Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK kéo dài với đường tròn (O).. a/ Chứng minh EF//AC.[r]
(1)ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2006 – 2007
Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức A =
1
3 27
3 3- + Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
3x 2y mx y
ì - = ïï
íï + = ïỵ
a/ Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm b/ Giải hệ phương trình m =
Câu 3: (2 điểm) Hai vòi nước chảy vào bể đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi thứ hai cần nhiều vịi thứ Tính thời gian vịi chảy đầy bể
Câu 4: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có I trung điểm AC Vẽ ID vng góc với cạnh huyền BC, (DỴ BC) Chứng minh AB2 = BD2 – CD2
Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường cao AD, BK tam giác gặp H Gọi E, F theo thứ tự giao điểm thức hai BO BK kéo dài với đường tròn (O)
a/ Chứng minh EF//AC
b/ Gọi I trung điểm AC Chứng minh điểm H, I, E thẳng hàng OI = BH
Câu 6: (1 điểm) Cho a, b, c số dương a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
P =
bc ac ab a + b + c
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2007 – 2008
Câu 1: (2 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A =
5
1
+ +
b/ Chứng minh đẳng thức:
a b 2b 1
a b
a- b- a+ b - - = với a ³ 0; a ³ a ¹ b
Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = 0
Câu 3: (2 điểm) Một ca nô chạy sơng, xi dịng 120km ngược dịng 120km, thời gian về hết 11 Hãy tìm vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc nước chảy 2km/h
Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AH, M điểm cạnh BC (M không trùng với B C) Gọi P, Q theo thứ tự chân đường vng góc kẽ tử M đến AB AC, O trung điểm AM Chứng minh rằng:
a/ Các điểm A, P, M, H, Q nằm đường tròn b/ Tứ giác OPHQ hình gì?
c/ Xác định vị trí M cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ Câu 5: (1 điểm) Cho a, b số dương Chứng minh rằng:
2 2 3 3
2a 3b 2b 3a
a b
2a 3b 2b 3a
+ +
+ £
+
+ +
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2008 – 2009 Câu 1: (2 điểm) a/ So sánh 25 9- 25-
b/ Tính giá trị biểu thức:
1
2+ 5+2-
Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2x2 + 3x – = 0
(2)Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, A điểm cung BC 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R
2/ M điểm di động cung nhỏ AC, (M khác A C) Đường thằng AM cắt đường thằng BC điểm D Chứng minh rằng:
a/ Tích AM.AD khơng đổi
b/ Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD ln nằm đường thẳng cố định
Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < Hãy tìm giái trị lớn biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1|
BÀI GIẢI
ĐỀ
06 – 07
Câu 1: A =
1
3 27 3 3
3 3- + = - + =
Câu 2: a/ Để hệ phương trình cho có nghiệm thì:
3
m
-¹
<=> ¹ -2m <=> m
¹
-b/ Với m = ta có hệ phương trình:
12 x
3x 2y 3x 2y 5
3
x y 2x 2y y
5
ìï =
ì - = ì - = ï
ï ï
ï <=>ï <=>ï
í í í
ï + = ï + = ï =
ï ï
ỵ ỵ ïïỵ
Câu 3: Gọi x (h) thời gian vịi chảy đầy bể (x > 0) x + (h) thời gian vòi chảy đầy bể
Ta có phương trình:
1 1
x x 5+ + =6 <=> x2 – 7x – 30 =
Giải phương trình ta x1 = -3 (loại); x2 = 10
Vậy chảy riêng vòi chảy đầy bể 10 giờ, vòi chảy 15 Câu 4: Ta có: AB2 = BI2 – AI2 = BD2 + DI2 – AI2 = BD2 + IC2 – DC2 – AI2 =
= BD2 – CD2 + IC2– AI2
Mà IC = IA => IC2= AI2 => IC2– AI2 = 0
Nên: AB2 = BD2 – CD2
Câu 5: a/ Chứng minh EF//AC
BE đường kính => BFE· = 900 => EF^BF
Mà BF^AC (gt) => EF//AC
b/ Chứng minh điểm H, I, E thẳng hàng OI = 2BH
ta có H trực tâm => CH^AB, mà EA ^AB (góc EAB vng) => CH//AE
Tương tự: AH//CE => AHCE hình bình hành
