x – x0) giải phương trình tìm x0 thay vào (1)

Cách 2 : Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k Ta có (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) tiếp tuyến (C)

   

     

  

  

  

2

1 y x x k x f

k x f

có nghiệm

Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x vào (1) tìm k thay vào phương trình (1) Dạng :Sự tiếp xúc hai đường

  

  

) ( ) (

) ( ' ) ( '

x g x f

x g x f

có nghiệm Từ suy giá trị tham số

6 Max - min

a Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định D

Sè M gọi GTLN hàm số y=f(x) D nếu:

0

: ( ) : ( )

x D f x M x D f x M

  

   (ký hiƯu M=maxf(x) )

Sè m gäi lµ GTNN cđa hàm số y=f(x) D nếu:

0

: ( ) : ( )

x D f x m x D f x m

  

   (ký hiÖu m=minf(x) )

b Cách tìm GTLN-GTNN (a,b)

+ Lập bảng biến thiên hàm số (a,b)

+ Nu bảng biến thiên có cực trị cực đại( cực tiểu) giá trị cực đại (cực tiểu) GTLN(GTNN) hàm số (a,b)

b Cách tìm GTLN-GTNN [a,b]

+ Tìm điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) [a,b] + TÝnh f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)

+ Tìm số lớn M số nhỏ m số [ , ]

[ , ]

max ( ) ; ( ) a b a b

M  f x m f x

7 Bài toán khác

bi đề thi đại học

Bµi 1: Cho hµm sè y = – x3 + 3mx2 + 3( – m2 )x + m3 – m2 (1) (A 2002) 1) KSSBT VĐT hàm số (1) m =

2) Tìm k để pt : – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = có nghiệm phân biệt 3) Viết pt đờng thẳng qua điểm cực trị hàm số (1)

Bài 2: Cho hàm số y mx 4(m2 9)x210 (1) ( m tham số) (B – 2002) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị Bài 3: Cho hàm số : y =

2 (2 1)

(1)

 



m x m

x ( m lµ tham sè) (D – 2002)

1).Khảo sát biến thiên VĐT (C) hàm số (1) ứng với m = –1 2) Tính d.t hình phẳng giới hạn đờng cong (C) trục tọa độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x Bài 4: Cho hàm số

2

1

  



mx x m y

x (1) ( m lµ tham sè ) (A – 2003)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –

2).Tìm m để đthị hsố (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ dơng Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) ( m tham số) (B – 2003)

1) Tìm m để đồ thị h.số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

Bài 6: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hs

2 2 4

2

 

 

x x y

x (1) (D – 2003)

2) Tìm m để đờng thẳng dm : y = mx + – 2m cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số

  





2 3 3

2( 1)

x x

y

x (1) (A – 2004)

1) Khảo sát hàm số (1)

2) Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB = Bài 8: Cho hàm số y =  

3

1 2 3

3x x x (1) có đồ thị (C) (B – 2004)

2) ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến (C) điểm uốn chøng minh r»ng  lµ tiÕp tun cđa (C) cã hƯ sè gãc nhá nhÊt

Bµi 9: Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + (1) víi m lµ tham sè (D – 2004) 1) Khảo sát hàm số (1) m =

2) Tìm m để điểm uốn hàm số (1) thuộc đờng thẳng y = x + Bài 10: Gọi (Cm) đồ thị hàm số

1

 

y mx

x (*) ( m lµ tham sè ) (A – 2005)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 1/4

2) Tìm m để hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm) 1/

Bài 11: Gọi (Cm) đồ thị hs y =

2 ( 1) 1 (*)

   



x m x m

x (m lµ tham sè) (B – 2005)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m =

2) CMR với m , đồ thị (Cm) ln ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20

Bài 12: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y =

3

1

3  3

m x x

(*) (m tham số) (D – 2005) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m =

2) Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ –1 Tìm m để tiếp tuỵến (Cm) điểm M song song với đờng thẳng 5x – y =

Bài 13: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x –

2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt : x3 – 9x2 + 12x = m(A – 2006) Bài 14: Cho hàm số

2 1

2

  



x x y

x (B – 2006)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên (C)

