PhÇn ®êng trßn n»m trong mét nöa mÆt ph¼ng cã bê AB ®îc gäi lµ mét cung trßn... Hai tia Ax, By di ®éng nhng lu«n song song vµ.[r]
(1)Ch¬ng 2:
đờng trịn
A Trắc nghiệm nhận biết - thông hiểu 2.1 Tìm đoạn văn có nội dung sai đoạn văn sau:
(A) Một đờng trịn tâm O bán kính R (> 0) tập hợp tất điểm cách O cho trớc khoảng cách R không đổi
(B) Cho hai điểm A, B phân biệt đờng tròn Phần đờng tròn nằm nửa mặt phẳng có bờ AB đợc gọi cung trịn A, B đợc gọi hai đầu mút cung ta có hai cung nh Đoạn thẳng AB đợc gọi dây cung
(C) Khi AB qua tâm O, cung AB đợc gọi đờng kính
(D) Khi dây AB đờng kính đờng trịn tâm O bán kính R, ta có AB = AO + OB = 2R
(E) Khi dây AB khơng đờng kính đờng trịn tâm O bán kính R, ta có AB < 2R
2.2 ë hình bên, cho biết OB = 7cm
(A) Luụn ln ta tính đợc độ dài AB
(B) Chỉ tính đợc độ dài AB biết độ dài OA
(C) Nếu biết độ dài BC, biết góc BAC, tính đợc độ dài AB
(D) Vì AC = 14cm nên tính đợc độ dài AB
(E) Tất cỏc cõu trờn u sai
2.3 Tìm đoạn văn có nội dung sai đoạn văn sau:
(A) Khi hai đờng trịn có bán kính nhau, ta nói hai đờng trịn
(B) Qua ba điểm không thẳng hàng dựng đợc đờng tròn mà thơi Nói cách khác, ba điểm khơng thẳng hàng xác định đ-ờng tròn
(C) Một điểm O cho trớc số thực dơng R cho trớc xác định đờng trịn tâm O có bán kính R
(D) Nếu điểm M thoả mÃn AMB = 900, ngời ta thờng nói điểm M nhìn
AB dới góc vng Nh vậy, M nhìn AB dới góc vng M nằm đờng trịn đờng kính MO, với O trung điểm AB
A
O C
(2)2.4 Cho đờng tròn tâm O điểm M nằm bên đờng tròn Một
đờng thẳng di động nhng ln ln qua M, cắt đờng trịn A B Chứng minh trung điểm AB nằm đờng tròn cố định
Mét häc sinh tiến hành nh sau: (1) Gọi I trung điểm AB
(2) Tam giác AOB cân O nên OI AB
(3) Nh vậy, tam giác OIA vng I, mà OA bán kính đờng trịn nên OA có độ dài khơng đổi Suy I nằm đờng trịn cố định có tâm trung điểm OA, bán kính OA
(A) Lời giải hoàn toàn (B) Lời giải sai giai đoạn (1) (C) Lời giải sai giai đoạn (2)
(D) I nằm đờng tròn cố định đờng kính OB, đó, lời giải khơng
(E) Tất câu sai
2.5 Tìm câu sai câu sau:
(A) Tâm đờng tròn tâm đối xứng đờng trịn (B) Bất kỳ đờng kính trục đối xứng đờng tròn
(C) Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung hai phần
(D) Đờng kính qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung
(E) Trong câu trên, có câu sai
2.6 Tìm đoạn văn có nội dung sai đoạn văn sau:
(A) Trong đờng tròn, hai dây cung chúng cách tâm
(B) Trong hai dây cung khơng đờng trịn, dây cung lớn gần tâm dây cung
(C) Cho hai đờng trịn có tâm O O’ Xét hai dây cung AB A’B’ tơng ứng nằm hai đờng trịn (O) (O’) Khi đó, AB = A’B’ khoảng cách từ O đến AB khoảng cách từ O’ đến A’B’
(D) Cho đờng tròn tâm O điểm M nằm bên đờng tròn Trong dây qua M, ta có: dây dài đờng kính qua M, dây ngắn dây qua M vng góc với OM
2.7 Trên đờng trịn tâm O, ngời ta lấy theo thứ tự bốn điểm A, B, C, D Khi
đó:
(A) Khoảng cách từ O đến AC BD
(B) Khoảng cách từ O đến AC BD AB = CD
(3)(D) Khoảng cách từ O đến BD lớn khoảng cách từ O đến AC (E) Tất câu sai
2.8 Gọi d khoảng cách từ tâm O đờng trịn (bán kính R) n mt ng
thẳng Tơng ứng với ba hÖ thøc
d > R ; d = R ; d < R
ta có vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn nh sau: (A) Không giao ; tiếp xúc ; cắt
(B) TiÕp xóc ; kh«ng giao ; cắt (C) Không giao ; cắt ; tiÕp xóc (D) TiÕp xóc ; c¾t ; không giao (E) Cắt ; không giao ; tiÕp xóc
2.9 Cho đờng trịn có bán kính 12, dây cung vng góc với bán kính
tại trung điểm bán kính có độ dài là:
(A) √3 (B) 27 (C) √3 (D) 12 √3
(E) Một đáp số khác
2.10 Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(3; 4) Xét đờng trịn tâm A có bán kính bằng
3, đờng trịn có vị trí nh so với trục toạ độ?