Nên đường chéo cắt trung điểm đường, mà I trung điểm AC => I trung điểm HE Hay điểm H, I, E thẳng hàng
IH = IE OB = OE => OI đường trung bình tam giác BHE => OI =
1 2BH
Câu 6: (1 điểm) Cho a, b, c số dương a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhị biểu thức:
Ta có: P2 =
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
bc ac ab b c a c a b 2(a b c )
a b c a b c
ổ ửữ
ỗ + + ữ= + + + + +
ỗ ữ
ỗố ứ =
2 2 2
2 2
b c a c a b 2
a + b + c +
A
B
C I
D A
H
B D
C O
I
(3)Theo BĐT Cosi cho số dương:
2 2 2 2 2
2 2
b c a c 2 b c a c. 2c
a + b ³ a b =
Tương tự:
2 2 2 2
b c a b 2b a + c ³
2 2 2 2
a c a b 2a b + c ³ =>
2 2 2
2 2
2 2
b c a c a b a b c
a + b + c ³ + + = 1
=> P2 ³ + = => P ³
Vậy giá trị nhỏ P <=>
2 2 2 b c a c
a = b ;
2 2 2 b c a b
a = c ;
2 2 2 a c a b
b = c <=> a2 = b2 = c2 = 1/3
<=> a = b = c = 33
NĂM 2007 – 2008
Câu 1: a/ A =
5 5(1 5) 5
1 5
+ = + =
+ +
b/ Với a ³ 0; a ³ a ¹ b, ta có:
a b 2b
a b a- b - a+ b- - =
a( a b) b( a b) 2b a ab ab b 2b a b 1
a b a b a b a b a b
+ - + - + -
-= - - = = =
- - - -
-Câu 2: Ta có: D = (-3)2 – 4.1.(-108) = + 432 = 441 => D = 21
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x1 =
3 21
= -12; x2 =
3 21
- +
= Câu 3: Gọi x (km/h) vận tốc ca nô nước yên lặng (x > 2)
Ta có pt:
120 120 11
x x 2+ + - = <=> 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)
<=> 11x2 – 240x – 44 = 0; D = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884; => D = 122
x1 = -2/11 (loại); x2 = 22
Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 22km/h
Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q nằm đường trịn Ta có: APM AHM AMQ· =· =· = 900
=> Các điểm A, P, M, H, Q nằm đường trịn đường kính AM b/ Tứ giác OPHQ hình gì?
O điểm AM nên O tâm đường tròn đường kính AM => OP = OH = OQ POH HOQ· =· = 600
DOPH DOHQ tam giác => OP = PH = HQ = OQ => Tứ giác OPHQ hình thoi
c/ Xác định vị trí M cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ Ta có: PQ = OQ = OM =
AM
PQ nhỏ <=> AM nhỏ <=> AM vng góc BC <=> M trùng H
Câu 5:
A
B C
H M P
O
(4)NĂM 2008 – 2009 Câu 1: a/ Ta có 25 9- = 16 =4 > 25- = – = b/
1 5 2 5 2 5 4
1
2 5
- +
+ = + =- + - -
=
-+
-Câu 2: Ta có: D = (-3)2 – 4.2.(-2) = + 16 = 25 => D = 5
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x1 =
3
= -2; x2 =
3
4
- + =
Câu 3: Gọi x (xe) số xe đội lúc đầu (x Ỵ N, x > 2); Số xe chuyên chở là: x = (xe) Ta có phương trình:
24 24 1
x 2- - x = <=> x2 – 2x – 48 = 0
Giải ta được: x1 = -6 (loại); x2 = (chọn)
Vậy số xe đội lúc đầu xe
Câu 4: 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R Vì A điểm cung BC => AO^BC SABC =
1
2BC.AO =
22R.R = R2
2/ a/ Tích AM.AD khơng đổi
·
ADC =
2sđ(AB MC» - ¼ ) =
1
2sđ(AC MC» - ¼ ) =
1
2sđAM¼ = ACM· Và CAD· : chung => DAMC : DACD (g,g)
=>
AC AM
AD= AC <=> AC2 = AM.AD => AM.AD = (R 2)2 = 2R2 khơng đổi
b/ Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD nằm đường thẳng cố định Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD
Ta có: CED 2CMD· = · (góc nội tiếp nửa góc tâm); Mà CMD· = 450 => CED· = 900
=> DMEC vuông cân E => ECD· = 450 => ACE· = 900 (vì ACO· = 450)
=> CE^AC
Mà AC cố định => CE cố định
Hay tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD ln nằm đường thẳng cố định
Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < Hãy tìm giái trị lớn biểu thức: y = -4(x2 – x + 1) + 3|2x – 1|
Ta có: y = -(4x2 – 4x + 4) + 3|2x – 1| = -(4x2 – 4x + 1) + 3|2x – 1| - = -(2x – 1)2 + 3|2x – 1| - 3
Đặt t = |2x – 1| y = - t2 + 3t – = -(t2 – 3t +
9 4) –
3
4 = -(t – 2)2 –
3 £ –
3 Dấu = xảy <=> t –
3
2 <=> t =
2 <=> |2x – 1| =
2 <=> x =
4 (loại khơng thuộc -1 < x < 1) Hay x =
1
(thoả mãn) Vậy maxy = –
3
4 <=> x =
-A
B
O
C D
M
(5)