Bµi 15: Cho hµm sè y = x3 – 3x + 2(D – 2006)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

2) Gọi d đờng thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đờng thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt

Bµi 16: Cho hµm sè

2 2( 1) 4

(1)

   





x m x m m

y

x , m lµ tham sè (A – 2007)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1

2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vng O

Bµi 17: Cho hµm sè y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – (1), m lµ tham sè (B – 2007)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O

Bµi 18: Cho hµm sè

1

 

x y

x (D – 2007)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích 1/

Bµi 19: Cho hµm sè

  





2 (3 2) 2

3

mx m x

y

x m (1) víi m lµ tham sè thùc (A – 2008)

1).Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1; -9)

Bài 21: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) (D – 2008) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2) Chứng minh đờng thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3) cắt đồ thị

của hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB bài tập ôn thi

Hµm bËc 3

Bµi Cho hµm sè yx33x2 (C) a Khảo sát hàm số

b Tỡm m để pt x3 3x2m0 có nghiệm phân biệt lớn



c Tìm m để đờng thẳng qua A(1;0) với hệ số góc m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có honh dng

d Tìm điểm M thuộc (C) cho tiÕp tun cđa (C) t¹i M qua ®iĨm D(0;-2)

e tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , x=-1và tiếp tuyến điểm có hồnh độ

Bµi Cho hµm sè

3

(2 1) 2( )

3 m

y x mx  m x m  C

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số với m=2 b Tìm m để hàm số đồng biến (-1;0)

c Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm 1;

3

 



 

  điểm cực đại

d Tìm m để điểm A(0;2) thuộc đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số e Tìm m để tâm đối xứng (Cm) nằm đờng thẳng y2x2

Bài a Qua A(0;-2) kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 33x21 với tiếp điểm M, N Viết phơng trình đờng thẳng MN

b Chứng minh m thay đổi đờng thẳng y m x ( 1) 2( ) d cắt đồ thị hàm số 3

y x  x(C) điểm A cố định Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, B, C cho

tiếp tuyến (C) B, C vuông góc

c Tìm m để đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y x 3 3mx23(2m1)x1 vng góc với đờng thẳngx 2y2009 0

Hµm bËc 4 Bµi Cho hµm sè

4 2 2 ( )

m

y x  mx  m C

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số với m=1

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) tiếp tuyến tại điểm cực tiẻu c Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị điểm cực trị nh ca tam giỏc

vuông cân

d Tỡm m để đồ thị hàm số (Cm=) cắt đờng thẳng y1tại điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Bài 2.a Tìm m để hàm số y mx 4(m1)x2 1 2m có cực trị

b Tìm m để đồ thị hàm số y x 42(m1)x2 2m1nằm phía đờng thẳng y2 c Tìm a để đths y ax 2 tiếp xúc với đths    

2

1

y x x

, viết pt tiếp tuyến chung tiếp điểm

e Tìm m để tiếp tuyến điểm cố định có hồnh độ dơng đths y x 4mx2 m1 song song với đờng thẳng y2x

Mai Duy Duân

Hàm bậc / bậc nhÊt Bµi Cho hµm sè

2 ( )

x

y C

x

a Khảo sát hàm sè

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đờng thẳng 3x 2y 0

c Viết phơng trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;8) Tìm toạ độ tiếp điểm d Tìm k để đờng thẳng

3

y x k

tiếp xúc với đồ thị (C)

e Tìm m để đờng thẳng y x m  cắt (C) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 f Chứng minh đờng thẳng yx m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt M, N

Tìm m để MN ngắn

g Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận (C) nhỏ

h Tìm k để pt:

2sin sin

x k x

 

 cã nghiƯm ph©n biệt thoả mÃn: 0 x

Bài

a Gọi I giao tiệm cận đồ thị hs

2 ( )

x

y C

x

 

 T×m M thuéc (C) cho tiÕp

tuyến (C) M vuông góc với IM

b Tìm m để đờng thẳng y2x m cắt đồ thị hs

1 ( )

x

y C

x

 

điểm phân biệt A, B

cho tiếp tuyến (C) A B song song