Bim Son De thi GVG 2009

[r]

phòng gd&đt Bỉm Sơn kỳ thi giáo viên giỏi cấp thị xà năm học 2009-2010 Phần kiểm tra kiến thức

môn toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài (4,0 đ)

Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời:

2 2 1 2 1 2 1 0

x  y y  z z  x HÃy tính giá trị biểu thức:

A = x2009 + y2009 + z2009

Bµi (4,0 ®)

Cho biĨu thøc:

2 5 4 2014

M x  x y xy y

Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá tr nh nht ú

Bài (3,0 đ)

Giải hệ phơng trình:

2 18

1 72

x y x y x x y y

    

 

  

Bài (3,0 đ)

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D

a/ Chøng minh: AC BD = R2

b/ Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nh nht

Bài (3,0 điểm)

Cho a, b số thực dơng Chứng minh rằng:

 2 2

2

a b

a b    a b b a

Bài (3,0 đ) Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh:

AD2 = AB AC - BD DC

đáp án

Bài (4 đ) Từ giả thiết ta có :

2

2

2

2

2

x y y z z x

   



  



   



x2 2x 1 y2 2y 1 z2 2z 1 0

        

(0,5 ®)

x 12  y 12 z 12        (0,5 ®) 1 x y z           

 x = y = z = -1 (1,0 ®)

VËy : A = x2009 + y2009 + z2009 = (-1)2009 + (-1)2009 + (-1)2009 (0,5 ®)

A = -3 (0,5 đ)

Bài (4,0 đ) Ta cã :

 4 4  2 1  2 2 2007

M  x  x  y  y  xy x  y 

(1,0 ®)

 22  12  2  1 2007

M  x  y  x y 

(0,5®)

     

2

1

2 1 2007

2

M  x y  y

        

  (0,5®)

Do  

2

y  

vµ    

2

2

2

x y

 

   

 

  x y, (0,5®) 2007

M

  (0,5®)

min 2007 2; 1

M x y

    

(1,0 ®)

Bài (3 đ) Đặt :

    1

u x x v y y

   



  

 (0,5®)

Ta cã :

18 72 u v uv     

  u ; v nghiệm phơng trình :

1 18 72 12;

X  X   X  X  (0,5 ®)

 12 u v      ; 12 u v    

 (0,5®)

     12 x x y y          ;     12 x x y y        

 (1,0 ®)

Giải hai hệ ta đợc nghiệm hệ là:

(3 ; 2) ; (- ; 2) ; (3 ; - 3) ; (- ; - 3) hoán vị (0,5đ)

Bài (3,0 đ)

DB = DM (0,25đ) Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC OD

Tam giỏc COD vuông đỉnh O; OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên: MO2 = CM MD (0,25đ)

 R2 = AC BD (0,25®)

b/ Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp (0,25đ)

  ; 

MCO MAO MDO MBO

   (0,25®)

 

COD AMB g g

  

(0,25®)

Do đó:

Chu vi COD OM

Chu vi AMB MH



 (MH

1AB) (0,5đ)

Do MH1 OM nên

1

OM

MH  (0,5®)

 Chu vi COD  chu vi AMB

DÊu = x¶y  MH1 = OM  MO (0,25đ)

M điểm cung AB (0,25đ)

Bài (3,0 đ) Ta cã :

2

1

0;

2

a b

   

   

   

     a, b > (0,5®)

1

0;

4

a a b b

      

(0,5®)

1

( ) ( )

4

a a b b

      

 a , b > 0

0

a b a b

   

(*) (0,5đ) Mặt khác: a b ab0 (**) (0,5đ)

Nhân tõng vÕ (*) víi (**):      

1 2

a b  a b    ab a b

  (0,5®)  2   2

2

a b

a b  a b b a

    

(0,5đ)

Bài (3 điểm)

V đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC

Gäi E giao điểm AD (O)

Ta có:ABDCED (g.g)

o h

d

c

m

b a

d c

b

BD AD

AB ED BD CD

ED CD

   

(1,0 d)

 

2

AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD

  

   (1 đ)

L¹i cã : ABDAEC g g 

2

AB AD

AB AC AE AD AE AC

AD AB AC BD CD

   

   (1 đ)

L

u ý : Giải cách khác cho điểm tối đa. Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm.