Đang tải... (xem toàn văn)
Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không, nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi:.. Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ[r]
(1)Bài tập
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
Phương trình truyền sóng
1 Vẽ dạng dây vô hạn dao động tự vận tốc ban đầu khơng, cịn độ lệch ban đầu cho bởi:
¿
0 x ≤ 1
x − 1< x ≤ 2
3 − x 2<x ≤ 3 0 x >3
¿u ( x , 0)={ { { ¿
tại thời điểm t0=0 , t1=1
2 , t2=1 , t3=2,5 Xét dao động
điểm x=0 , x=2 , x=1 , x=−1 ( bắt đầu dao động, thơi ), biết vận tốc truyền sóng a=2
2 Vẽ dạng dây nửa vô hạn, gắn chặt đầu mút, dao động tự do, biết vận tốc ban đầu không, độ lệch ban đầu cho bởi:
¿
0 nÕu 0≤ x ≤ l
−sinπx
l nÕu l≤ x ≤ 2l
0 nÕu l≤ x ≤+∞
¿u ( x , )={ { ¿
tại thời điểm t 4 al , al , 4 a5l , 2 a3 l , 4 a7l , 4 a9l
3 Xác định dao động tự dây hữu hạn, gắn chặt mút x=0 ,
x=l , biết độ lệch ban đầu cho bởi: u ( x , 0)=4 x (l − x )
l2 ( 0 ≤ x ≤l ),
còn vận tốc ban đầu không
Đáp số:
u ( x , t )=32 π3∑
n=0 ∞
1 (2n+1)3 sin
(2 n+1) πx
l cos
(2 n+1) π at
l
4 Xác định dao động tự dây hữu hạn, gắn chặt mút x=0 ,
(2)¿
v0cos ( x-c) nÕu |x-c|<π nÕu |x-c|>π
2
¿∂ u ( x , 0)
∂t ={
¿
,
trong v0 số dương π
2<c <l−
π
2 Đáp số:
u(x , t)=4 v0
πa ∑k=1
∞ sinkπc
l cos
kπ2
2 l
k(1−k
2 π2 l2 )
sinkπx
l sin
kπ at
l
5 Xác định dao động dọc đồng chất mút gắn chặt, mút tự do, biết điều kiện ban đầu:
u¿t =0=f ( x ) , ∂u
∂ t ¿t =0=F ( x )
Đáp số:
u ( x , t )=∑
n=1 ∞
[ancos(2 n+1) π at
2 l +bnsin
(2 n+1) π at 2l ]sin
(2 n+1) πx 2l
với an=2
l∫0
l
f ( x )sin(2 n+ 1) πx
2 l dx , bn=
4 (2 n+1) πx∫0
l
F ( x) sin(2n+1 ) πx
2l dx
6 Cũng , hai mút tự
Đáp số:
[f ( x )+tF ( x)]dx +¿∑
n=1 ∞
(ancosnπ at
l +bnsin
nπ at l )cos
nπx l u ( x , t )=1
l∫0
l
¿
với an=2
l∫0
l
f ( x )cosnπx
l dx , bn=
2
nπa∫0
l
F ( x )cosnπx l dx
7 Một đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài cịn lại là 2l(1 - ) Lúc t = 0, người ta buông Chứng minh độ lệch u thiết diện có hoành độ x thời điểm t cho bởi:
u ( x , t )=8 εl π2 ∑n=0
∞
(−1)n+1 (2 n+1)2sin
(2n+1 ) πx 2l cos
(2n+ 1) π at 2l ,
(3)Hướng dẫn: Các điều kiện biên điều kiện ban đầu là:
∂u (−l , t )
∂ x =0 ,
∂u (l , t)
∂ x =0 , u(x , 0)=−εx ,
∂u ( x ) ∂ t =0 Xét dao động tự dây gắn chặt mút x=0 , x=l mơi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết điều kiện ban đầu:
u¿t =0=f ( x ) , ∂u
∂ t ¿t =0=F ( x )
Đáp số:
u ( x , t )=∑
n=1 ∞
(ancos qnt+bnsin qnt)sin
nπx l qn=√n
2π2a2
l2 −h
2 , a
n=
2
l∫0
l
f ( x )sinnπx
l dx , bn=
h qnan+
2 lqn∫0
l
F ( x )sinnπx l dx
Hướng dẫn: Phương trình dao động là:
∂2u ∂ t2+2 h
∂ u ∂t =a
2∂2u
∂ x2