(A) Đờng trịn cắt trục tung hai điểm cắt trục hoành hai điểm (B) Đờng trịn tiếp xúc trục tung cắt trục hồnh hai điểm
(C) Đờng trịn khơng giao với trục tung không giao với trục hồnh
(D) Đờng trịn tiếp xúc trục tung khơng giao với trục hồnh (E) Đờng trịn tiếp xúc trục tung tiếp xúc trục hồnh
2.11 Cho hai đờng trịn (O) (O’) cắt A B Qua A, vẽ ng
thẳng cắt (O) C cắt (O) D Gọi M, N lần lợt trung điểm AC vµ AD
(A) Nếu A nằm đoạn thẳng CD MN < CD (B) Nếu A nằm ngồi đoạn thẳng CD MN < CD (C) Nếu A nằm đoạn thẳng CD MN > CD (D) Nếu A nằm ngồi đoạn thẳng CD MN > CD (E) Tất câu sai
2.12 Tìm đoạn văn có nội dung sai đoạn văn sau:
(A) Nu mt ng trũn tiếp xúc với ba cạnh tam giác, ta nói đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác Nếu đđ-ờng tròn qua ba đỉnh tam giác, ta nói đờng trịn nội tiếp tam giác
(B) Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm
(4)(D) Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác gúc to bi hai tip tuyn
2.13 Tìm đoạn văn có nội dung sai đoạn văn sau:
(A) Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đợc gọi đờng trịn
nội tiếp tam giác đó
(B) Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đờng phân giác tam giác
(C) Đờng tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đợc đờng trịn bàng tiếp tam giác đó. (D) Tâm đờng trịn bàng tiếp tam giác giao điểm hai đờng phân giác tam giác ( nằm phân giác góc tơng ứng mà bàng tiếp)
(E) Cho tam giác, ta có đờng tròn bàng tiếp đờng tròn nội tiếp
2.14 Cho đoạn thẳng cố định AB Hai tia Ax, By di động nhng song song và
cùng chiều Gọi (O) đờng tròn tâm O, tiếp xuác AB, Ax, By lần lợt điểm T, C, D
(1) Ba ®iĨm C, O, D thẳng hàng (2) Tổng AC + BD số (3) Tam giác AOB vuông góc O
Trong câu trên:
(A) Ch cú câu (1) (B) Chỉ có câu (2) (C) Chỉ có câu (3) (D) Khơng có câu sai (E) Tất ba câu sai
2.15 Cho hai điểm cố định A, B đờng thẳng l quay quanh A Gọi M là
điểm đối xứng B qua l
(A) Quỹ tích điểm M đờng trịn tâm A bán kính AB (B) Quỹ tích điểm M đờng trung trực AB
(C) Quỹ tích điểm M đờng trịn tâm A bán kính AB, ngoại trừ điểm B (D) Quỹ tích điểm M đờng trung trực AB, ngoại trừ trung điểm O AB
(E) Tất câu sai
2.16 Xét đoạn văn sau:
(1) Hai đờng trịn khác rơi vào ba trờng hợp: khơng giao ( ngồi nhau); tiếp xúc ( tiếp xúc ngoài) cắt hai điểm phân biệt
(5)(3) Nếu hai đờng tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đờng nối tâm (4) Nếu hai đờng trịn cắt hai giao điểm A B đối xứng
qua đờng trịn nối tâm Ta có OO’ đờng trung trực AB (A) có (1) sai (B) có (2) sai
(C) có (3) sai (D) có (4) sai (E)Tất
2.17 Cho hai đờng trịn bán kính r R tơng ứng, tiếp xúc với và
chùng tiếp xúc với đờng thẳng (L) tiếp điểm S T Khi đó, khoảng cách ST bằng:
(A) 2 r+√R (B) 2√rR (C) 2 r√R −√r
(D) 2 rR+r (E) Một kết khác
2.18 Cho hai đờng trịn tâm O O’ có d=OO’ có bán kính lần lợt R R’.
Trong câu sau, câu sai?
(A) Điều kiện có đủ để hai đờng trịn cho cắt R-R’ < d < R + R’
(B) Điều kiện có đủ để hai đờng tròn cho cắt |R-R’| < d < R + R’
(C) Điều kiện có đủ để hai đờng trịn cho cắt R,R’ d độ dài ba cạnh tam giác
(D) Trong ba c©u trên, có câu (a) câu sai
2.19 Cho đờng trịn tâm I, đờng kính PQ Qua P,Q, lần lợt vẽ hai dây song song
nhau đờng trịn: PM // QN (1) Ta có PM=QN
(2) MN bán kính đờng trịn cho (3) M N đối xứng qua I
Trong câu trên: (A) Chỉ có câu (1) sai
(B) ChØ cã c©u (2) sai (C) ChØ cã câu (3) sai (D) Không có câu sai
(E) Tất ba câu sai
2.20 Gọi M điểm nằm bên đờng tròn (I) có tâm I.
(1) Tất đờng thẳng qua M cắt (I) điểm
(2) Tất đờng thẳng qua M cắt (I) hai điểm phân biệt
(3) Tồn đờng thẳng qua M tiếp xúc với (I) Trong câu trên:
(6)(B) Chỉ có câu (2) (C) Chỉ có câu (3) (D) Khơng có câu sai
(E) Tất ba câu sai
B Tr¾c nghiƯm vận dụng sáng tạo
2.21 Cho P l điểm bên đờng tròn (K), P khác với tâm K Một dây cung
MN di động quay quanh P
(A) Quỹ tích trung điểm dây cung MN đờng tròn, ngoại trừ điểm
(B) Quỹ tích trung điểm dây cung MN đờng tròn, khoảng cách từ P tới tâm đờng tròn K nhỏ nửa bán kính địng trịn K; Ngợc lại, quỹ tích cung nhỏ 3600.
(C) Quỹ tích trung điểm dây cung MN nửa đờng trịn, ngoại trừ điểm
(D) Quỹ tích trung điểm dây cung MN nửa đờng tròn (E) Quỹ tích trung điểm dây cung MN đờng tròn
2.22 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R điểm P cố định nằm ngồi đờng
trịn Qua P, đờng thẳng di động, cắt đờng tròn A B (A) Quỹ tích trung điểm M AB đờng trịn đờng kính PO
(B) Quỹ tích trung điểm M AB đờng trịn tâm O, bán kính PO
(C) Quỹ tích trung điểm M AB đờng trịn tâm P, bán kính PM (D) Quỹ tích trung điểm M AB đờng trung trực đoạn
th¼ng AB
(E) Tất câu sai
2.23 Cho đờng tròn (O) điểm P thuộc đờng tròn (P cố định) Gi (k) l
đ-ờng thẳng nằm (O) Để dựng đđ-ờng tròn (Q) tiếp xúc (k) tiếp xúc (O) P, học sinh tiến hành nh sau:
(1) Nèi OP Qua P, kỴ tiÕp tun với (O), tiếp tuyến cắt (k) N
(2) Lấy (k) điểm M cho MN=NP
(3) Từ M, kẻ đờng thẳng vng góc với (k), đờng thẳng cắt đ-ờng thẳng OP Q
(4) Lấy Q làm tâm, dựng đờng trịn (Q) có tâm Q, bán kính QP Khi đó, (Q) đờng tròn phải dựng
(7)(A) Sai tõ giai đoạn (1) (B) Sai từ giai đoạn (2) (C) Sai từ giai đoạn (3) (D) Sai từ giai đoạn (4)
(E) Đúng hoàn toàn
2.24 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, kẻ AH⊥ BC , Với H BC Bên tam giác CGH, ta lấy điểm K Gọi k khoảng cách từ K đến cạnh AC Vẽ đờng tròn tâm K, bán kính k Xác định vị trí địng trịn ba cạnh tam giác ABC
(A) Đờng tròn cho cắt AC hai điểm, cắt BC hai điểm không giao với AB
(B) Đờng tròn cho tiếp xúc với AC , cắt BC hai điểm không giao với AB
(C) Đờng tròn cho tiếp xúc với AC , cắt BC hai điểm không giao với AB
(D) Đờng tròn cho tiếp xúc với AC , cắt BC hai điểm tiếp xúc với AB
(E) Đờng tròn cho tiếp xúc với ba cạnh AC, BC, AB
2.25 Ba đờng trịn nhỏ tiếp xúc đơi
một tiếp xúc với cạnh tam giác nh hình bên Nếu đờng trịn có bán kính 3, chu vi tam giác là:
` (A) 36+9√2 (B)
36+6√3
(C) 36+9√3 (D) 18+18√3 (E) 36 −9√3
2.26 Cho đờng tròn tâm O đoạn thẳng cố định PQ Gọi M điểm di
động đờng tròn Từ M , vẽ đoạn thẳng MM’ cho MM’ //PQ, MM’ = PQ
Và hai tia MM’, PQ song song chiều Khi :
(A) Điểm M’ nằm đờng thẳng cố định (B) Điểm M’ nằm tia cố định
(C) Điểm M’ ln nằm đờng trịn cố định
(D) Không thể kết luận đợc điểm M’ nằm (E) đờng cố định
(F) Tất câu sai
2.27 Gọi E giao điểm hai đờng chéo đa gíc lồi ABCD, gọi P,
(8)(A) PQRS hình bình hành
(B) PQRS hình bình hành ABCD hình thoi (C) PQRS hình bình hành ABCD hình chữ nhật (D) PQRS hình bình hành ABCD hình bình hành
(E) Tt c cỏc cõu u sai
2.28 Cho ba đờng trịn bán kính (đơn vị) nh hình vẽ, có tâm là
A,B,C DE FG hai tiếp tuyến đờng trịn tâm C Hãy tính FG
(A) FG =
√5 (B) FG =
15√6
6 (C) FG =
4
√5 (D) FG = 127
15 (E) Một kết khác
2.29 Cho nửa đờng trịn (O, R) đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx B (O) Goị
M điểm di động thuộc nửa đờng tròn (O) AM cắt Bx N Để 2AM +AN đạt giá trị nhỏ ta phải có:
(A) AM = AB
(B) M trung điểm cung AB (C) AM tiếp xúc với đờng tròn (D) AM =
3 AM (E) Mét kÕt luËn kh¸c
2.30 Giả sử B điểm đờng trịn (C) có tâm O Khi đó, tập hợp tất các
điểm A mặt phẳng chứa đờng tròn (C) cho khoảng cách A B bé hay khoảng cách A điểm khác đờng tròn (C) l:
(A) Đoạn thẳng AB
(B) Tia xuất phát từ O qua B (C) Một tia gốc lµ B
(D) Một đờng trịn tâm O (E) Một đờng tròn tâm B
2.31 Cho đờng cố định xy đờng trịn cố định tâm O khơng cắt đờng thẳng này.
Từ điểm A di động xy, ta dựng hai tiếp tuyến AB AC tiếp xúc với đ-ờng tròn tâm O B C Gọi D hình chiếu vng góc O xy; E, F lần lợt giao điểm BC với OA OD
(1) Ta lu«n cã OD.OF = OE OA D
A B C
E G
(9)(2) BC qua điểm cố định Trong hai câu trên:
(A) Chỉ có câu (1) (B) Chỉ có câu (2) (C) Cả hai câu (D) Cả hai câu đề sai
(E) (1) đúng, nhng không đủ giả thiết để có
2.32 Gọi AB, CD, EF dây cung song song đờng trịn nằm một
phía tâm Khoảng cách AB, CD, EF lần lợt 20, 16 Bán kính đờng trịn là:
(A) 12 (B) √7 (C) 5√65
3 (D) 5√22
2
2.33 Hai tiếp tuyến hai điểm B C đòng tròn (O, R) cắt ti A.
Tiếp tuyến điểm M cung nhỏ BC cắt đoạn thẳng AB P cắt đoạn thẳng AC Q
Xột cỏc mnh sau:
(1) Độ dài đoạn thẳng PQ ngắn (2) M điểm cung BC
(3) DiƯn tÝch tam gi¸c APQ lín nhÊt
(4) Đờng cao AH tam giác APQ dài (A) Chỉ có hai mệnh đề (1) (2) tơng đơng
(B) Chỉ có hai mệnh đề (3) (4) tơng đơng (C) Chỉ có hai mệnh đề (1) (4) tơng đơng (D) Chỉ có hai mệnh đề (2) (4) tơng đơng (E) Tất mệnh đề tơng đơng
Chú ý: Ta nói hai mệnh đề (hay hai phát biểu) tơng đơng nếu từ hai mệnh đề ta suy đợc mệnh đề ngợc lại
2.34 Cho hai điểm A B cố định M điểm di động cho tam giác AMB có
đờng cao BH AM Khi đó:
(10)2.35 Cho hai đờng trịn đồng tâm O, bán kính R 2R Gọi P điểm nằm
ngồi đờng trịn (O; 2R) Vẽ đờng trịn tâm P bán kính PO, cắt đờng tròn (O; 2R) hai điểm C D OC cắt đờng tròn (O, R) E OD cắt đờng trịn (O, R) F Khi
(1) EO = EC + R OF = FD + R (2) PE đờng cao tam giác POC (3) PE đờng cao tam giác POD Trong câu trên:
(A) Chỉ có câu (1) (B) Chỉ có câu (1) (C) Chỉ có câu (1) (D) Cả câu (E) Tất câu sai
2.36 Một đờng tròn bán kính nội tiếp tam giác vng cân đờng trịn
bán kính R ngoại tiếp tam giác ây Khi đó, tỉ số R
2 b»ng:
(A) + √2 (B) 2+❑√2
2 (C) √
2 −1 (D) 2+❑√2
2 (E) 2(2
-2 √¿ ¿
2.37 Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ đờng trịn (S) có tâm S, đờng
kính AB đờng trịn (O) có tâm O, đờng kính AC Đờng thẳng OS cắt (S) D E, cắt (O) H K (Các điểm D, H, E, K) theo thứ tự nằm nagng đờng thẳng
(1) BE, BD phân giác (trong ngoài) góc ABC (2) CK, CH phân giác góc ACB
(3) BDAE hình chữ nhật (4) AHCK hình chữ nhật
Trong cỏc cõu trờn: (A) Ch có câu (1) (2) (B) Chỉ có câu (2) (3), (4) (C) Chỉ có câu (1) (2) (D) Khơng có câu (E) Tất câu
2.38 Cho h×nh vuông ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA, ta lần lợt lấy các
im M, N, P, Q cho AM = BN = CP = DQ Gọi O tâm hình vng Hãy xác định câu sai câu sau
(11)(B) M, O, P thẳng hàng
(C) Bn im M, N, P, Q nằm đờng tròn
(D) Trong bốn điểm M, N, P, q có điểm nằm trong, có điểm nằm ngồi đờng trịn qua bốn điểm A, B, C, D
(E) Trong câu trên, có nhât câu sai
2.39 Cho đờng trịn (O), tâm O, có AB đờng kính Gọi (k) (h) lần lợt các
tiếp tuyến A B Cho C điểm tuỳ ý (k) Qua O, kẻ đờng thẳng vng góc OC, đờng thẳng cắt (k) (h) tơng ứng K B Kẻ OH vng góc với CD, H thuộc CD
(1) AC + BD ng¾n nhÊt AC = AO (2) AC + BD ng¾n nhÊt CD = AB (3) AC + BD ngắnm CD // AB Trong câu trên:
(A) Chỉ có câu (1) (B) Chỉ có câu (2) (C) Chỉ có câu (3) (D) Khơng có câu sai (E) Tất câu sai
2.40 Cho tam giác ABC nội tiếp đuờng tròn Một đờng tròn thứ hai tiếp
xúc với đờng tròn T tiếp xúc với cạnh AB, AC P Q Biết độ dài BC 12, tính độ dài PQ
(A) (B) √3 (C) (D) √3 (E)
2.41 Cho ba đờng trịn (O), (N) (P) có bán kính 15 (O)
tiếp xúc ngồi với (N) B (P) tiếp xúc với (N) C Cho AB, BC, CD lần lợt đờng kính đờng trịn tâm (O), (N), (P) điểm A, B, C, D thẳng hàng AG tiếp xúc với đờng tròn (P) G Gọi E, F giao điểm AG đờng trịn (N)
§é dài đoạn thẳng EF là: (A) 21,5
(12)C đáp án hớng dẫn bài tập - Chơng II 2.1 Chọn (C)
2.2 Chän (C) 2.3 Chän (D)
2.4 Chän (E) Lêi gi¶i sai giai đoạn
(3) phải chữa lại nh sau:
Tam giác OIM vuông I, mà O, M cố định nên suy I nằm đ-ờng trịn cố định có tâm trung điểm OM bán kính
2 OM
2.5 Chän (E) 2.6 Chän (C)
Phải thêm giả thiết hai đờng trịn (C)
2.7 Chän (B)
Ta có hai tam giác AOB COD b»ng theo trêng hỵp c-c-c Suy
A O B = C O D Từ đó, A OC =
A O B + B O C = C O D + B O C =
DO B
Do suy hai tam giác AOC DOB theo trờng hợp c – g – c Vì AC = BD, suy hai khoảng cách từ O đến AC BD
2.8 Chän A 2.9 Chän (D)
Gọi O tâm đờng trịn, OR bán kính AB dây cung vng góc với OR trung điểm M AM đờng cao tam giác OAR, đó: AM = OA √3
2 = √3 => AB = 12 √3
2.10 Chän (D) 2.11 Chän (E).
Xét hai trờng hợp để chứng minh trờng hợp A nằm trờng hợp A nằm ngồi đoạn thẳng CD, nh hình vẽ dới
A
I
B M
O
A
B C
(13)Ta lu«n cã MN = CD
2.12 Chän (A)
2.13 Chọn (E) ứng với góc ta có đờng trịn bàng tiếp
2.14 Chọn (D) Vì Ax By tiếp tun
nên OC vng góc với Ax, OD vng góc với By Ta lại có Ax // By nên qua O có đờng thẳng đồng thời vng góc với hai nửa đờng thẳng Ax By Nói cách khác hai đờng thẳng OC BD trùng Điều có nghĩa C, O, D thẳng hàng Theo tính chất tiếp tuyến, ta có AC = AT BT = BD Suy AC + BD = AB, tức tổng không đổi Cũng theo tính chất tiếp tuyến ta có OA OB tơng ứng phân giác góc COT, DOT Mà hai góc kề bù nên suy tam giác AOB vuông O
2.15 Chọn (A) Ta có MA = AB (Khơng đổi) Quỹ tích M đờng trịn tâm (A)
b¸n kÝnh AB
2.16 Chän (E) 2.17 Chän (B).
Gọi O, P tâm hai đờng tròn nhỏ, lớn tơng ứng OS // PT vng góc với tiếp tuyến chung (L) Gọi A điểm OP cho PA = r Khi OATS hình bình hành Suy OA = ST Dùng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông OAP ta đợc kết quả: ST = OA
=
R −r¿2
R+r¿2−¿ ¿
√¿
= √r R B
O’
O P
E
I A
C M N D
D B M O
O’ C N
A
y C
O
D B T
I A
x
P O
S
(14)2.18 Chän (A)
ở chữa câu (A) lại nh sau câu (A) đúng: Nếu hai đờng trịn cắt
R – R’ < d < R + R’ Tuy nhiên, phát biểu nguyên văn câu (A) sai Thật ta xét hai đờng tròn tâm O O’ với bán kính tơng ứng R R’ mà R < R’ nh hình bên (*) xảy ra, hai đờng trịn khơng cắt (lúc R – R’ < nên ta có (*) )
Nh câu (B), (C), (D) đúng, câu (A) sai
2.19 Chän (B)
Dùng tính chất trung tuyến ứng cạnh nửa cạnh tam giác vng nhận cạnh làm cạnh huyền, ta chứng minh đợc hai tam giác PMQ QNP vuông M, N Vì PM // QN nên M P Q = N Q P , từ tam giác PMQ = QNP, suy PM=QN Từ đây, dễ dàng suy PMQN hình chữ nhật Do M, I, N thẳng hàng M, N đối xứng qua I
2.20 Chän (B)
Vì M nằm đờng tròn (I) nên khoảng cách từ tâm I đến đờng thẳng qua M phải nhỏ bán kính (I) Vì vậy, tất đ ờng thẳng qua M phải cắt (I) hai điểm phân biệt
