Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Điểm H thuộc dây cung AB sao cho HB = 2HA, đường thẳng đi qua H và vuông góc với OH cắt đư[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2009 - 2010
MƠN THI: TỐN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang)
-Câu (2 điểm)
1) Giải phương trình: x3 x 1 x 1. 2) Giải hệ phương trình:
| | | |
( 4)( 3)
x y
x y
Câu (1 điểm) Tính tổng sau:
1.4 2.5 ( 1)( 2) 2007.2010
2.3 3.4 ( 1) 2008.2009
n n
S
n n
.
Câu (4 điểm). Cho đường tròn (O; R) tâm O, bán kính R Từ điểm M nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B tiếp điểm) Điểm H thuộc dây cung AB cho HB = 2HA, đường thẳng qua H vng góc với OH cắt đường thẳng MA C cắt đường thẳng MB D
1) Chứng minh rằng:
a OHAC OHDB tứ giác nội tiếp b H trung điểm CD
c MC.MD = MA2 - AC2.
2) Tính diện tích tam giác OCD, biết OM = 2R
Câu (2 điểm).Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y ẩn số): 1) x2 y22x4y 0 .
2) x2 3 5y
Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c Chứng minh rằng:
a b c
b c c a a b .
-Hết -Ghi chú:
+ Giám thị coi thi không giải thích thêm.
(2)Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Tuyên quang chuyên năm học 2009-2010
Hớng dẫn chấm môn toán CHUYấN
Câu Hớng dẫn giải Điểm
1.1
3
3
1
1
1 ( 1)
x x
x x x
x x x x x x
0.5
2
1
2
( 2)( 1)
x x
x x
x x x
0.5 1.2
| | | | | | | |
| | | |
( 4)( 3)
( 4)( 3)
x y x y x y x y x y | |
| |
( 4)( 3) x y x y
(1)
| | | | ( 4)( 3)
x y x y (2) 0.5 (1) 3 x y
4 3 x y x y
6 x y 0.25 (2) 3 x y
4 3 x y 1 x y
7 x y 0.25 2
1.4 2.5 ( 1)( 2) 2007.2010
2.3 3.4 ( 1) 2008.2009
n n S n n Ta có:
( 1)( 2) 1
1
( 1) ( 1)
n n
n n n n n n
0.5
Cho n = 2, 3, 4,…, 2008 ta được:
1.4 1
1
2.3
2.5 1
1
3.4
2007.2010 1
1
2008.2009 2008 2009
Cộng đẳng thức với ta được:
1 1 1 1 4030056
2007 2007
2 3 2008 2009 2009 2009
S
(3)3.1 (Hình
vẽ) I K
D
C
M O
A
B H
0.5
3.a
Vì OA MA, OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ), OH CD (gt) nên:
900
OAC OHC suy tứ giác OHAC nội tiếp đờng tròn đờng kính OC OBD OHD 1800 suy tứ giác OHDB nội tiếp đờng trịn đờng kính OD
0.5
3.b
Ta có: OCH OAH (góc nội tiếp chắn cung OH đờng trịn đờng kính OC)
ODH OBH ( góc nội tiếp chắn cung OH đờng trịn đờng kính OD)
OAH OBH (vì OAB cân đỉnh O)
0.5
Suy OCH ODH OCD cân đỉnh O H trung điểm CD
0.5
3.c
Ta cã: MC = MA + AC , MD = MB - BD , MA = MB XÐt hai tam giác vuông OAC OBD có: OA = OB vµ
AOCAHC BHD BOD
nên OAC = OBD AC = BD MD = MA - AC
0.5
Suy : MC.MD = (MA + AC)(MA - AC) = MA2 - AC2.
(Có thể chứng minh AC = BD sau:
2 2 2
AC OC OA OD OB BD ) 0.5
(4)Gäi K = OM AB th× K trung điểm AB Vì
1
3
AH AB AK
nên H trọng tâm OAI
3 R OH
V× IOA600 OBH OAH 300 ODH 300 DOH 600
0
.tan 60
3 R
DH OH R
2
1
( )
2
R
OCD CD OH DH OH
S
(đvdt) 0.5
4.1
2 2
2
2 ( 4)
( 1) ( 2)
( 1)( 3)
x y x y x x y y
x y
x y x y
0.5 1
3 x y
x y
1 x y x y
1
3
x y x y
1
3
x y x y
2 x y
x y
4 x y
4 x y
.
0.5
4.2
Đặt x = 5t + r với t , r 0;1; 2;3; 4 Ta có: x2 3 25t210tr r 23 Với r0;1; 2;3;4 , r 2 không chia hết cho Do với x ,
2 3
x không chia hết cho 5. 0.5
Vậy: Phương trình x2 3 5y khơng có nghiệm nguyên 0.5
5
Vì a < b + c nên a + b + c < 2(b + c), suy
2
a a
b c a b c . Tương tự:
2
b b
c a a b c ,
2
c c
a b a b c . 0.5
Cộng theo vế ta được:
2
a b c
b c c a a b 0.5