9 Xác định dao động dây gắn chặt mút x=0 , mút x=l
chuyển động theo quy luật A sin ωt , biết độ lệch vận tốc ban đầu không
Đáp số:
u ( x , t )=
A sinω
a x sin ωt
sinω
al
+2 Aωa
l ∑n=1
∞
(−1)n −1
ω2−
(nπal )
2sin
nπ at l sin
nπx
l
Hướng dẫn: Tìm u dạng u = v +w, w thoả mãn phương trình
dao động dây với điều kiện w (0 , t )=0 , w (l , t)=A sin ωt , cịn v thoả mãn phương trình với điều kiện v (0 , t)=0 , v (l ,t )=0 ,
v(x , 0)=− w(x , 0) , ∂ v ( x , 0)
∂ t =−
∂ w ( x , 0) ∂ t
10 Tìm dao động dọc đồng chất có mút cố định, mút kia chịu tác dụng lực Q (lên đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng độ lệch vận tốc ban đầu không
Đáp số:
u ( x , t )=Q E x −
8 Ql
π2E∑n=0
∞ (−1)ncos(2 n+1) π at
2 l sin
(2n+ 1) πx 2l (2 n+1)2
(4)14 Một màng hình vng đồng chất lúc t=0 có độ lệch xác định u ( x , y , 0)=Axy (b − x ) (b− y ) , 0 ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ b , dao động với vận tốc ban đầu không, mép gắn chặt Hãy xác định dao động màng
Đáp số: u ( x , y ,t )=64 Ab4
π6 ∑n=0
∞ sin(2 n+1) πx
b sin
(2m +1) πy
b
(2 n+1)2(2 m+1)2 cos√(2 n+ 1)
2
+(2m +1)2π at
b 15 Một màng hình chữ nhật 0 ≤ x ≤l , 0 ≤ y ≤ m , gắn chặt mép, lúc
t=0 bị xung lượng tập trung tâm màng, cho:
lim
ε → 0∬σ
ε
v0dxdy= A ,
trong A số, v0 vận tốc ban đầu, σε lân cận tâm
màng Hãy xác định dao động màng
Đáp số:
u ( x , y ,t )= 4 A aπ mlk , n=1∑
∞ Ψkn(2l ,m2)
μkn Ψkn( x , y )sin μknπ at
,
với Ψkn( x , y )=sinkπx
l sin nπy
m , μkn=√(
k l)
2
+( n
m)
2
Phương trình truyền nhiệt
1 Tìm nghiệm phương trình:
∂u ∂ t=a
2∂2u
∂ x2 ( 0<x <l , t>0 ) thoả mãn điều kiện :
u (0 , t)=0 , u (l, t )=0 ( t>0 ), ¿
x nÕu 0<x ≤l
2
l-x nÕu l
2<x ≤ l
¿u (x , 0)={ ¿
Đáp số: u ( x , t )=4 l π2∑n=0
∞
(− 1)n
(2 n+1)2exp[−
(2 n+1)2π2a2t
l2 ]sin
(2n+1 ) πx
l
(5)u¿t =0=cx (l − x )
l2 ,
Hãy xác định phân bố nhiệt độ thời điểm t > 0.
Đáp số: u ( x , t )=8 c π3∑n=0
∞
1
(2n+1 )3exp[−
(2 n+1)2π2a2t
l2 ]sin
(2 n+1) πx
l
3 Một đồng chất có độ dài l , mút x = giữ nhiệt độ khơng, cịn mút x = l có trao đổi nhiệt với mơi trường ngồi giữ nhiệt độ khơng Tìm phân bố nhiệt độ thời điểm t > biết nhiệt độ ban đầu cho u¿t =0=ϕ( x )
Đáp số: u ( x , t )=2 l∑n=1
∞ p2+μ n2
p ( p+1)+μn2
exp[−μn2a
2
t l2 ]sin
μnx l ∫0
l
ϕ( x )sinμnx l dx
trong μ1 , μ2 , nghiệm dương phương trình tg μ=μ
p , p=hl>0
4 Một đồng chất có mút cách nhiệt, cịn mút giữ nhiệt độ không đổi u0 Tìm phân bố nhiệt độ biết nhiệt độ ban đầu
u(x , 0)=ϕ(x)
Đáp số: u ( x , t )=u0+∑
n=0 ∞
anexp[−(2 n+ 1)
2
π2a2t
4 l2 ]cos
(2 n+1) πx
2l ,
với an=2
l∫0
l
ϕ( x )cos(2 n+1) πx
2 l dx −(−1 )
n 4 u0
(2n+ 1) π Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u0 + v(x,t).
5 Tìm phân bố nhiệt độ đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu bằng không, nhiệt độ mút x = l khơng, cịn nhiệt độ mút x = 0 được cho u(0,t) = At.
Đáp số:
u ( x , t )=At(1 − x
l)− l2A
6 a2[(
x l)
3
− 3(x l)
2
+2(x
l)]+
2 l2A π3a2 ∑
n=1 ∞
1
n2exp(−
n2π2a2t l2 )sin
nπx l
Hướng dẫn: Tìm u(x,t) dạng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , u1(x,t)
thoả mãn phương trình truyền nhiệt, thoả mãn điều kiện u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0.
(6)Đáp số: u ( x , t )= A(1 − x
l)sin ωt −
2 ωA
π ∑n=1 ∞ a
n
n exp(−
n2π2a2t
l2 )sin nπx
l , an=∫
0
l
exp(nπa
l )
2
τ cos ωτ dτ
7 Tìm nghiệm phương trình:
∂u ∂ t=
∂2u ∂ x2 thoả mãn điều kiện:
u (0 , t)=0 , u (l, t )=Ae−t , u ( x , 0)=A xl
Đáp số: u ( x , t )=Ax l e
− t
+2 Al
2
π ∑n=1 ∞
(− 1)n
n(n2π2− l2)exp(−
n2π2t
l2 − t)sin
nπx l
8 Một đồng chất hình chữ nhật 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ q có mép được
giữ nhiệt độ khơng Tìm phân bố nhiệt độ thời điểm t>0 , nhiệt độ lúc t=0 cho u(x , y , 0)=ϕ(x , y)
Đáp số: u ( x , y ,t )= ∑
n , m=1 ∞
Amnexp[− π2(m
2
p2+ n2 q2)t]sin
mπx p sin
nπy
q ,
trong Amn= pq∫0
p
∫
0
q
ϕ (x , y )sinmπx p sin
nπy
q dxdy
9 Tìm hàm điều hồ miền hình chữ nhật D={0 ≤ x ≤ l; 0≤ y ≤ m} thoả mãn điều kiện biên sau:
u(0 , y)=Ay(m− y) , u(l, y)=0 , u(x , 0)=0 , u(x , m)=0
10 Tìm hàm điều hồ miền hình chữ nhật D={0 ≤ x ≤ l; 0≤ y ≤ m} thoả mãn điều kiện biên sau:
u(0 , y)=0 , u(l, y)=0 , u ( x , 0)=B sinπx
l , u(x , m)=0
11 Tìm nghiệm phương trình Laplace miền hình chữ nhật D={0 ≤ x ≤ l; 0≤ y ≤ m} thoả mãn điều kiện biên sau:
u(0 , y)=Ay(m− y) , u(l, y)=0 , u ( x , 0)=B sinπx
l , u(x , m)=0
12 Tìm hàm điều hồ miền hình chữ nhật D={0 ≤ x ≤ l; 0≤ y ≤ m} thoả mãn điều kiện biên sau:
u (0 , y )= A , u (l, y )=Ay , ∂u ( x , 0)
∂ y =0 ,
∂u ( x , m)
(7)13.Tìm miền hypebolic, parabolic eliptic phương trình:
u rSub \{ size 8\{ ital xx \} \} - ital yuyy+
2 yu 'y=0 .
Đưa phương trình dạng tắc miền hypebolic. 14 Đưa phương trình sau dạng tắc:
u rSub \{ size 8\{ ital xx \} \} + left (1+y right )uyy+u 'x=0 15 Đưa phương trình sau dạng tắc:
u rSub \{ size 8\{ ital xx \} \} +y rSup \{ size 8\{2\} \} uyy+u'x
y2+u'y=0 12 Tính tích phân:
∬
S
(x cos(n , x)+y cos(n , y)+z cos(n, z))dS
trong S mặt (elipxoit : x2
a2+ y2 b2+
z2
c2=1 ) ⃗
n pháp tuyến S.
13.Tìm mơ men qn tính mặt chỏm cầu đồng chất có phương trình
x2+y2+z2=R2 bị cắt mặt phẳng z=H ( chỏm phía ) trục 0z Biết tỷ khối mặt không đổi đơn vị
14.Tìm toạ độ trọng tâm phần mặt nón x2
+y2=R
2
H2z
2