2.21 Chän (E).
Gọi I trung điểm MN, ta có góc góc PIK vng, I di động đờng trịn đờng kính PK
đảo lại, với điểm I đờng trịn đờng kính PK, đờng thẳng IP cắt đờng trịn (K) M N I P (K) Vì KI MN nên I trung điểm dây MN Vậy I điểm quỹ tích
KÕt luËn:
Quỹ tích điểm I đờng trịn đờng kính PK
2.22 Chän (E)
Góc PMO vng (vì M trung điểm AB tam giác AOB cân O), nên M nằm đờng tròn (C), đờng kính PO
Trung điểm M AB ln nằm đờng tròn O Gọi E, F hai tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ P đến đờng tròn (O) Khi A B trùng E F M
O’ O
E B
M O P
A
A’ C
F
M’
(15)trùng E F Quỹ tích điểm M cung tròn EOF thuộc đờng tròn (C) Học sinh tự chứng minh phần đảo lại
2.23 Chän (E).
Chøng minh:
Theo cách dựng, PN= MN tam giác QPN vuông B, PN tiếp tuyến đờng tròn (O) Dễ thấy hai tam giác vuông QMN QPN (cạnh huyền chung PN=MN) Suy QP=QM Nói cách khác, QM bán kính đờng trịn (Q)
2.24 Chän (B)
Híng dÉn:
Gọi P,Q,R lần lợt chân đờng vuông hạ từ K xuống BC, CA, AB Ta có KP < KQ < KR KQ = k
Kết luận: đờng tròn cho tiếp xúc với AC, cắt BC hai điểm không giao với AB
2.25 Chän (D)
Từ tâm P Q vẽ PB QC vng góc cạnh AD tam giác Cácc tam giác APB, DQC nửa tam giác với PB= QC= Suy AB = DC =
√3 BC = PQ = 6, AD = + √3
VËy chu vi tam giác là: 18 + 18 3
2.26 Chọn (C) Gọi R bán kính đờng trịn tâm (O) ó cho
Đầu tiên, ta vẽ đoạn thẳng OO = (k)
M Q1 O P
N Q
M
A
B
H C
R
G
Q PK
A D
B C
P Q
M’ O’
(16)PQ hai tia OO’, PQ song song chiều Suy điểm O’ cố định (trong trờng hợp P trùng với O O’ trùng với Q) Khi dễ thấy MM’ = OO’ ( = PQ) MM’//OO’(//PQ), nên tứ giác MM’OO’ hình bình hành, suy O’M’ = OM (không đổi) Vậy điểm M’ nằm đờng trịn tâm O’ bán kính OM = r
2.27 Chän (A)
Tâm đờng tròn ngoại tiếp giao điểm trung trực cạnh tam giác Do PQ, QR, RS SP lần lợt trung trực BE, CE, DE AE Suy PS // QR (cùng vng góc với AC) PQ // RS (cùng vng góc với BD) Vậy PQRS hình bình hành
2.28 Chän (B)
Ta có DC = 10 + 10 + = 25, DF = 30, EC = Theo định lý Pi-Ta-Go ta có DE = √DC2− ED2 = ❑
√625− 25 = √600 = 10 √6 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã EC DG vµ CF GF
Dễ thấy hai tam giác vuông GDF CDE có góc nhọn chung, nên chúng đồng dạng Từ ta đợc
GD CD =
DF
DE => DG = DF CD DE =
30 25 10√6 =
75
√6 Từ EG = DG – DE = 75
√6 - 10 √6= 15√6
6
Theo tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn ta cã GF = GE = 15√6
2.29 Chän (B)
Ta cã góc AMB = 900
Tam giác ABN vuông B có đ-ờng cao BM nên:
AM.AN = AB2 = 4R2
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2AM = AN tam giác ABN vng cân
M trung điển cung AB Vậy M trung điểm cung AB 2AM + AN đạt giá trị nhỏ
(17)Với A khác O, giao điểm M đờng (C) với tia xuất phát từ O qua A điểm tròn gần A Thật vậy, điều suy đợc từ nhận xét: Đờng trịn tâm A, bán kính AM tiếp xúc ngồi với đờng trịn C
Vì ta chọn câu B tia xuất phát từ O qua B tậpn hợp tất điểm A cho B điểm đờng tròn gần A
2.31 Chän (C)
Các tam giác OEF ODA đồng dạng cho ta OD.OF = OE.OA Mặt khác, tam giác OBA vuông B nên OE.OA = (OB)2= r2, với r là
bán kính đờng trịn tâm O cho Suy OD.OF = r2(hằng số), đó
OF khơng đổi Điều chứng tỏ F điểm cố định ta có đ.p.c.m
2.32 Chän (D)
Gọi r bán kính cần tìm, x khoảng cách từ tâm đến dây cung dài y khoản cách chung từ CD đến AB,EF áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vuông ta đợc
x2 + 102 = r2 (1)
(x+y)2 + 82 = r2 (2)
(x+ 2y)2 + 42 = r2 (3)
Trõ (2) vµ (1): 2xy +y2 – 36 =0
Trõ (3) vµ (2: 2xy +3y2 48=0
Trừ hai phơng trình trên, ta đợc 2y2 -12 =0 y = √6
x = 15
√6 Cuèi cïng: r = √x2
+102 = 5√22
2.33 Chän (E)
Ta cã: PO Q=1
2B OC (không đổi) OM = R không đổi
Tam giác OPQ có góc O khơng đổi đờng cao OM khơng đổi Chứng minh PQ nhỏ OP = OQ Tức M điểm giữacung BC
SAOBC=SAPQ+2SPOQ (không đổi)
SAPQ lín nhÊt SPOQ nhá nhÊt PQ nhá nhÊt
AH lín nh©t SAPQ lín nhÊt 2.34 Chän (C).
