bài 14 chứng minh rằng mỗi nhóm abel với 6 phần tử là một nhóm xyclic bài 14 chứng minh rằng mỗi nhóm abel với 6 phần tử là một nhóm xyclic giải giả sử x là nhóm abel cấp 6 ta chứng minh x có phần tử

Bài 14: Chứng minh rằng mỗi nhóm abel với 6 phần tử là một nhóm xyclic.[r]

Bài 14: Chứng minh nhóm abel với phần tử nhóm xyclic. Giải

Giả sử X nhóm abel cấp Ta chứng minh X có phần tử cấp Lấy aX, a e Nếu a có cấp khác xảy hai khả sau:

 a có cấp 2, nhóm thương X/<a> có cấp vậy, b <a> b

  có cấp Suy b có cấp b có cấp ab có cấp 6 ( )ab a b6 a b2.3 2.3 e e3 e, mặt khác ( )ab k ethì

2 2

( ) k k k k

e ab a b e b nên 2 (2,3)=1 nên k 3k m  Tương tự k2 k6 cấp ab 6

 a có cấp , nhóm thương X/<a> có cấp vậy, b <a> b

  có cấp Suy b có cấp b có cấp ab có cấp 6 Vậy trường hợp ta có X có phần tử cấp

Bài 15: Chứng minh nhóm xyclic G sinh phần tử a cấp m ak sinh G k m nguyên tố

Gọi d = (m,k)Ta có

m k k k m

d d d

a a e e mặt khác  

n k

a e

thì akn e nên kn m suy

k m

n

d d ,

k m d d

 



 

  nên

m n

d



ak có cấp

m d , ak

sinh G cấp ak m tức

m m