x A
B
C E
F O
(18)Giả sử hai đờng thẳng qua A, M tơng ứng vng góc với AB AH giao B’ Dễ thấy hai tam giác AMB’ AHB => AB’ = AB
Vậy điểm B’ cố định, điểm M nhìn AB’ dới góc vng Quỹ tích điểm M hai đờng trịn đờng kính AB’ AB’’, với B’’ điểm đối xứng B’ qua A
2.35 Chän (D).
Do tính chất bán kính đờng trịn, ta có EO = EC = R OF = FD = R Tam giác POC cân có PE trung tuyến nên PE đờng cao Chứng minh tơng tự cho phần lại
2.36 Chän (A).
Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp Đờng trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC có đờng kính BC = 2R Suy OA = R Gọi O’ tâm đờng tròn nội tiếp, đờng tròn O’ tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt O, T’, T
Tứ giác ATO’T’ hình vuông => O’A = O’T √2 = r √2 Từ ta có OA = r + r √2 , suy kết
2.37 Chän (E).
Tam giác BSE cân S S E B=E B C (OS//BC) => BE phân giác cđa gãc ABC
TiÕp tơc, chøng minh DB BE, suy DB phân giác góc ABC
Tơng tự, CK, CH phân giác gãc ACB
Tø gi¸c BDAE cã SA = SB, SE = SD, AB = BE nªn suy nã hình chữ nhật Tơng tự AHCK hình ch÷ nhËt
2.38 Chän (D).
* Chứng minh tam giác ONB = OQD ( c-g-c) Do N, O, Q thẳng hàng
* T¬ng tù M, O, P thẳng hàng
* CM OM = ON = OP = OQ (Xét tam giác nhau) Suy bốn điểm M, N, P, Q nằm đờng trịn tâm O, bán kính OM * Đờng trịn (ABCD) có tâm O, bán kính OA Ta có O M A=O B M + B O M =450
+B O M > 450
Ta lại có góc O A M=450 , suy OA >
OM
Nh điểm đờng tròn (MNPQ) nằm bên đờng tròn (ABCD)
Nh câu (D) sai, câu lại
A M B
N
C P O Q
(19)2.39 Chọn (D) OK = OD, tam giác CKD cân, suy OH = OA Do H nằm
trên (O) Mà CD OH H nên CD tiếp xúc với (O) Từ ta có AC + BD = CH + DH = CD AB Giá trị nhỏ tổng CD, điều xảy CD // AB, hay CD // AB hay AC = AO
2.40 Chọn (C) Vẽ tiếp tuyến chung hai đờng tròn T, cắt AB, AC D và
E Tam giác ADE tam giác ngoại tiếp đờng tròn nhỏ T, P, Q Do đó, suy đợc APTQ hình thoi Gọi O H lần lợt giao điểm AT với PQ BC, ta có trung điểm O AT tâm đờng tròn lớn Suy
AO AH=
2
3 Do PQ PC =
2
3 Suy PQ =
2 BC =8
2.41 Chän (C).
Nèi PG vµ vÏ NM EF M Ta có MN // PG (cùng vuông góc với AG) Điều cho ta MN
PG = AN
AP => MN =
15 45 75 =9 Trong tam giác vuông MNF ta có: MF = √NF2− MN2